Dòng chảy thế: Bài giảng Cơ học lưu chất Chương 6 về lực nâng và lực cản

Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM

PGS. TS. Lê Văn Dực

www.datechengvn.com

Chương 6: DÒNG CHẢY THẾ VÀ LỰC NÂNG LỰC CẢN

PHẦN A: DÒNG CHẢY THẾ

Trong chương này, lưu chất được nghiên cứu là lưu chất lý tưởng (không tồn tại tính nhớt), không

nén được (khối lượng riêng, ρ=const), chuyển động không quay (

= 0

). Chuyển động của lưu

chất thoả mãn những điều kiện đã nêu được gọi là chuyển động thế lưu chất không nén được.

Chuyển động thế có thể là chuyển động trong không gian 3 chiều. Tuy nhiên, chương này chủ yếu

tập trung vào chuyển động thế hai chiều, hay còn được gọi là chuyển động thế phẳng.

Trong thực tế lưu chất luôn luôn tồn tại tính nhớt. Tuy nhiên việc nghiên cứu chuyển động của lưu

chất lý tưởng cũng đóng một vai trò quan trọng vì một số lý do sau đây:

1. Khi lưu chất chuyển động với số Re > 1, miền ảnh hưởng của tính nhớt chỉ tồn tại trong một

lớp mỏng sát biên, được gọi là lớp biên. Ngoài vùng lớp biên, ảnh hưởng của tính nhớt đến sự

chuyển động của các phần tử lưu chất là khá bé, khi đó, ta có thể xem dòng lưu chất như là lưu

chất lý tưởng.

2. Lưu chất lý tưởng có thể áp dụng cho lưu chất ít nhớt, hay lưu chất chuyển động với số Re rất

lớn, khi đó tính nhớt ít ảnh hưởng đến dòng chảy. Trong thực tế có một số lưu chất đặc biệt có

độ nhớt hầu như bằng không khi nhiệt độ nhỏ hơn nhiệt độ tới hạn, chẳng hạn Helium, khi

nhiệt độ nhỏ hơn 2,17oK thì độ nhớt đột ngột giảm xuống 0. Các loại lưu chất mang đặc tính

này, được gọi là siêu lưu chất.

3. Về mặt lý thuyết, khi bỏ qua tính nhớt, các phương trình vi phân chuyển động của lưu chất sẽ

đơn giản hơn, trong một số trường hợp và điều kiện nhất định, ta có thể tìm được lời giải giải

tích khá dễ dàng. Các kết quả này có thể được sử dụng để kiểm tra các kết quả thực nghiệm số

trên các mô hình toán hoặc hiệu chỉnh mô hình vật lý.

4. Các lý thuyết về chuyển động của lưu chất lý tưởng được áp dụng nhiều trong các lãnh vực

như khí động, chuyển động sóng…

6.1 Chuyển động thế (chuyển động không quay)

Trước khi đi vào nội dung chính, ta cần trình bày qua một số khái niệm có liên quan đến chuyển

động thế.

• Trường lực có thế:

Trường lực F

được gọi là có thế, khi công do nó thực hiện đi dọc

theo một đường cong nối hai điểm, chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và

điểm cuối mà không phụ thuộc vào đường cong nối hai điểm này.

Ta có thể viết:

W = ∫

AmB

sdF r

r. = ∫

AnB

sdF r

Ví dụ trọng lực là trường lực có thế.

Hình 6.1

Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM

PGS. TS. Lê Văn Dực

www.datechengvn.com

• Trường vectơ có thế:

Một trường vectơ (

) được gọi là có thế, nếu tích phân đường dọc theo một đường cong nối hai

điểm, chỉ phụ thuộc điểm đầu và cuối mà không phụ thuộc đường cong nối hai điểm đó.

∫

AmB

sdA r

r. = ∫

AnB

sdA r

r=. ∫B

AsdA r

• Trường dòng chảy có thế:

Về mặt toán học, một trường vận tốc u

được gọi là có thế, nếu ta có thể tìm thấy một hàm số thế

vận tốc φ sao cho thỏa điều kiện sau:

∫B

Asdu rr.= ∫B

= φB – φA (6.1)

Dòng chảy thoả phương trình (6.1) được gọi là dòng chảy có thế.

Phương trình (6.1) có thể viết lại như sau:

∫++

zyx dzudyudxu )...( = ∫∂

∂

x)...(

ϕϕϕ

(6.2)

Từ đây ta suy ra:

x = x∂

∂

; uy = y∂

∂

; uz = z∂

∂

(6.3a)

hay, dưới dạng vectơ, ta có thể viết:

r = ∇

rϕ = darg

ϕ (6.3b)

Đối với chuyển động phẳng trong mặt xoy, phương trình (6.3a) trở thành:

x = x∂

∂

; uy = y∂

∂

(6.3c)

Công thức (6.3a) được viết trong hệ tọa độ trụ (r, θ, z) như sau;

ur = r∂

∂

; uθ = r

∂

∂; uz = z∂

∂

(6.4a)

Đối với chuyển động phẳng trong mặt xoy, phương trình (6.4a) trở thành:

ur = r∂

∂

; uθ = r

∂

∂ (6.4b)

Ta có thể tìm được vi phân toàn phần của φ như sau:

+ Trong hệ tọa độ Descartes:

Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM

PGS. TS. Lê Văn Dực

www.datechengvn.com

dφ = x∂

∂

.dx + y∂

∂

.dy

dφ = ux.dx + uy(6.3d).dy

+ Trong hệ tọa độ cực:

dφ = r∂

∂

.dr +

∂

∂.dθ

dφ = ur.dr + r.uθ.dθ (6.4c)

6.1.1 Phương trình Bernoulli cho chuyển động thế

Như được chứng minh trong Chương 3, phương trình Euler (3.38b) chính là phương trình

Bernoulli có thể áp dụng với mọi điểm trong trường chuyển động ổn định, chịu tác dụng của trọng

lực (lực khối có thế), lưu chất lý tưởng (không ma sát), không nén được và chuyển động có thế

(không quay), như sau:

1uzp

ργ

++ = E = const (6.5)

6.1.2 Hàm thế vận tốc

6.1.2.1 Định nghĩa dòng chảy có thế và hàm thế vận tốc

Dòng chảy có thế là trường dòng chảy sao cho tồn tại một hàm số thế vận tốc φ(x,y,z,t) [hay

φ(x,y,z) đối với chuyển động ổn định] thỏa phương trình (6.3a) trong hệ toạ độ Descartes (oxyz)

hay thỏa phương trình (6.4a) trong toạ độ trụ (r, θ, z), hoặc thoả phương trình (6.3b) dưới dạng

vectơ.

6.1.2.2 Điều kiện dòng chảy có thế

Lấy ro

rt hai vế của phương trình vectơ (6.3b), ta được:

rt(u

r) =

()

)(

dargtor rr

Công thức toán học cho ta:

()

)(

dargtor rr = 0

Suy ra: ro

rt(u

r) = 0

Mà

r = utor rr .

1 = 0

r (6.6)

Vậy: dòng chảy có thế là dòng chảy không quay.

 Ghi chú:

Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM

PGS. TS. Lê Văn Dực

www.datechengvn.com

Xét hệ toạ độ cực (r, θ)

• Toán tử )(

daGr

trong toạ độ cực:

)(

daGr

= r∂

∂

r +

∂

với

(r, θ) (6.7)

• Toán tử )(utor

trong toạ độ cực:

)(utor

= ⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

−

∂

).(

1.k

(6.8)

với ),(

uuu r

r, k

là vectơ đơn vị của trục oz trực giao với mặt phẳng của trường chuyển động.

• Toán tử Div )(u

trong toạ độ cực:

Div(u

r) = ⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∂

r).(

1 với ),(

uuu r

(6.9)

6.1.2.3

Tính chất của dòng chảy có thế

Dòng lưu chất không nén được, chuyển động ổn định, phương trình liên tục cho ta:

Div(u

r) = 0,

Trong tọa độ Descartes, ta có:

∂

∂+y

∂

∂+z

∂

∂ = 0 (6.10)

Thế (6.3a) vào phương trình (6.10), ta được:

∂

= 0 (6.11a)

Hay,

∇ = 0 (6.11b)

Đối với chuyển động phẳng trong mặt xoy, phương trình (6.11a) trở thành:

∂

= 0 (6.11c)

Phương trình (6.11a), (6.11b) hay (6.11c) được gọi là phương trình Laplace, phương trình vi phân

tuyến tính đạo hàm riêng phần bậc hai. Có vô số lời giải thoả phương trình Laplace, do đó lời giải

cụ thể cần tìm kiếm sẽ phải thỏa mãn một điều kiện biên nhất định nào đó.

6.1.2.4 Đường đẳng thế

Trường Đại Học Bách Khoa – ĐHQG TP. HCM

PGS. TS. Lê Văn Dực

www.datechengvn.com

Đường đẳng thế là đường cong trong không gian sao cho giá trị hàm số thế φ bằng hằng số. Vì vậy

ta có:

d φ = 0 Î 0... =

∂

∂dz

hay,

ux.dx + uy.dy + uz.dz = 0 (6.12)

Phương trình (6.12) là phương trình vi phân của đường đẳng thế. Tích phân phương trình vi phân

này, ta sẽ được phương trình đường đẳng thế.

6.1.2.5

Ý nghĩa vật lý của đường đẳng thế

∫

= ∫++

zyx dzudyudxu )...(=

∫

sdu rr. =

ΓAB

= ϕB - ϕA (6.13)

Vậy hiệu của hai đường đẳng thế đi qua hai điểm A và B bằng lưu số vận tốc dọc theo một đường

cong bất kỳ nối hai điểm đó.

6.1.3 Hàm dòng trong chuyển động thế phẳng

Đối với lưu chất lý tưởng không nén được, chuyển động hai chiều, hàm dòng và hàm thế là một cặp

rất hữu ích được sử dụng để nghiên cứu chuyển động thế phẳng. Hàm dòng Ψ được định nghĩa sao

cho thỏa điều kiện sau:

ux = y

∂

Ψ∂ ; uy = - x

∂

Ψ∂ (6.14)

Với định nghĩa này, phương trình liên tục đối với chuyển động hai chiều lưu chất không nén được

tự động thỏa mãn, vì:

∂

∂+y

∂

∂ = yx∂∂

Ψ∂2

-xy∂∂

Ψ∂2

= 0 (6.15)

Đối với hệ tọa độ cực, các công thức (6.14) trở thành:

ur = r

∂

Ψ∂ ; uθ = - r

∂

Ψ∂ (6.16)

Đối với chuyển động phẳng, lưu chất không nén được, ta có thể kết luận như sau:

• Luôn luôn tồn tại hàm dòng, không phụ thuộc vào điều kiện dòng chảy quay hay không

quay.

• Phương trình liên tục là điều kiện cần và đủ đối với sự tồn tại của hàm dòng.

• Trường vận tốc được truy ra từ hàm dòng Ψ tự động thỏa phương trình liên tục.

Ta có thể tìm được vi phân toàn phần của Ψ như sau:

Bài giảng Cơ học lưu chất - Chương 6: Dòng chảy thế và lực nâng lực cản

Chủ đề:

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi