Chương8: Biến đổi Fourier

 8.1. Phân tích chuổi Fourier  8.2. Các hệ số khai triển Fourier  8.3. Biến đổi dạng lượng lượng giác 3 thành phần  8.4.Áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch  8.5.Trị hiệu dụng hàm tuần hoàn  8.6.Công suất trung bình P  8.7.Chuổi Fourier dạng hàm mũ  8.8.Phổ biên độ và phổ pha rời rạc

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

8.1.Phân tích chuổi Fourier f(t): Hàm tuần hoàn có chu kỳ T có thể được biểu diễn bởi chuỗi Fourier dạng lượng giác 3 thành phần (dạng chuẩn):

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

*Với n là các số nguyên 1,2,3, … *av , an , bn gọi là các hệ số khai triển Fourier. *ω0 = 2л/T: gọi là tần số cơ bản ; các tần số là bội của ω gọi là sóng hài như 2ω là sóng hài bậc 2; 3ω là sóng hài bậc 3..v.v.. *Ta có thể phân tích nguồn kích thích tuần hoàn thành chuổi Fourier gồm thành phần một chiều av + tổng các thành phần điều hòa (an và bn ) và dùng nguyên lý xếp chồng để tìm đáp ứng xác lập. Ta xác định các hệ số khai triển Fourier như sau:

8.2. Các hệ số khai triển Fourier

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ta lưu ý các trị giá của các tích phân sau:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước

v(t)

Vm

 Để tính các av; ak; bk ta phải chọn to .Trong trường hợp này ta

0 T 2T T

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

nên chọn t0 = 0. Biểu thức v(t) trong khoảng 0 và T:v(t) = (Vm /T)t

Chuổi Fourier của v(t) là:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước

Vm

Vm /3

T/3

2T/3

T

 Tính các hệ số khai triển Fourier av; ak; bk của hàm điện áp khi

 Trả lời: av= 21,99 V; ak = (6/k)sin4kл/3 V;  bk = (6/k)(1- cos4kл/3) V

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Vm = 9 л V

Các hàm đối xứng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

*Hàm chẳn: Nếu f(t) = f(-t ). Các hệ số Fourier rút gọn:

Các hàm đối xứng

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

*Hàm lẻ: Nếu f(t) = -f(-t ). Các hệ số Fourier rút gọn:

Các hàm đối xứng

A

A

A

0

0

T

0

T

T

H.a

H.b

H.c

 Tùy thuộc vào điểm t = 0 nằm ở vị trí nào mà hàm tuần hoàn có

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

thể không đối xứng như hình a; hoặc đối xứng chẳn (hàm chẳn) như hình b hay đối xứng lẻ (hàm lẻ) như hình c

Các hàm đối xứng

*Hàm đối xứng bán sóng: Nếu f(t) = -f(t - T/2 ). Khi dịch hàm nữa chu kỳ và đổi dấu hàm sẽ giống như hàm gốc. Các hệ số Fourier rút gọn: av = 0 ak = 0 với k chẳn

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

bk = 0 với k chẳn

Các hàm đối xứng

T/2

T/2

T

T

T/4

T/4

H.b

H.a

 *Hàm đối xứng ¼ sóng : Là hàm đối xứng bán sóng cộng thêm

 Hình a cho ta hàm đối xứng ¼ sóng  Hình b không phải hàm đối xứng ¼ sóng mặc dù nó là hàm đối

mỗi bán kỳ âm và dương đối xứng qua điểm giữa của nó.

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

xứng bán sóng

Hàm đối xứng ¼ sóng

*Hàm đối xứng 1/4 sóng: Trong trường hợp này phụ thuộc vào việc ta chọn điểm t = 0 mà hàm có thể là hàm chẳn hoặc lẻ. Trong ví dụ này ta chọn điểm t = 0 để có hàm chẳn. Các hệ số Fourier rút gọn có được trong ví dụ này là: av = 0 (do cũng đối xứng bán sóng) ak = 0 với k chẳn (do cũng đối xứng bán sóng)

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

bk = 0 (vì là hàm chẳn trong ví dụ này)

Ví dụ tìm chuổi Fourier của hàm lẻ và đối xứng

i(t)

T/2

0

T

Im

 Việc chọn điểm t = 0 theo hình trên , ta có đây là hàm lẻ lại là hàm đối xứng bán sóng và ¼ sóng nên : av = 0 ; ak = 0 (do hàm lẻ). Vì đối xứng bán sóng nên bk = 0 với k chẳn. Vì đối xứng ¼ sóng nên biểu thức bk với k lẻ là:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

-Im

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Trong khoảng: 0 ≤ t ≤ T/4; Biểu thức dòng i(t) là: i(t) = (4Im/T)t. Nên:

Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước

vg(t)

T/3

T/2

T

0 T/6

Vm

 Trả lời:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

-Vm

8.3.Dạng sóng hài

Trong phân tích mạch ứng dụng chuổi Fourier , chúng ta gom các thành sine và cosine lại thành 1 thành phần duy nhất là cosine. Việc làm như thế cho phép ta biểu diển mỗi sóng hài của v(t) hoặc i(t) bởi 1 ảnh phức duy nhất trong việc tìm đáp ứng xác lập. Như vây chuổi Fourier dạng lương giác trở nên như sau (dạng sóng hài):

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Với An và θn được xác định như sau:

Ví dụ về dạng sóng hài của chuổi Fourier

v(t)

T/2

3T/4

T/4

0

T

 A) Tính ak ; bk của hàm tuần hoàn cho như hình?  B) Viết 4 thành phần đàu tiên của chuồi Fourier của v(t) dưới

Vm

 Giải:  A)Hàm này không phải hàm chẳn cũng không phải hàm lẻ; nó cũng không đối xứng bán sóng và ¼ sóng. Ta tính các hệ số ak và bk

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

dạng chỉ có thành phần cosine?

B)Ta tính trị trung bình: av = Vm (T/4)/T = Vm /4

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

*a1 -jb1 = Vm /л - jVm /л = √2Vm /л /-450 ; *a2 -jb2 = 0- jVm /л = Vm /л /-900 ; *a3 -jb3 = -Vm /3л - jVm /3л = √2Vm /3л /-1350 ; Vậy 4 số hạng đầu của chuổi Fourier của v(t):

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ví dụ về biến đổi dạng lượng giác chuổi Fourier

v(t)

Vm

T/3

2T/3

5T/3

T

 A)Tính: A1 đến A5 và θ1 đến θ5 ? Biết Vm = 9л V  B) Viết chuổi Fourier của v(t) (dạng chỉ có thành phần cosine)

đến sóng hài bậc 5. Biết T = 125,66ms

 Trả lời: A) 10,4; 5,2; 0; 2,6; 2,1; V và -1200 ; -600 ; không xác

Vm /3

 B) v(t) = 21,99 + 10,4cos(50t – 1200 ) + 5,2cos(100t – 600 )  +2,6cos(200t – 1200 ) + 2,1cos(250t – 600 ) V

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

định; -1200 ; -600 ;

8.4.Áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch

R vg

Vm

vg C

-Vm

 *Ta đi tìm đáp ứng xác lập do nguồn kích thích tuần hoàn được phân tích Fourier. Hàm kích thích là hàm lẻ, đối xứng bán sóng và ¼ sóng, như vậy chỉ có thành phần bk với k là số lẻ

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

+ v0 - T 2T

Đáp ứng ngõ ra ứng với sóng hài bậc k trong miền ảnh phức: = /(1+jkω0RC) Đáp ứng ngõ ra tương ứng với thành phần tần số cơ bản:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Đáp ứng ngõ ra tương ứng với thành phần họa tần bậc 3:

Đáp ứng ngõ ra tương ứng với thành phần bậc k:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

*Đáp ứng ngõ ra tương ứng với hàm kích thích vg:

Ví dụ áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch

vg

Vm 10kΩ

20mH

+ vg + v0

-

-

-Vm

 *Sóng vuông được cung cấp cho mạch như hình. Hãy viết 4 thành phần đầu tiên của chuổi Fourier đáp ứng ngõ ra v0 xác lập? Biết Vm = 210л V; T = 0,2л ms

 Trả lời: 17,5cos(10000t+ 88,810 ) + 26,14cos(30000-95,360 )  + 168cos(50000t) + 17,32cos(70000t + 98,300 ) + …V

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

20nF T/2 T

Ví dụ áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch

100kΩ

-

0

T

-

vi Vm + v0 + vi T/2 100nF

 *Sóng tam giác được cung cấp cho mạch như hình. Hãy viết 3

-Vm

 Trả lời: 2238,83cos(10t - 5,710 ) +239,46cos(30t -16,700 ) +  80,50cos(50t – 26,570 )+… mV

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

thành phần đầu tiên khác không của chuổi Fourier đáp ứng ngõ ra v0 xác lập? Biết Vm = 281,25л2 mV; T = 200л ms

8.5.Trị hiệu dụng hàm tuần hoàn

Trị hiệu dụng của hàm tuần hoàn f(t) được định nghĩa:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ví dụ tính trị hiệu dụng hàm tuần hoàn

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

*Giả sử tín hiệu tuần hoàn gồm các thành phần: Vdc = 15V V1 = 27,01/√2 V: Trị hiệu dụng của tần số cơ bản V2 = 19,10/√2 V: Trị hiệu dụng sóng hài bậc 2 V3 = 9/√2 V: Trị hiệu dụng sóng hài bậc 3 V5 = 5,4/√2 V: Trị hiệu dụng sóng hài bậc 5 Vậy trị hiệu dụng của tín hiệu tuần hoàn là:

8.6.Công suất trung bình P của hàm tuần hoàn

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Gọi v và i là áp và dòng ở 2 đầu của 1 phần tử ; giả sử v và i là những hàm tuần hoàn. Công suất P của phần tử sẽ là:

Ví dụ về công suất P của các hàm tuần hoàn

v(t)

T/2

3T/4

T/4

0

T

 Giả sử tín hiệu áp như hình cung cấp 2 đầu 1 điện trở 15Ω.

Vm

 A) Viết 5 thành phần đầu khác không của chuổi Fourier của v(t)  B) Tính công suất trung bình ứng với mỗi thành phần?  C) Tính công suất P tổng cộng của điện trở  D) Công suất do 5 thành phần đầu tiên bằng bao nhiêu phần

Biết Vm = 60V và T = 5ms.

 Giải:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

trăm công suất tổng cộng?

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

*Theo kết quả của ví dụ trước ta có: A) Thành phần DC của v(t): av = 60(T/4)/T = 15 V A1 = √2(60)/л = 27,01 V ; θ1 = -450 ; A2 = 60/л = 19,10 V; θ2 = -900 ; A3 = (20)√2/л = 9 V; θ3 = -1350 ; A4 = 0 V; θ4 = 00 ; A5 = 5,40 V; θ2 = -450 ; ω0 = 2л/T = 2л(1000)/5 = 400л rad/s B) Pdc = 152 /15 = 15 W P1 = 27,012 / (2x15) = 24,32 W P2 = 19,102 / (2x15) = 12,16 W P3 = 92 / (2x15) = 2,7 W P5 = 5,42 / (2x15) = 0,97 W

C) Ta đi tính trị hiệu dụng của tín hiệu:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Công suất PT của điện trở: PT = 302 /15 = 60 W D) Công suất của 5 thành phần đầu khác không là: P = Pdc +P1 + P2 + P3 + P4 = 55,15 W → (55,15/60) x 100 = 91,92%

Công suất phản kháng, công suất biểu kiến, công suất méo dạng của các hàm tuần hoàn

•*Công suất méo dạng T: S2 = P2 + Q2 +T2 •Ta chứng minh được rằng muốn cho công suất méo dạng bằng không thì trổ kháng của mạch không phụ thuộc vào ω nghĩa là trở kháng tương đương của mạch thuần trở

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

*Công suất biểu kiến: Là tích của trị hiệu dụng của điện áp và dòng điện S = Vrms Irsm •Công suất phản kháng của hài thứ k: Qk = Vrmsk Irmsk sin φk •*Công suất phản kháng toàn bộ:

Hàm lượng sóng hài, hệ số sóng hài,hệ số công suất, hệ số méo dạng

*Hàm lượng sóng hài: Là tỉ số giữa biên độ của thành phần thứ k>1 và thành phần tần số cơ bản: hk = Ak /A1 (k > 1) •Hệ số sóng hài:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

*Hệ số công suất cosφ = P/S *Trên thực tế thường là nguồn kích thích là điều hòa còn dòng trong mạch bị méo dạng nên : Cosφ = V1rms I1rms cos φ1/Vrms Irms ; Mà V1 = V → cos φ = k0 cosφ1 ; k0 = I1rms /Irms < 1 : gọi là hệ số méo dạng

8.7.Chuổi Fourier dạng hàm mũ

Chuổi Fourier dạng hàm mũ:

*Trị hiệu dụng:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Ta có sự quan hệ giữa dạng mũ và dạng lượng giác như sau:

Ví dụ về chuổi Fourier dạng hàm mũ

v(t)

∆/2

T

T+∆/2

- ∆/2

0

T-∆/2

 Tìm chuổi Fourier dạng hàm mũ của hàm v(t)?

 Giải:  Ta tính tích phân Cn bắt đầu tại điểm t = -∆/2 như sau:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

Vm

Ví dụ về chuổi Fourier dạng hàm mũ

Bởi vì v(t) là hàm chẳn nên các số hạng bn = 0 như vậy ta đoán Cn sẽ là số thực. Hơn nữa biên độ của Cn có dạng (sin x)/x khi ta viết lại như sau:

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

8.8.Phổ biên độ và phổ pha rời rạc

ICnI

1

θn

1800

0,8

0,2

-9

-7

-6

-5

-2

-1

1

2

5

6

7

9

-л

2л

л

0

-2л  *Biên độ của hệ số triển khai Fourier là hàm của n và gọi là phổ

 *Pha của hệ số triển khai Fourier cũng là hàm của n và gọi là

biên độ rời rạc của tín hiệu tuần hoàn.

 Hình trên cho ta phổ biên độ và phổ pha của hệ số Fourier trong thí dụ trên với Vm = 5V; ∆= T/5. Phổ biên độ có dạng sinx/x ; trong khi phổ pha thì bằng 0 tại n = -1;-2;-3;-4;1;2;3;4; không xác định tại -5 và +5 và =1800 tại -6;-7;-8;-9;6;7;8;9.v.v

CuuDuongThanCong.com

https://fb.com/tailieudientucntt

phổ pha rời rạc.