Bài giảng Toán cao cấp: Bài 1 - Nguyễn Hải Sơn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

34
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Bài giảng Toán cao cấp - Bài 1: Hàm số - giới hạn - liên tục" được biên soạn giúp người học nắm được kiến thức về hàm số một biến số; dãy số; giới hạn; sự liên tục của hàm số.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp: Bài 1 - Nguyễn Hải Sơn

BÀI 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN - LIÊN TỤC Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 1 v1.0
LÍ THUYẾT 1. Hàm số một biến số: Định nghĩa, đồ thị, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ,…, hàm số hợp và hàm ngược. 2. Dãy số: Khái niệm dãy số, dãy đơn điệu, dãy bị chặn, các tiêu chuẩn tồn tại giới hạn, các định lí về giới hạn. 3. Giới hạn: Khái niệm, các tính chất của giới hạn hàm số, VCB, VCL, các phương pháp tính giới hạn. 4. Sự liên tục của hàm số: Hàm số liên tục và các tính chất. 2 v1.0
VÍ DỤ 1 Cho các hàm số f :   , f(x)  2x và g :    , g(x)  1  x Xác định hàm số hợp của g và f , hàm hợp của f và g. Hướng dẫn: • Một hàm số được xác định khi biết tập xác định và công thức của hàm số đó. • Khái niệm hàm số hợp: “ Cho  : X   , x  u  (x) f : U  ,u  y  f(u) thỏa mãn (x)  U, x  X • Hàm hợp của f và  : h : X  , x  h( x)  f (( x)) 3 v1.0
VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Lời giải: Hàm số hợp của g và f là: h :   , x  h(x) h(x)  g(f(x))  g(2x)  2x  1 và hàm số hợp của f và g là: k :    , x  k(x) k(x)  f(g(x))  f(1  x)  2(1  x)  2x  2 Nhận xét: • f(g(x))  g(f(x)) • Sai lầm thường gặp: nhầm lẫn giữa “hàm hợp của f và g” với “hàm hợp của g và f”. 4 v1.0
VÍ DỤ 2 Hàm hợp của hai hàm số f(u) = cosu và u(x) = 2x là hàm số nào sau đây? a. h(x) = cos(2x) b. h(x) = 2cosx c. h(x) = cosx d. h(x) = 2cos(2x) 5 v1.0
VÍ DỤ 2 (tiếp theo) Hàm hợp của hai hàm số f(u) = cosu và u(x) = 2x là hàm số nào sau đây? a. h(x) = cos(2x)   f(u(x))  f(2x)  cos(2x)  b. h(x) = 2cosx x c. h(x) = cosx x d. h(x) = 2cos(2x) x 6 v1.0
VÍ DỤ 3 Cho dãy số: n  1;2;3, 4;...;n;... Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy bị chặn trên. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn. 7 v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem lại khái niệm về dãy đơn điệu và bị chặn Dãy gọi là: • Dãy tăng nếu xn < xn+1 n   • Dãy giảm nếu xn > xn+1 n   • Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm • Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho x  M, n   • Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho xn  m, n   • Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới. Như vậy, dãy xn  là bị chặn nếu có các số m và M sao cho m  xn  M, n 8 v1.0
VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Cho dãy số: n  1;2;3, 4;...;n;... Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy bị chặn trên. x xn  n  n  b. Dãy đơn điệu tăng.  (1  2  3  4  ...) c. Dãy đơn điệu giảm. x (x1  1  x 2  2) d. Dãy bị chặn. x Nhận xét: Sai lầm thường gặp: • Cho rằng “dãy đơn điệu là dãy vừa đơn điệu tăng, vừa đơn điệu giảm”; • Cho rằng “dãy bị chặn là dãy bị chặn trên hoặc bị chặn dưới”. 9 v1.0
VÍ DỤ 4 Cho dãy số:  1   1;1; 1;1;...,  1 n n  ,... Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy đơn điệu. b. Dãy đơn điệu tăng. c. Dãy đơn điệu giảm. d. Dãy bị chặn. 10 v1.0
VÍ DỤ 4 (tiếp theo) Cho dãy số:  1   1;1; 1;1;...,  1 n n  ,... Khẳng định nào trong các khẳng định sau là đúng: a. Dãy đơn điệu. x b. Dãy đơn điệu tăng. x x 2  1  x 3  1 c. Dãy đơn điệu giảm. x x1  1  x 2  1 d. Dãy bị chặn.  1  x n  (1)n  1, n 11 v1.0
VÍ DỤ 5 Mệnh đề nào sai? a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ. d. Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ. 12 v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Hướng dẫn: Bài 1, mục 1.2.2: Dãy {xn} được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để lim x n  a . Trong x  trường hợp ngược lại, ta nói dãy phân kỳ. Như vậy, một dãy số chỉ có thể là hội tụ hoặc phân kỳ. 13 v1.0
VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Mệnh đề nào sai? a. Dãy không hội tụ thì phân kỳ x b. Dãy không phân kỳ thì hội tụ x c. Tồn tại dãy số không hội tụ, cũng không phân kỳ.  d. Không có dãy số nào không hội tụ, mà cũng không phân kỳ. x Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Hiểu sai khái niệm • Dãy hội tụ; • Dãy phân kì; => Đọc kĩ các khái niệm. 14 v1.0
VÍ DỤ 6 Mệnh đề nào đúng? a. Dãy bị chặn thì hội tụ. b. Dãy hội tụ thì bị chặn. c. Dãy phân kỳ thì không bị chặn. d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn. 15 v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem lại mục 1.2.3 (tr.13) 1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn 1.2.3.1. Tính duy nhất của giới hạn Định lý: Nếu một dẫy có giới hạn (hữu hạn) thì: • Dãy đó là dãy bị chặn; • Giới hạn là duy nhất. 16 v1.0
VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Mệnh đề nào đúng? a. Dãy bị chặn thì hội tụ. x b. Dãy hội tụ thì bị chặn.  c. Dãy phân kỳ thì không bị chặn. x d. Dãy không hội tụ thì không bị chặn. x Chú ý: (1)n  vừa là dãy bị chặn, vừa là dãy phân kì nhưng không hội tụ. 17 v1.0
VÍ DỤ 7 Hàm số f(x) gọi là một VCB khi x  a nếu: a. lim x 0 f(x)  a b. lim x a f(x)   c. lim x a f(x)   d. lim f(x)  0 x a 18 v1.0
VÍ DỤ 7 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem khái niệm VCB, VCL (tr.16) 1.3.3. Vô cùng lớn, vô cùng bé 1.3.3.1. Khái niệm • Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi x  a nếu lim f(x)  0 x 2 Ở đây, a có thể là hữu hạn hay vô cùng. Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy ra rằng nếu: f(x)  A khi x  a thì f(x)  A  (x) Trong đó (x) là một VCB khi x  a • Đại lượng F(x) gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi x  a nếu lim F(x)   x 2 19 v1.0
VÍ DỤ 7 (tiếp theo) a. lim f(x)  a x x 0 b. lim f(x)   x x a c. lim x a f(x)   x d. lim f(x)  0 x a  Nhận xét: Sai lầm thường gặp: • Hiểu VCB là rất nhỏ nên cho rằng f(x) là VCB khi x  a nếu lim f(x)   x a cũng như VCL là số rất lớn. nên cho rằng f(x) là VCL khi x  a nếu lim f(x)   x a • Không để ý đến quá trình x  a . Chú ý cùng là một hàm số f(x), có lúc là VCB, có lúc là VCL tùy thuộc vào quá trình x tiến đến đâu. Ví dụ: f(x) = x là VCB khi x  0 và là VCL khi x   20 v1.0