Bài giảng Chương 3 - Hệ chất điểm, vật rắn

Khối'tâm'

1,'

2,'…'

n,'

Định'nghĩa:'Cho'một'hệ'chất'điểm' “Khối'tâm”'được'định'nghĩa'là'một'điểm'G'và'thỏa' "!!!! ! ∑ mi M iG mãn'điều'kiện'sau:'

i =1

! gm A

= 0

Chương'3' Hệ'chất'điểm,'vật'rắn'

1M Ví'dụ:'

! gm D

! gm B

! gm 2

! gm C

! gm1

! )gmm ( +

)

! g m A + m B + mC + m D (

7/10/15'

Khối'tâm'

∑

! d ri dt

i =1

! V =

i +

!""" " dOM i ! Chuyển'động'của'khối'tâm' dt R d dt

∑

i =1

! vi mi ! pi

∑

"!!! ! = mi OM i

∑

i =1 n

!  3. Tọa'độ'của'khối'tâm' ! R OG GM = i Đối'với'khối'tâm'của'một'hệ,'ta'có' mi n$ % Nhân'hai'vế'với' 'lấy'tổng'cho'tất'cả'các'chất'điểm' ! "!! "!!!! ! ∑ 'OG + mi M iG mi 'tới' của'hệ'từ' &

i$=$1 " ∑ $ #

i =1

! p ! p ! V = = = ⇒ & ( = ' # % $ ! ∑ V mi i =1 mi mi mi

∑

i =1

"!!! ! = mi OM i

∑

% ! "!! 'OG &

" $ #

i =1

='0'

"!!! ! mi OM i

∑

i =1

" ! "!! R = OG

∑

7/10/15'

i =1

“Tổng'động'lượng'của'hệ'chất'điểm'bằng'động' lượng'của'một'chất'điểm'đặt'tại'khối'tâm'của'hệ,' có'khối'lượng'bằng'tổng'khối'lượng'của'hệ'và'có' vận'tốc'bằng'vận'tốc'khối'tâm'của'hệ”'

Khối'tâm'

Chuyển'động'của'vật'rắn'

! F2 = m 2

! Fn = mn

! F1 = m1

! a1;

! an

!  Phương'trình'chuyển'động'của'khối'tâm' 6. Giả'thiết'mỗi'chất'điểm'M1,'M2,'…,'Mn'chịu'tác'dụng' của'một'ngoại'lực'F1,'F2,'…,'Fn'và'chuyển'động'với'gia' ! tốc'tương'ứng'a1,'a2,'…,'an'thỏa'mãn'các'phương' a 2; "; trình:'

mi ! vi ! ai mi ! Fi

∑

i =1

i =1 n

d dt = ! V = = = ! ∑ mi vi Lấy'đạo'hàm'vận'tốc'khối'tâm'của'hệ' ! i =1 A = n d dt d dt mi mi mi mi

∑

i =1

% ' ' ' ' &

! A = mi " $ $ $ $ # ! Fi

∑

“Khối tâm của hệ chuyển động như một chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng của hệ và chịu tác dụng của một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên hệ”.

i =1

% ' & " $ #

7/10/15'

“Vật'rắn'là'một'hệ'chất'điểm'trong'đó'khoảng'cách' giữa'các'chất'điểm'luôn'giữ'nguyên'không'đổi”.' Chuyển'động'của'vật'rắn'='chuyển'động'tịnh'tiến'   +'chuyển'động'quay.' !  Chuyển'động'tịnh'tiến' 3. “Chuyển'động'tịnh'tiến'là'chuyển'động'mà'đường' thẳng'nối'hai'chất'điểm'bất'kỳ'luôn'song'song'với' chính'nó”' Khi'một'vật'chuyển'động'tịnh'tiến,'mọi'chất'điểm'của' nó'chuyển'động'theo'những'quỹ'đạo'giống'nhau.'Các' chất'điểm'có'cùng'một'vận'tốc'và'gia'tốc.'

Chuyển'động'của'vật'rắn'

! β ! ω

Chuyển'động'tịnh'tiến'

! a

! ! F1 = m1 a ! ! F2 = m 2 a " "" ! Fn = mn

! v O

2 θ 2

!  4. Chuyển'động'quay' ! Mọi'điểm'trên'vật'rắn'vạch'ra'''''''''''''''''''''''''''''''''''' r ! M ta những'quỹ'đạo'tròn'đồng'trục'Δ.''''''''''''''''''''''''''' Những'vòng'tròn'này'nằm'trong''''''''''''''''''''''''''''''''''''' họ'các'mặt'phẳng'vuông'góc'với'''''''''''''''''''''''''''''''''' trục'quay,'có'tâm'nằm'trên'trục'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' quay.' Với'cùng'một'khoảng'thời'gian,'mọi'điểm'đều'quay' được'cùng'một'góc'θ.'Tại'cùng'một'thời'điểm,'chất' điểm'có'cùng'vận'tốc'góc'ω'và'gia'tốc'góc'β'

d ω dt

d dt

Đây là phương trình chuyển động của vật rắn. Phương trình này mô tả chuyển động của một chất điểm có khối lượng bằng tổng khối lượng của vật rắn và chịu tác dụng một lực bằng tổng ngoại lực tác dụng lên vật rắn. Đây cũng chính là phương trình chuyển động của khối tâm " chỉ cần nghiên cứu chuyển động của khối tâm

! a

! Fi

∑

% ' &

" ∑ = mi $ #

i =1

ω = dθ dt

7/10/15'

Chuyển'động'của'vật'rắn'

! F

! zF

! tF

! r

! F ! Fz

! ⊥F

! F ! Fn

! nF

!  5. Mô'men'lực' Giả'thiết'có'một'lực''''''tác'dụng'lên'''''''''''''''''''''''''''''''''''' !  ! vật'rắn.' ! ⊥F F⊥ + Phân'tích'lực'''''làm'hai'thành'phần' ! Fz

! F = ! Fz

! F⊥

! Ft ! Fn ! F⊥

!  !

! F =

! Fz

! Fn ! r ! F

7/10/15'

'''''song'song'với'trục'quay'còn'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' vuông'góc'với'trục'quay.' ! ! $$$$ Ft r Tiếp'tục'phân'tích'''''''thành'hai'thành''''''và''''''.' còn''''''nằm'dọc'theo'véc'''' '''''vuông'góc'với'véc'tơ' ! ! tơ''''.'Như'vậy'lực'tác'dụng''''''được'phân'tích'thành'3' Fn + Ft + thành'phần.'

!  5. Mô'men'lực' Thành'phần''''''chỉ'làm'vật'rắn''''''''''''''''''''''''''''''''''' !  trượt'dọc'trục'quay.' ! Thành'phần''''''chỉ'làm'vật'rắn''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' Ft rời'khỏi'trục'quay' Chỉ'có'thành'phần''''''gây'ra'chuyển'''''''''''''''''''''''''''''''''' động'quay.' Như'vậy'“trong'chuyển'động'quay'của'vật'rắn'xung' quanh'một'trục,'chỉ'những'thành'phần'lực'tiếp'tuyến' với'quỹ'đạo'của'điểm'đặt'mới'thực'sự'gây'ra'chuyển' động'quay”.'Vì'vậy'để'đơn'giản,'ta'giả'thiết'rằng'các' lực'tác'dụng'lên'vật'rắn'chỉ'là'lực'tiếp'tuyến'

Chuyển'động'của'vật'rắn'

! F

! zF

! iM

! tiF

! r

! ir

! Ft ! Δ/M

! tia

! ⊥F

Phương'trình'cơ'bản'của''''''''''''''''''''''''''''''''''''' 6. !  chuyển'động'quay'của'vật'rắn' ! ati = 'trên'vật'rắn' Xét'một'chất'điểm' ! ri ×

! nF

! Fti mi ! M /Δ ! r

!  5. Mô'men'lực' ! tF Khái'niệm:'“Mô'men'của'lực''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' đối'với'trục'quay'Δ'là'một'véc'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' tơ''''''''xác'đinh'bởi'tích'véc'tơ''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' của'''''và''''''”'

! ! ×=Δ/ tFr M /Δ = rFt sin

! Ft ! M ! ati = ! ri × mi ! Fti ! ri × Nhân'bên'trái'hai'vế'với'véc'tơ' ! Ft ! ( r ,

) = rFt

!  !

Do''''''''''''''''''''''''''suy'ra'

! ri ! F ! F⊥ ! ! ri ) β× Trong'toán'học'(giải'tích'véc'tơ)'' ! ! ) ⋅ β( ri ⋅ ! F ! β = ! Ft mir 2 ! ri × ! Fti = ! M ti ! M /Δ ! ! ! ati = ri × ri × ( ! ! ! ) ⋅ ( ri ⋅ ri = β− ! ! ! ) = 0 β( ri ⋅ ri ⋅

7/10/15'

Độ'lớn' Nhận'xét:'Trong'chuyển'động'quay,'''''''''''''''''''''''''''''''''' tác'dụng'của'lực''''''tương'đương'với'''''''''''''''''''''''''''''''''' tác'dụng'của'lực'''''''và'tương'đương'với'tác'dụng'của' lực''''''nên'''''''''cũng'chính'là'mô'men'của'lực'''''đối' với'trục'quay'Δ'

Chuyển'động'của'vật'rắn'

! iM

! tiF

! ir

! tia

6. Phương'trình'cơ'bản'của''''''''''''''''''''''''''''''''''''' !  chuyển'động'quay'của'vật'rắn' ! Phương'trình:' β =

6. Phương'trình'cơ'bản'của''''''''''''''''''''''''''''''''''''' !  chuyển'động'quay'của'vật'rắn' ! Lấy'tổng'cho'toàn'bộ'vật'rắn' β =

! M ti ! M I

∑

i =1

% mir 2 ' & " $ #

i =1

Đặt''''''''''''''''''''''suy'ra'

''''gọi'là'phương'trình'cơ'bản'mô'tả' !  ''''chuyển'động'quay'của'vật'rắn'

! β = I = mir 2 ∑ ! M I

đối'với'cùng'trục'quay

I'gọi'là'mô'men'quán'tính'của'vật'rắn,'M'là'tổng'mô' men'lực'tác'dụng'lên'vật'rắn'

7/10/15'

“Gia'tốc'góc'trong'chuyển'động'quay'của'vật'rắn' xung'quanh'một'trục'tỉ'lệ'thuận'với'tổng'hợp'mô' men'ngoại'lực'và'tỉ'lệ'nghịch'với'mô'men'quán'tính' của'vật'

”'

Mô'men'quán'tính'

!  1. Ý'nghĩa'của'mô'men'quán'tính' Từ'phương'trình'

i'và'cách'trục'quay'một'khoảng'

i'và'có'

! β = ! M I

i'.Khi'đó'mô'men'quán'tính' ∑

i =1

!  Cách'tính'mô'men'quán'tính' 2. m Nếu'ta'có'thể'chia'nhỏ'vật'thành'từng'yếu'tố'nhỏ'có' khối'lượng'Δ mô'men'quán'tính'là'Δ ∑ = ΔI i của'vật'sẽ'được'tính'theo'công'thức' i =1

dm.

''''ta'thấy'nếu'mô'men'lực'tác'dụng'lên'vật'rắn'cố'định' !  ''''Nếu'I'tăng'thì'β'giảm'và'ngược'lại'I'giảm'thì'β'tăng' “Vậy'mô'men'quán'tính'của'vật'là'đại'lượng'đặc' trưng'cho'quán'tính'đối'với'chuyển'động'quay'của' vật”.'

m i'sẽ'biến'thành' dm i'sẽ'biến'thành'tích' = r 2ρdV

Nếu'khối'lượng'của'vật'phân'bố'liên'tục'thì'ta'có'thể' 'Tổng' chia'nhỏ'vật'tùy'ý.'Khi'đó'Δ theo'các'yếu'tố'khối'lượng'Δ → I = r 2 dm Δmir 2 ∑ ∫ phân'theo'yếu'vi'phân'khối'lượng'

I = Δmir 2

∫ '

i =1

I = lim Δmi →0

7/10/15'

Mô'men'quán'tính'

L / 2 L / 2 dℓ dℓ

+L/

–L/

ℓ ℓ

3. Ví'dụ:'Mô'men'quán'tính'của'thanh'thẳng'đồng' !  chất,'mật'độ'khối'lương'ρ'(kg/m)' Chia'nhỏ'thanh'đồng'chất'thành'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' từng'yếu'tố'khối'lượng'dm.'Mỗi'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' yếu'tố'này'có'mô'men'quán'tính:'

L/2

3. Ví'dụ:'Mô'men'quán'tính'của'thanh'thẳng'đồng' !  chất,'mật'độ'khối'lương'ρ'(kg/m)' Lấy'tích'phân'cho'toàn'bộ'thanh'''''''''''''''''''''''''''''''' đồng'chất,'đồng'nghĩa'với'việc'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' lấy'tích'phân'theo'toàn'bộ'chiều'''''''''''''''''''''''''''''''''''' dài'của'thanh'từ'

dI = ℓ2dm

ρSL ⋅ L2 ρSL3 = 2' I = ρS ℓ2 d ℓ

∫

−L/2

1 2'đến' = 12 1 12 dm = ρdV = ρSdℓ ⇒ dI = ℓ2dm = ρSℓ2dℓ

Vì'thanh'đồng'chất'có'khối'lượng'phân'bố'liên'tục' nên'

!  '''(S'là'tiết'diện'ngang'của'thanh).'

ρSL = ρV = M

ML2 I = = ℓ2 ⋅ ρS d ℓ

∫ I = dI

∫

= ρS ℓ2 d ℓ ∫ 1 12

7/10/15'

Vì'vậy'tổng'mô'men'quán'tính'của'thanh'đồng'chất' bằng:'

Vậy'

Mô'men'quán'tính'

!  4. Một'số'vật'có'hình'dạng'đặc'biệt' Vành'tròn'và'hình'trụ'rỗng'đồng'chất'

dℓ r

!  '

I = mr 2 ℓ

Ví'dụ:'Mô'men'quán'tính'của'thanh'thẳng'đồng' 3. !  chất,'mật'độ'khối'lương'ρ'(kg/m)' Nếu'trục'quay'đi'qua'một'đầu'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' của'thanh'thẳng'đồng'chất.'Khi''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' đó'tích'phân'phải'lấy'theo'toàn'''''''''''''''''''''''''''''''''''''''' ρSL3 bộ'chiều'dài'của'thành'từ'0'đến'L'

b/2 b/2

Khối'lập'phương'đặc'đồng'chất'

c/2

a/2

= I = ρS ℓ2 d ℓ ∫ 1 3 m(b 2 + c 2 ) I x =

c/2

a/2

Vậy'

ML2 I = 1 3 m = ρabc ⇒ m( a 2 + c 2 ) I y =

m( a 2 + b 2 ) I z = 1 12 1 12 1 12 " $ $ $ # $ $ $ %

7/10/15'

Mô'men'quán'tính'

Mô'men'động'lượng'

! ri ×

!  Một'số'vật'có'hình'dạng'đặc'biệt' 4. Khối'cầu'đặc'đồng'chất'

πρR 3 m = ! ri × ! ri × ! vi = ! ri × 4 3 ! ! ! pi = mi vi = Ii ωi Mô'men'động'lượng'của'một'chất'điểm' ! ! ! 2 ! ! ( ) = ri ri × vi = ri × ωi ωi ! 2 ! ωi = Ii ωi ! Li = ! ωi ⇒ ! Li = miri mR 2 I x = I y = I z = 2 5

!  '

Mô'men'động'lượng'của'một'hệ'chất'điểm'

h/2

! L = ! Li∑ = ! ωi∑ Ii

Mô'men'động'lượng'của'một'vật'rắn' ! ωi∑ = Ii

h/2

! ω ! ω1 = I x = I y = m = πρR 2h Khối'hình'trụ'đặc'đồng'chất' 1 m( 3R 2 + h 2 ) 12 ! L = ! ω ! ω2 = " = I i∑( ! ωn = ) ! ω = I mR 2 I z = 1 2

7/10/15'

Mô'men'động'lượng'

!  ! Định'lý'về'mô'men'động'lượng' 4. ! ! Li d M i βi = Với'một'chất'điểm' dt

!  Nguyên'lý'bảo'toàn'mô'men'động'lượng' 5. ! ! d L M = 0 ⇒ Với'một'chất'điểm' dt

= Ii = Ii ! L = const = 0 ⇒ ! d ωi dt

Tổng'quát'đối'với'một'hệ'chất'điểm'

! ω1 + I 2 I1 ! ω2 +" + In ! ωn = const

!  Vậy: “Nếu tổng mô men lực tác dụng lên hệ chất điểm bằng không thì tổng mô men động lượng của hệ là một đại lượng bảo toàn”

! L

!  Đạo hàm mô men động lượng của một hệ chất điểm cân bằng với tổng mô men của các ngoại lực tác dụng lên hệ

d dt ! M = ! d Li dt∑ = Với'một'hệ'chất'điểm' ! d d Li dt∑ = dt ! ! M i∑ = M ⇒ ! M i∑ ! Li∑ = ! d L dt

7/10/15'

Mô'men'động'lượng'

Hết'chương'2'

!  Máy bay trực thăng

!  Ứng'dụng'nguyên'lý'bảo'toàn'mô'men'động'lượng' 6. Con'quay'hồi'chuyển' Con'quay'hồi'chuyển'với'các'vòng'bánh'xe'chuyển' động'tự'do'theo'mọi'hướng,'điều'này'giúp'vật'thể' xác'định'trạng'thái'phương'hướng'hiện'tại.'Thông' qua'hệ'thống'xử'lý,'vật'thể'sẽ'có'phản'ứng'phù' hợp'(màn'hình'điện'thoại'xoay'ngang'hay'dọc)' hoặc'giữ'thăng'bằng'(máy'bay'điều'khiển'từ'xa)'

7/10/15'

Máy'bay'trực'thăng'luôn'có'một'cánh'phụ'ở' phía'đuôi.'Tốc'độ'quay'của'cánh'phụ'này'luôn' được'điều'chỉnh'và'đồng'bộ'với'tốc'độ'của' cánh'quạt'chính'sao'cho'mô'men'động'lượng' nó'tạo'ra'có'thể'khử'được'mô'men'động'lượng' của'cánh'quạt'chính'gây'ra'cho'thân'máy'bay.'