1
Trường ĐHQN
Khoa Toán
BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4
(Số tín chỉ: 3)
Dành cho sinh viên : Khoa Toán
Hệ : Tổng hợp
Khóa : 33
Năm học : 2011-2012
Giảng viên : Nguyễn Thị Phương Lan
2
Chương I: TÍCH PHÂN BỘI
$1 TÍCH PHÂN 2-LỚP
1.1 Định nghĩa tích phân 2-lớp:
1.1.1 Khái niệm về miền đo được:
Miền đa giác là miền đo được (có diện tích). Giả sử D là một miền phẳng bị
chặn, được giới hạn bởi một hay một số hữu hạn đường cong Jordan đóng.
Gọi Q là một miền đa giác chứa trong D, S(Q) là diện tích của nó.
Gọi Q’ là một miền đa giác chứa D, S(Q’) là diện tích của nó.
Giả thiết thêm biên của D và biên của Q, Q’ không có điểm chung.
Tập hợp các miền đa giác Q, Q’ là khác rỗng và vô hạn. Do đó tập hợp các giá
trị S(Q), S(Q’) là khác rỗng và vô hạn.
{S(Q)} bị chặn trên bởi diện tích của một đa giác Q’ nào đó
(
)
{
}
PsupSQ
+
⇒∃= .
{S(Q’)} bị chặn dưới bởi diện tích của một đa giác Q nào đó
(
)
{
}
PinfSQ'
−
⇒∃= .
P,P
lần lượt gọi là diện tích trên, dưới của D.
Ta có
(
)
(
)
Q,Q':SQPPSQ'
+−
∀≤≤≤
.
1. Định nghĩa. Nếu
(
)
PPSD
+−
==
thì D được gọi là miền đo được (có diện tích) và
số S(D) được gọi là độ đo (diện tích) của D.
Từ định nghĩa về miền đo được ta có các kết quả sau:
a) D đo được
0
ε
⇔∀>
bé tùy ý, tồn tại các miền đa giác
QD,Q'D
⊂⊃
sao cho
(
)
(
)
SQ'SQ
ε
−<
.
b) D đo được
⇔
tồn tại hai dãy các miền đa giác
{
}
{
}
nn
Q,Q'
; nn
QD,Q'D,n
⊂⊃∀
sao cho
(
)
(
)
(
)
(
)
nn
nn
limSQ'limSQSD
→∞→∞
==
.
c) D đo được
⇔
tồn tại hai dãy các miền đo được
{
}
{
}
nn
D,D'
; n
DD
⊂
, n
D'D
⊃
,
n
∀
sao cho
(
)
(
)
(
)
(
)
nn
nn
limSD'limSDSD
→∞→∞
==
.
2. Tính chất của miền đo được.
Giả sử
121212
DD,DD, D = DD;D,D
⊂⊂∪
không có điểm trong chung. Nếu
12
D,D
đo được thì D đo được và
(
)
(
)
(
)
12
SD= SDSD
+
.
3. Ví dụ về miền đo được.
Định nghĩa. Đường cong (C) được gọi là đường cong có diện tích - không (đường
cong đo được) nếu
0
ε
∀>
bé tùy ý , tồn tại miền đa giác Q chứa (C) sao cho
(
)
SQ
ε
<
.
3
Đối với miền phẳng D ta có các kết quả sau:
D đo được
⇔
biên
D
∂
của nó có diện tích – không.
Định lý. Nếu đường cong (C) có một trong các dạng dưới đây thì (C) là đường cong
có diện tích - không.
a) y = f(x),
[
]
xa;b
∈
, trong đó f(x) có đạo hàm liên tục trên [a ; b].
b) x = g(y),
[
]
yc;d
∈
, trong đó g(y) có đạo hàm liên tục trên [c ; d].
c) x = x(t), y = y(t),
[
]
ta;b
∈
, trong đó x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên
[a ; b] và thỏa mãn điều kiện
(
)
(
)
[
]
22
x'ty't0,ta;b
+≠∀∈ .
Hệ quả. Nếu biên của D gồm một số hữu hạn các đường có dạng a), b), c) thì D là
miền đo được.
4. Tương tự, có thể xây dựng được khái niệm độ đo (thể tích) của miền
3
T
⊂
R
dựa
vào thể tích khối đa diện.
Nếu T được giới hạn bởi một số hữu hạn các mặt z = z(x,y),
(
)
x,yD
∈
trong
đó z(x,y) là hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong
D
thì miền T đo
được.
1.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp:
1.2.1 Giả sử D là miền phẳng, đo được, bị chặn. Ta gọi đường kính của miền D
là supremum của các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc D.
(
)
(
)
M,M'D
dDsupdistM,M'
∈
=
Định nghĩa. Tập hợp các miền phẳng đo được
12n
D,D,...,D
được gọi là một phép
phân hoạch
π
của miền D, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
a)
n
ii
i1
DD,DD,i1,n
=
=⊂∀=
U.
b) Với
ij
ij,Dvà D
∀≠
không có điểm trong chung.
Ta thấy
π
chia D thành n miền con đôi một không có điểm trong chung.
1.2.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp:
Cho hàm số f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn và đo được D. Thực hiện
một phép phân hoạch
π
chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có
điểm trong chung
12n
D,D,...,D
. Gọi
i
D
∆
là diện tích của mỗi miền con
(
)
i
Di1,n
=,
(
)
i
dD
là đường kính của
i
D
,
(
)
(
)
i
1in
dmaxdD
π
≤≤
=
là đường kính phân hoạch. Trong
mỗi miền con
i
D
chọn một cách tùy ý điểm
(
)
iii
N,
ξη
. Lập tổng tích phân:
() ()
nn
iiiii
i1i1
fNDf,D
π
σξη
==
=∆=∆
∑∑.
Ta thấy
π
σ
phụ thuộc vào
π
và các điểm chọn
(
)
iii
N,
ξη
.
Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn
()
d0
Ilim
π
π
σ
→
=
4
mà giới hạn đó không phụ thuộc vào
π
và các điểm chọn
(
)
iii
N,
ξη
thì I được gọi là
tích phân 2-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x,y) lấy trong miền D và ký hiệu là
(
)
D
fx,ydxdy
∫∫ .
Khi đó hàm số f(x,y) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền D.
Chú ý. Tương tự như hàm một biến, tính bị chặn của hàm số f(x,y) là điều kiện cần
để nó khả tích.
1.2.3 Tổng Darboux. Cho hàm số bị chặn f(x,y) trong miền D. Đối với mỗi phân
hoạch
π
chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung
12n
D,D,...,D
. Đặt
( ) ( )
nn
iiii
i1i1
smD;SMD
ππ
==
=∆=∆
∑∑
và
( ) ( ) ( )
n
ii
i1
SsD
=
=−=∆
∑
ωπππω
trong đó
()
(
)
( )
(
)
ii
ii
x,yD x,yD
minffx,y;Msupfx,y,i1,n
∈∈
===
iii
Mm,i1,n
ω=−= và gọi là dao độ (dao động) của hàm số f(x,y) trong
miền
i
D
.
Các tổng
(
)
(
)
s,S
ππ
lần lượt được gọi là tổng dưới và tổng trên Darboux của
f(x,y) ứng với phân hoạch
π
.
Tập hợp các tổng dưới
(
)
{
}
s
π
và tổng trên
(
)
{
}
S
π
Darboux là các tập khác
rỗng và bị chặn trên và dưới.
Định nghĩa. Đại lượng
(
)
{
}
*
Isups
π
=được gọi là tích phân dưới Darboux.
Đại lượng
(
)
{
}
*
IinfS
π
=được gọi là tích phân trên Darboux.
Định lý. Nếu *
*
III
==
thì f(x,y) khả tích trong miền D.
1.2.4 Tiêu chuẩn khả tích.
Định lý 1. Giả sử
2
D
⊂
R
là miền đóng, bị chặn và đo được. Hàm số bị f(x,y) bị
chặn trong D là khả tích nếu và chỉ nếu
()
()
()
n
ii
d0d0
i1
limlimD0
→→
=
=∆=
∑
ππ
ωπω
.
Chứng minh.
(
)
⇒
Vì f(x,y) khả tích nên *
*
III
==
⇔
0
ε
∀>
bé tùy ý đều
0:
δπ
∃>∀
mà
(
)
d
πδ
<
thì
( )
SI
2
ε
π
<+
và
( )
sI
2
ε
π
>−
(tính chất của infimum và supremum)
Vậy
(
)
(
)
(
)
()
(
)
d0
Sslim0
π
ωπππεωπ
→
=−<⇒=
.
5
(
)
⇐
Giả sử có
( )
(
)
d0
lim0
π
ωπ
→
=
. Khi đó từ các bất đẳng thức
(
)
(
)
*
*
sIIS,
πππ
≤≤≤∀
mà
(
)
d
πδ
<
(
)
(
)
*
*
IISs
ππε
⇒−≤−<
với mọi
(
)
d
πδ
<
.
Vậy *
*
III
==
và f(x,y) khả tích trong D.
W
1.2.5 Các lớp hàm khả tích.
Định lý 2. Giả sử
2
D
⊂
R
là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D
khi đó f(x,y) khả tích trong D.
Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn khả tích.
Vì f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được D nên f(x,y) bị chặn và
liên tục đều trong D
(
)
0,0
εδδε
⇔∀>∃=>
sao cho trong miền con bất kỳ của D
có đường kính bé hơn
δ
thì dao độ
( )
i
SD
ε
ω<, trong đó S(D) là diện tích của D.
Khi đó với mỗi phân hoạch
π
mà
(
)
d
πδ
<
ta có
() ()
()
nn
iii
i1i1
DDSD
SDSD
εε
ωε
==
∆<∆==
∑∑
⇒
( )
(
)
d0
lim
π
ωπ
→
=
( )
n
ii
d0
i1
limD0
πω
→=
∆=
∑.
Vậy f(x,y) khả tích trong D.
W
Định lý 3. Giả sử
2
D
⊂
R
là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D,
chỉ gián đoạn trên một số hữu hạn đường có diện tích – không khi đó f(x,y) khả tích
trong D.
Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn khả tích.
Lấy
0
ε
>
bé tùy ý. Do f(x,y) bị chặn trong D nên
K0:f(x,y)K,
∃>≤
(
)
x,yD
∀∈
.
Giả sử f(x,y) chỉ gián đoạn trên một đường (C) có diện tích – không. Phủ (C)
bởi hình đa giác Q có diện tích
( )
SQ
4K
ε
<.
Đặt
DD\intQD
=⇒là miền đóng, bị chặn và đo được, nên f(x,y) liên tục
đều trong
D
. Chọn
0
δ
>
đủ bé sao cho với mỗi miền con
i
DD
⊂
có đường kính
(
)
i
dD
δ
<
thì dao độ của f(x,y) trong miền đó là
( )
( )
i
,SD
2SD
<
ε
ωlà diện tích của
D
.
Xét phân hoạch
π
sao cho 1
DQ
≡
, các miền con
23n
D,D,...DD
⊂
có đường
kính
(
)
i
dD
δ
<
,
i2,n
=.
Khi đó
() ( )( )
( )
nn
11ii11i
i2i2
DDMmSQD
2SD
ε
ωπωω
==
=∆+∆<−+∆
∑∑