Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2 - PGS. TS. Nguyễn Duy Tân

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:99

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 1
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 2 "Ma trận, Định thức và Hệ phương trình tuyến tính" cung cấp những kiến thức như: Ma trận; Định thức ma trận vuông; Hạng ma trận, ma trận nghịch đảo; Hệ phương trình tuyến tính;...Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 2 - PGS. TS. Nguyễn Duy Tân

Chương 2: Ma trận - Định thức - Hệ phương trình tuyến tính Giảng viên: PGS. TS. Nguyễn Duy Tân email: tan.nguyenduy@hust.edu.vn Viện Toán ƯDTH, HUST Tháng 10, 2021 1 / 99
Contents Nội dung 1 2.1. Ma trận 2.1.1. Định nghĩa 2.1.2. Các phép toán trên ma trận 2 2.2. Định thức ma trận vuông 2.2.1. Định nghĩa 2.2.2. Tính chất cơ bản 2.2.3. Tính định thức bằng phương pháp biến đổi sơ cấp 3 2.3. Hạng ma trận, ma trận nghịch đảo 2.3.1. Hạng ma trận 2.3.2. Tính hạng ma trận 2.3.3. Nghịch đảo của ma trận 2.3.4. Tìm nghịch đảo của ma trận 4 2.4. Hệ phương trình tuyến tính 2.4.1. Định nghĩa 2.4.2. Hệ Cramer 2.4.3. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 2.4.4. Hệ thuần nhất 2 / 99
2.1. Ma trận 2.1.1. Định nghĩa 2.1.1. Định nghĩa Cho K là trường số thực hoặc trường số phức. Một ma trận (trên K ) cỡ m × n là một bảng có m hàng và n cột:   a11 a12 . . . a1n  a21 a22 . . . a2n  A= . . .     . . .. .  . . . . am1 am2 ... amn với aij (với mọi i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n) là thuộc trường K . Nếu m = n thì A được gọi là ma trận vuông cấp n. Các phần tử a11 , a22 , . . . , ann được gọi là phần tử chéo. Chúng lập nên đường chéo chính của ma trận A. Ký hiệu ma trận có thể dùng dấu ngoặc vuông như trên, hoặc nhọn, và thường được ký hiệu gọn là A = [aij ]m×n hoặc A = (aij )m×n . Tập các ma trận cỡ m × n với các phần tử thuộc K được ký hiệu là Mm×n (K ), hoặc Mm,n (K ), hoặc M(m × n, K ). Khi m = n, ta cũng sử dụng Mn (K ) để chỉ tập các ma trận vuông cấp n. 3 / 99
2.1. Ma trận 2.1.1. Định nghĩa Một số loại ma trận Ma trận cỡ 1 × n được gọi là ma trận hàng. Ma trận cỡ m × 1 được gọi là ma trận cột. Ma trận A = [aij ]m×n mà mọi phần tử aij = 0 (∀i, j) được gọi là ma trận không, thường ký hiệu là O, hoặc Om×n .   0 0 ... 0 0 0 . . . 0 O = . . . .   . . . . .. . . 0 0 ... 0 4 / 99
2.1. Ma trận 2.1.1. Định nghĩa Ma trận vuông A = [aij ]n×n được gọi là ma trận tam giác trên nếu aij = 0, với mọi i > j.   a11 a12 . . . a1n  0 a22 . . . a2n  A= . . .     . . .. .  . . . . 0 0 ... ann Ma trận vuông A = [aij ]n×n được gọi là ma trận tam giác dưới nếu aij = 0, với mọi i < j.   a11 0 . . . 0 a21 a22 . . . 0  A= . . .     . . .. .  . . . . an1 an2 ... ann 5 / 99
2.1. Ma trận 2.1.1. Định nghĩa Ma trận vuông A = [aij ]n×n được gọi là ma trận (đường) chéo nếu aij = 0, với mọi i = j.   a11 0 . . . 0  0 a22 . . . 0  A= . . .     . . .. .  . . . . 0 0 ... ann Ma trận vuông A = [aij ]n×n được gọi là ma trận đơn vị (cấp n) nếu nó là ma trận đường chéo và aii = 1, với mọi i. Ma trận đơn vị cấp n thường được ký hiệu là In (hay I ), hoặc En (hay E ).   1 0 ... 0 0 1 . . . 0 In =  . . . .. .   . . . . . . 0 0 ... 1 6 / 99
2.1. Ma trận 2.1.1. Định nghĩa Ma trận bằng nhau Định nghĩa Hai ma trận A = [aij ]m×n và B = [bij ]p×q là bằng nhau, viết A = B nếu Chúng có cùng cỡ: m = p và n = q; aij = bij với mọi i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n. 7 / 99
2.1. Ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận Phép cộng ma trận Cho hai ma trận cùng cỡ m × n: A = [aij ]m×n , B = [bij ]m×n . Tổng A + B là ma trận cỡ m × n cho bởi: A + B = [aij + bij ]m×n . Khi cộng ma trận cùng cỡ, ta cộng phần tử cùng vị trí. Ví dụ: 1 1 −2 2 −1 −3 3 0 −5 + = . 2 1 −1 0 1 2 2 2 1 Ví dụ: 1 1 2 + 2 3 4 3 không thực hiện được (không được định nghĩa) vì hai ma trận không cùng cỡ. 8 / 99
2.1. Ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận Cho ma trận A = [aij ]m×n , ta định nghĩa ma trận đối của A, ký hiệu −A bởi −A = [−aij ]m×n . Ta cũng định nghĩa A − B = A + (−B). Tính chất của phép cộng Trên tập hợp các ma trận cùng cỡ m × n (trên K ), ta có (A + B) + C = A + (B + C ), A + O = O + A = A, A + (−A) = (−A) + A = O, A + B = B + A. Nói cách khác, tập hợp Mm×n (K ) cùng với phép cộng ma trận lập thành một nhóm giao hoán. 9 / 99
2.1. Ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận Phép nhân một số với ma trận Định nghĩa Tích của số k với ma trận A = [aij ]m×n là ma trận kA cỡ m × n cho bởi kA = [kaij ]m×n . Khi nhân một số k với ma trận, ta nhân mỗi phần tử của ma trận với k. Ví dụ: 1 2 3 2 4 6 2 = . 4 5 6 8 10 12 Chú ý: Ta có (−1)A = −A. 10 / 99
2.1. Ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận Tính chất Tính chất cơ bản Cho A, B thuộc Mm×n (K ) và c, d ∈ K . Khi đó (cd)A = c(dA), 1A = A, c(A + B) = cA + cB, (c + d)A = cA + dA. Tính chất bổ sung: Cho A là ma trận cỡ m × n, O là ma trận không cỡ m × n: c =0 cA = O ⇔ . A=O 11 / 99
2.1. Ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận Phép nhân hai ma trận Định nghĩa Cho hai ma trận A = [aij ]m×n cỡ m × n và B = [bij ]n×p cỡ n × p. Tích AB là ma trận cỡ C = [cij ]m×p cỡ m × p cho bởi n cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj = aik bkj (∀i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , p). k=1 12 / 99
2.1. Ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận Chú ý Tích AB chỉ được định nghĩa khi số cột của A bằng số hàng của B. Ta có thể tính phần tử cij của ma trận AB bằng cách nhân lần lượt n phần tử của dòng thứ i của A (từ trái sang phải) với n phần tử của cột thứ j của B (từ trên xuống dưới) rồi lấy tổng của chúng: b1j 1 b2j : . ai1 ai2 . . . ain . =⇒ cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj X . XX dòng i của A z X bnj cột j của B Có thể tích AB tồn tại nhưng tích BA không tồn tại. Kể cả trong trường hợp AB và BA đều tồn tại thì nói chung AB = BA. 13 / 99
2.1. Ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận Chú ý Nói chung AB = O không suy ra được A = O hoặc B = O. Nói chung AC = BC (hoặc CA = CB) với C = O không suy ra được A = B. Ví dụ: 1 1 1 −2 A= ,B= : A = O, B = O nhưng AB = O. 2 2 −1 2 1 0 0 −1 1 −2 A= ,B= ,C= : 2 0 0 −2 −1 2 1 −2 AC = BC = nhưng A = B. 2 −4 = 14 / 99
2.1. Ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận Ví dụ  1 2  1 −1 2 Cho A = ,B= 2 −1. Tính AB. 0 1 −2 3 1 c11 c12 C = AB cỡ 2 × 2, C = . c21 c22 c11 = 1 · 1 + (−1) · 2 + 2 · 3 = 5. c12 = 1 · 2 + (−1) · (−1) + 2 · 1 = 5. c21 = 0 · 1 + 1 · 2 + (−2) · 3 = −4. c22 = 0 · 2 + 1 · (−1) + (−2) · 1 = −3. 5 5 AB = C = . −4 −3 15 / 99
2.1. Ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận Tích chất Cho A, B, C là các ma trận với cỡ sao cho các phép toán trong các hệ thức sau được định nghĩa. Cho c ∈ K . Khi đó (AB)C = A(BC ) A(B + C ) = AB + AC , (B + C )A = BA + CA (cA)B = A(cB) = c(AB) Cho A cỡ m × n: AIn = A và Im A = A. Nhận xét: Tập Mn (K ) các ma trận vuông cấp n cùng với các phép toán cộng và nhân ma trận lập thành một vành (có đơn vị). 16 / 99
2.1. Ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận Lũy thừa ma trận Cho A là ma trận vuông cấp n. Với k ≥ 1 là một số nguyên dương, ta định nghĩa Ak = A · A · · · A . k lần Tính chất: Ak+l = Ak Al , Akl = (Ak )l , với mọi k, l nguyên dương. Với f (x) = ak x k + · · · + a1 x + a0 là một đa thức bậc k, ta định nghĩa f (A) = ak Ak + · · · + a1 A + a0 In . 17 / 99
2.1. Ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận Ví dụ (GK20161)   −1 −1 0 Cho A =  0 −1 2  và đa thức P(x) = x 2 + 2x + 1. Tính P(A). 1 −1 −1 Cách 1:      −1 −1 0 −1 −1 0 1 2 −2 A2 =  0 −1 2  0 −1 2  =  2 −1 −4. 1 −1 −1 1 −1−1 −2 1 −1       1 2 −2 −1 −1 0 1 0 0 P(A) = A2 + 2A + I3 = 2 −1 −4 + 2 0 −1 2  + 0 1 0 = 0 1 −1 1 −1 −1 0 0 1   0 0 −2 2 −2 0 . 2 −1 −2 Cách 2:      0 −1 0 0 −1 0 0 0 −2 P(A) = A2 + 2A + I3 = (A + I3 )2 = 0 0 20 0 2 = 2 −2 0 . 1 −1 0 1 −1 0 2 −1 −2 18 / 99
2.1. Ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận Ví dụ (GK20161*) i −1 Cho A = . Tính A3 và A27 . 1 i 2 i −1 i −1 −2 −2i i −1 A = = = 2i = (2i)A. 1 i 1 i 2i −2 1 i −4i 4 A3 = (2i)A · A = (2i)A2 = (2i) · (2i)A = −4A = . −4 −4i Quy nạp theo k: Ak = (2i)k−1 A, với mọi k ≥ 1 số tự nhiên. A27 = (2i)26 A = −226 A. 19 / 99
2.1. Ma trận 2.1.2. Các phép toán trên ma trận Phép chuyển vị ma trận Chuyển vị ma trận Cho A = [aij ]m×n cỡ m × n. Ma trận chuyển vị của A, ký hiệu AT = [bij ] là ma trận cỡ n × m xác định bởi bij = aji , ∀i = 1, . . . n, j = 1, . . . , m. Các cột của AT là các hàng của A. Các hàng của AT là các cột của A.  1 4  1 2 3 Ví dụ: A = thì AT = 2 5. 4 5 6 3 6 20 / 99