Bài giảng Giải tích mạch - Chương 8: Biến đổi Fourier

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:38

Thêm vào BST

Báo xấu

57
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Chương 8: Biến đổi Fourier. Sau khi học xong chương này, người học có thể hiểu được một số kiến thức cơ bản về: Phân tích chuổi fourier, các hệ số khai triển fourier, biến đổi dạng lượng lượng giác 3 thành phần, áp dụng chuổi fourier để phân tích mạch, trị hiệu dụng hàm tuần hoàn, công suất trung bình P, chuổi fourier dạng hàm mũ, phổ biên độ và phổ pha rời rạc.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Giải tích mạch - Chương 8: Biến đổi Fourier

Chương8: Biến đổi Fourier  8.1. Phân tích chuổi Fourier  8.2. Các hệ số khai triển Fourier  8.3. Biến đổi dạng lượng lượng giác 3 thành phần  8.4.Áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch  8.5.Trị hiệu dụng hàm tuần hoàn  8.6.Công suất trung bình P  8.7.Chuổi Fourier dạng hàm mũ  8.8.Phổ biên độ và phổ pha rời rạc CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
8.1.Phân tích chuổi Fourier f(t): Hàm tuần hoàn có chu kỳ T có thể được biểu diễn bởi chuỗi Fourier dạng lượng giác 3 thành phần (dạng chuẩn):  f (t )  a v   a n cos n  0 t  b n sin n  0 t ( 9 .1) n 1 *Với n là các số nguyên 1,2,3, … *av , an , bn gọi là các hệ số khai triển Fourier. *ω0 = 2л/T: gọi là tần số cơ bản ; các tần số là bội của ω gọi là sóng hài như 2ω là sóng hài bậc 2; 3ω là sóng hài bậc 3..v.v.. *Ta có thể phân tích nguồn kích thích tuần hoàn thành chuổi Fourier gồm thành phần một chiều av + tổng các thành phần điều hòa (an và bn ) và dùng nguyên lý xếp chồng để tìm đáp ứng xác lập. Ta xác định các hệ số khai triển Fourier như sau: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
8.2. Các hệ số khai triển Fourier 1 t0  T av  T  t0 f ( t ) dt (9 .2 ) 2 t0  T ak   f ( t ) cos k  0 t dt ( 9 .3 ) t0 T 2 t0  T bk   f ( t ) sin k  0 t dt (9 .4 ) t0 T Ta lưu ý các trị giá của các tích phân sau: CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
t0  T sin m  0 t dt  0  t0 t0  T  cos m  0 t dt  0 t0 t0  T  cos m  0 t sin n  0 t dt  0 t0 t0  T  sin m  0 t sin n  0 t dt  0 ; m  n t0 T  ; m  n 2 t0  T  cos m  0 t cos n  0 t dt  0 ; m  n t0 T  ; m  n 2 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước v(t) Vm T 0 T 2T  Để tính các av; ak; bk ta phải chọn to .Trong trường hợp này ta nên chọn t0 = 0. Biểu thức v(t) trong khoảng 0 và T:v(t) = (Vm /T)t 1 T Vm 1 av  T  0 ( T )tdt  2 Vm 2 T Vm 2V m  1 t  ) t cos k  0 t dt   cos k  0 t  sin k  0 t  T ak  T  0 ( T T 2  k 2  2 k   0  0 0  2V m  1    2 2  cos 2  k  1    0 k 0 2 T  CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
2 T Vm bk   ( )t sin k  0 t dt 0 T T 2V m  1 t   sin k  0 t  cos k  0 t  T   2  0  k  k 2 2 T 0 0  2V m  T  Vm  0  cos 2  k      k k 2 T  0  Chuổi Fourier của v(t) là:  Vm Vm 1 v (t )    sin n  0 t 2  n 1 n Vm Vm Vm Vm   sin  0 t  sin 2  0 t  sin 3  0 t  ... 2  2 3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước Vm Vm /3 T/3 2T/3 T  Tính các hệ số khai triển Fourier av; ak; bk của hàm điện áp khi Vm = 9 л V  Trả lời: av= 21,99 V; ak = (6/k)sin4kл/3 V;  bk = (6/k)(1- cos4kл/3) V CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Các hàm đối xứng *Hàm chẳn: Nếu f(t) = f(-t ). Các hệ số Fourier rút gọn: 2 T /2 av  T  0 f ( t ) dt 4 T /2 ak   f ( t ) cos k  0 t dt T 0 bk  0 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Các hàm đối xứng *Hàm lẻ: Nếu f(t) = -f(-t ). Các hệ số Fourier rút gọn: av  0 ak  0 4 T /2 bk   f ( t ) sin k  0 t dt 0 T CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Các hàm đối xứng A A A 0 T 0 T 0 T H.a H.b H.c  Tùy thuộc vào điểm t = 0 nằm ở vị trí nào mà hàm tuần hoàn có thể không đối xứng như hình a; hoặc đối xứng chẳn (hàm chẳn) như hình b hay đối xứng lẻ (hàm lẻ) như hình c CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Các hàm đối xứng *Hàm đối xứng bán sóng: Nếu f(t) = -f(t - T/2 ). Khi dịch hàm nữa chu kỳ và đổi dấu hàm sẽ giống như hàm gốc. Các hệ số Fourier rút gọn: av = 0 ak = 0 với k chẳn 4 T /2 ak   f ( t ) cos k  0 tdt for k odd 0 T bk = 0 với k chẳn 4 T /2 bk   f ( t ) sin k  0 tdt for k odd 0 T CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Các hàm đối xứng T/2 T/4 T/2 T T/4 T H.a H.b  *Hàm đối xứng ¼ sóng : Là hàm đối xứng bán sóng cộng thêm mỗi bán kỳ âm và dương đối xứng qua điểm giữa của nó.  Hình a cho ta hàm đối xứng ¼ sóng  Hình b không phải hàm đối xứng ¼ sóng mặc dù nó là hàm đối xứng bán sóng CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Hàm đối xứng ¼ sóng *Hàm đối xứng 1/4 sóng: Trong trường hợp này phụ thuộc vào việc ta chọn điểm t = 0 mà hàm có thể là hàm chẳn hoặc lẻ. Trong ví dụ này ta chọn điểm t = 0 để có hàm chẳn. Các hệ số Fourier rút gọn có được trong ví dụ này là: av = 0 (do cũng đối xứng bán sóng) ak = 0 với k chẳn (do cũng đối xứng bán sóng) 8 T /4 ak   f ( t ) cos k  0 tdt for k odd 0 T bk = 0 (vì là hàm chẳn trong ví dụ này) CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Ví dụ tìm chuổi Fourier của hàm lẻ và đối xứng i(t) Im T/2 0 T -Im  Việc chọn điểm t = 0 theo hình trên , ta có đây là hàm lẻ lại là hàm đối xứng bán sóng và ¼ sóng nên : av = 0 ; ak = 0 (do hàm lẻ). Vì đối xứng bán sóng nên bk = 0 với k chẳn. Vì đối xứng ¼ sóng nên biểu thức bk với k lẻ là: 8 T /4 bk   i ( t ) sin k  0 tdt for k odd 0 T CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Trong khoảng: 0 ≤ t ≤ T/4; Biểu thức dòng i(t) là: i(t) = (4Im/T)t. Nên: 8 T /4 4Im bk   t sin k  0 tdt for k odd 0 T T 32 I m  sin k  0 t t cos k  0 t    T /4  2  2 k 0 0   k 0 2 T  8Im k  sin  k 2 2 2  8Im 1 n i(t )   sin sin n  0 t  2 2 n  1 , 3 , 5 ... n 2 8Im  1 1 1    sin  0 t  sin 3  0 t  sin  0 t  sin 7  0 t  ...    2 9 25 49 CuuDuongThanCong.com  https://fb.com/tailieudientucntt
Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước vg(t) Vm T/3 0 T/6 T/2 T -Vm  Trả lời:  12 V m sin( n  / 3 ) v g (t )   sin n  0 t  2 2 n  1 , 3 , 5 ... n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
8.3.Dạng sóng hài Trong phân tích mạch ứng dụng chuổi Fourier , chúng ta gom các thành sine và cosine lại thành 1 thành phần duy nhất là cosine. Việc làm như thế cho phép ta biểu diển mỗi sóng hài của v(t) hoặc i(t) bởi 1 ảnh phức duy nhất trong việc tìm đáp ứng xác lập. Như vây chuổi Fourier dạng lương giác trở nên như sau (dạng sóng hài):  f (t )  a v   A n cos( n  0 t   n ) (9 .6 ) n 1 Với An và θn được xác định như sau: a n  bn     An   n 2 2 a n  jb n  n CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
Ví dụ về dạng sóng hài của chuổi Fourier v(t) Vm T/2 3T/4 0 T/4 T  A) Tính ak ; bk của hàm tuần hoàn cho như hình?  B) Viết 4 thành phần đàu tiên của chuồi Fourier của v(t) dưới dạng chỉ có thành phần cosine?  Giải:  A)Hàm này không phải hàm chẳn cũng không phải hàm lẻ; nó cũng không đối xứng bán sóng và ¼ sóng. Ta tính các hệ số ak và bk CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
T /4 2 T /4 2 V m sin k  0 t ak   V m cos k  0 t dt  T 0 T k 0 0 Vm k  sin k 2 T /4 2 T /4 2 V m (  cos k  0 t ) bk   V m sin k  0 t dt  T 0 T k 0 0 Vm k  (1  cos ) k 2 B)Ta tính trị trung bình: av = Vm (T/4)/T = Vm /4 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt
*a1 -jb1 = Vm /л - jVm /л = √2Vm /л /-450 ; *a2 -jb2 = 0- jVm /л = Vm /л /-900 ; *a3 -jb3 = -Vm /3л - jVm /3л = √2Vm /3л /-1350 ; Vậy 4 số hạng đầu của chuổi Fourier của v(t): Vm 2V m Vm cos(  o t  45 )  cos( 2  0 t  90 ) 0 0 v (t )   4   2V m cos( 3  0 t  135 0  )  ... 3 CuuDuongThanCong.com https://fb.com/tailieudientucntt