intTypePromotion=1

Bài giảng Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Chia sẻ: Đặng Quỳnh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:22

0
85
lượt xem
22
download

Bài giảng Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dưới đây là bài giảng Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn tham khảo bài giảng để nắm bắt được những nội dung về khái niệm hệ phương trình tuyến tính; phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính; định lý Kronecker – Capelli.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Chương 2: Hệ phương trình tuyến tính

  1. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính CHƯƠNG 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1. Các khái niệm về hệ PTTT 2. Các phương pháp giải hệ PTTT 3. Định lý Kronecker – Capelli -------------------------------------------------- 1
  2. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 1. Các khái niệm về hệ PTTT • Hệ gồm m phương trình và n ẩn xi (i = 1,...,n ) dạng  a x + a x + ... + a x = b   11 1 12 2 1n n 1  a21x1 + a22x2 + ... + a2n xn = b2  (*)  ...................................... = ...   am1x1 + am 2x2 + ... + amn xn = bm   được gọi là một hệ phương trình tuyến tính. 2
  3. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • a11, a12 ,...,amn ∈ ℝ là các hệ số của hệ; • x1, x2 ,..., xn là các ẩn số của hệ; • b1, b2 ,...,bm ∈ ℝ là các hệ số tự do của hệ. Chú ý. Nếu b1 = b2 = ... = bm = 0 thì hệ phương trình đã cho được gọi là hệ thuần nhất. 3
  4. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Bộ (α1, α2 ,..., αn ) được gọi là một nghiệm của hệ (*) nếu khi ta thay x1 = α1, x2 = α2 , ..., xn = αn vào hệ thì tất cả các phương trình trong hệ đều thỏa mãn. • Giải một hệ phương trình tuyến tính là ta đi tìm tập hợp nghiệm của nó. 4
  5. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Đặt a ... a1n  x  b   11 a12   1   1   a a ... a2n    x2   b2   21 22   , X =  , B =  , A =    ... ... ... ...    ...   ...        am1 am 2 ... amn  xn  bm  thì hệ (*) được viết lại dưới dạng AX = B . 5
  6. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Xét hệ phương trình tuyến tính (*). Khi đó, ma trận a b1   11 a12 ... a1n   a a ... a2n b2  A = (A B ) =   21 22   ... ... ... ... ...    am1 am 2 ... amn bm  được gọi là ma trận mở rộng của hệ. 6
  7. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 1. Viết ma trận mở rộng của hệ phương trình   x + 4y + 5z = − 1 ;    2x + 7y − 11z = 2;     3 x + 11 y − 6z = 1 . 7
  8. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2. Các phương pháp giải hệ PTTT 2.1. Phương pháp Gauss Cho hệ phương trình AX = B . Để giải hệ, ta thực hiện các bước sau: • Bước 1. Đưa ma trận mở rộng A = A B về ( ) dạng bậc thang. • Bước 2. Từ dạng bậc thang có được, ta viết lại thành hệ và giải ngược từ dòng dưới lên trên. 8
  9. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Lưu ý. Khi thực hiện bước 1, nếu ta gặp một dòng có dạng (0 0 ... 0 a) với a ≠ 0 thì ta kết luận hệ vô nghiệm. Nếu ma trận bậc thang có được có hạng bằng số ẩn thì hệ có duy nhất nghiệm. Nếu ma trận bậc thang có được có hạng nhỏ hơn số ẩn thì hệ có vô số nghiệm. 9
  10. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 2. Giải hệ phương trình tuyến tính  2x + y − z = 1;     y + 3z = 3;     2x + y + z = − 1 . 10
  11. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 3. Giải hệ phương trình tuyến tính  5x − 2x + 5x 3 − 3x 4 = 3;   1 2  4x1 + x2 + 3x 3 − 2x 4 = 5;     2x1 + 7 x 2 − x3 = −1. 11
  12. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 4. Tìm nghiệm của hệ phương trình   x + 4y + 5z = − 1 ;    2x + 7y − 11z = 2;     3x + 11y − 6z = 1 . A. x = 15, y = −4, z = 0 ; B. Vô số nghiệm;  x = 15 − 79α  x = 15 + 79α     C. y = −4 − 21α D. y = −4 − 21α     z = α ∈ ℝ.   z = α ∈ ℝ.   12
  13. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 5. Giải hệ phương trình   x + 3x2 + 2x 3 = 0;   1  2x1 − x2 + 3x 3 = 0;   3x1 − 5x2 + 4x 3 = 0;    x1  + 17x2 + 4x 3 = 0. 13
  14. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 6. Định m để hệ sau có vô số nghiệm:   x + 2y + (7 − m )z = 2;   2x + 4y − 5z = 1;    3x + 6y + mz = 3.    A. m = ±1 B. m = 1 C. m = −7 D. m = 7 14
  15. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Chú ý. • Khi hệ phương trình tuyến tính có vô số nghiệm thì ta gọi nghiệm phụ thuộc tham số là nghiệm tổng quát. • Nếu cho các tham số bởi các giá trị cụ thể thì nghiệm nhận được gọi là nghiệm riêng hay nghiệm cơ bản. 15
  16. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 7. Giải hệ phương trình tuyến tính sau:   x + 2x2 − 3x 3 + 5x 4 = 1;   1   x1 + 3x2 − 13x 3 + 22x 4 = −1;   3 x1 + 5x2 + x3 − 2x 4 = 5;   2x  1 + 3x2 + 4x 3 − 7x 4 = 4. 16
  17. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2.2. Phương pháp Cramer Cho hệ AX = B , với A là ma trận vuông cấp n . • Bước 1. Tính các định thức: a11 ... a1 j ... a1n ∆ = det A = ... ... ... ... ... , an 1 ... anj ... ann a11 ... b1 ... a1n ∆ j = ... ... ... ... ... , j = 1, n an 1 ... bn ... ann (thay cột thứ j trong ∆ bởi cột tự do). 17
  18. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính • Bước 2. Kết luận: Nếu ∆ ≠ 0 thì hệ có nghiệm duy nhất: ∆j xj = , ∀j = 1, n. ∆ • Nếu ∆ = 0 và ∃j ∈ {1,...,n } : ∆ j ≠ 0 thì hệ đã cho vô nghiệm. • Nếu ∆ = 0 và ∆1 = ∆2 = ... = ∆n = 0 thì hệ hoặc vô nghiệm hoặc vô số nghiệm. Để có kết luận chính xác, ta phải giải bằng phương pháp Gauss. 18
  19. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 8. Giải hệ bằng phương pháp Cramer :  2x + y − z = 1;     y + 3z = 3;     2x + y + z = − 1 . 19
  20. Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 9. Định m để hệ phương trình sau có nghiệm:  (m + 1)x + y = m + 2    x + (m + 1)y = 0 .  20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

Đồng bộ tài khoản