a
b
d a
c b
c
d
BÀI 2
1
§2: Định Thức
Xét hệ phương trình sau:
by ax a x b y ' '
c c
'
Theo phương pháp Grame ta có công thức
“Định thức” cấp 2
nghiệm sau: D
x
;
y
, (
D
0)
y D
D
;
;
D
ac
'
a c '
D x
y
D x D a a
'
b b '
c c '
b b '
a a
'
c c '
2
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§2: Định Thức
b 1 b 2
21
a 31
32
Xét hệ phương trình sau:
Ta có thể định nghĩa:
a 11 D a
?
a x a y a z 11 12 13 a x a y a z 3 22 2 x a y a z 3 3 a 12 a 22 a 32
21 a 31
b 3 a 13 a 23 a 33 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
3
§2: Định Thức
?
D
?
D x
y
a 11 a 21 a 31
b 1 b 2 b 3
a 13 a 23 a 33
b 1 b 2 b 3
a 12 a 22 a 3 2
a 13 a 23 a 3 3
D
x
;
;
y
y D
?
D z
z
0)
D
(
,
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 3 2
b 1 b 2 b 3
D x D D z D Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
4
§2: Định Thức
Định thức cấp 2:
.
D 2
a a 11 22
a a 12 21
a 11 a 21
a 12 a 22
Ví dụ:
2.6 5.3
3.
2 3 5 6
5
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§2: Định Thức
(
)
a a a 11 22 33
a a a 31 12 23
D 3
(
a a a 13 32 21 )
a a a 13 22 31
a a a 33 21 12
a a a 11 32 23
Định thức cấp 3: a 12 a 22 a 32
a 11 a 21 a 31
a 13 a 23 a 33
6
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§2: Định Thức
Ví dụ: Tính
1
2
3
2
4
1
(1.4.6 +3.2.1 +3.2.5)
-(3.4.3
+6.2.2
+1.1.5)
3
5
6
=(24+6+30)-(36+24+5)=60-65=-5
7
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§2: Định Thức
Bài tập: Tính
3
1
4
5
2 0
=[ 3.(-2).7+6.1.0+4.5.(-1) ] -[ 4.(-2).6+7.1.5+3.0.(-1) ]
6
1 7
= -62+13= - 49
8
Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
§2: Định Thức
Ví dụ: Tính
= -108
1 2 1 4 6 3
5 0 2
5
=[2.4.(-2) +1.0.3 +5.(-1).6] -[5.4.3 +2.0.6 +1.(-1).(-2)]
1 2 1 2 4 1 1 4 6 3 6 3
0 2
=[-16+0-30]-[60+0+2]=-108 Gi¶ng viªn: Phan §øc TuÊn
9
§2: Định Thức
Bài tập: Tính
2 4 3 5
1 6
36 12
24
0 2
3
3
1
2
= -55
3 4 1 2
0 5
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 10
§2: Định Thức
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 11
§2: Định Thức
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 12
§2: Định Thức
Ví dụ: Cho ma trận
1
4
A
2 2 2 6
3 )
5 ( 1) 63 1 1 ( 1) det(
1 1 0 0 M
6
A 11
11
1
21
)1(
det(
M
)
3
A 12
12
( 1)
0 2
1 3
36
( 1)
det(
M
)
( 1)
A 13
13
3 5 3 4 5 3
6
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 13
§2: Định Thức
Bài tập: Với
A
1 5
4 2
63
0
3 1
Tính
A 21
A 23
A 33
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 14
§2: Định Thức
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 15
§2: Định Thức
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 16
§2: Định Thức
Ví dụ: Tính định thức sau:
1 i
a 11
A 11
a 12
A 12
a A 13 13
1 5
4 2
3 1
4 .( 3)
( 3 .36 )
3 6
0
.( 6) 1 126
1
4
3
3 j
a 13
A 13
a 23
A 23
a A 33 33
2 5 3 6
1 0
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 17
§2: Định Thức
4 j
A 14
a 14
a 2 4
A 24
a 34
A 34
a 44
A 4 4
Ví dụ: Tính định thức sau: 0 1 0 2
2 2 3 1 0 4 0 5
1 2 3 4
2 2 6 1 ( 1) 0 4
1 3
0 .
0 .
8 ( 2)( 1)
2 2 3 1
1 2
A 14
A 34
5 0
4
0
4
3
= -18-2(-52) = 86
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 18
§2: Định Thức
Ví dụ: Tính định thức sau:
2
3 0
1
2
0
5
4 i
( 1)
( 1)
1 2
1 5 2 3
7 6 ( 1) 4 0
1 1 3 2
(24 5) 6( 3 26)
19 174 193
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 19
§2: Định Thức
Bµi TËp: TÝnh ®Þnh thøc sau
= 102
1 2 0 2 1 3
3 4 0
1 2 4
2 0
1
5
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 20
§2: Định Thức
TÝnh chÊt cña ®Þnh thøc
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 21
§2: Định Thức
VÝ dô:
1 2
1 3
2.
2
3 4
2 4
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 22
§2: Định Thức
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 23
§2: Định Thức
VÝ dô:
2;
2.
1 2 3 4
3 4 1 2
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 24
§2: Định Thức
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 25
§2: Định Thức
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 26
§2: Định Thức
VÝ dô:
c 2
2
d
a 3
b 3
3
a b c d
2
c 2
a 3
2
d
b 3
2 3 a c
2 3 b d
2;
2
2.
2 4 3 5
2 .1 3
2 .2 5
1 2 3 5
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 27
§2: Định Thức
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 28
§2: Định Thức
VÝ dô:
2 5
4 10
A
; 2
A
3
4
6
8
A det(2 )
2
4 10 8 6
2.2 2.5 8 6
2 5 2.3 2.4
2 5
2
2.2
2 det(
A
).
3 4
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 29
§2: Định Thức
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 30
§2: Định Thức
VÝ dô:
1 h
A
3 h
B
A
1 2 3 5 7 9
1 2 3 5 7 9
1 2 3
1 2 3
det(
A )
det(
B
)
det(
A )
det(
A )
det(
A
).
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 31
§2: Định Thức
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 32
§2: Định Thức
Ví dụ:
2
0
0 0
3 0 0
0
i 1
2
3 0 0 5 0 0
Aa 1 1 11
0
0 1
0 0
0 0
5 0 0 1
1 i
2 ( 3) .
2.( 3).5.1
5 0 1 0
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 33
§2: Định Thức
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 34
§2: Định Thức
Ví dụ:
1 5 8 0 3 6
2 0
1.3.2.5 30
0 0 2 0 0 0
9 5
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 35
§2: Định Thức
Nhận xét:
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 36
§2: Định Thức
Ví dụ: Tính định thức
1
2
1
3
h
2
0
1
3
1
12 h
D
2 1 2 3 1 6
1 1 5
3 5 2
1 3
6 4
5 2
2 7
3
4
2
7
1 1
2 2
1 1
3 3
h
3
1
1 j
1
h
a A 1 1 11
4
h h 13
. 8
1 3 4 2 1
0 0 0 0 0 3
1 1 8 8 2 4
3 3 4 4 1 2
1 1 1 1 7 2
1 1 2 Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 37
§2: Định Thức
Bài tập: Tính định thức
0
2 3
5
1
0 2
2
h 1
1
0 2
2
D
h 2
5 6 0
2 3 0 2 3 0 4 1 7
2
3
5
h 3
1 3
4
2
2 4
h 4
h 1 h 1
1
1 8
2 3 0 4 1 7 2 1 0 3 0 2 4 0 3 1 0 1
6 0 2 5 2 8
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 38
§2: Định Thức
Bài tập: Tính định thức sau
1
1
2
0
= 58
D
3 2
1 0 5 0
4 2
0
3
6
1
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 39
§2: Định Thức
1 ... 1
1
1
Ví dụ: Tính định thức cấp n sau 1
1
1 ... 1
1
0
1 ... 1
0
1
... 0
h 2
h 1
nD
1 ...
1 ...
0 ... 1 ... ... ...
1 ...
1 ...
0 ... 1 ... ... ...
1
1
1 ... 0
1
1
1 ... 0
Tiếp tục hàng 3 trừ hàng 1, hàng 4 trừ
hàng 1, …
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 40
§2: Định Thức
Ta được:
1
1
1
...
1
0 0
1 0
... 0 1 ...
0 0
nD
( 1)n 1
...
...
...
...
...
0
0
0
...
1
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 41
§2: Định Thức
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 42
§2: Định Thức
Ví dụ: Cho 2 ma trận
A
;
B
9 33
2 3 1 4
1 5 2 7
AB
8 31
det(
A
) 5;det(
B
)
3
det(
AB
)
15 5.( 3) det(
A
).det(
B
)
Gi¶ng viªn: Phan
§øc TuÊn 43
