Bài giảng Điện động lực: Điện trường tĩnh

ĐIỆN ĐỘNG LỰC

TS. Ngô Văn Thanh Viện Vật Lý

Hà Nội - 2015

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

Tài liệu tham khảo

[1] David J. Griffiths (2013), Introduction to electrodynamics, Pearson Education.

[2] Nguyễn Văn Thỏa (1978), Điện động lực học, NXB ĐH và THCN

[3] Đào Văn Phúc (1978), Điện động lực học, NXB GD.

[4] Nguyễn Hữu Mình (1983), Bài tập Vật lý lý thuyết, NXB GD

[5] Nguyễn Phúc Thuần (1996), Điện động lực học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

[6] Nguyễn Hữu Chí (1998), Điện động lực học, Tủ sách trường ĐHKH Tự nhiên Tp HCM

[7] Võ Tình, Giáo trình Điện động lực học, ĐHSP Huế.

Website : http://iop.vast.ac.vn/~nvthanh/cours/diendongluc/

Email : nvthanh@iop.vast.ac.vn

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

ĐIỆN TRƯỜNG TĨNH

1. Điện trường

2. Biểu diễn vi phân của trường tĩnh điện

3. Thế của điện trường tĩnh

4. Công và năng lượng trong điện trường tĩnh

5. Vật dẫn

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

1. Điện trường

 Giới thiệu chung

 Điện tích nguồn : q  Điện tích thử : Q  Khoảng cách giữa điện tích nguồn và điện tích thử :  Các điện tích nguồn đứng yên: điện trường tĩnh (electrostatics)

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

1. Điện trường

 Định luật Coulomb  Lực tác dụng lên một điện tích điểm Q gây bởi điện tích q

điện môi của không gian tự do :

 Điện trường

 Xét hệ gồm N điện tích điểm, • tổng hợp lực tác dụng lên điện tích Q :

 Vector chỉ phương :

 E được gọi là điện trường của hệ

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

1. Điện trường

 Phân bố điện tích liên tục

 Điện trường của hệ điện tích dây

 Điện trường của hệ điện tích mặt

 Điện trường của hệ điện tích khối

 Mật độ điện tích

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

2. Biểu diễn vi phân của trường tĩnh điện

 Biểu diễn vi phân của trường tĩnh điện  Đường sức và thông lượng của trường, định luật Gauss

• Đường sức được diễn tả bởi các mũi tên xuất phát tại vị trí của điện tích điểm

 Điện trường gây ra bởi một điện tích điểm

 Thông lượng của điện trường xuyên qua mặt S

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

2. Biểu diễn vi phân của trường tĩnh điện

 Xét một điện tích điểm tại gốc tọa độ

 Thông lượng của điện trường xuyên qua một mặt cầu kín bán kính r :

 Xét hệ điện tích điểm rời rạc

 Thông lượng của điện trường xuyên qua một mặt kín bất kỳ bằng

thay vào biểu thức tích phân, ta có :

 Sử dụng nguyên lý chồng chất điện trường

đó chia cho hằng số điện môi

 Dạng tích phân của định luật Gauss: • Thông lượng đi qua một bặt kín bất kỳ bằng tổng điện tích chứa trong mặt kín

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

2. Biểu diễn vi phân của trường tĩnh điện

 Dạng vi phân của định luật Gauss (cách tiếp cận khác)

trong đó toán tử nabla có dạng

 Sử dụng hệ thức biến đổi tích phân trong giải tích vector, ta có

thay vào ta có

 Mặt khác

 Viết lại định luật Gauss dưới dạng vi phân

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

2. Biểu diễn vi phân của trường tĩnh điện

 Divergence của điện trường

 Là dạng vi phân của định luật Gauss :

 Tính toán trực tiếp từ biểu thức:  Áp dụng toán tử div:

 Lấy tích phân 2 vế và áp dụng đổi tích phân theo định lý divergence, ta có

 Cuối cùng có thể tìm lại được biểu diễn tích phân của định luật Gauss

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

2. Biểu diễn vi phân của trường tĩnh điện

 Curl của điện trường  Xét điện trường của một điện tích đặt tại gốc tọa độ

 Lấy tích phân đường cho điện trường từ điểm a đến b

 Sử dụng biến đổi trong hệ tọa độ cầu

 Tích vô hướng của hai vector:

 Suy ra

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

2. Biểu diễn vi phân của trường tĩnh điện

 Nếu tích phân dọc theo đường cong kín thì , suy ra

 Áp dụng định lý Stokes, ta có

 Curl của điện trường:

trạng thái:

 Trong trường hợp hệ chứa nhiều điện tích, áp dụng nguyên lý chồng chập các

 Ta có:

 Biểu thức Curl của trường đúng với mọi phân bố điện tích tĩnh của hệ

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

3. Thế của điện trường tĩnh

 Định nghĩa thế của trường tĩnh điện

 Chọn O là điểm mốc trong không gian  Ta định nghĩa đại lượng vô hướng (điện thế) mà nó chỉ phụ thuộc vào

 Độ lệch của thế tại điểm a và điểm b :

 Mặt khác, theo định lý cho các trạng thái gradient

 Cuối cùng ta có

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

3. Thế của điện trường tĩnh

 Phương trình Poisson và phương trình Laplace  Sử dụng biểu thức

 Áp dụng các toán tử div và rot lên hai vế, ta có

 Mặt khác, từ biểu thức của định luật Gauss

 Thu được phương trình Poisson (phương trình vi phân bậc 2 không thuần nhất)

 Trường hợp miền không có điện tích ta có phương trình Laplace

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

3. Thế của điện trường tĩnh

 Thế của hệ phân bố điện tích định xứ  Từ biểu thức của điện trường cho điện tích điểm

 Sử dụng biểu diễn vi phân trong hệ tọa độ cầu

 Tính đại lượng:

ta có thế năng tại điểm gốc r của điện tích điểm:

 Thay vào tích phân để tính điện thế, chọn điểm mốc tại vô cực

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

3. Thế của điện trường tĩnh

 Tổng hợp các trường hợp  Thế của điện tích điểm

 Thế của hệ các điện tích phân bố rời rạc

 Thế của các điện tích phân bố liên tục

 Thế của hệ điện tích dài, mặt và khối

 Vậy, ta có thể xác định được thế của hệ nếu như ta biết mật độ điện tích của nó

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

3. Thế của điện trường tĩnh

 Các điều kiện biên  Xét điện trường xuyên qua bề mặt tích điện

 Các phương trình liên hệ giữa thế, mật độ điện tích và điện trường

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

3. Thế của điện trường tĩnh

 Xét một hệ điện tích mặt, ta viết lại định luật Gauss

 Giới hạn bề dày của hộp rất nhỏ,

 Xét một hình chữ nhật có độ dài

 Thành phần pháp tuyến của điện trường là gián đoạn tại bề mặt phân cách

suy ra

 Sử dụng biểu thức

 Giới hạn bề rộng của hình chữ nhật là nhỏ :

 Tổng quát hóa

 Thành phần tiếp tuyến của điện trường là liên tục

dưới lên trên.

 là vector đơn vị theo phương pháp tuyến của mặt phẳng và có hướng từ

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

3. Thế của điện trường tĩnh

 Điều kiện biên cho thế

 Khi khoảng cách giữa a và b tiến đến zero • Thế tại biên

ta có

 Thế tại biên là liên tục  Sử dụng biểu thức

với bề mặt

 Gradient của thế tại biên là gián đoạn  Đạo hàm pháp tuyến của thế (tốc độ thay đổi của thế theo phương vuông góc

 Viết lại biểu thức trên

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

4. Công và năng lượng trong điện trường tĩnh

 Công dịch chuyển một điện tích  Định nghĩa

 Suy ra

(trên đơn vị điện tích)

 Sự chênh lệch thế giữa hai điểm a và b == công để dịch chuyển hạt từ a sang b

• Trường hợp này, thế được gọi là “thế năng”

 Công để dịch chuyển điện tích Q từ xa vô cùng về điểm r là  Chọn mốc tính thế được đặt tại vô cùng (infinity), ta có

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

4. Công và năng lượng trong điện trường tĩnh

 Năng lượng của hệ điện tích điểm phân bố rời rạc

 Giả sử ban đầu chỉ có một điện tích điểm q1 tại vị trí r1 • Thế gây ra bởi một điện tích điểm q1 tại điểm r bất kỳ

 Công thực hiện để dịch chuyển điện tích q2 từ xa vô cùng về vị trí r2:

 Tương tự ta có

 Tiếp theo, công dịch chuyển điện tích q3 từ xa vô cùng về vị trí r3 :

 Công tổng cộng

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

4. Công và năng lượng trong điện trường tĩnh

 Tổng quát hóa

 Biểu diễn toán học

 Tách tổng theo từng chỉ số

 Thay biểu thức thế của từng điện tích điểm vào, cuối cùng ta có:

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

4. Công và năng lượng trong điện trường tĩnh

 Năng lượng của hệ phân bố điện tích liên tục  Hệ điện tích khối ta thay tổng bằng tích phân:

 Sử dụng biểu thức vi phân của định luật Gauss

 Thay vào ta có

 Sử dụng hệ thức giải tích trong giải tích vector

 Lấy tích phân hai vế

 Suy ra

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

4. Công và năng lượng trong điện trường tĩnh

 Thay biến đổi tích phân

 Vào biểu thức

 Mặt khác

 Ta thu được

 Suy ra

 Mở rộng tích phân ra toàn không gian, thế tại vô cực bằng 0, cuối cùng ta có

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

5. Vật dẫn

 Tính chất cơ bản  Điện trường trong lòng vật dẫn bằng không

• Nếu như có điện trường bên trong thì các điện tích sẽ dịch chuyển, nên nó không phải là tĩnh điện.  Đặt vật dẫn trong điện trường E0. • Điện tích âm dịch chuyển theo chiều ngược với E0, để lại các điện tích dương • Các điện tích sẽ tụ tập lại tại các bề mặt của vật dẫn (điện tích cảm ứng) • Xuất hiện điện trường E1, nó phản kháng lại điện trường E0.  Mật độ điện tích trong lòng vật dẫn bằng không  Các điện tích tập trung trên bề mặt  Vật dẫn là đẳng thế.

 Điện trường có phương vuông góc với bề mặt

vật dẫn và có hướng từ trong ra ngoài.

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

5. Vật dẫn

 Điện tích cảm ứng  Điện tích nguồn nằm bên ngoài vật dẫn

 Điện tích nằm bên trong vật dẫn (trong hốc)

dấu với điện tích nguồn

 Nếu như vật dẫn trung hòa về điện thì bề mặt của nó mang điện tích dương

 Theo định luật Gauss  Điện tích toàn phần trong một mặt kín bằng 0, điện tích cảm ứng bằng và trái

Ngô Văn Thanh – Viện Vật lý @ 2015

5. Vật dẫn

 Điện tích bề mặt và lực tác dụng lên vật dẫn