Bài giảng Phương pháp tính - Lê Thị Thu

Chia sẻ: Hoathachthao | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

43
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Phương pháp tính cung cấp cho người học những kiến thức như: Số gần đúng và sai số; tính giá trị đa thức; phép nội suy và áp dụng; giải gần đúng phương trình phi tuyến; giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính; giải gần đúng phương trình vi phân thường.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Phương pháp tính - Lê Thị Thu

NỘI DUNG MÔN HỌC PHƢƠNG PHÁP TÍNH Chương 0: Nhập môn Chương 1: Số gần đúng và sai số Chương 2: Tính giá trị đa thức Chương 3: Phép nội suy và áp dụng GV: LÊ THỊ THU Chương 4: Giải gần đúng phương trình phi tuyến KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN Chương 5: Giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT Chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân thường 1 2 Chƣơng 0: Nhập môn p Phƣơng pháp tính là gì? PPT là một nhánh của ngành Toán học ứng dụng, nghiên cứu CHƯƠNG 0 các phƣơng pháp và giải thuật để giải một cách gần đúng các phƣơng trình, các bài toán xấp xỉ và các bài toán tối ƣu. NHẬP MÔN p Đặc trƣng của phƣơng pháp tính Ø Chính xác Ø Thiết thực Ø Tốc độ (số vòng lặp) 3 4
Chƣơng 0: Nhập môn Chƣơng 0: Nhập môn p Các lĩnh vực nghiên cứu của môn học p Định hƣớng chung của PPT ü Tính giá trị các hàm: Bài toán gốc Bài toán gần đúng ü Phép nội suy, ngoại suy. Vô hạn à Hữu hạn ü Tính gần đúng đạo hàm, tích phân xác định. ü Giải gần đúng phƣơng trình phi tuyến Vi phân à Đại số ü Giải gần đúng hệ phƣơng trình đại số tuyến tính. Phi tuyến à Tuyến tính ü Giải gần đúng phƣơng trình vi phân thƣờng, phƣơng trình vi Phức tạp à Đơn giản phân đạo hàm riêng. 5 6 Bài 1.1: Sai số tuyệt đối và sai số tƣơng đối p Ta nói a là số gần đúng của a*, nếu a không sai khác a* nhiều. p Giả sử một đại lƣợng có giá trị chính xác là a*, giá trị gần đúng CHƯƠNG 1 là a. Khi đó: P Đại lƣợng r:= |a – a*| đƣợc gọi là sai số thật sự của a. SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Do không biết a* => không biết r. P Đại lƣợng ra thõa mãn: đƣợc gọi là sai số tuyệt đối của a => ra càng nhỏ càng tốt P Sai số tƣơng đối: Da a= a 7 8
Bài 1.1: Sai số tuyệt đối và sai số tƣơng đối Bài 1.2: Sai số thu gọn p Ví dụ 1: Giả sử a* = e (» 2,718281828...); a = 2, 71 p Một số thập phân a có dạng tổng quát: Do 2,71 < a* < 2,72 = 2,71 + 0,01 = a + 0,01 Þ lấy Mặt khác, 2, 71 < a* < 2, 719 = 2, 71 + 0, 009 = a + 0, 009 Þ lấy • Nếu là số nguyên. p Nhận xét: Sai số tƣơng đối rất quan trọng vì nó phản ánh độ • Nếu có phần lẻ gồm m chữ số. chính xác của phép đo, và phép đo này chính xác hơn phép đo • Nếu s = +¥ Þ a là số thập phân vô hạn. kia hay không. Ví dụ: F Ví dụ 2: Đo độ dài 2 vật A=1m, B=10m với cùng sai số tuyệt a = 12,345 Þ a = 1.101 + 2.100 + 3.10-1 + 4.10-2 + 5.10-3 0,1 0,1 đối là 0,1m; sai số tƣơng đối lần lƣợt là a = = 10%, b = = 1% 1 10 p Thu gọn một số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải a để đƣợc => phép đo vật B chính xác hơn phép đo vật A 10 lần, mặc dù sai một số mới ngắn gọn hơn và gần đúng với a nhất. số tuyệt đối bằng nhau. 9 10 Bài 1.2: Sai số thu gọn Bài 1.2: Sai số thu gọn p Quy tắc thu gọn: p Ví dụ: ü Giả sửa = .10 p + .10 p -1 + + .10 j + + .10 p- s 1) a = 1, 23567 » 1, 2357 » 1, 236 » 1, 24 » 1, 2 » 1 p p -1 j p- s 2) b = 1, 2354 » 1, 235 » 1, 24 » 1, 2 » 1 Ta giữ lại đến số hạng thứ j. Gọi phần bỏ đi là . Đặt 3) c = 1, 2452 » 1, 245 » 1, 24 » 1, 2 » 1 a= p .10 p + p -1 .10 p -1 + + j .10 j p Mọi số Ga thỏa mãn a - a £ Ga đƣợc gọi là sai số thu gọn của a. Trong đó ìï j , 0£ < 0,5.10 j j =í Nhận xét: Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên lƣợng bằng Ga ïî j + 1, 0,5.10 j < < 10 j => Chứng minh???? ü Trong trƣờng hợp = 0,5.10 j : ü Nếu chẵn Þ j = j ü Nếu lẻ Þ j = j +1 11 12
Bài 1.3: Chữ số chắc (chữ số đáng tin) Bài 1.3: Chữ số chắc 13 14 Bài 1.3: Chữ số chắc Bài 1.4: Sai số tính toán p Trong tính toán ta thƣờng gặp 4 loại sai số sau: P Sai số giả thiết: Do lí tƣởng hóa, mô hình hóa bài toán thực tế. Sai số này không trừ đƣợc. P Sai số phương pháp: Do các phƣơng pháp giải gần đúng nên trong tính toán luôn có các sai số do phƣơng pháp đem lại. Mỗi phƣơng pháp có các sai số đặc trƣng của nó. P Sai số do số liệu: xuất hiện do đo đạc và việc cung cấp giá trị đầu vào không chính xác. P Sai số tính toán: xuất hiện do làm tròn các thông số trong quá trình tính toán. 15 16
Bài 1.4: Sai số tính toán Bài 1.4: Sai số tính toán p Bài toán thuận về sai số: là bài toán tìm sai số của kết quả khi biết sai số của các số liệu ban đầu. p Giả sử cần tìm hàm y = f ( x1 , x2 ,..., xn ). Gọi xi* , yi* và xi , yi , i = 1, n là các giá trị đúng và gần đúng của đối số và số. Giả sử hàm f khả vi liên tục. Khi đó n y - y * = f ( x1 ,..., xn ) - f ( x1* ,..., xn* ) = å f i ' xi - xi* i =1 n ¶f Ø Sai số tuyệt đối: Dy = å Dxi i =1 ¶xi Dy n ¶ Ø Sai số tƣơng đối: y= =å ln f Dxi y i =1 ¶xi 17 18 Bài 1.4: Sai số tính toán Bài 1.4: Sai số tính toán 19 20
BÀI TẬP CHƢƠNG I CHƯƠNG 2 TÍNH GIÁ TRỊ ĐA THỨC 21 22 Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng p Sơ đồ Horner tính giá trị đa thức p Phương pháp: Phân tích P(x) dƣới dạng Bài toán: Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát P( x) = a0 x n + a1x n-1 + + an-1x + an (a0 ¹ 0) Tính giá trị đa thức tại x = c, tức là cần tính P(c), với c là giá trị cho trƣớc. 23 24
Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng p Ví dụ 1: Cho P( x) = x 6 - 5 x 4 + 2 x3 - x - 1. Áp dụng sơ đồ Horner Horner, tính P(-2) Input ai, c, n Giải: Lập sơ đồ Horner: P=0 i = 0,1,2,...,n P = P*c + ai Print P p Ví dụ 2: Cho . Tính P(-2) Đ/s: P(-2) = -23 25 End 26 Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng p Sơ đồ Horner tổng quát ü Xác định bn: Bài toán: Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát ü Xác định bn-1 P( x) = a0 x n + a1x n-1 + + an-1x + an (a0 ¹ 0) Ta có (*) Xác định P(y+c), với y là biến mới, c là giá trị cho trƣớc. Trong đó, Pn-1(x) là đa thức bậc n-1. Phương pháp: Giả sử Mặt khác P( y + c) = y(b0 y n-1 + b1 y n- 2 + + bn-2 y + bn-1 ) + bn P( y + c) = b0 y n + b1 y n-1 + + bn-1 y + bn (b0 ¹ 0) Đặt x = y + c Þ P( x) = ( x - c)(b0 y n-1 + b1 y n-2 + + bn-2 y + bn-1 ) + bn (2*) => Ta cần xác định các hệ số bi , i = 0, n Từ (*) và (2*) ta suy ra P1 ( x) = P1 ( y + c) = b0 y n-1 + b1 y n-2 + + bn-2 y + bn-1 . Tƣơng tự, bn-i = Pi (c) 27 28
Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng p Sơ đồ Horner tổng quát p Đạo hàm đến cấp n tại điểm x=c: P( y + c) = b0 y n + b1 y n -1 + + bn -1 y + bn n Þ P( x) = b0 ( x - c) n + b1 ( x - c ) n -1 + + bn -1 ( x - c ) + bn = å bn -i ( x - c )i i =0 Theo công thức Taylor: n P ( i ) (c ) P( x) = å ( x - c )i i =0 i! P ( i ) (c) Þ = bn -i Û P (i ) (c) = i !bn-i i! 29 30 Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực Ví dụ 3: Cho P( x) = 2 x + 4 x - x + x + 2 . Xác định P( y - 1) 6 5 2 p p Tỷ sai phân: Giải: Ta có c = -1. Lập sơ đồ Horner tổng quát: Xét hàm y=f(x) trên [a, b] và cho trƣớc bảng giá trị xi , yi , i = 0, n Tỷ sai phân cấp 1 của hàm f: f ( xi ) - f ( xi -1 ) f xi , xi -1 = , i = 1, n D.hàm: xi - xi -1 P (-1) = -2; Tỷ sai phân cấp 2 của hàm f: P '( -1) = 1!*11 = 11; f xi +1 , xi - f xi , xi -1 P ''( -1) = 2!*( -11) = -22; f xi +1 , xi , xi -1 = , i = 1, n - 1 xi +1 - xi -1 P '''( -1) = 3!* 0 = 0; P (4) (-1) = 4!*10; Tỷ sai phân cấp n của hàm f: P (-1) = 5!*(-8); (5) f xn , xn-1 ,..., x1 - f xn-1 ,..., x1 , x0 f xn , xn -1 ,..., x1 , x0 = P (-1) = 6!* 2. (6) 31 xn - x0 32
Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực p Các tính chất của tỷ sai phân: Tính chất tuyến tính f + g xk ,..., x0 = f xk ,..., x0 + g xk ,..., x0 Tính chất đối xứng f xi , xi -1 = f xi -1 , xi f xi +1 , xi , xi -1 = f xi -1 , xi , xi +1 Tỷ sai phân của hằng số = 0. 33 34 Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực p Sai phân Giả sử hàm f : R ® R là hàm cho trƣớc và các điểm cách đều nhau khoảng h, tức xi +1 = xi + h . Khi đó: Sai phân cấp 1 của hàm f: Df ( xi ) = f ( xi +1 ) - f ( xi ) = f ( xi + h) - f ( xi ) Sai phân cấp 2 của hàm f: D 2 f ( xi ) = D Df ( xi ) = Df ( xi +1 ) - Df ( xi ) = Df ( xi + h) - Df ( xi ) Sai phân cấp n của hàm f: D n f ( xi ) = D éëD n-1 f ( xi ) ùû = D n-1 f ( xi +1 ) - D n-1 f ( xi ) Quy ước: 35 36
Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực p Các tính chất của sai phân: p Liên hệ giữa tỷ sai phân và sai phân trong trƣờng hợp các Tính chất tuyến tính điểm cách đều nhau khoảng h: D( f + g ) = Df + Dg f ( xi ) - f ( xi -1 ) Df ( xi -1 ) Df ( xi -1 ) f xi , xi -1 = = = xi - xi -1 h 1!h Nếu c = const ÞDc = 0 Giả sử Pn(x) là đa thức bậc n. Khi đó: f xi +1 , xi - f xi , xi -1 Df ( xi ) - Df ( xi -1 ) D 2 f ( xi -1 ) f xi +1 , xi , xi -1 = = = xi +1 - xi -1 2h 2 2!h 2 D n Pn ( x0 ) = D n Pn ( x1 ) = = const D m Pn ( x) = 0 "m > n D k f ( x0 ) f xk , xk -1 ,..., x1 , x0 = k !h k 37 38 Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực BÀI TẬP CHƢƠNG II p Ứng dụng sai phân tính giá trị đa thức p Bài 1: Cho P( x) = 2 x5 + 4 x3 - x 2 + 2 . Xác định: p Bài 2: Cho hàm y=f(x) với bảng giá trị: x -4 -1 0 2 y=f(x) 45 33 5 9 Lập bảng tỷ sai phân các cấp của f p Bài 3: Cho hàm y=f(x) với bảng giá trị: x 1 2 3 4 5 y=f(x) 12 8 5 10 25 39 Lập bảng sai phân các cấp của f 40
Phép nội suy p Bài toán: Xét hàm y = f ( x) trên [a, b] và giả sử đã biết n+1 mốc xi Î a, b , yi = f ( xi ), i = 0, n. Cần tính f(c) với c bất kỳ CHƯƠNG 3 thuộc [a,b]. PHÉP NỘI SUY VÀ ÁP DỤNG Ø Ta xây dựng đa thức Pn(x) có bậc không quá n sao cho: Pn ( xi ) = yi = f ( xi ), i = 0, n Ø Khi đó ta có thể coi Pn ( x) » f ( x) "x Î a, b , x ¹ xi . 41 42 Phép nội suy Ý nghĩa hình học Ø Bài toán xây dựng hàm Pn(x) đƣợc gọi là bài toán nội suy. Ø Hàm Pn(x) đƣợc gọi là hàm nội suy của f(x) trên [a, b]. · f(c) f(x) Rn(c) Ø Các điểm xi , i = 0, n đƣợc gọi là các mốc nội suy. Pn(c) · · · · p Định lý: Đa thức nội suy Pn(x) của hàm f(x) đƣợc xây dựng từ Pn(x) các mốc nội suy trên (nếu có) là duy nhất. x0 c x1 x2 xn Xấp xỉ đƣờng cong f(x) bởi đa thức Pn(x) (với Pn(xi)=f(xi)). Ƣớc lƣợng f(c) bởi Pn(c): f(c) » Pn(c) với sai số Rn(c) 43 44
Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange p Cho trƣớc n+1 điểm mốc: (x0,y0),(x1,y1),…, (xn,yn) Ví dụ 3.1: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho hàm y=sin(px) p Đa thức nội suy Lagrange là đa thức Pn (x) có bậc không quá n rồi tính gần đúng sin(p/5) với các mốc nội suy cho trong bảng: và nhận các giá trị y0, y1, y2, …,yn theo công thức x 0 1/6 1/2 y=sin(px) 0 1/2 1 n ( x - x0 )( x - x1 )...( x - xi -1 )( x - xi +1 )...( x - xn ) Pn ( x) = å yi i =0 ( xi - x0 )( xi - x1 )...( xi - xi -1 )( xi - xi +1 )...( xi - xn ) Giải: Đa thức nội suy Lagrange: p Với n=1 (có 2 mốc nội suy) 1 1 ( x - )( x - ) 1 ( x - 0)( x - ) 1 ( x - 0)( x - ) 6 2 1 2 6 = -3x 2 + 7 x x - x1 x - x0 P2 ( x) = 0 ´ + ´ + 1´ P1 ( x) = y0 + y1 1 (0 - )(0 - ) 1 2 1 1 1 ( - 0)( - ) 1 1 1 ( - 0)( - ) 2 x0 - x1 x1 - x0 6 2 6 6 2 2 2 6 p Với n=2 ( x - x1 )( x - x2 ) ( x - x0 )( x - x2 ) ( x - x0 )( x - x1 ) Thay x=1/5 vào P2(x) tìm được , ta có sin( /5) P2(1/5)=0,58 P2 ( x) = y0 + y1 + y2 ( x0 - x1 )( x0 - x2 ) ( x1 - x0 )( x1 - x2 ) ( x2 - x0 )( x2 - x451 ) 46 Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange § Ví dụ 3.2: Tìm đa thức nội suy Lagrange đối với hàm y=f(x) p Ví dụ 3.3: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange từ bảng số liệu sau: x 0 2 3 đƣợc cho nhƣ trong bảng y 1 3 2 Tính gần đúng f(0,2)? Đs: ĐS n 125 3 91 P3 ( x) = å yi lin = = x - 30 x 2 + x - 0,5 p Ví dụ 3.4: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange từ bảng số i =0 3 12 liệu sau: x 0 2 3 5 Ta có: f(0,2) » P3(0,2)=0,15 y 1 3 2 5 => Nhận xét??? 47 48
Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange Bài 3.2 Đa thức nội suy Newton Hạn chế của đa thức nội suy Lagrange: FNhược điểm của đa thức nội suy Lagrange: n Mỗi khi thêm mốc nội suy, ta phải tính lại toàn bộ đa thức Khi thêm vào một mốc nội suy, ta phải tính lại từ đầu!!! n Đa thức nội suy Newton khắc phục hạn chế này 49 50 3.2.1. Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ Cho các mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự tăng dần a = x0 < x1 < < xn = b Nhận xét: và tỷ sai phân các cấp của hàm f(x) q Đa thức nội suy Newton cũng chính là đa thức nội suy Lagrange chỉ khác về cách trình bày. Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 là: Pn ( x) = f ( x0 ) + ( x - x0 ) f [ x0 , x1 ] + ( x - x0 )( x - x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] p Nếu thêm một mốc (xn+1,yn+1), đa thức nội suy Pn+1(x) trên tập + ... + ( x - x0 )( x - x1 )...( x - xn-1 ) f [ x0 , x1 ,..., xn ] điểm mốc mới đƣợc tính theo Pn(x) nhƣ sau: Tƣơng tự, đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn là: Pn+1 ( x) = Pn ( x) + ( x - x0 )( x - x1 )...( x - xn ) f [ x0 , x1 ,..., xn+1 ] Pn ( x) = f ( xn ) + ( x - xn ) f [ xn , xn -1 ] + ( x - xn )( x - xn -1 ) f [ xn , xn -1 , xn -2 ] + ... + ( x - xn )( x - xn-1 )...( x - x1 ) f [ xn , xn -1 ,..., x0 ] 51 52
Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ § Ví dụ 3.5: Xây dựng đa thức nội suy theo phƣơng pháp newton Ví dụ 3.6: Xây dựng đa thức nội suy Newton từ bảng số liệu cho hàm y=sin(px) với các mốc nội suy cho trong bảng: sau: x 0 2 3 x 0 1/6 1/2 y 1 3 2 y=sin(px) 0 1/2 1 Đs: Giải: Lập bảng tỷ hiệu xi yi TSPC1 TSPC 2 0 0 1/ 6 1/ 2 f [ x0 , x1 ] 3 Ví dụ 3.7: Xây dựng đa thức nội suy Newton từ bảng số liệu 1/ 2 1 f [ x1 , x2 ] 3 / 2 f [ x0 , x1 , x2 ] 3 sau: x 0 2 3 5 P2 ( x) f ( x0 ) (x x0 ) f [ x0 , x1 ] ( x x0 )( x x1 ) f [ x0 , x1 , x2 ] y 1 3 2 5 7 0 3x (-3) x( x -1/ 6) - 3x2 x 2 53 54 3.2.2 Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều xi+1-xi = h (hằng số) Þ xi = x0 + ih Cho các mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự tăng dần, cách đều nhau khoảng h và sai phân các cấp của hàm f(x) x0 x1 x2 xi xi+1 Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0 với các mốc cách đều là: … h h Pn ( x) f ( x0 ) y0 (x x0 ) 2 y0 (x x0 )( x x1 ) ... n y0 (x x0 )( x x1 )...( x xn 1 ) 1!.h 2!.h 2 n !.h n 2h Tƣơng tự, đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xn với các mốc cách đều là: ih Pn ( x) f ( xn ) yn 1 ( x xn ) 2 yn 2 ( x xn )( x xn 1 ) 1!.h 2!.h 2 n y0 55 ... ( x xn )( x xn 1 )...( x x1 ) 56 n !.hn
Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều 3.2.3. Sai số của đa thức nội suy Ví dụ 3.8: Cho hàm y=f(x) xác định bởi bảng: p Giả sử Pn (x) là đa thức nội suy của hàm f(x) với các mốc nội suy Tính gần đúng f(4/3) bằng đa thức nội suy Newton (x0,y0),(x1,y1),…, (xn,yn). Giải: Nhận thấy các mốc nội suy cách đều nhau khoảng h=1 Khi đó, hiệu R( x) = f ( x) - Pn ( x) gọi là sai số của phép nội suy. Bảng sai phân x y ry r2y Để đánh giá sai số này, giả sử hàm f(x) khả vi đến cấp n+1 trên [a,b] 1 2 Gọi M = Max f ( n+1) x . Khi đó, công thức đánh giá sai số: 2 7 5 a £ x £b 3 14 7 2 M R( x) £ n +1 ( x) => Đa thức nội suy Newton: (n + 1)! P2 ( x) = 2 + 5 ( x - 1) + 2 ( x - 1)( x - 2) = x 2 + 2 x - 1 Þ f æ 4 ö » 31 Với n +1 ( x) = ( x - x0 )( x - x1 ) ( x - xn ) 1!.1 2!.12 ç3÷ 9 è ø 57 58 D S nS32 Sn n 3.2.4 Ứng dụng công thức nội suy Newton 3.2.3. Sai số của đa thức nội suy tính tổng Ví dụ 3.9: Cho hàm y=sin(px), dùng đa thức nội suy Lagrange Xét ví dụ: Tính tổng Sn = 12 + 22 + + n2 tính gần đúng sin(p/5), đánh giá sai số. Biết các mốc nội suy: Giải: Ta có DS n = S n -1 - S n = n + 1 2 2 2 x 0 1/6 1/2 D 2 S n = DS n +1 - DS n = n + 2 - n + 1 = 2n + 3 y=sin(px) 0 1/2 1 D 3 S n = D 2 S n +1 - D 2 S n = 2( n + 1) + 3 - (2n + 1) = 2 = const Giải: Đa thức nội suy Lagrange tìm đƣợc: P2 ( x) = -3x 2 + 7 x Lập bảng sai phân 2 1 1 1 7 1 sin( / 5) P2 (1/ 5) 3.( ) 2 . 0,58 5 2 5 2 5 4 Sai số: M 3 14 9 5 2 R3 ( x) (x x0 )( x x1 )( x x2 ) 3! Áp dụng công thức nội suy Newton tiến với t=n-1 max sin (3) ( x) 3 3 5 2 M max cos( x) Sn = 1 + 4(n - 1) + ( n - 1)(n - 2) + ( n - 1)(n - 2)(n - 3) = 3 3 2! 3! 1 1 1 1 1 1 1 R3 ( x) | x( x )( x )| R3 (1/ 5) ( )( ) 0, 010335 1 = n(n - 1)(2n + 1) 59 60 6 6 2 6 5 5 6 5 2 6
Bài 3.3 Chọn mốc nội suy tối ƣu Chọn mốc nội suy tối ƣu p Với công thức đánh giá sai số Đa thức Chebyshev: n M M R( x) = f ( x) - Pn ( x) £ Õ (n + 1)! i =0 ( x - xi ) = (n + 1)! ( x) Tn(x) = cos(n.arccosx) với |x| £1, nÎN* Tính chất: Cần chọn các xi Î[a;b] để max ( x) ® min Tn+1(x) = 2x.Tn(x)-Tn-1(x) xÎ[ a ;b ] Nhận xét: t= 1 [2 x - (a + b)] Tn(x) là đa thức bậc n, hệ số cao nhất là 2n-1 Với phép biến đổi b-a Nhận xét: Thì đoạn [a;b] chuyển thành [-1;1] 2i + 1 Tn(x) có đúng n nghiệm: xi = cos( ) , i = 0,1,2,..., n - 1 2n Nên các mốc nội suy trên [a;b] đều có thể chuyển về các mốc nội suy trên [-1;1] Mọi nghiệm của Tn(x) đều thuộc [-1;1] i max Tn ( x) |= 1 khi x=xi= cos( ), i = 0,1,2,..., n 61 xÎ[ -1;1] n 62 Chọn mốc nội suy tối ƣu Chọn mốc nội suy tối ƣu Trường hợp 1: Các các mốc nội trong [-1, 1], khi đó các mốc nội Trường hợp 2: Trƣờng hợp các mốc nội suy đƣợc chọn trong suy đƣợc chọn là nghiệm của Tn+1(x) : [a, b] bất kỳ. Đặt: (2i + 1) (2 x - a - b) xi = cos , i = 0,1,.., n t= Þ -1 £ t £ 1 2(n + 1) (b - a) Khi đó Chọn các mốc ti theo trƣờng hợp 1, suy ra các mốc xi 1æ 2i + 1 ö xi = ç (b - a )cos + (b - a) ÷ , i = 0, n 1 1 2è 2(n + 1) ø ( x) = n Tn +1 ( x) £ n 2 2 Khi đó, ƣớc lƣợng tốt nhất của phép nội suy: M M M M (b - a )n +1 R ( x) £ ( x) = n R ( x) = f ( x) - P ( x) £ ( x) £ (n + 1)! 2 (n + 1)! (n + 1)! (n + 1)! 22 n+1 63 64
Đặt vấn đề p Trong toán học, đã có phƣơng pháp tính đạo hàm và tính phân xác định Thực tế, thƣờng gặp các trƣờng hợp : TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM p n Hàm y=f(x) chỉ đƣợc cho ở dạng bảng, công thức tƣờng minh của y là chƣa biết. VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH n Hàm f(x) đã biết, nhƣng phức tạp n Hoặc viết chƣơng trình máy tính để tính tích phân xác định. Þ Chọn giải pháp: “Tính gần đúng” 65 Bài 3.5 Tính gần đúng đạo hàm 3.5 Tính gần đúng đạo hàm p Áp dụng công thức Taylor: Sai số: f '' ( ) M '' f ( ) R( x0 ) = h£ h Với |f’’(x)|
3.5. Tính gần đúng đạo hàm 3.5. Tính gần đúng đạo hàm p Áp dụng đa thức nội suy Ví dụ 2: Cho hàm y=f(x) dƣới dạng bảng n Xấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x), với n+1 mốc x 0 2 3 a=x0
3.6.1 Công thức hình thang 3.6.1 Công thức hình thang Trên đoạn [xi, xi+1], xấp xỉ f(x) bởi đa thức (bậc 1) P1(x) è Ii gần bằng diện tích hình thang xiABxi+1 xi+1 xi +1 xi+1 Ii = ò f ( x)dx » ò P1 ( x) = ò ( yi + ( x - xi ) f [ xi , xi +1 ])dx xi +1 1 xi xi xi f(x) Ii = ò f ( x)dx » h( yi + yi +1 ) B xi 2 Đặt x = xi+th Þ dx = hdt. Với x Î [xi, xi+1] Þ t Î [0,1] ri(h) 1 A yi+1 1 xi +1 1 1 Ii = ò f ( x)dx » ò h( yi + t.Dyi )dt = h.( yit + Dyit 2 ) = h( yi + yi +1 ) yi xi 0 2 0 2 xi xi+1 Sai số địa phƣơng h 3.6.1 Công thức hình thang 3.6.1 Công thức hình thang p Công thức hình thang tổng quát: Ví dụ: Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức hình thang b x1 x2 xn I = ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx + ... + ò f ( x)dx 1 a x0 x1 xn -1 5 1 dx n -1 a) I =ò dx b) I = ò 0 1+ x 2 h h 1 x = å ( yi + yi +1 ) = y0 + 2 y1 + 2 y2 + + 2 yn -1 + yn i =0 2 2 Với phân hoạch [1,5] thành n=4 phần bằng nhau. Đánh giá sai số b-a b Vậy ò f ( x) dx » a 2n y0 + 2 y1 + 2 y2 + + 2 yn -1 + yn (2) Giải: a) Bảng giá trị x 1 2 3 4 5 Mh M (b - a ) 2 3 y 1 1/2 1/3 1/4 1/5 o Sai số toàn phần: | r (h) |£ n = h (3) 12 12 M = Max|f’’(x)|,xÎ[a,b]
3.6.1 Công thức hình thang 3.6.2 Công thức Simpson(Parabol) Phân hoạch [a,b] thành n=2m đọan con bằng nhau: a=x0