Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME
O
q1
q3
q2
z0
x0
q4
q1
q3
q2q4
ROBOTICS
PGS. Nguyễn Quang Hoàng
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
TRƯỜNG CƠ KHÍ
NCM Cơ học ứng dụng - Khoa Cơ điện tử
Chương 1.
CƠ SỞ TOÁN HỌC
Mathematical preliminaries
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME
ROBOTICS
PGS. Nguyễn Quang Hoàng
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
TRƯỜNG CƠ KHÍ
NCM Cơ học ứng dụng - Khoa Cơ điện tử
1
2
O
q1
q3
q2
z0
x0
q4
Chương 1.
CƠ SỞ TOÁN HỌC
Mathematical preliminaries
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME
ROBOTICS
PGS. Nguyễn Quang Hoàng
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI
TRƯỜNG CƠ KHÍ
NCM Cơ học ứng dụng - Khoa Cơ điện tử
Chương 1.
CƠ SỞ TOÁN HỌC
Mathematical preliminaries
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 4
Nhắclạimộtsốkiếnthứctoánhọc
Khái niệm ma trận, các phép tính ma trận
Véc tơ hình học và véc tơ đại số
Các phép tính véc tơ trong không gian 3D
Đạo hàm theo biến véc tơ. Ma trận Jacobi
Tích dyad và Tenxơ hạng hai
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 5
Ma trận và các phép tính ma trận
Ma trận A cỡ mxn là một mảng chữ nhật có trật tự, gồm mxn phần tử sắp xếp
thành m hàng và n cột.
Là phần tử thuộc hàng (i) và cột (j)
Ma trận là vuông khi số hằng
bằng số cột, m = n.
Chuyển vị của ma trận Acỡ mxn là ma trận cỡ nxm, ký hiệu là AT, nhận được
bằng cách chuyển hàng thứ (i) thành cột thứ (i)
11 12 1
21 22 2
12
..
..
.. .. .. ..
..
n
n
mm mn
aa a
aa a
aa a
A
ij
a
11 21 1
12 22 2
12
..
..
.. .. .. ..
..
m
m
T
nn mn
aa a
aa a
aa a
A
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 6
Ma trận và các phép tính ma trận
11 12 1
22 2
..
0..
,
00 ..
000
n
n
nn
uu u
uu
u
U
Ma trận tam giác trên
Ma trận vuông U cỡ nxn là ma trận tam giác trên nếu
Ma trận tam giác dưới
Ma trận vuông Lcỡ nxn là ma trận tam giác dưới nếu
0,
ij
uij
0,
ij
lij
11
21 22
12
000
00
,
.. .. 0
..
nn nn
l
ll
ll l
L
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 7
Ma trận và các phép tính ma trận
Ma trận vuông A cỡ nxn là ma trận đường chéo nếu
11
22
000
000
,
00 0
000nn
a
a
a
A
Ma trận không là ma trận có tất cả các phần tử bằng 0,
0,
ij
aij
Ma trận đơn vị cỡ nxn là ma trận có các phần tử trên đường chéo bằng 1, còn
lại bằng 0
0, ,
ij
aij
1, 0,
ii ij
aa ij
10 .. 0
01 .. 0 d ia g ( [1, 1, . .., 1])
.. .. ..
00 .. 1
nn
I
AI IA A
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 8
Ma trận và các phép tính ma trận
Ma trận vuông Acỡ nxn là ma trận đối xứng nếu
,
T
ij ji
aaAA
Ma trận vuông A cỡ nxn là ma trận đối xứng lệch (skew-symmetric)
,,0
T
ij ji ii
T
aaa
AA
AA 0
Ví dụ ma trận đối xứng lệch cỡ 3x3
0
0,
0
zy
zx
yx
A
0
0,
0
T
zy
zx
yx
AA
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 9
Ma trận và các phép tính ma trận
Vết của ma trận vuông A cỡ nxn là tổng các phần tử trên đường chéo chính
1
trace( )
n
ii
i
a
Atrace( )
nn n
I
Vết của ma trận đối xứng lệch bằng 0.
Phép nhân ma trận với một số
Phép cộng hai ma trận cùng cỡ
,,
[] [ ]
ij ij
aa
AA
, , 1, 2,..., ; 1, 2,...,
ij ij ij
cab i mj n CAB
CABBA
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 10
Véc tơ [đại số]
Véc tơ đại số là trường hợp đặc biệt của ma trận.
Một véc tơ trong không gian n chiều (véc tơ n phần tử), là một ma trận cỡ nx1.
1
2
12
, [ , , ..., ]
..
T
n
n
a
a
aa a
a
aa
Trong toán học sử dụng hai loại véc tơ: Véc tơ hàng và véc tơ cột. Còn trong cơ
học sử dụng véc tơ cột.
Các phép tính cộng (trừ) hai véc tơ
, , 1, 2,...,
iii
cab i n cab
Nhân véc tơ với một số (scale)
, , 1, 2,...,
ii
ca i n
ca
1
2
12
[ , , ..., ], ..
T
n
n
a
a
aa a
a
aa
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 11
Véc tơ [đại số]
Độ dài của véc tơ (chuẩn Euclid)
1
n
T
ii
i
aaa
aa
Hai véc tơ avà btrực giao nhau nếu
1
0
n
T
ii
i
rab
ab
Tích vô hướng hai véc tơ [nội tích] là một số
1
n
T
ii
i
rab
ab
Các véc tơ độc lập tuyến tính:
12
, ,..., n
aa a là độc lập tuyến tính, nếu
1
0
n
ii
i
achỉ khi tất cả 0, 1,...,
iin
Các véc tơ
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 12
Ma trận và các phép tính ma trận
Phép nhân hai ma trận A(mxp) với B(pxn)
1
, , 1, 2,..., ; 1, 2,...,
()
p
ij ik kj
k
TTTT
cabi mj n
CAB
ABC C B A
AB BA
Hạng của ma trận = số lớn nhất các véc tơ hàng độc lập tuyến tính.
rank( ) max( , )
mn
rmn
A
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 13
Ma trận và các phép tính ma trận
Định thứccủamatrận vuông A : Có nhiều cách khác nhau để định
nghĩađịnh thứccủamatrận vuông. Ởđây đưaracáchđịnh nghĩahồi
quy nhưsau. Bắtđầutừđịnh thứccủamatrận vuông cấp2(định thức
cấp2).
11 12 11 12
11 22 21 12
21 22 21 22
,det()
aa aa aa aa
aa aa
AAA
Định thức của ma trận vuông cấp 3 (định thức cấp 3)
11 12 13
21 22 23
31 32 33
22 23 21 23 21 22
11 12 13
32 33 31 33 31 32
,
det( )
aaa
aaa
aaa
aa aa aa
aaa
aa aa aa
A
A
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 14
Ma trận và các phép tính ma trận
Định thức con và phần phụ đại số: Cho ma trận A cỡ nxn:
•định thức con Mik của phần tử aik là định cấp n-1 suy ra từ A bằng cách
bỏ đi cột i và hàng k.
•phần phụ đại số của phần tử aik, ký hiệu Aik, được định nghĩa bởi:
(1)
ik
ik ik
AM
Định thức của ma trận A vuông cấp n (định thức cấp n)
được tính theo công thức truy hồi theo các định thức cấp n-1 như sau:
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
12 12
.. ..
.. ..
,det()
.. .. .. .. .. ..
.. ..
n n
n n
n
nn nn nn nn
aa a aa a
aa a aa a
d
aa a aa a
AA
11
(1)
nn
ik
nikikikik
ii
daMaA
A
11
(1)
nn
ik
nikikikik
kk
daMaA
A
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 15
Ma trận và các phép tính ma trận
Định thức của ma trận A (theo cách định nghĩa khác): det( ) | |orAA
Định thức của ma trận vuông cấpnlà tổng đại số củan! (n giai thừa) số hạng,
mỗi số hạng là tích của n phần tử lấy trên các hàng và các cột khác nhau của
ma trậnA, mỗi tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế
tạo bởi các chỉ số hàng và chỉ số cột của các phần tử trong tích. GọiS
nlà
nhóm các hoán vị của n phần tử1,2,...,n ta có: (Công thức Leibniz)
,()
1
det( ) sgn( )
n
n
ii
Si
a
A
Áp dụng với các ma trận vuông cấp 1,2,3 ta có
11 12 13
21 22 23
31 32 33
aaa
aaa
aaa
A
det( ) A
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 16
Ma trận và các phép tính ma trận
Khi hoán vị hai hàng hoặc hai cột định thức của ma trận đổi dấu.
Nếu trong ma trận có hai hàng hoặc hai cột giống nhau, định thức của ma
trận bằng 0.
Ma trận có định thức bằng không được gọi là ma trận kỳ dị (singular
matrix)
Định thức của ma trận bằng định định thức của ma trận chuyển vị của nó:
det( ) det( )
T
AA
Đối với ma trận vuông bất kỳ, giá trị định thức không thay đổi khi cộng hai
hàng hoặc hai cột bất kỳ.
det( ) 1I
Định thức của ma trận đơn vị bằng 1
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 17
Ma trận và các phép tính ma trận
11
det( ) 1
det( ) det( )
det( ) [ det( )]
det( ) det( ) det( )
det( ) det( ),
T
nnn
cc
I
AA
AA
AB A B
AAA
11
1
det( ) , det( )
det( )
nn
ii ii
ii
n
ii
i
ul
a
UL
A
U, L là ma trận tam
giác
A là ma trận đường chéo
Tính chất của định thức
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 18
Ma trận và các phép tính ma trận
Khi rank(A) = n hoặc det(A) 0 => tồn tại ma trận nghịch đảo A-1 của A,
ma trận nghịch đảo của ma trận Aký hiệu A-1 thỏa mãn
11
nn
AA A A I
det( ) 0, rank( )
nn n
AA
Ma trận A là ma trận kỳ dị
(singular matrix).
Lưu ý:
rank(A) < n hoặc det(A) = 0 => không tồn tại ma trận nghịch đảo của A
rank(A) = n hoặc det(A) 0 => tồn tại ma trận nghịch đảo A-1 của A
1
11
,det()0
nn n n
Ax b A xAb
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 19
Ma trận và các phép tính ma trận
1
det( )
t
C
AA
Cho ma trận vuông A cấp n và phần tử aij. Định thức của ma trận
cấp n-1 suy ra từ A bằng cách xóa đi dòng thứ i, cột thứ j được gọi
là định thức con của A ứng với phần tử aij, ký hiệu là Mij.
Định thức con Mij với dấu bằng (-1)i+j được gọi là phần phụ đại số
của phần tử aij, kí hiệu là Aij.
Nếu det(A) 0 thì ma trận nghịch đảo của Ađược tính bằng công
thức:
t
CLà chuyển vị của ma trận chứa các
phần bù đại số (phần phụ đại số)
Applied Mechanics - Department of Mechatronics - SME 20
Ma trận và các phép tính ma trận
Đối với các ma trận chính quy (không kỳ dị), phép nghịch đảo có
các tính chất sau
111111
, ( ) , ( ) ( )
TT
II AB BA A A
A là ma trận trực giao (các cột của A trực giao với nhau từng đôi
một)
12
[ , ,..., ] : 0,
T
nij ijAaa a aa
A là ma trận trực chuẩn nếu 11TT
AA I AA A A
12
0,
[ , ,..., ] : 1,
T
nij
ij
ij
Aaa a aa
