Bài giảng Cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi Chương 5: PGS. TS. Trần Minh Tú

c ä h

¹ ®

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội

Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp

July 2009

1(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Chương 5

Hệ các phương trình cơ bản và các mô hình môi trường liên tục

July 2009

2(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

NỘI DUNG

5.1. Định luật bảo toàn khối lượng – Phương trình liên tục 5.1. Định luật bảo toàn khối lượng – Phương trình liên tục

5.2. Quá trình nhiệt động học của môi trường 5.2. Quá trình nhiệt động học của môi trường

5.3. Định luật nhiệt động lực thứ nhất – Phương trình trạng thái 5.3. Định luật nhiệt động lực thứ nhất – Phương trình trạng thái

5.4. Định luật nhiệt động lực thứ hai 5.4. Định luật nhiệt động lực thứ hai

5.5. Hệ các phương trình cơ bản của cơ học MTLT 5.5. Hệ các phương trình cơ bản của cơ học MTLT

5.6. Chất lỏng lý tưởng 5.6. Chất lỏng lý tưởng

5.7. Chất lỏng nhớt tuyến tính Niutơn 5.7. Chất lỏng nhớt tuyến tính Niutơn

July 2009

3(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

5.8. Chất rắn 5.8. Chất rắn

5.1. Định luật bảo toàn khối lượng – Phương trình liên tục

5.1. Định luật bảo toàn khối lượng – Phương trình liên tục 5.1. Định luật bảo toàn khối lượng – Phương trình liên tục Tổng khối lượng vật chất chứa trong thể tích V được khảo sát không thay đổi trong quá trình chuyển động của môi trường

Biểu thức viết trong hệ tọa độ Euler:

(cid:71) ρ v div

∂ ρ t ∂

v ∂ ρ x ∂

ρ ∂ t ∂

Hoặc:

Phương trình : Phương trình liên tục của khối lượng

(cid:71) diva

(cid:71) a = ∇ =

Có ý nghĩa quan trọng với chất lỏng và khí, với chất rắn: tự động thỏa mãn Trong môi trường không nén được (ρ’=0):

(cid:71) v

div

a ∂ x ∂

a ∂ x ∂ 3 4(39)

July 2009

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

5.2. Định luật động lượng tuyến tính – Phương trình chuyển động 5.2. Định luật động lượng tuyến tính – Phương trình chuyển động Xét môi trường liên tục với thể tích V, diện tích bề mặt S, chịu tác dụng của lực thể tích có cường độ f Động lượng tuyến tính của khối lượng được định nghĩa bởi vec tơ:

Định luật động lượng tuyến tính: Biến thiên động lượng trên một đơn vị thời gian của một khối lượng bằng hợp lực tác dụng lên khối lượng đó trong môi trường liên tục

σ ∂ ji

- Phương trình chuyển động

f

i

u ∂ i 2 dt

x ∂

j

σ ∂ ji

f

i

- Phương trình cân bằng

x ∂

j

July 2009

5(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

5.2. Quá trình nhiệt động học của môi trường

5.2. Quá trình nhiệt động học của môi trường 5.2. Quá trình nhiệt động học của môi trường

Trong trường hợp tổng quát, trạng thái của môi trường được xác định bởi các đặc trưng động lực học: chuyển vị, ứng suất, biến dạng,… và các đặc trưng nhiệt động học: nhiệt độ, sự truyền nhiệt ,… Các tham số đặc trưng của trạng thái môi trường gọi là tham số trạng thái. Quan hệ giữa các tham số trạng thái – phương trình trạng thái

Nếu các tham số trạng thái không phụ thuộc vào thời gian: môi trường ở trạng thái cân bằng nhiệt động lực (cân bằng nhiệt, cân bằng cơ học, …) - Nhiệt độ là tham số đặc trưng cho trạng thái cân bằng nhiệt. Quá trình đẳng nhiệt: nhiệt độ không phụ thuộc vào thời gian

Quá trình đoạn nhiệt: không có sự trao đổi nhiệt giữa môi trường đang xét với môi trường xung quanh

July 2009

6(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Quá trình nhiệt động lực có thể là thuận nghịch hoặc không thuận nghịch

5.3. Định luật nhiệt động lực thứ nhất

5.3. Định luật nhiệt động lực thứ nhất – Phương trình trạng thái 5.3. Định luật nhiệt động lực thứ nhất – Phương trình trạng thái

Khi vật chất chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác: sự biến thiên năng lượng chuyển hoá theo qui luật nào ???

Cơ lý thuyết: Tổng động năng + thế năng = Công ngoại lực

Tổng quát: Tốc độ biến thiên của động năng và của nội năng bằng công cơ học của ngoại lực sinh ra cộng với toàn bộ năng lượng khác nhận được hay mất đi trong đơn vị thời gian đó

Các dạng năng lượng nhận được hay mất đi bao gồm: nhiệt năng, hoá năng hay năng lượng điện từ.

July 2009

7(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Nếu các dạng năng lượng trong môi trường liên tục chỉ gồm cơ năng và nhiệt năng thì ta có định luật bảo toàn năng lượngdưới dạng định luật thứ nhất của nhiệt động lực học

5.3. Định luật nhiệt động lực thứ nhất

Tổngbiếnthiênđộngnăngvà biếnthiênnộinăngcủamôitrườnggiữa haitrạngtháicủaquá trìnhsẽbằngtổngcôngcơhọccủangoạilựcvà côngnhiệtnăngmà môitrườngnhậnđượcgiữahaitrạngtháiđó

dK – biến thiên động năng

dK dE + dt dt

A δ dt

Q δ dt

δA – công cơ năng

dE – biến thiên nội năng

δQ – công nhiệt năng

b ρ

−

de ρ σ ij dt

dv i dx

dc i dx

ρ - mật độ khối lượng e - nội năng riêng c – vec tơ vận tốc truyền nhiệt qua 1 đơn vị diện tích vuông góc với dòng nhiệt b - hằng số bức xạ nhiệt

July 2009

8(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Biểu diễn tường minh các biểu thức biến thiên động năng và nội năng, công cơ năng và nhiệt năng ta nhận được phương trình của định luật nhiệt động lực thứ nhất

5.3. Định luật nhiệt động lực thứ nhất

b = −

với

dq dt

c ∂ 1 i x ρ ∂ i

• σ ε ρ ij

de dt

dq dt

1 ρ

dq – công nhiệt năng giữa hai trạng thái

Cách viết khác:

T - nhiệt độ tuyệt đối

c i

k - hệ số truyền nhiệt môi trường

T ∂ x ∂ i

July 2009

9(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Tốc độ biến thiên của nội năng riêng sẽ bằng tổng công suất của các ứng suất và công suất của nguồn nhiệt đưa vào môi trường • Định luật truyền nhiệt Fourier

5.4. Định luật nhiệt động lực thứ hai

5.4. Định luật nhiệt động lực thứ hai 5.4. Định luật nhiệt động lực thứ hai

dQ – vi phân hiệt năng trong quá trình

= ∫

dQ T

Tốc độ thay đổi entropy toàn phần của một môi trường tồn tại trong thể tích V khô ng bao giờ nhỏ hơn tổng nguồn entropy đưa vào qua biên giới của thể tích V và e ntropy sinh ra ở bên trong thể tích V của nguồn bên ngoài.

= : quá trình thuận nghịch

s - mật độ entropi

b − +

≥

> quá trình bất thuận nghịch

ds dt

1 ρ

⎞ ⎟ ⎠

c ∂ ⎛ i ⎜ x T ∂ ⎝ i

Mục đích: Để phân biệt quá trình là thuận nghịch hay không thuận nghịch Định luật thứ nhất chưa giải quyết vấn đề về quá trình chuyển hoá năng lượng là thuận nghịch hay không thuận nghịch. Thực tế các quá trình đều bất thuận nghịch Nhưng quá trình thuận nghịch là một tiên đề hữu ích trong những trường hợp mà sự tiêu hao năng lượng là không đáng kể. Entropy là một đặc trưng của quá trình nhiệt động và được định nghĩa:

July 2009

10(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Bất đẳng thức Clausius

5.5. Hệ các phương trình cơ bản của cơ học MTLT

5.5. Hệ các phương trình cơ bản của cơ học MTLT 5.5. Hệ các phương trình cơ bản của cơ học MTLT

1. Phương trình liên tục của khối lượng

ρ ∂ t ∂

v ∂ ρ x ∂

(1 phương trình )

∂ σ ji

f

i

2. Phương trình chuyển động – 3pt (Phương trình cân bằng Navier-Cauchy)

u ∂ i 2 dt

x ∂

j

⎛ 0 = ⎜ ⎝

⎞ ⎟ ⎠

b ρ

−

de ρ σ ij dt

dv i dx

dc i dx

c i

3. Phương trình năng lượng – 1pt (định luật nhiệt động lực thứ nhất)

T ∂ x ∂ i

July 2009

11(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

4. Phương trình truyền nhiệt ( 3pt)

5.5. Hệ các phương trình cơ bản của cơ học MTLT

• Hệ 8 phương trình chứa 14 ẩn số vô hướng, là hàm của toạ độ và thời gian Mật độ khối lượng ρ, nội năng riêng e, 3 thành phần vận tốc chuyển vị ui (hoặc ui), 6 thành phần ứng suất σij, 3 thành phần vec tơ dòng nhiệt ci

Khi kiểm tra tính thuận nghịch: thêm 2 ẩn số là entropi s và nhiệt độ tuyệt đối T

• Bài toán với 16 ẩn, chỉ có 8 phương trình => cần 8 phương trình bổ sung

- Nhóm các phương trình trạng thái nhiệt động

- Nhóm các phương trình vật lý (phụ thuộc vào loại môi trường)

CHẤT LỎNG

Các mô hình

July 2009

12(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

CHẤT KHÍ

5.6. Chất lỏng lý tưởng

5.6. Chất lỏng lý tưởng 5.6. Chất lỏng lý tưởng

5.6.1. Chất lỏng đứng yên, áp suất thủy tĩnh - Các phần tử chỉ chèn ép nhau mà không trượt => ứng suất tiếp = 0, ứng suất pháp có giá trị như nhau trên mọi mặt cắt, ký hiệu: - p0 (nén ) – áp suất thủy tĩnh p0>0

=

T σ

0 p − 0 0

p −⎡ 0 ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣

0 ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥− p ⎦ 0

July 2009

13(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

5.6. Chất lỏng lý tưởng

5.6.2. Chất lỏng chuyển động

Các dòng vật chất chuyển động tương đối với nhau, xảy ra hiên tượng trượt nên xuất hiện ứng suất tiếp

Áp suất nhiệt động học

11

12

22

21 Tσ

p − 0

32

31

−⎡ ⎢ 0 ⎢ ⎢ 0 ⎣

⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎥− p ⎦

σ σ σ ⎡ 13 ⎢ σ σ σ = ⎢ 23 ⎢ σ σ σ ⎣ 33

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Phụ thuộc bản chất từng loại chất lỏng

σ + 11 σ σ

12 σ + 22 σ

σ 23 σ + 33

⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

July 2009

14(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Ten xơ ứng suất nhớt

5.6. Chất lỏng lý tưởng

5.6.3. Chất lỏng lý tưởng

Có ten xơ ứng suất nhới bằng không. Phương trình chuyển động:

f

i

u ∂ i 2 dt

p ∂ x ∂

j

Chất lỏng không nén được, mật độ vật chất = const => Phương trình liên tục:

v ∂ i x ∂

i i

July 2009

15(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

5.7. Chất lỏng nhớt tuyến tính Niutơn

5.7. Chất lỏng nhớt tuyến tính Niutơn 5.7. Chất lỏng nhớt tuyến tính Niutơn

Chất lỏng chuyển động: tenxơ ứng suất nhớt khác không. Các thành phần tenxơ ứng suất nhớt phụ thuộc vào vận tốc chuyển động hoặc các thành phần của tenxơ vận tốc biến dạng

• Các phương trình là phi tuyến theo các thành phần của tenxơ vận tốc biến dạng : chất lỏng nhớt phi tuyến - chất lỏng phi Newton

Các phụ thuộc biểu diễn bằng các phương trình xác định • Các phương trình là tuyến tính theo các thành phần của tenxơ vận tốc biến dạng : chất lỏng nhớt tuyến tính - chất lỏng Newton

July 2009

16(39)

Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com

Hệ các phương trình cơ bản của chất lỏng Newton (SGK)

5.8. Chất rắn

5.8. Chất rắn 5.8. Chất rắn

- Định luật bảo toàn khối lượng tự động thỏa mãn

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

- Biến dạng bé: không phân biệt cách mô tả chuyển động - Ảnh hưởng của cơ năng và nhiệt năng xét riêng biệt theo nguyên lý cộng tác dụng

LÝ THUYẾT DẺO LÝ THUYẾT DẺO

LÝ THUYẾT TỪ BIẾN LÝ THUYẾT TỪ BIẾN

July 2009