http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình lượng giác
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
Bài giảng số 1: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
1
sin x m m
nếu
sin
m
, thì ta có )(
2
2Zk
kx
kx
Đặc biệt:
0
sin x
thì
x k
sin 1
x
thì
2
2
x k
cos 1
x m m
nếu
cos
m
, thì ta có )(
2
2Zk
kx
kx
Đặc biệt:
cos 0
x
thì
2
x k
cos 1
x
thì
2
x k
cos 1
x
thì
2
x k
tan x m m
nếu
tan
m
, thì ta có
x k k Z
cot x m m
nếu
cot
m
, thì ta có
x k k Z
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a)
3
sin 3
6 2
x
b) 1)
5
2cos(2
x
c)
tan 2 3 2
x
d)
3
cot 45
3
x
Giải:
a)
3
sin 3
6 2
x
sin 3 sin
6 3
x
http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình lượng giác
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
3 2
6 3
2
3 2
6 3
x k
x k
2
18 3
5 2
18 3
x k
x k
k
b) 1)
5
2cos(2
x
1
os 2 5
2
c x
os 2 os
5 4
c x c
2 2
5 4
2 2
5 4
x k
x k
9
40
40
x k
x k
k
c) Điều kiện:
os(2 3) 0
c x
3
2 3
2 4 2 2
x k x k k
Ta có:
tan 2 3 2
x
2 3 arctan 2
x k
arctan 2 3
2 2
x k
k
(thỏa mãn)
d) Điều kiện:
sin 45 0 45 .180x x k k
Ta có:
3
cot 45
3
x
cot 45 cot30
o o
x
45 30 180
o o o
x k
15 180
x k
k
(thỏa mãn)
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
sin3 os2 0
x c x
Giải
sin3 os2 0
x c x
os2 sin3
c x x
os2 os 3
2
c x c x
2 3 2
2
2 3 2
2
x x k
x x k
2
10 5
2
2
x k
x k
k
Ví dụ 3: Tìm nghiệm của phương trình sau
sin3 .cot 3.
x x
Giải
Điều kiện:
sin 0x x k k
Ta có:
http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình lượng giác
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
sin3 .cot 3
x x
sin3 .cos
3
sin
x x
x
3
(3sin 4sin )cos
3
sin
x x x
x
2
(3 4sin )cos 3
x x
2
[3 4(1 cos )]cos 3
x x
3
2
4cos cos 3 0
(cos 1)(4cos 4cos 3) 0
x x
x x x
2
cos 1
4cos 4cos 3 0 ( )
x
x x VN
2
x k
Đối chiếu với điều kiện suy ra phương trình vô nghiệm.
Ví dụ 4: Giải phương trình sau:
sin 2 3cos 2sin 3 0
x x x
(4)
Giải
Ta có:
(
sin 2 3cos 2sin 3 0
x x x
2sin cos 2sin 3cos 3 0
x x x x
2sin cos 1 3 cos 1 0
x x x
2sin 3 cos 1 0
x x
3
sinx
2
cos 1
x
2
3
22
32
x k
x k k
x k
Ví dụ 5: Tìm nghiệm của phương trình sau trong khoảng
(0; )
2
2 2
2
55 2
x
sin x cos
(5)
Giải
Phương trình (5) tương đương với:
4
1 cos(10 )
1 cos( 2 )
5
2 2
4
cos(10 ) cos
5
xx
x x
http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình lượng giác
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
9 2
10 2
5 5 9
( )
9 9 2
10 2
5 55 11
k
x x k x
k
k
x x k x
+) Với
45
2 11
0;
5 9 2 45
7
15
x
k
x x
x
+) Với
55
9 2 0;
55 11 2 5
21
55
x
k
x x
x
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình lượng giác cơ bản sau:
1.
3
2
2
sin x ĐS:
x k , x k
6 3
2. 0
2
2 25
2
cos( x ) ĐS:
0 0 0 0
x 55 k180 , x 80 k180
3.
4 2 3
cot( x )
ĐS:
1 5
x k k
2 24 4
4. 0
3
15
3
tan( x ) ĐS:
0 0
x 15 k180
Bài 2: Giải các phương trình sau:
1. 0
2
2 15
2
sin( x ) với
0 0
120 90
x ĐS:
000
x 105 , 75 , 30
http://www.baigiangtoanhoc.com Khóa học: Phương trình lượng giác
Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com
Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang
2.
1
2 1
2
cos( x )
với
x
ĐS:
1
2 6
1
2 6
1
2 6
x
x
x
3.
3 2 3
tan( x ) với
2 2
x
ĐS:
2 2 2 2 4
x ; x ; x
3 9 3 9 3 9
4.
1
2
2
sin x
với
0
x
ĐS:
12
7
x,
12
11
x
5.
3
5
2
cos x với
x
ĐS:
25
6
x
6.
0
2 15 1
tan x
với
0 0
180 90
x ĐS:
0 0 0
x 150 , 60 , 30
Bài 3: Giải các phương trình sau:
1.
sin(2x-1)=sin(x+3)
ĐS: 2
x 4 k2 ; x (2k 1)
3 3
2.
sin3x=cos2x
ĐS: 2
x k , x k2
10 5 2
3.
tan(3x+2)+cot2x=0
ĐS:
x 2 k
2
4.
4 5 0
sin x cos x
ĐS:
2
x k2 , x k
2 18 9
5.
2sinx+ 2sin2x=0
ĐS: 3
x k , x k2
4
6. 2 2
sin 2x+cos 3x=1
ĐS:
x k , x k
5
7.
tan5x.tanx=1
ĐS:
x k
12 6
8. 2 2
2π x
sin 5x+ =cos +
π
5 4
ĐS:
6 4 22 4
x k , x k
35 21 95 19
