Bài giảng Chương 3 - Hệ chất điểm, vật rắn

1.  Định'nghĩa:'Cho'một'hệ'chất'điểm'M1,'M2,'…'Mn,'<br /> “Khối'tâm”'được'định'nghĩa'là'một'điểm'G'và'thỏa'<br /> mãn'điều'kiện'sau:'<br /> Khối'tâm'<br /> <br /> Chương'3'<br /> <br /> !!!!!<br /> "<br /> <br /> n<br /> <br /> 2.  Ví'dụ:'<br /> <br /> Hệ'chất'điểm,'vật'rắn'<br /> <br /> M1<br /> <br /> !<br /> m 1g<br /> <br /> ∑m M G = 0<br /> i<br /> <br /> i<br /> <br /> !<br /> m Ag<br /> <br /> i =1<br /> <br /> M2<br /> <br /> G<br /> <br /> !<br /> mDg<br /> <br /> !<br /> mBg<br /> <br /> !<br /> m2g<br /> <br /> !<br /> mC g<br /> !<br /> <br /> !<br /> (m 1 + m 2 )g<br /> <br /> (m A + m B + m C + m D ) g<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> 3.  Tọa'độ'của'khối'tâm'<br /> <br /> Khối'tâm'<br /> <br /> !  Nhân'hai'vế'với'mi'lấy'tổng'cho'tất'cả'các'chất'điểm'<br /> của'hệ'từ'i$=$1'tới'n$<br /> !<br /> R = OG = OM i + M i G<br /> <br /> !!!!"<br /> % !!!" n<br /> "n<br /> $ ∑m i ' OG = ∑m i OM i<br /> # i =1 &<br /> i =1<br /> n<br /> !!!!"<br /> ∑m i OM i<br /> " !!!"<br /> R = OG = i =1 n<br /> ∑m i<br /> i =1<br /> <br /> 4.  Chuyển'động'của'khối'tâm' !<br /> """"<br /> <br /> Khối'tâm'<br /> <br /> !  Đối'với'khối'tâm'của'một'hệ,'ta'có'<br /> <br /> !!!!" n<br /> !!!!!<br /> "<br /> % !!!" n<br /> "n<br /> $ ∑m i ' OG = ∑m i OM i + ∑m i M i G<br /> # i =1 &<br /> i =1<br /> i =1<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> ='0'<br /> <br /> !<br /> ! dR<br /> V =<br /> =<br /> dt<br /> <br /> n<br /> <br /> !<br /> V =<br /> <br /> !<br /> ∑ m i vi<br /> i =1<br /> n<br /> <br /> dOM<br /> ∑m i dt i<br /> i =1<br /> n<br /> <br /> ∑m<br /> n<br /> <br /> =<br /> <br /> i<br /> <br /> i =1<br /> n<br /> <br /> =<br /> <br /> =<br /> <br /> n<br /> <br /> ∑m<br /> <br /> i<br /> <br /> i =1<br /> <br /> !<br /> <br /> ∑p<br /> <br /> !<br /> dri<br /> ∑m i dt<br /> i =1<br /> n<br /> <br /> i<br /> <br /> i =1<br /> <br /> !<br /> p<br /> <br /> !# n<br /> & !<br /> ⇒ V % ∑m i ( = p<br /> n<br /> $ i =1 '<br /> ∑m i<br /> <br /> 5.  “Tổng'động'lượng'của'hệ'chất'điểm'bằng'động'<br /> lượng'của'một'chất'điểm'đặt'tại'khối'tâm'của'hệ,'<br /> có'khối'lượng'bằng'tổng'khối'lượng'của'hệ'và'có'<br /> vận'tốc'bằng'vận'tốc'khối'tâm'của'hệ”'<br /> <br /> ∑m<br /> i =1<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> n<br /> <br /> i<br /> <br /> ∑m<br /> i =1<br /> <br /> i<br /> <br /> i =1<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> 6.  Phương'trình'chuyển'động'của'khối'tâm'<br /> Khối'tâm'<br /> <br /> !  Giả'thiết'mỗi'chất'điểm'M1,'M2,'…,'Mn'chịu'tác'dụng'<br /> của'một'ngoại'lực'F1,'F2,'…,'Fn'và'chuyển'động'với'gia'<br /> tốc'tương'ứng'a1,'a2,'…,'an'thỏa'mãn'các'phương'<br /> trình:' !<br /> !<br /> !<br /> !<br /> !<br /> !<br /> <br /> !  Lấy'đạo'hàm'vận'tốc'khối'tâm'của'hệ'<br /> <br /> F1 = m1a1; F2 = m 2a 2 ; "; Fn = m n a n<br /> <br /> n<br /> n !<br /> " n<br /> ! % n<br /> !<br /> d !<br /> m i vi ' ∑ m i<br /> vi ∑m i a i ∑ Fi<br /> ! d ! d $∑<br /> dt<br /> ' = i =1<br /> $ i =1<br /> A=<br /> V =<br /> = i =1<br /> = in=1<br /> n<br /> n<br /> '<br /> $ n<br /> dt<br /> dt<br /> ∑m i<br /> ∑m i ∑m i<br /> $ ∑m i '<br /> &<br /> # i =1<br /> i =1<br /> i =1<br /> i =1<br /> % ! n ! “Khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối<br /> "n<br /> $ ∑m i ' A = ∑ Fi lượng bằng tổng khối lượng của hệ và chịu tác dụng của<br /> một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên hệ”.<br /> # i =1 &<br /> i =1<br /> 7/10/15'<br /> <br /> 3.  Chuyển'động'tịnh'tiến'<br /> <br /> B'<br /> A<br /> <br /> A'<br /> <br /> ! "n<br /> %!<br /> ∑ Fi = $∑m i ' a<br /> # i =1 &<br /> i =1<br /> n<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> Chuyển'động'của'vật'rắn'<br /> <br /> B<br /> <br /> " ""<br /> !<br /> !<br /> Fn = m n a<br /> <br /> !  “Chuyển'động'tịnh'tiến'là'chuyển'động'mà'đường'<br /> thẳng'nối'hai'chất'điểm'bất'kỳ'luôn'song'song'với'<br /> chính'nó”'<br /> !  Khi'một'vật'chuyển'động'tịnh'tiến,'mọi'chất'điểm'của'<br /> nó'chuyển'động'theo'những'quỹ'đạo'giống'nhau.'Các'<br /> chất'điểm'có'cùng'một'vận'tốc'và'gia'tốc.'<br /> <br /> 4.  Chuyển'động'quay'<br /> <br /> Chuyển'động'của'vật'rắn'<br /> <br /> !<br /> !<br /> F1 = m1a<br /> !<br /> !<br /> F2 = m 2a<br /> <br /> 1.  “Vật'rắn'là'một'hệ'chất'điểm'trong'đó'khoảng'cách'<br /> giữa'các'chất'điểm'luôn'giữ'nguyên'không'đổi”.'<br /> 2.  Chuyển'động'của'vật'rắn'='chuyển'động'tịnh'tiến'<br /> +'chuyển'động'quay.'<br /> 3.  Chuyển'động'tịnh'tiến'<br /> Chuyển'động'của'vật'rắn'<br /> <br /> Đây là phương trình chuyển động của vật rắn.<br /> Phương trình này mô tả chuyển động của một<br /> chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng<br /> của vật rắn và chịu tác dụng một lực bằng tổng<br /> ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Đây cũng chính<br /> là phương trình chuyển động của khối tâm "<br /> chỉ cần nghiên cứu chuyển động của khối tâm<br /> 7/10/15'<br /> <br /> !<br /> !  Mọi'điểm'trên'vật'rắn'vạch'ra''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> ω<br /> !<br /> những'quỹ'đạo'tròn'đồng'trục'Δ.'''''''''''''''''''''''''''<br /> v<br /> !<br /> O r<br /> Những'vòng'tròn'này'nằm'trong'''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> !<br /> at<br /> M<br /> họ'các'mặt'phẳng'vuông'góc'với''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> trục'quay,'có'tâm'nằm'trên'trục''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> quay.'<br /> !  Với'cùng'một'khoảng'thời'gian,'mọi'điểm'đều'quay'<br /> được'cùng'một'góc'θ.'Tại'cùng'một'thời'điểm,'chất'<br /> điểm'có'cùng'vận'tốc'góc'ω'và'gia'tốc'góc'β'<br /> <br /> ω=<br /> <br /> dθ<br /> dt<br /> <br /> !<br /> <br /> β<br /> <br /> β=<br /> <br /> dω d 2θ<br /> =<br /> dt<br /> dt 2<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> 5.  Mô'men'lực'<br /> <br /> Chuyển'động'của'vật'rắn'<br /> <br /> !<br /> !<br /> F<br /> !  Giả'thiết'có'một'lực''''''tác'dụng'lên''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> Fz<br /> !<br /> vật'rắn.'<br /> !<br /> Ft<br /> !<br /> r<br /> !  Phân'tích'lực'''''làm'hai'thành'phần'<br /> F<br /> !<br /> ! !<br /> !<br /> F⊥<br /> !<br /> F = F⊥ + Fz<br /> Fn<br /> !<br /> !<br /> Fz<br /> F⊥<br /> !  '''''song'song'với'trục'quay'còn''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> <br /> Δ<br /> <br /> !<br /> F<br /> <br /> vuông'góc'với'trục'quay.'<br /> !<br /> !<br /> !<br /> !  Tiếp'tục'phân'tích'''''''thành'hai'thành''''''và''''''.'<br /> Ft<br /> Fn<br /> F⊥<br /> !<br /> !<br /> !<br /> r<br /> Fn<br /> !  Ft<br /> '''''vuông'góc'với'véc'tơ'$$$$còn''''''nằm'dọc'theo'véc''''<br /> !<br /> !<br /> r<br /> tơ''''.'Như'vậy'lực'tác'dụng''''''được'phân'tích'thành'3'<br /> F<br /> thành'phần.'<br /> ! ! ! !<br /> F = Ft + Fn + Fz<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> 5.  Mô'men'lực'<br /> <br /> Chuyển'động'của'vật'rắn'<br /> <br /> !<br /> Ft<br /> !  Khái'niệm:'“Mô'men'của'lực'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> M / Δ Fz<br /> !<br /> đối'với'trục'quay'Δ'là'một'véc''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> !<br /> !<br /> Ft<br /> r<br /> tơ''''''''xác'đinh'bởi'tích'véc'tơ'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''!<br /> M /Δ<br /> !<br /> !<br /> r<br /> F⊥<br /> Ft<br /> của'''''và''''''”'<br /> !<br /> <br /> !<br /> F<br /> <br /> !<br /> <br /> !  Độ'lớn' M /Δ = rFt sin (r , Ft ) = rFt<br /> !  Nhận'xét:'Trong'chuyển'động'quay,''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> !<br /> F<br /> tác'dụng'của'lực''''''tương'đương'với''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> !<br /> F⊥<br /> tác'dụng'của'lực'''''''và'tương'đương'với'tác'dụng'của'<br /> !<br /> !<br /> !<br /> F<br /> Ft<br /> M /Δ<br /> lực''''''nên'''''''''cũng'chính'là'mô'men'của'lực'''''đối'<br /> với'trục'quay'Δ'<br /> !<br /> ! !<br /> M / Δ = r × Ft<br /> <br /> !<br /> !<br /> Fz<br /> !  Thành'phần''''''chỉ'làm'vật'rắn'''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> Fz<br /> <br /> Δ<br /> <br /> !<br /> F<br /> <br /> !<br /> trượt'dọc'trục'quay.'<br /> !<br /> Ft<br /> !<br /> r<br /> !  Thành'phần''''''chỉ'làm'vật'rắn''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' !<br /> Fn<br /> F⊥<br /> !<br /> rời'khỏi'trục'quay'<br /> Fn<br /> !<br /> Ft<br /> !  Chỉ'có'thành'phần''''''gây'ra'chuyển''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> động'quay.'<br /> !  Như'vậy'“trong'chuyển'động'quay'của'vật'rắn'xung'<br /> quanh'một'trục,'chỉ'những'thành'phần'lực'tiếp'tuyến'<br /> với'quỹ'đạo'của'điểm'đặt'mới'thực'sự'gây'ra'chuyển'<br /> động'quay”.'Vì'vậy'để'đơn'giản,'ta'giả'thiết'rằng'các'<br /> lực'tác'dụng'lên'vật'rắn'chỉ'là'lực'tiếp'tuyến'<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> 6.  Phương'trình'cơ'bản'của'''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> !<br /> chuyển'động'quay'của'vật'rắn'<br /> Chuyển'động'của'vật'rắn'<br /> <br /> Δ<br /> <br /> !<br /> <br /> 5.  Mô'men'lực'<br /> <br /> Chuyển'động'của'vật'rắn'<br /> <br /> Fn<br /> <br /> ! !<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> !  Xét'một'chất'điểm'i'trên'vật'rắn'<br /> <br /> !<br /> !  Nhân'bên'trái'hai'vế'với'véc'tơ'ri ×<br /> ! !<br /> ! !<br /> '<br /> m i ri × a ti = ri × Fti<br /> <br /> Δ<br /> <br /> !<br /> !<br /> m i a ti = Fti<br /> <br /> !  Trong'toán'học'(giải'tích'véc'tơ)''<br /> <br /> ! !<br /> ! !<br /> !<br /> ri × a ti = ri × ( β × ri )<br /> ! ! ! ! ! !<br /> = (ri ⋅ ri ) ⋅ β − ri ⋅ β ⋅ ri<br /> ! ! !<br /> !<br /> ! ! !<br /> ri ⋅ ri ⋅ β = 0<br /> !  Do''''''''''''''''''''''''''suy'ra' m ir i2β = ri × Fti = M ti<br /> <br /> (<br /> <br /> )<br /> <br /> (<br /> <br /> !<br /> Fti<br /> <br /> Mi<br /> <br /> !<br /> ri<br /> <br /> mi<br /> <br /> !<br /> a ti<br /> <br /> )<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> 6.  Phương'trình'cơ'bản'của'''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> !<br /> chuyển'động'quay'của'vật'rắn'<br /> Chuyển'động'của'vật'rắn'<br /> <br /> !  Lấy'tổng'cho'toàn'bộ'vật'rắn'<br /> %! n !<br /> "n<br /> m i r i2' β = ∑ M ti<br /> $∑<br /> &<br /> # i =1<br /> i =1<br /> <br /> !<br /> ! M<br /> 2<br /> !  Đặt''''''''''''''''''''''suy'ra' β =<br /> I = ∑m i r i<br /> I<br /> i =1<br /> <br /> Δ<br /> <br /> !<br /> Fti<br /> <br /> Mi<br /> <br /> !<br /> ri<br /> <br /> mi<br /> <br /> Δ<br /> <br /> !  Phương'trình:'<br /> <br /> !  I'gọi'là'mô'men'quán'tính'của'vật'rắn,'M'là'tổng'mô'<br /> men'lực'tác'dụng'lên'vật'rắn'<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> 1.  Ý'nghĩa'của'mô'men'quán'tính'<br /> <br /> Mô'men'quán'tính'<br /> <br /> !<br /> Fti<br /> <br /> Mi<br /> <br /> !<br /> ri<br /> <br /> !<br /> ! M<br /> β=<br /> I<br /> <br /> !<br /> a ti<br /> <br /> n<br /> <br /> !  Từ'phương'trình'<br /> <br /> 6.  Phương'trình'cơ'bản'của'''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> !<br /> chuyển'động'quay'của'vật'rắn'<br /> Chuyển'động'của'vật'rắn'<br /> <br /> !<br /> a ti<br /> <br /> ''''gọi'là'phương'trình'cơ'bản'mô'tả'<br /> ''''chuyển'động'quay'của'vật'rắn'<br /> !  “Gia'tốc'góc'trong'chuyển'động'quay'của'vật'rắn'<br /> xung'quanh'một'trục'tỉ'lệ'thuận'với'tổng'hợp'mô'<br /> men'ngoại'lực'và'tỉ'lệ'nghịch'với'mô'men'quán'tính'<br /> của'vật'đối'với'cùng'trục'quay”'<br /> mi<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> 2.  Cách'tính'mô'men'quán'tính'<br /> <br /> Mô'men'quán'tính'<br /> <br /> !<br /> ! M<br /> β=<br /> I<br /> <br /> ''''ta'thấy'nếu'mô'men'lực'tác'dụng'lên'vật'rắn'cố'định'<br /> ''''Nếu'I'tăng'thì'β'giảm'và'ngược'lại'I'giảm'thì'β'tăng'<br /> !  “Vậy'mô'men'quán'tính'của'vật'là'đại'lượng'đặc'<br /> trưng'cho'quán'tính'đối'với'chuyển'động'quay'của'<br /> vật”.'<br /> <br /> !  Nếu'ta'có'thể'chia'nhỏ'vật'thành'từng'yếu'tố'nhỏ'có'<br /> khối'lượng'Δmi'và'cách'trục'quay'một'khoảng'ri'và'có'<br /> mô'men'quán'tính'là'ΔIi'.Khi'đó'mô'men'quán'tính'<br /> của'vật'sẽ'được'tính'theo'công'thức'<br /> n<br /> <br /> i =1<br /> <br /> i =1<br /> <br /> !  Nếu'khối'lượng'của'vật'phân'bố'liên'tục'thì'ta'có'thể'<br /> chia'nhỏ'vật'tùy'ý.'Khi'đó'Δmi'sẽ'biến'thành'dm.'Tổng'<br /> theo'các'yếu'tố'khối'lượng'Δmi'sẽ'biến'thành'tích'<br /> phân'theo'yếu'vi'phân'khối'lượng'dm'<br /> n<br /> <br /> I = lim<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> n<br /> <br /> I = ∑ ΔI i = ∑ Δm i r i2<br /> <br /> Δm i →0<br /> <br /> ∑ Δm r<br /> i =1<br /> <br /> 2<br /> i i<br /> <br /> → I=<br /> <br /> ∫r<br /> <br /> 2<br /> <br /> dm =<br /> <br /> ∫r<br /> <br /> 2<br /> <br /> ρ dV<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> 3.  Ví'dụ:'Mô'men'quán'tính'của'thanh'thẳng'đồng'<br /> chất,'mật'độ'khối'lương'ρ'(kg/m)'<br /> Mô'men'quán'tính'<br /> <br /> L /2<br /> dℓ<br /> !  Chia'nhỏ'thanh'đồng'chất'thành''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> từng'yếu'tố'khối'lượng'dm.'Mỗi''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> ℓ<br /> yếu'tố'này'có'mô'men'quán'tính:'<br /> <br /> !  Vì'thanh'đồng'chất'có'khối'lượng'phân'bố'liên'tục'<br /> nên' dm = ρdV = ρSdℓ ⇒ dI = ℓ2dm = ρSℓ2dℓ<br /> '''(S'là'tiết'diện'ngang'của'thanh).'<br /> !  Vì'vậy'tổng'mô'men'quán'tính'của'thanh'đồng'chất'<br /> bằng:' I = dI = ℓ2 ⋅ ρS d ℓ = ρS ℓ2 d ℓ<br /> dI = ℓ2dm<br /> <br /> ∫<br /> <br /> ∫<br /> <br /> ∫<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> 3.  Ví'dụ:'Mô'men'quán'tính'của'thanh'thẳng'đồng'<br /> chất,'mật'độ'khối'lương'ρ'(kg/m)'<br /> L<br /> Mô'men'quán'tính'<br /> <br /> L<br /> <br /> !  Vậy'<br /> <br /> 0<br /> <br /> L<br /> dℓ<br /> !  Lấy'tích'phân'cho'toàn'bộ'thanh'''''''''''''''''''''''''''''''' / 2<br /> đồng'chất,'đồng'nghĩa'với'việc''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> ℓ<br /> lấy'tích'phân'theo'toàn'bộ'chiều''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> dài'của'thanh'từ'–L/2'đến'+L/2'<br /> L/2<br /> <br /> I = ρS<br /> <br /> ∫<br /> <br /> ℓ2 d ℓ =<br /> <br /> −L/2<br /> <br /> !  Vậy'<br /> <br /> 1<br /> 1<br /> ρSL3 =<br /> ρSL ⋅ L2<br /> 12<br /> 12<br /> <br /> ρSL = ρV = M<br /> I=<br /> <br /> 1<br /> ML2<br /> 12<br /> 7/10/15'<br /> <br /> 4.  Một'số'vật'có'hình'dạng'đặc'biệt'<br /> <br /> Mô'men'quán'tính'<br /> <br /> !  Nếu'trục'quay'đi'qua'một'đầu''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> dℓ<br /> của'thanh'thẳng'đồng'chất.'Khi'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> ℓ<br /> đó'tích'phân'phải'lấy'theo'toàn''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''<br /> bộ'chiều'dài'của'thành'từ'0'đến'L'<br /> I = ρS ∫ ℓ 2 d ℓ =<br /> <br /> 3.  Ví'dụ:'Mô'men'quán'tính'của'thanh'thẳng'đồng'<br /> chất,'mật'độ'khối'lương'ρ'(kg/m)'<br /> Mô'men'quán'tính'<br /> <br /> 1<br /> ρSL3<br /> 3<br /> <br /> 1<br /> I = ML2<br /> 3<br /> <br /> 7/10/15'<br /> <br /> !  Vành'tròn'và'hình'trụ'rỗng'đồng'chất'<br /> '<br /> !  Khối'lập'phương'đặc'đồng'chất'<br /> I = mr<br /> <br /> r<br /> <br /> 2<br /> <br /> "<br /> 1<br /> 2<br /> 2<br /> $I x = 12 m(b + c )<br /> $<br /> $<br /> 1<br /> m = ρabc ⇒ #I y =<br /> m( a 2 + c 2 )<br /> 12<br /> $<br /> $<br /> 1<br /> 2<br /> 2<br /> $I z = 12 m( a + b )<br /> %<br /> <br /> z<br /> b/2 b/2<br /> c/2<br /> <br /> a/2<br /> <br /> c/2<br /> <br /> a/2<br /> <br /> y<br /> C<br /> <br /> x<br /> 7/10/15'<br /> <br />