Ch-4: Biểu diễn tín hiệu dùng biến đổi Fourier
Lecture-7
4.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier 4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier 4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1. Biểu diễn tín hiệu không tuần hoàn dùng biến đổi Fourier
4.1.1. Biến đổi Fourier 4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier 4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
1
4.1.1. Biến đổi Fourier
(cid:1) Tín hiệu không tuần hoàn được xem như tín hiệu tuần hoàn có
chu kỳ dài vô hạn
f
Xét f(t) là tín hiệu không tuần hoàn: t ( )
t ( )
và fT0(t) là tín hiệu tuần hoàn được tạo thành do sự lặp lại f(t) với chu kỳ T0: Tf
0
(t)
0T Ta có quan hệ giữa f(t) và fT0(t) như sau:
T 0
→∞
f(t)= lim f T 0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.1. Biến đổi Fourier
(cid:1) Biểu diễn fT0(t) dùng chuỗi Fourier
S
T /2 0
0
-jnω t 0
-jnω t 0
f
(t)e
dt=
e
dt=
D = n
T 0
∫
∫
-S
-T /2 0
sinnω S nω
1 T 0
2 T 0
0
1 T 0 nT D 2sin Sω
0
=
n
ω ω= n 0
ω
π 2 T 0
0nω
ω π=
2 /T 0
0
(cid:1) Gấp đôi T0:
nT D
0
=
n
ω ω= n 0
2sin Sω ω
π 2 T 0
0nω
ω π=
2 /T 0
0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
2
4.1.1. Biến đổi Fourier
nT D 2sin Sω
0
(cid:1) Tiếp tục tăng T0
=
n
ω ω= n 0
ω
π 2 T 0
0nω
ω π=
2 /T 0
0
(cid:2) hàm liên tục
(cid:1) Khi T0
(cid:2)∞, T0Dn
∞
T /2 0
-jωt
-jnω t 0
f
(t)e
f(t)e dt=F(ω)
[
]
0
n
T 0
∫
∫
∞
-
-T /2 0
dt =
lim T .D = lim →∞ →∞ T 0
T 0
(cid:1) Phổ của tín hiệu không tuần hoàn:
=
=
0=
→∞
F(ω) lim [∆ω] → ∆ω 0
lim →∞ T 0
D(ω)= lim [D ] n T 0
1 2π
F(nω ) 0 T 0 (cid:3) Phổ của tín hiệu không tuần hoàn có tính chất phân bố (cid:3) Hàm mật độ phổ tín hiệu, F(ω), được xem là phổ tín hiệu
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.1. Biến đổi Fourier
(cid:1) Tích phân Fourier
=
=
f(t)
(t)
=
∆
ω
D e n
∆ F(n ω)e
∑
T 0
∑
lim →∞ T
lim f →∞ T
0
lim ∆ →∞ ω
0
1 π 2
∞
jωt
=
f(t)
F(ω)e dω
∫
−∞
1 2π (cid:1) Tóm lại ta có kết quả: F(ω)↔
f(t)
∞
−
jω t
F(ω )=
f(t)e
dt
∞ ∞ jnω t 0 ∆ jn ωt =−∞ n =−∞ n
Phương trình phân tích – Biến đổi Fourier thuận
−∞∫
∞
jωt
f(t)=
F(ω)e dω
Phương trình tổng hợp – Biến đổi Fourier ngược
−∞∫
1 2π
Cho phép phân tích/tổng hợp tín hiệu f(t) thành/từ các thành phần tần số, ejωωωωt
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
3
4.1.2. Điều kiện tồn tại biến đổi Fourier
(cid:1) Tín hiệu f(t) có năng lượng hữu hạn đều tồn tại F(ω) hữu hạn và
năng lượng sai số bằng 0.
(cid:1) Điều kiện Dirichlet:
|f(t)|dt<∞
∫
(cid:3) Điều kiện 1: T
(cid:3) Điều kiện 2: f(t) có hữu hạn cực đại và cực tiểu trong khoảng thời
gian hữu hạn
(cid:3) Điều kiện 3: f(t) có hữu hạn số gián đoạn trong khoảng thời gian
hữu hạn và gián đoạn phải có độ lớn là hữu hạn
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
(cid:1) f(t)=δδδδ(t): ∞
∞
F(ω)=
-jωt δ(t)e dt=
δ(t)dt=1
δ(t)
1↔
∫
∫
−∞
−∞
( )tδ
1
↔
ω
t
0
0
(cid:1) f(t)=e-atu(t); a>0:
−
F(ω)=
dt=
e
=
∫
∫ dt= e 0
1 a+jω
1 a+jω
at
↔
− e u(t); a>0
1 a+jω
∞ ∞ ∞ − − − at jωt (a+jω)t (a+jω)t − e u(t)e −∞ 0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
1
=
ω )F (
2
+
2 ω
a
∠
= −
F
a
ω ( )
ω− 1 tan ( /
)
)F ω (
)F ω∠ (
1/ a
/ 2π
ω
/ 2π−
ω
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
(cid:1) f(t)=u(t):
=
=
= −
=
F
dt
e
dt
ω ( )
u t e ( )
?
∫
∫
1 e ω j
( )u t
1
− ate u t ( )
=
u t ( )
+∞ +∞ +∞ − − − ω j t ω j t ω j t −∞ 0 0
lim → a 0
t
+∞
−
at
ω j t
⇒
=
=
=
F
dt
ω ( )
− e u t e ( )
0 ∫
−∞
lim → a 0
lim → a 0
lim → a 0
ω j 2 ω
1 +
a
ω j
− a 2 + a
⇒
=
F
ω ( )
− at e u t ( )
lim → a 0
2 2
Diện tích bằng ππππ
a +
1 j
a
⇒
=
+
F
ω πδ ω ( )
)
(
↔
ω j
+ ω ω 1 ω j + πδω ( ) 1/
u t ( )
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
5
4.1.3. Biến đổi Fourier của một số tín hiệu cơ bản
>
τ
t
(cid:1) f(t) xung cổng đơn vị: 0
/ 2
t
( ) r ct τ = e
<
τ
t
1
/ 2
e
=
=
= −
=
F
rect
e
dt
e
dt
ω ( )
∫
∫
1 e ω j
− e ω j
j
)
(
)
ωτ 2
ωτ 2
⇒
⇔
=
=
=
τ
τ
F
c
ω ( )
sin
(
)
rect
sin
ωτ 2
τ τ↔ t ( )
τ / 2 − ωτ j ωτ j / 2 / 2 +∞ τ / 2 − − ω j t ω j t ω j t t ( ) τ −∞ − τ / 2 τ − / 2
)2 ( c ωτ
( 2sin ω j
sin (
)
ωτ 2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
(cid:1) Tính chất tuyến tính:
↔
↔
↔
f (t) 1
F (ω); f (t) 1
F (ω) 2
a f (t)+a f (t) 1 1
2 2
a F(ω)+a F (ω) 1 1
2 2
(cid:1) Phép dịch thời gian:
2
↔
f(t)
F(ω)=
f(t)e
dt
−
f(t
dt
f (t)=f(t 1
∫ − ↔ t ) 0
F (ω)= 1
t )e 0
∫
∞ − jωt −∞ ∞ − jωt −∞
τ jω( +t ) 0
0
=
τ f( )e
τ d
=F(ω)e−
∞ − jωt −∞∫
Linear phase shift
f t (
F e ωω − j t ( ) 0
− ↔ t ) 0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
6
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
Ví dụ:
/ 2ωτ−
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
↔
F(ω)=
f(t)e
f(t)
dt
(cid:1) Phép dịch tần số (điều chế): ∞ ∫
0
↔
−
=
f(t)e
e
dt
=
f(t)e
f (t)=f(t)e 1
F (ω)= 1
dt F(ω ω ) 0
∫
∫
0jω t
↔ −
f(t)e
F(ω ω ) 0
↔
−
+
− jωt −∞ ∞ ∞ − − − j(ω ω )t jωt jω t 0 jω t 0 −∞ −∞
Ví dụ:
F(ω
)
f(t)cosω t 0
ω 0
ω F(ω+ ) 0
1 2
1 2
↔
−
−
F(ω
)
f(t)sinω t 0
ω 0
ω F(ω+ ) 0
1 j2
1 j2
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
7
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
(cid:1) Tính đối ngẫu:
↔
f(t)
F(ω)=
f(t)e
dt
∫
∞
∞
jωt
−
jωt
f(t)=
F(ω)e dω
−
f(
t)=
F(ω)e
dω
∫
−∞∫
−∞
1 2π
1 2π
∞ − jωt −∞
∞
−
jωt
− 2πf( ω)=
F(t)e
dt
− f( ω)=
F(t)e
dt
∫
∫
−∞
1 2π
↔ −
F(t)
2πf( ω)
↔
−
δ(t)
1↔
1
2πδ( ω)=2πδ(ω)
∞ − jωt −∞
Ví dụ:
rect
τsinc
↔
rect
)0 ( sinc ω t
t τ
↔
ωτ 2
π ω
ω 2ω
0 0
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
(cid:1) Phép tỷ lệ thời gian:
↔
↔
f(t)
F(ω)=
f(t)e
dt
f(at)e
dt
f (t)=f(at) 1
F (ω)= 1
∫
∫
∞ ∞ − − jωt jωt −∞ −∞
>
a
dτ
f(τ)e
0 : F (ω)= 1
∫
1 = F a
ω a
↔
f(at)
F
− ∞ τ j ω a −∞
1 |a|
ω a
=
F
<
a
f(τ)e
dτ
0 : F (ω)= 1
1 − a
ω a
1 a 1 − ∫ a
(cid:1) Phép đảo thời gian:
− ∞ τ j ω a −∞
− ↔ −
↔
f(
F( ω)
t)
f(t)
F(ω)=
f(t)e
dt
∫
∞ − jωt −∞
Ví dụ:
↔ + 1/(a
jω)
− ↔ −
1/(a
t)
jω)
− ate u(t) ate u(
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
8
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
↔
↔
∗
f (t) 1 f(t)=f (t)
dt
(cid:1) Tích chập trong miền thời gian: F (ω); f (t) 1 ∗ ↔ f (t) 2
f (t)e 2
F (ω) 2 +∞ ∫ F(ω)=
jωt
−
F(ω)=
τ)dτ e
dt
f (τ)f (t 1
2
∫
f (t) 1
+∞
−
jωτ
−
τ)e
=
dτ
f (t 2
f (τ) 1
f (τ)F (ω)e 1 2
∫ ∫
∫
= ∫
−∞
dt dτ
+∞
=
=
dτ F (ω)F (ω)
f (τ)e 1
F (ω) 2
∫ ∗ ↔ f (t) 2
f (t) 1
rect(
)
2 − jωt 1 −∞ +∞ +∞ − −∞ −∞ ∞ +∞ + − jωt ∞ ∞ - - − jωτ 1 2 −∞
Ví dụ:
F (ω)F (ω) 1 (
2t T
sinc↔ T 2
ωT 4
2
2
∗
)
rect(
)=
sinc
Có:
(
)
2t T
2t T
T 2
T 4
ωT 4
2
sinc
2 ) ) ∆ ↔ t T ) (
rect( (
( ωT 4
T 2
) ∆ ↔ t T Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
↔
↔
(cid:1) Tích chập trong miền tần số: F (ω); f (t) 1
F (ω) 2
f (t) 1
2
+∞
jωt
∗
f(t)=
[F (ω) F (ω)]e dω 2
1
∫
−∞
+∞
+∞
jωt
=
[
F (τ)F (ω-τ)dτ]e dω 1
2
∫
∫
−∞
−∞
+∞
+∞
=
F (τ)[ 1
jωt F (ω-τ)e dω]dτ 2
∫
∫
−∞
−∞
1 2π 1 2π 1 2π
+∞
+∞
=
jτt F (τ)e [ 1
jxt F (x)e dx]dτ 2
∫
∫
−∞
−∞
1 2π
jτt
=
=
2πf (t)f (t)
f (t) 2
F (τ)e dτ 1
1
2
∫
+∞
↔
2πf (t)f (t)
1
2
∗ F (ω) F (ω) 1
2
−∞
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
9
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
(cid:1) Đạo hàm trong miền thời gian:
jωt
=
f(t)
F(ω)↔
f(t)
F(ω)e dω
1 2π
∫
+∞
+∞
jωt
↔
=
jωF(ω)e dω
jωF(ω)
1 2π
∫
−∞
df(t) dt
↔
n (jω) F(ω)
df(t) dt n d f(t) n dt
(cid:1) Tích phân trong miền thời gian:
−∞
t
=
−
∗ f(t) u(t)
f(τ)u(t
τ)dτ
f(τ)dτ
∫
= ∫
+∞
∗ ↔
f(t) u(t)
F(ω)[πδ(ω)+1/jω]
= πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω
t
↔
f(τ)dτ
πF(0)δ(ω)+F(ω)/jω
∫
−∞ −∞
−∞
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
(cid:1) Liên hiệp phức và tính đối xứng liên hiệp phức:
jωt
jωt
=
↔
f(t)
F(ω)e dω
f(t)
F(ω)=
f(t)e
dt
1 2π
∫
∫
*
jωt
=
=
* f (t)
[
jωt * F(ω)e dω]
F (ω)e
dω
1 2π
1 2π
∫
∫
*
jωt
=
−
F ( ω)e dω
1 2π
∫
+∞ ∞ − −∞ −∞ +∞ +∞ − −∞ −∞ +∞
*
f(t):Real
* ↔ −
−
* f (t)
F ( ω)
F( ω)=F (ω)
|F(ω)| : even function of ω
∠
F(ω) : odd function of ω
−∞
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
10
4.2. Các tính chất của biến đổi Fourier
(cid:1) Định lý Parseval: +∞
* f(t)f (t)dt
f(t)[
jωt F(ω)e dω] dt
2 |f(t)| dt
1 π 2
fE
= ∫
= ∫
∫
= ∫
+∞ +∞ +∞ ∗ −∞ −∞ −∞ −∞
*
*
=
=
F (ω)[
-jωt f(t)e dt]dω
F (ω)F(ω)dω
1 2π
1 2π
∫
∫
∫
+∞ +∞ +∞
+∞
2
E
|F(ω)| dω
Định lý Parseval
f
1 2π
= ∫
−∞
2
|F(ω)| Mật độ phổ năng lượng
↔
−∞ −∞ −∞
Ví dụ:
f(t)=sinc(t)
F(ω)=2πrect(
)
ω 2
1
2
=
E
4π rect (
)dω
=
2π
= dω 4π
f
1 2π
2 ω 2
∫
∫
+∞
1
−∞ −
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
(cid:1) Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn dùng chuỗi Fourier:
−
jnω t 0
jnω t 0
f(t)=
với:
f(t)e
dt
D e n
∑
D = n
∫
T 0
+∞
n=
1 T 0
↔
−
F(ω)=
f(t)
2πD δ(ω nω ) 0
n
(cid:1) Biến đổi Fourier cho tín hiệu tuần hoàn: +∞ ∑
−∞
n=
(cid:1) Ví dụ 1:
f ( t )
T0=4S
−∞
)
πsinc(
F(ω)=
n
− )δ(ω nω ) 0
∑
1 D = sinc( 2
nπ 2
0T nπ 2
+∞
n=
−∞
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
11
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
F(ω) π
2
2
ω
0ω0ω−
f(t)=
δ(t kT)
(cid:1) Ví dụ 2: xác định phổ của hàm phân bố lược
−∑
∞
k=
f(t) 1
t
0
-2T
T
2T
-T
−∞
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
4.3. Biến đổi Fourier của tín hiệu tuần hoàn
−
F(ω)=
δ(ω
)
∑
D = n
2π T
2nπ T
+∞
n=
1 T
F(ω)
2π T
ω
0
−
−
2π T
4π T
4π T
2π T
−∞
Signal & Systems - Tran Quang Viet – FEEE, HCMUT – Semester: 02/10-11
12
