(cid:0)
BÀI 1
§1: Ma Trận
n
... ...
a 11 a 21 ... a
... ...
m 1
a 12 a 22 ... a m
2
a 1 a 2 n ... a m n
Định nghĩa: Ma trận là một bảng gồm m.n số thực (phức) được viết thành m hàng và n cột như sau:
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Ký hiệu: A = [aij]mn
§1: Ma Trận
Hàng thứ nhất
...
...
j
a11 a22 a33 … gọi là đường chéo chính
a 11 a 21 ...
a 12 a 22 ...
... ...
a 1 a j 2 ...
... ...
a 1 n a n 2 ...
Hàng thứ i
a i 1 ...
a i 2 ...
... ...
a aij ij ...
... ...
a in ...
mn: gọi là cấp của ma trận
...
...
a mj
a m n
a m 1
a m
2
aij: Phần tử nằm ở hàng i cột j
Cột thứ 2 Cột thứ j
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
0
2
B
A
3 1.5
5
1
23
2 8 2 9 7 0
6 0 2
33
Ví dụ:
21a
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
đường chéo chính
§1: Ma Trận
a
i j , .
Các ma trận đặc biệt: 1. Ma trận không: ij 0,
(tất cả các phần tử đều = 0)
O
0 0 0 0 0 0
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Ví dụ:
§1: Ma Trận
(số hàng = số cột)
Các ma trận đặc biệt: 2. Ma trận vuông: m = n.
Ma trận vuông cấp 3
;
1 3 2 7
0 7 8 2 0 4 5 0 2
Ví dụ:
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Ma trận vuông cấp 2
§1: Ma Trận
0,
i
j
.
a ij
Các ma trận đặc biệt: 3. Ma trận chéo: là ma trận vuông có:
0
...
0
2 0 0
a 11 0 ...
a 22 ...
... ...
0 ...
0 4 0 0 0 9
(các phần tử ngoài đường chéo chính = 0)
0
0
...
a nn
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Ví dụ:
§1: Ma Trận
1, 2,...,
n .
1,
iia
Các ma trận đặc biệt: 4. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có: i
1 0 ... 0
1 0 0
1 0
0 1 ... 0
I
,
I
I
2
3
n
0 1
..
..
...
..
0 0 1
0 1 0 ,
0 0 ... 1
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Ký hiệu: I, In. Ví dụ:
§1: Ma Trận
0,
i
j
.
j
.
(tam giác trên) Các ma trận đặc biệt: 5. Ma trận tam giác: là ma trận vuông có ija
2 0 0 0
5
4
7 1 0 0
1 0
0 8 2 0
0 0
2
6
0 0
0
(tam giác dưới)
i ija 0, Ví dụ: 1 2 0 3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
2 9 1 5 9 MT tam giác trên MT tam giác dưới
§1: Ma Trận
0,
i
j
ija
0
a r r
a a a Khi: 11 22 33...
... ...
a 11 0
... ...
a 12 a 22 ..
a 1 r a 2 r ..
...
..
...
a 1 n a 2 n ..
...
0
0
...
a r r
a r n
có: Các ma trận đặc biệt: 6. Ma trận hình thang: là ma trân cấp mn .
...
0
0
...
0
0
...
0
0
0
...
0
có dạng như sau:
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Ta nói ma trận hình thang đã chuẩn hóa
§1: Ma Trận
1 3
2 0 1
4
0 3
3
4 0
0 0
5
8 9
0 0
0
0 0
0 0
0
0 0
0
1 1 0
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Ví dụ:
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt: 7. Ma trận cột:là ma trận có n=1.
a i m
a 11 a 21 ..
a
m 1
:
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Ma trận cột có dạng:
§1: Ma Trận
...
a a 11
a 1
12
n
Các ma trận đặc biệt: 8. Ma trận hàng: là ma trận có m=1. Ma trận hàng có dạng:
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
A
B
,
i
,
j
.
a ij
b ij
a ij
b ij
m n
mn
Các ma trận đặc biệt: 9. Ma trận bằng nhau:
10. Ma trận chuyển vị: cho ma trận
A=[aij]mn, ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu: AT và xác định AT=[bij]nm với bij=aji với mọi i,j.
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
(chuyển hàng thành cột)
§1: Ma Trận
21
m 1
2
A
T A
a 11 a 21 .. a
... ... ... ...
... ... ... ...
a a m .. a
a 12 a 22 .. a m
m 1
2
a a 22 .. a 2
n
n m
m n
n m
1 2 5
A
T A
1 6 2 7
6 7 9
Dạng của ma trận chuyển vị: a a 11 1 n a a 12 n 2 .. .. a a 1 n m n
5 9
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Ví dụ:
§1: Ma Trận
n
n
1
...
a x 1
P x ( ) n
a n
a [
A
]ij n
1
n
n
...
P A ) ( n
a I n n
a A 0
a A 1
Các ma trận đặc biệt: 11. Đa thức của ma trận: Cho đa thức a x 0 và ma trân vuông Khi đó: (trong đó là ma trận đơn vị cùng cấp với ma trân A)
nI
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
2
Ví dụ:
x
3
x
5
P x 2 ( )
1
Cho
A
0
2 3
2
A
3
A
5
I
và ma trận
P A ) ( 2
2
2
1
2
1
2
1 0
3
5
0
3
0
3
0 1
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Khi đó:
§1: Ma Trận
a ij
a ij
b ij
b ij
m n
m n
m n (cộng theo từng vị trí tương ứng)
Các phép toán trên ma trận: 1. Phép cộng hai ma trận:
Ví dụ: 1+ 0=1 2+3=5 5 1
3 4
5 2
2 1
4 5
-1 1 5 3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
1 1 2 2 0 0 3 3
§1: Ma Trận
Bài tập: Tính
2 1
3 4
3 6
? 5 7 ? 0
4
2
0
6 3 2
4 2 3 1 7 2
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
-2 1 -1 11 8 2 ?
§1: Ma Trận
Các tính chất: Giả sử A,B,C,O là các ma
iii A )
(
B C
)
(
A B C )
1
2
3
5
4
7
trận cùng cấp, khi đó: ) i A B B A ii A O A )
4
7
2
0
6
7
3 2
5 0
1 4
2 7
4 6
7 7
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Ví dụ:
§1: Ma Trận
,
R.
a ij
mn
mn (các phần tử của ma trận đều được nhân cho )
Các phép toán trên ma trận: 2. Phép nhân một số với một ma trận: a ij.
-4 2.(-2)=-4 Ví dụ: 2.3=6 6
2 0 -2 5 4 2 1
2.0=0
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
3 3 2 2 7 2 0 0 8 10 14 0 -4 2
§1: Ma Trận
3 0
5
1
2 3 4
? 6 12 15
-9 0 -3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Bài tập: Tính
§1: Ma Trận
R A B
,
, cùng cấp, khi đó
i
)
(
A B
)
A B
ii
) (
A
A
)
A
iii
)
(
A )
( )
A
iv A A
) 1
Các tính chất: là hai ma trận ,
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Sinh viên tự kiểm tra.
§1: Ma Trận
Ví dụ:
3
9
6
18
2
5 2
30 12
1 3
15 6
2 3
(2.3)
6
1 3 5 2
1 3 5 2
18 6 30 12
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
Chú ý:
1 3
1 3
6 5
( 1)
1 3
4 5
4 5
1 3
A B A ( 1) 6 5
B
1 3 4 5
6 1
5 3
5 3
2 2
Nhận xét: trừ 2 ma trận là trừ theo vị trí tương ứng
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
Bài tập: Tính
2
2 4 3 7
3 1 2 4
0 -2 7 -1
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
2+(-2).1=0
§1: Ma Trận
A B mp
] ij mn
c [ hai ma trận A, B. Trong đó:
...
,
i
1,
m j ;
1,
n .
c ij
a b 1 1 i
j
a b i 2 2
j
a b ip pj
Hàng thứ i của ma trận A.
ipa
1ia
2ia
2 jb
pjb Cột thứ j của ma trận B.
1 jb
i jc
Như vậy = hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng với cột thứ j của ma trận B rồi cộng lại.
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Các phép toán trên ma trận: 3. Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận A B , ; pn mp Khi đó ma trận gọi là tích của pn
§1: Ma Trận
2
2 3 =3.2+2.0+1.(-1)=5 5
Ví dụ: Nhân hai ma trận sau: 1 =13 13
0 -1
2 0 1
33
32
32
3. 3 0 2 +2 +1 2 1 1 4 0 3 1 1 .3 3 4 .4
= số cột của A= số hàng của B
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Chú ý: hàng 1 nhân cột 2 viết vào vị trí 12c
§1: Ma Trận
Cột 1
Hàng 2
Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:
3
2
1
1
2
0 2
1 4 0 3
3 4
13 =0.1+(-1).3+4.4=13
0 1
13 5
-4
33
32
32
Hàng 2
7
Cột 2
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
=0.2+1.0+4.(-1)=-4 -4
§1: Ma Trận
Hàng 1
Cột 1 =
2
4
1
4 2
2
3 0
1 0 4
1
16 2 3 10 16 3
23
23
3
5
1
33
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Bài tập: Tính
§1: Ma Trận
Bài tập: Tính
1
2
3
3
0
4
2
2
0
5
1
1 6
1 3
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
Chú ý: Phép nhân 2 ma trận không giao hoán
Ví dụ:
AB
3 4
1 4 5 2
1 0
1 9 3 2
1 5
BA
3 4
1 4 5 2
1 0
2 10 1 6 4
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
Các tính chất: Ta giả sử các ma trận có cấp
i A BC ) (
)
(
AB C )
AB AC ii A B C ( ) iii A B C AC BC )
) ) (
phù hợp để tồn tại ma trận tích
iv AI A IA A )
)
(
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
( I là MT đơn vị)
§1: Ma Trận
5
0
1 5
7
27
7 2
4
1
7 2
4
1
57
3
1
4 5
1 5 7 2
5 1
1 5 7 2
2 3
5 1 5 7 2 1
0 3
0 3
1 4
Ví dụ: 1 2 1 5 3 A(B+C) 2 1 3 4
27 57
4 5
17 19 1 20
10 37
15 6
(B+C)
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
AB AC
§1: Ma Trận
Ví dụ:
AI
1 0 0 0 1 0
A
3 1 0
0 0 1
3 1 0
1 5 7 8 4 2
1 5 7 8 4 2
IA
A
3 1 0
0 0 1
3 1 0
1 0 0 1 5 7 0 1 0 8 4 2
1 5 7 8 4 2
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
3 5
2
A
3
5
x
x
1 4
2
f A ( )
A
3
A
5
I
2
Ta có:
2
5
3
1 0 0 1
5 0
7
7
3
3 5 3 5 1 4 1 4 3 5 3 5 1 4 1 4 14 35
0 9 15 5 3 12 18 50 4 15 10 28
21
Ví dụ: Cho và f x ( ) Tính f(A)?
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
AA
§1: Ma Trận
2
f x ( )
x
3
x
4
1 2 3
A
0 3 4 0 0 2
Bài tập: Cho và ma trận Tính f(A) =?
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
2
f A ) (
A
3
A
4
I
3
1 2 3 3 0 3 4
1 0 0 4 0 1 0
0 0 2
0 0 2
0 0 2
0 0 1
1 2 3 1 2 3 0 3 4 0 3 4
0 14 26 0 14 32
0
0
6
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
2
Bài Tập: cho
f x ( )
x
2
x
3
A
,
f A ( )
?
2
1 5 0 4 A 3 2
I
f A ( )
A
2
1 5
1 5
1 5
1 0
f A ( )
2
3
0 4
0 4
0 4
0 1
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
2
0
0
2
0
Bài tập: Cho
A
3
B
1
3
4
2 5
4
5
1 0 ;
2
T
AB A A A AB
;
;
;
B 3 .
Tính
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận:
1. Nhân một số khác không với một hàng (cột)
A
ih
B
h
h i
j
của ma trận. Ký hiệu:
2. Đổi chỗ hai hàng (cột) của ma trận. Ký B
A
h
h i
j
3. Cộng vào một hàng (cột) với một hàng (cột) khác đã nhân thêm một số khác không. Ký hiệu:
B
A
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
hiệu:
§1: Ma Trận
Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình
1
2
0
1
2
1
3
0
? -1
h 1
4 5
2
( 2) h 14 h 11
h 2 h 3 h 4
0 0
1 7
3
2
-5=-1+(-2)2
1
1 1 2 0 -5 3 9 10 -1 8 5 2
Ta làm cho phần dưới đường chéo chính = 0.
Ta lặp lại như trên cho ?=1+(-2)1=-1 phần ma trận này
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
thang. 1
§1: Ma Trận
h 1
2 1 2
1 0 0
1 1 9
2 5 10
h ( 2) 2 h h 4 3 1 1 h h 1 4
1 7
3
2
0
8
5
2
1 1 1 2 4 5
0 3 1
0 3 1
1
2
1
0
1 0
1 1
0
5
1
3
h 4
h 3
( 1)
0
0
35 26
h h 29 3 h 28 h 4
0
0
0
0 0
0 0
0 2 5 3 -35 26 -35 26
0 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
Ví dụ: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình
0 2
2 1
3
2
h 1
h 3
h 1
h 2
0 2
( 3)
2 1 3 0
3 5
3 0
5
1
1
2 1
3
2 1
h h 3 2 3 2
0 2 0 0
0 2 0
1 -1
3 1 -3 1
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
thang:
§1: Ma Trận
Bài tập: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình
1 2
1 0
1
2
1 0
0
thang:
h 3
h 27
3 1
5 0
0 2
0
h 4
h 26
h h 12 2 h h 14 3 h 13 h 4
-1
3 0
7
5
0
2 4
2 5 6 0 2 7
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
-7 6
§1: Ma Trận
1
2
1
0
0
1
2
5
h 8 4
h 14 3
0
0
8
35
1 0 0 0
2 1 0 0
1 2 8 0
0 5 35 194
0
0
14
37
8.37 14( 35)
194
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§1: Ma Trận
Bài tập: Đưa ma trận sau về dạng ma trận hình
1
1
2
2 3
1 1
h 2
1 0
h 3
3 2
4 4
0 3
0
0
2
1
4
0
3 1 h 13 2 h 12
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
thang:
§1: Ma Trận
Bài tập: Giải hệ phương trình: z
6
2
x
y
x
y
2
z
1
1 3
2 1
1 2
4
3
5
5
4
x
3
y
5
z
5
6 1
3
1
1
2
1
6
0 0
7 0
5 38
19 38
x y 2 1 z Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
![Sổ tay Phòng chống lụt bão [Cập nhật mới nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250605/vijiraiya/135x160/443_so-tay-phong-chong-lut-bao.jpg)
![Bài tập Đại số tuyến tính [chuẩn nhất]](https://cdn.tailieu.vn/images/document/thumbnail/2025/20250930/dkieu2177@gmail.com/135x160/79831759288818.jpg)
