Bài giảng Toán cao cấp nông nghiệp: Phần 1 - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:52

Thêm vào BST

Báo xấu

24
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Toán cao cấp nông nghiệp nhằm trang bị cho Sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán học để làm nên tảng cho việc học các học phần cơ sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả năng tư duy logic, phương pháp định lượng trong kinh tế và kỹ thuật. Mời các bạn cùng tham khảo, nội dung phần 1 giáo trình!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Toán cao cấp nông nghiệp: Phần 1 - Trường Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp

UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOAÙN CAO CAÁP NOÂNG NGHIEÄP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG NTTS-DVTY-BVTV) ThS. Phạm Thị Kiều Anh Đồng Tháp – 2012 (Lưu hành nội bộ)
UBND TỈNH ĐỒNG THÁP TRƯỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN BÀI GIẢNG HỌC PHẦN TOAÙN CAO CAÁP NOÂNG NGHIEÄP (TÀI LIỆU DÙNG CHO SINH VIÊN NGÀNH CAO ĐẲNG NTTS-DVTY-BVTV) (SỐ TÍN CHỈ: 2 (LÝ THUYẾT: 30 TIẾT)) ThS. Phạm Thị Kiều Anh Đồng Tháp – 2012
LỜI NÓI ĐẦU 1. Đối tượng sử dụng Dùng cho sinh viên ngành Nuôi trồng thủy sản, Dịch vụ thú y, Bảo vệ thực vật và sinh viên thuộc các khối ngành khác có thể sử dụng bài giảng như tài liệu tham khảo. 2. Cấu trúc bài giảng: Gồm 4 chương Đề cương học phần Vi Tích Phân được chia làm 4 chương: Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ. Chương 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN. Chương 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN. Chương 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN. 3. Mục tiêu môn học Nhằm trang bị cho Sinh viên những kiến thức cơ bản về Toán học để làm nên tảng cho việc học các học phần cơ sở & chuyên ngành, đồng thời rèn luyện cho Sinh viên khả năng tư duy logic, phương pháp định lượng trong kinh tế và kỹ thuật. Cụ thể Cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến. Khái niệm về đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào khử dạng vô định khi tính giới hạn và các tính chất của hàm số liên tục. Trang bị các kiến thức về đạo hàm, vi phân hàm một biến. Ứng dụng được qui tắc L’Hospital khử các dạng vô định trong tính giới hạn và khảo sát một hàm số, tìm cực trị, giá trị lớn nhất- giá trị nhỏ nhất. Từ đó, vận dụng để giải một số bài toán tối ưu. Cung cấp các kiến thức cơ bản về tích phân (bất định, xác định, suy rộng) và phương pháp tính các loại tích phân đó. Vận dụng tích phân để tính độ dài cung, diện tích – thể tích của một vật thể. Nhằm trang bị cho sinh viên các kiến thức cơ bản về phép tính vi tích phân của hàm nhiều biến làm cơ sở cho việc nghiên cứu Toán học hiện đại ở bậc Đại học và các môn học khác có liên quan. Tuy nhiên, bài giảng không khai thác sâu các vấn đề lý thuyết mà chỉ ở mức độ phục vụ cho nghiên cứu kỹ thuật. Nhiều định lý được phát biểu không chứng minh mà chỉ hướng dẫn sử dụng thông qua hệ thống ví dụ và bài tập. Việc giới thiệu nhiều ứng dụng thực tế giúp cho sinh viên làm quen với việc mô hình hóa các vấn đề thực tế thành bài toán Toán học. 4. Phương pháp giảng dạy Giảng và thảo luận, phân tích và giải quyết vấn đề đặt ra. Nghe giảng lý thuyết : 23 tiết Làm bài tập trên lớp : 7 tiết Tự học : 60 tiết
MỤC LỤC Trang Chương 1. HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ ....... 5 1.1. Hàm số.............................................................................................................. 6 1.1.1. Hàm số và các phép toán trên hàm số ....................................................... 6 1.1.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 6 1.1.1.2. Các phép toán trên hàm số ................................................................. 6 1.1.2. Một số tính chất đặc biệt của hàm số......................................................... 7 1.1.2.1. Tính đơn điệu ..................................................................................... 7 1.1.2.2. Tính chẵn lẻ ........................................................................................ 7 1.1.2.3. Tính tuần hoàn.................................................................................... 8 1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngược.................................................................... 8 1.1.3.1. Hàm số hợp ........................................................................................ 8 1.1.3.2. Hàm số ngược..................................................................................... 9 1.1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản.......................................................................... 9 1.1.4.1. Hàm lũy thừa y = x α , ∀α ∈ ......................................................... 9 1.1.4.2. Hàm số mũ y = a x , 0 < a ≠ 1 ............................................................. 10 1.1.4.3. Hàm số logarit .................................................................................... 10 1.1.4.4. Các hàm số lượng giác ....................................................................... 11 1.1.4.5. Các hàm lượng giác ngược................................................................. 12 1.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm số ............................................................ 13 1.2.1. Giới hạn của dãy số ................................................................................... 13 1.2.1.1. Định nghĩa dãy số............................................................................... 13 1.2.1.2 Giới hạn dãy số.................................................................................... 14 1.2.1.3. Các phép toán ..................................................................................... 15 1.2.1.4. Một số tính chất đặc biệt của dãy....................................................... 16 1.2.2. Giới hạn hàm ............................................................................................. 16 1.2.2.1. Định nghĩa ........................................................................................... 16 1.2.2.2. Giới hạn một phía................................................................................ 17 1.2.2.3. Các giới hạn vô tận và ở vô tận........................................................... 18 1.2.2.4. Các tính chất của giới hạn hàm số....................................................... 18 1.2.2.5. Các phép toán ...................................................................................... 19 0 ∞ 1.2.2.6. Các dạng vô định  ; ; 0.∞; ∞ − ∞  ............................................... 19 0 ∞  1.2.2.7. Một số công thức giới hạn quan trọng ................................................ 22 1.2.2.8. Đại lượng vô cùng bé – đại lượng vô cùng lớn................................... 23 1.2.3. Tính liên tục của hàm số ............................................................................ 25 1.2.3.1. Định nghĩa .......................................................................................... 25 1.2.3.2. Điểm gián đoạn .................................................................................. 25 1.2.3.3. Hàm số liên tục trên đoạn – khoảng................................................... 26 1.2.3.4. Các phép toán trên hàm số liên tục ................................................... 27 1.2.3.5. Tính chất của hàm số liên tục............................................................. 27 Bài tập chương 1 .................................................................................................. 28 1
Chương 2. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN....................................... 30 2.1. Đạo hàm của hàm số ...................................................................................... 31 2.1.1. Đạo hàm..................................................................................................... 31 2.1.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 31 2.1.1.2. Đạo hàm một phía .............................................................................. 31 2.1.1.3. Mối liên tục giữa liên tục và khả vi.................................................... 32 2.1.1.4. Các qui tắc tính đạo hàm .................................................................... 32 2.1.1.5. Đạo hàm hàm số cho bởi phương trình tham số ................................ 33 2.1.2. Đạo hàm cấp cao........................................................................................ 33 2.1.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 33 2.1.2.2. Các phép toán ..................................................................................... 33 2.1.2.3. Một số đạo hàm cấp cao thông dụng.................................................. 33 2.1.2.4. Ý nghĩa vật lý của đạo hàm cấp 2 ...................................................... 33 2.2. Vi phân của hàm số ........................................................................................ 36 2.2.1. Vi phân....................................................................................................... 36 2.2.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 36 2.2.1.2. Các qui tắc tính vi phân...................................................................... 36 2.2.1.3. Công thức xấp xỉ (Áp dụng vi phân tính gần đúng) ........................... 36 2.2.2. Vi phân cấp cao ......................................................................................... 37 2.2.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 37 2.2.2.2. Liên hệ giữa vi phân cấp cao và đạo hàm cấp cao ............................. 37 2.3. Các định lý cơ bản của phép tính vi phân..................................................... 38 2.3.1. Đinh lý Rolle.............................................................................................. 38 2.3.2. Định lý Lagrange ....................................................................................... 38 2.3.3. Định lý Cauchy .......................................................................................... 38 2.3.4. Các qui tắc L’Hospital (Khử dạng vô định) .............................................. 39 2.3.5. Ứng dụng của phép tính vi phân................................................................ 41 2.3.5.1. Xác định khoảng đơn điệu.................................................................. 41 2.3.5.2. Cực trị địa phương của hàm số........................................................... 41 2.3.5.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất ..................................................... 43 2.3.5.4. Bài toán tối ưu trong thực tế............................................................... 43 2.3.5.5. Bài toán về mối liên hệ giữa các tốc độ biến thiên ............................ 45 Bài tập chương 2.............................................................................................. 48 Chương 3. PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN ....................... 50 3.1. Tích phân bất định .......................................................................................... 51 3.1.1. Nguyên hàm và tích phân bất định ............................................................ 51 3.1.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 51 3.1.1.2. Định lý ................................................................................................ 51 3.1.1.3. Tính chất nguyên hàm ........................................................................ 51 3.1.2. Các phương pháp tính................................................................................ 52 3.1.2.1. Phương pháp phân tích ....................................................................... 52 3.1.2.2. Phương pháp đổi biến số .................................................................... 52 3.1.2.3. Phương pháp tích phân từng phần...................................................... 54 2
3.1.3. Tích phân một số hàm thường gặp ............................................................ 56 3.1.3.1. Tích phân các hàm hữu tỉ ................................................................... 56 3.1.3.2. Tích phân các hàm vô tỉ ..................................................................... 59 3.1.3.3. Tích phân hàm số lượng giác ............................................................. 60 3.2. Tích phân xác định ......................................................................................... 62 3.2.1. Tích phân xác định..................................................................................... 62 3.2.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 63 3.2.1.2. Tính chất............................................................................................. 63 3.2.1.3. Các định lý cơ bản của phép tính tích phân ....................................... 64 3.2.1.4. Các phương pháp tính tích phân xác định .......................................... 64 3.2.1.5. Ứng dụng của tích phân xác định....................................................... 67 3.3. Tích phân suy rộng.......................................................................................... 72 3.3.1. Tích phân suy rộng loại 1 (tích phân cận vô tận).................................. 72 3.3.2. Tích phân suy rộng loại 2 ...................................................................... 74 3.3.3. Một vài tiêu chuẩn của hội tụ và phân kỳ trong tích phân suy rộng ..... 74 Bài tập chương 3 .................................................................................................. 78 Chương 4. PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN ................................... 80 4.1. Khái niệm về hàm nhiều biến......................................................................... 81 4.1.1. Khái niệm về không gian n .................................................................... 81 4.1.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 81 4.1.1.2. Các phép toán ..................................................................................... 81 4.1.2. Định nghĩa hàm nhiều biến........................................................................ 81 4.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm nhiều biến............................................... 83 4.2.1. Định nghĩa giới hạn dãy............................................................................. 83 4.2.2. Định nghĩa giới hạn hàm 2 biến (giới hạn kép hoặc giới hạn bội)............ 83 4.2.3. Tính chất (Tương tự như hàm một biến) ................................................... 84 4.2.4. Tính liên tục của hàm số ............................................................................ 85 4.2.4.1. Định nghĩa .......................................................................................... 85 4.2.4.2 Điểm gián đoạn ................................................................................... 86 4.3. Đạo hàm của hàm hai biến ............................................................................. 86 4.3.1. Đạo hàm riêng............................................................................................ 86 4.3.1.1. Đạo hàm riêng cấp 1........................................................................... 86 4.3.1.2. Cách tính............................................................................................. 87 4.3.2. Đạo hàm riêng cấp cao .............................................................................. 87 4.3.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 87 4.3.2.2. Định lý (SCHWARTZ) ..................................................................... 89 4.3.3. Đạo hàm của hàm hợp ............................................................................... 89 4.3.3.1. Định nghĩa .......................................................................................... 89 4.3.3.2. Định lý (Quy tắc xích)........................................................................ 89 4.3.4. Đạo hàm của hàm ẩn.................................................................................. 90 4.3.4.1. Định nghĩa .......................................................................................... 90 4.3.4.2. Định lý về sự tồn tại hàm ẩn............................................................... 90 4.3.4.3. Đạo hàm của hàm ẩn .......................................................................... 91 4.4. Vi phân của hàm hai biến............................................................................... 93 4.4.1. Sự Khả vi ................................................................................................... 93 3
4.4.1.1.Định nghĩa ........................................................................................... 93 4.4.1.2. Mối liên hệ giữa liên tục và khả vi ..................................................... 93 4.4.2. Vi phân toàn phần ...................................................................................... 94 4.4.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 94 4.4.2.2. Các qui tắc tính vi phân ...................................................................... 94 4.4.2.3. Áp dụng vi phân tính gần đúng .......................................................... 94 4.4.3. Vi phân cấp cao ......................................................................................... 95 4.4.3.1. Định nghĩa .......................................................................................... 95 4.4.3.2. Liên hệ giữa vi phân cấp cao và đạo hàm cấp cao ............................. 95 4.4.4. Công thức Taylor ....................................................................................... 96 4.5. Cực trị của hàm hai biến ................................................................................ 97 4.5.1. Cực trị địa phương ..................................................................................... 97 4.5.1.1. Định nghĩa .......................................................................................... 97 4.5.1.2. Điều kiện cần để có cực trị ................................................................ 98 4.5.1.3. Điều kiện đủ của cực trị ..................................................................... 99 4.5.2. Cực trị có điều kiện.................................................................................... 100 4.5.2.1. Định nghĩa .......................................................................................... 100 4.5.2.2. Cách tìm cực trị có điều kiện.............................................................. 100 a) Phương pháp thế................................................................................... 101 b) Phương pháp nhân tử Lagrange ........................................................... 102 4.5.3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất............................................................. 104 Bài tập chương 4 ...................................................................................................... 107 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 109 4
Chương 1 HÀM SỐ - GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Mục đích yêu cầu Chương này cung cấp cho người học kiến thức về giới hạn và tính liên tục của hàm một biến. Các phép toán tính giới hạn. Khái niệm về đại lượng vô cùng bé – vô cùng lớn và áp dụng vào tính giới hạn. Các tính chất của hàm số liên tục. Sau khi học xong chương này, Sinh viên cần đạt được: - Hệ thống hóa kiến thức về giới hạn của dãy số, hàm số, các phép toán cơ bản khi việc thực hiện tính giới hạn. Hiểu và vận dụng được các phương pháp giải được giới thiệu trong mỗi dạng toán, mỗi vấn đề, áp dụng các công thức giới hạn đặc biệt đã được giảng dạy. - Hiểu và vận dụng được phép tính trên các đại lượng vô cùng bé (VCB), vô cùng lớn (VCL). Phép ngắt bỏ VCB cấp cao, VCL cấp thấp vào việc khử dạng vô định khi tính giới hạn. - Hiểu được khái niệm liên tục – điều kiện liên tục, các tính chất hàm số liên tục trên đoạn [a, b ] . - Làm được các bài tập tương tự. Kiến thức chuẩn bị Khái niệm hàm số, miền xác định, các tính chất đặc biệt của hàm số, đồ thị của các hàm số sơ cấp. Ôn lại các kiến thức về tính giới hạn, tính liên tục của hàm số (lớp 11). 5
1.1. Hàm số 1.1.1. Hàm số và các phép toán trên hàm số 1.1.1.1. Định nghĩa Cho X ,Y ⊂ ; X ,Y ≠ ∅ , hàm số f là một qui luật sao cho ứng với mỗi giá trị của biến x ∈ X có duy nhất một giá trị thực y ∈ Y , kí hiệu y = f (x ) . * Hàm số được viết dưới dạng sơ đồ sau: f : X →Y x y = f (x ) (1.1.1) Biến x được gọi là biến độc lập. y = f (x ) được gọi là biến phụ thuộc. Tập D = {x ∈ | f (x ) có nghĩa} được gọi là miền xác định của hàm số. { } Tập Y = f (X ) = f (x ) | x ∈ X được gọi là miền giá trị của hàm số. * Đồ thị hàm số y = f (x ) là tập hợp các điểm có tọa độ (x , f (x )) trong hệ tọa độ Descartes. Kí hiệu: G = {M (x , f (x )) : x ∈ X } . Ví dụ 1: Tìm miền xác định của các hàm số sau a) y = 2x + 1 . Miền xác định: D = . 2x b) y = . Miền xác định: D = \ {−1;1} . x −1 2  x + 3 ≥ 0 x ≥ −3 x +3  c) y = . Hàm số có nghĩa khi và chỉ khi: 2x − 1 ≠ 0 ⇔  1 . 2x − 1  x ≠ 2  Vậy miền xác định D = [ −3; +∞ ) \ {12}. Chú ý: Hàm số y = f (x ) mô tả mối liên hệ giữa hai đại lượng x và y . Ví dụ 2 : * Xét một chuyển động đều có vận tốc 60 km/h. Mối liên hệ giữa thời gian chuyển động t(h) và quãng đường đi s(km) của chuyển động là hàm số s = s(t ) = 60t . * Khi nuôi 1 con bò, quan sát quá trình tăng trọng của con bò ta có mối liên hệ giữa thời gian nuôi t(tuần) và trọng lượng m(kg) của con bò là hàm số m = m(t ). 1.1.1.2. Các phép toán trên hàm số Cho hàm số f (x ), g(x ) có cùng miền xác định D . Khi đó, ta xác định các hàm số sau : i) (f ± g )(x ) = f (x ) ± g(x ) , (∀x ∈ D ) . (1.1.2) 6
ii) (f .g )(x ) = f (x ).g (x ) , (∀x ∈ D ) . (1.1.3) f  f (x ) iii)  g  (x ) = g (x ) (g(x ) ≠ 0, ∀x ∈ D ) . (1.1.4)   lần lượt gọi là tổng, hiệu, tích, thương của f và g . 1.1.2. Một số tính chất đặc biệt của hàm số 1.1.2.1. Hàm số đơn điệu Hàm số f (x ) được gọi là đơn điệu tăng (hay giảm) trên miền D nào đó nếu với cặp số x1, x 2 bất kỳ thuộc miền D và từ x1 < x 2 suy ra f (x1 ) ≤ f (x 2 ) (hay f (x1 ) ≥ f (x 2 ) ). Nếu từ x1 < x 2 suy ra f (x1 ) < f (x 2 ) (hay f (x1 ) > f (x 2 ) ) thì ta nói hàm số f ( x) tăng nghiêm ngặt (hay giảm nghiêm ngặt) trên miền đó. Ví dụ 3: Hàm y = f (x ) = x 2 tăng nghiêm ngặt trong khoảng ( 0; +∞ ) . Thật vậy, giả sử x1, x 2 ∈ ( 0; +∞ ) và x1 < x 2 . Xét f (x1 ) − f (x 2 ) = x 12 − x 22 = (x1 − x 2 )(x 1 + x 2 ) < 0 vì x1 < x 2 . Suy ra f (x1 ) < f (x 2 ) . Vậy hàm số đã cho tăng nghiêm ngặt trên ( 0; +∞ ) . Chú ý: Đồ thị của hàm số đơn điệu tăng (giảm) đi lên (xuống) theo hướng từ trái qua phải. y y O a b x O a b x Đồ thị hàm số tăng Đồ thị hàm số giảm 1.1.2.2. Hàm số chẵn lẻ Cho hàm số f (x ) xác định trên tập đối xứng D (∀x ∈ D thì −x ∈ D ). Khi đó: f được gọi là chẵn nếu với mọi x ∈ D , ta có: f (−x ) = f (x ) . f được gọi là lẻ nếu với mọi x ∈ D , ta có: f (−x ) = − f (x ) . Ví dụ 4: * Hàm số y = f (x ) = cos x + x 2 − x là hàm số chẵn. * Hàm số y = g(x ) = x 3 − x là hàm số lẻ. 7
Chú ý: - Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng với nhau qua trục Oy . - Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng với nhau qua gốc O . y y y = f (x ) O x O x Dạng đồ thị của hàm số chẵn Dạng đồ thị hàm số lẻ 1.1.2.3. Hàm số tuần hoàn Hàm số f (x ) được gọi là tuần hoàn trên miền D nếu tồn tại hằng số T ≠ 0 sao cho với mọi x ∈ D , ta có: f (x + T ) = f (x ) . Số T0 > 0 nhỏ nhất trong định nghĩa (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn f . Ví dụ 5 * Hàm số y = f (x ) = sin x ; y = f (x ) = cos x tuần hoàn với chu kì T0 = 2π . * Hàm số y = f (x ) = tan x ; y = f (x ) = cot x tuần hoàn với chu kì T0 = π . 2π * Hàm số y = sin(ax + b) ; y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T0 = . a 1.1.3. Hàm số hợp và hàm số ngược 1.1.3.1. Hàm số hợp Cho hàm số f : X → Y , g : Y → Z , với f (X ) ⊂ Y . Khi đó, hàm số đn h : X → Z với h(x ) = g [ f (x )] được gọi là hàm số hợp của f và g . Kí hiệu là: h = g f . y = f (x ) f g x đn gf h (x ) = g [ f (x )] Miền xác định của hàm hợp g f là tập các số thực x thuộc miền xác định của hàm f sao cho f (x ) thuộc miền xác định của hàm g . Chú ý: ( g f ) (x ) ≠ ( f g ) (x ) 8
Ví dụ 6: Cho hàm số f (x ) = x , g(x ) = x − 5 . Hãy xác định các hàm hợp g f , f g , g g , f f và miền xác định của chúng. Giải Ta có: f (x ) = x Miền xác định Df = [ 0; +∞ ) . g(x ) = x − 5 Miền xác định Dg = . Suy ra : ( g f ) (x ) = g [ f (x )] = g( x ) = x − 5. Miền xác định D = [ 0; +∞ ) . ( f g ) (x ) = f [g(x )] = x − 5 Miền xác định D = [5; +∞ ) . ( f f ) (x ) = f [ f (x )] = x = 4x . Miền xác định D = [ 0; +∞ ) . ( g g ) (x ) = g [g(x )] = x − 10 . Miền xác định D = . ? Cho hàm số f (x ) = 2x + 1 , g(x ) = x 2 + 4 . Hãy xác định các hàm hợp g f , f g , g g , f f và miền xác định của chúng. 1.1.3.2. Hàm số ngược Cho hàm số f : X → Y x y = f (x ) có miền xác định X và miền giá trị Y thỏa với x1 ≠ x 2 thì f (x1 ) ≠ f (x 2 ) . Khi đó, hàm số ngược của f , kí hiệu f −1 được xác định: f −1 : Y → X y x = f −1(y ) (thỏa điều kiện y = f (x ) ) có miền xác định Y và miền giá trị là tập X . Ví dụ 7 y =x * Hàm số y = x 3 có hàm số ngược là x = 3 y . y y = ex * Hàm số y = e x có miền xác định D = và y = ln x có miền giá trị là T = ( 0; +∞ ) . Hàm này có hàm ngược là x = ln y xác định trên D = ( 0; +∞ ) và có miền giá trị là T = . O x Chú ý + Đồ thị của hai hàm số ngược nhau đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x . + Có một số hàm nếu xét chung trên miền xác định của nó thì không tồn tại hàm ngược nhưng khi giới hạn lại miền xác định thì sẽ tồn tại hàm ngược, cụ thể : 9
Hàm số y = x 2 , D = không có hàm số ngược trên toàn trục số vì nó không phải là một song ánh. Nhưng hàm y = x 2 có D = [0;+∞) sẽ có hàm ngược y= x. + Nếu hàm tăng (giảm) nghiêm ngặt trên (a, b) thì sẽ có hàm ngược trên (a, b) . 1.1.4. Các hàm số sơ cấp cơ bản α y y = x2 1.1.4.1. Hàm lũy thừa y = x , ∀α ∈ y =x Miền xác định: D = trừ các trường hợp y = x 1/ 2 * Nếu α nguyên dương thì hàm số có miền xác định là . y = x −1 * Nếu α nguyên âm hoặc α = 0 thì hàm số có O x miền xác định là * . Đồ thị * Luôn đi qua điểm (1;1) . * α > 0 hàm số đồng biến trên khoảng (0; +∞) . * α < 0 hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) . Một số tính chất của lũy thừa a α = a n = a.a......a ( n thừa số a ) a0 = 1 1 a α = 1α = 1, ∀α a −n = an aα α −β a α .a β = a α + β β =a a (a α )β = a α .β (ab)α = a α .bα m  a α a α   = α an = n am b  b na = b ⇔ bn = a n ab = n a .n b a na p n = n (b > 0) n a p = ( n a ) (a > 0) b b mna = mn a Với a > 1 , a α > a β ⇔ α > β Với 0 < a < 1 , a α < a β ⇔ α > β 1.1.4.2. Hàm số mũ y = a x , 0 < a ≠ 1 y = ax y = ax y Hàm số mũ là hàm có dạng y = a x , trong (a < 1) (a > 1) đó a được gọi là cơ số và 0 < a ≠ 1 và x là biến. 10
Miền xác định: D = Miền giá trị là: T = (0; +∞) . Đồ thị * a > 1 : hàm tăng * 0 < a < 1 : hàm giảm. * Luôn đi qua điểm (0,1) , nằm phía trên trục Ox và tiệm cận với Ox . 1.1.4.3. Hàm số logarit Hàm số ngược của hàm số mũ y = a x được gọi là hàm logarit, kí hiệu y = loga x , 0 < a ≠ 1 . Miền xác định của hàm logarit là D = (0, +∞) và miền giá trị là T = . Logarit thập phân : lg b = log b = log10 b  1 n Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b = loge b (với e = lim  1 +  ≈ 2, 718281 ) n →∞  n Theo công thức biến đổi cơ số, ta có: lg x ln x =. lg e y y = loga x Đồ thị: * a > 1 : hàm tăng. (a > 1) * 0 < a < 1 : hàm giảm. * Luôn đi qua điểm (1, 0) , nằm bên phải trục Oy và tiệm cận với Oy . O 1 x Một số tính chất của logarit: 0 < a, b, c ≠ 1 y = loga x loga 1 = 0 loga a = 1 (a < 1) a loga b = b loga ab = b b loga (bc) = loga b + loga c loga   = loga b − loga c c  1 loga bα = α loga b logaα c = loga c (α ≠ 0) α loga b logb c = . loga b. logb c = loga c loga c 1 loga b = a logb c = c logb a logb a 11
1.1.4.4. Các hàm số lượng giác cos x và sin x được xem là tọa độ của điểm Px trên đường tròn đơn vị (C), ở vị trí cách điểm A(1,0) một độ dài x , được đo dọc theo đường tròn (C) theo ngược chiều kim đồng hồ nếu x > 0 và cùng chiều nếu x < 0 . Khi đó, số đo của góc sin x cos x AOP = x (radians). Ta cũng định nghĩa tan x = ; cot x = cos x sin x Trên hình ta có y B C OP = cos x . D Q Px OQ = sin x . BD = cot x x x AC = tan x A(1,0) O P * Hàm y = sin x có miền xác định là D = và miền giá trị là T = [ −1;1] , hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0 = 2π . * Hàm y = cos x có miền xác định là D = và miền giá trị là T = [ −1;1] , hàm chẵn, tuần hoàn với chu kỳ T0 = 2π . * Hàm số y = tan x có miền xác định là D = \ {π2 + kπ } (k ∈ ) và miền giá trị là T = , hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ T0 = π . * Hàm số y = cot x có miền xác định là D = \ {k π } (k ∈ ) và miền giá trị là T = và tuần hoàn với chu kỳ T0 = π . 1.1.4.5. Các hàm lượng giác ngược a. Hàm số y = arcsin x π π Do y = sin x là hàm tăng nghiêm ngặt trên  − ;  nên có hàm ngược là  2 2  π π f −1 : [ −1;1] →  − ;   2 2  (1.1.5) x y = arcsin x π 3 π Ví dụ 8: arcsin 0 = 0; arcsin(−1) = − ; arcsin = . 2 2 3 b. Hàm số y = arccos x Do y = cos x là hàm giảm nghiêm ngặt trên [ 0; π ] nên có hàm ngược là 12
f −1 : [ −1;1] → [ 0; π ] (1.1.6) x y = arccos x π 3 π −1 2π Ví dụ 9: arccos 0 = ; arccos(−1) = π ; arccos = ; arccos = . 2 2 6 2 3 c. Hàm số y = arctan x π π Do y = tan x là hàm tăng nghiêm ngặt trên  − ;  nên có hàm ngược là  2 2 π π f −1 : →  − ;  (1.1.7)  2 2 x y = arctan x −π π Ví dụ 10: arctan 0 = 0; arctan(−1) = ; arctan 3 = . 4 3 π π * Qui ước : arctan ( +∞ ) = ; arctan ( −∞ ) = − 2 2 d. Hàm số y = arc cot x Do y = cot x là hàm giảm nghiêm ngặt trên ( 0; π ) nên có hàm ngược là f −1 : → ( 0; π ) (1.1.8) x y = arc cot x p 3p p Ví dụ 11: arc cot 0 = ; arc cot(-1) = ; arc cot 3 = . 2 4 6 * Qui ước : arc cot ( +∞ ) = 0; arc cot ( −∞ ) = π . 1.2. Giới hạn và tính liên tục của hàm số 1.2.1. Giới hạn của dãy số 1.2.1.1. Định nghĩa dãy số Cho hàm số f (n ) xác định trên tập số tự nhiên . Ứng với các giá trị n = 1, 2,3,... ta có tập giá trị x1 = f (1), x2 = f (2),... lập thành một dãy số. Kí hiệu: {x n } . (1.2.1) x n : số hạng tổng quát của {x n } . n : chỉ số của số hạng x n . 13
n 1 2 Ví dụ 12: x n = ⇒ {x n } : ; ;... n +1 2 3 x n = (−1)n ⇒ {x n } : -1; 1; -1;... Nhắc lại + Cấp số cộng {x n } với công sai d : x n = x n −1 + d = x1 + (n − 1)d và tổng n n Sn = ∑ xn = [2x1 + (n − 1)d ] . (1.2.2) i =1 2 + Cấp số nhân {x n } với công bội q : x n = x n −1.q = x1.q n −1 và tổng n 1 − qn Sn = ∑ x n = x1 1−q , (q ≠ 1) . (1.2.3) i =1 1.2.1.2. Giới hạn dãy số Dãy số {x n } được gọi là hội tụ về L (hữu hạn) khi n → ∞ nếu (∀ε > 0) (∃N 0 ∈ ) (∀n > N 0 thì x n − L < ε ) . (1.2.4) n →∞ Kí hiệu: lim x n = L hay x n  →L. n →∞ Chú ý: Nếu dãy {x n } có giới hạn thì ta nói dãy hội tụ, ngược lại nếu {x n } không có giới hạn thì ta nói dãy phân kỳ. Ví dụ 13: Chứng minh 1 1 a) lim = 0 . Tổng quát : lim k = 0 n →∞ n n →∞ n 1 1 1 Thật vậy, ∀ε > 0, xét x n − L = − 0 = < ε ⇔ n > . n n ε Ta chọn N 0 =   . 1  ε  Khi đó: ∀ε > 0, ∃N 0 =   ∈ : ∀n > N0 thì 1 1  ε  −0 0, xét x n − L = q n − 0 = q n < ε ⇔ n > log q ε . Ta chọn N 0 = log q ε  . Khi đó: ∀ε > 0, ∃N 0 = log q ε ∈ : ∀n > N0 thì q n − 0 < ε . 14
Vậy lim q n = 0 . n →∞ Các dãy dần đến vô cực * lim x n = ∞ ⇔ ( ∀M > 0, ∃N0 : ∀n > N 0 ⇒ x n > M ) . n →∞ * lim x n = +∞ ⇔ ( ∀M > 0, ∃N0 : ∀n > N 0 ⇒ x n > M ) . n →∞ * lim x n = −∞ ⇔ ( ∀M > 0, ∃N0 : ∀n > N 0 ⇒ x n < −M ) . n →∞ Ví dụ 14: Chứng minh lim n = ∞ . n →∞ Thật vậy: ∀M > 0, xét x n > M ⇔ n > M ⇔ n > M ⇔ n > M2 Ta chọn số tự nhiên N 0 sao cho N 0 > M 2 . Khi đó: ∀M > 0, ∃N 0 : ∀n > N0 ⇒ n >M. Vậy lim n = ∞ . n →∞ 1.2.1.3. Các phép toán Định lý: Nếu lim x n = L và lim yn = M thì n →∞ n →∞ i) lim(x n ± yn ) = L ± M . ii) lim(x n .yn ) = L.M . n →∞ n →∞ x  L iii) lim  n  = (yn ≠ 0, ∀n, M ≠ 0) . iv) lim kx n = k .L n →∞  yn  M n →∞ ( k là một hằng số) 2n 3 − 4n 2 + 3n + 3 n2 − n + 3 Ví dụ 15: Tính: a) lim . b) lim n →∞ n 3 − 5n + 7 n →∞ n + 2n 3 5n 2 − n − 2 2n + 4n c) lim d) lim n n n →∞ n +1 n →∞ 2.3 + 4 e) lim 4n 2 + 1 − n n →∞ 2 n + 3n − 1 ( f) lim 2n − 4n 2 − 6n + 1 . n →∞ ) Định nghĩa i) Dãy {x n } được gọi là dãy tăng (hay tăng nghiêm ngặt) nếu x n ≤ x n +1, ∀n (hay x n < x n +1, ∀n ). Dãy {x n } được gọi là dãy giảm (hay giảm nghiêm ngặt) nếu x n ≥ x n +1, ∀n (hay x n > x n +1, ∀n ). 15
Dãy tăng hoặc giảm được gọi là dãy đơn điệu. ii) Dãy {x n } được gọi là bị chặn dưới (trên) nếu tồn tại A sao cho A ≤ x n , ∀n ( x n ≤ A, ∀n ). Dãy {x n } được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và chặn dưới. 1.2.1.4. Một số tính chất đặc biệt của dãy i) Giới hạn của một dãy {x n } (nếu có) là duy nhất. ii) Mỗi dãy hội tụ đều bị chặn. Ngoài ra ta còn chứng minh được các tiêu chuẩn hội tụ quan trọng của dãy như sau Định lý 1 (Tiêu chuẩn kẹp giữa) Cho {x n } , {yn } và {z n } . Nếu: lim x n = lim yn = L và x n ≤ z n ≤ yn , ∀n n →∞ n →∞ thì lim z n = L . n →∞ sin n Ví dụ 16: Tìm giới hạn lim n →∞ n 1 sin n 1 Giải: Ta có: ∀n ∈ N * , ta có − ≤ ≤ . n n n sin n Vì lim   = lim  −  = 0 nên lim 1 1 = 0. n →∞  n  n →∞  n  n →∞ n Định lý 2 (điều kiện tồn tại giới hạn) Nếu {x n } tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) thì nó là dãy hội tụ (có giới hạn hữu hạn). Định lý 3 (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để dãy {x n } hội tụ là (∀ε > 0) (∃N 0 ) ∈ ) (∀n, m > N 0 ⇒ x n − x m < ε . 1.2.2. Giới hạn hàm số 1.2.2.1. Định nghĩa (ngôn ngữ ε , δ ) Số L (hữu hạn) được gọi là giới hạn của f (x ) khi x → x 0 , x ≠ x 0 nếu (∀ε > 0)( ∃δ (ε ) > 0) ( ∀x : 0 < x − x 0 < δ ⇒ f (x ) − L < ε ) (1.2.5) Ki hiệu: lim f (x ) = L hay f (x ) → L khi x → x 0 . x →x 0 x2 − 4 Ví dụ 17: Dùng định nghĩa chứng minh lim = 4. x →2 x − 2 x2 − 4 Thật vậy, ∀ε > 0 , xét: f (x ) − L < ε ⇔ −4 < ε ⇔ x −2 < ε . x −2 Ta chọn δ = ε . Khi đó: 16
x2 − 4 ∀ε > 0, ∃δ = ε > 0 : ∀x thỏa 0 < x − 2 < δ , ta có: −4 0)( ∃δ (ε ) > 0) ( ∀x : 0 < x 0 − x < δ ⇒ f (x ) − L < ε ) (1.2.7) Kí hiệu: lim− f (x ) = L hay f (x 0− ) . x →x 0 * Số L được gọi là giới hạn phải của f (x ) khi x → x 0 nếu (∀ε > 0)( ∃δ (ε ) > 0) ( ∀x : 0 < x − x 0 < δ ⇒ f (x ) − L < ε ) (1.2.8) Kí hiệu: lim+ f (x ) = L hay f (x 0+ ) . x →x 0 Ví dụ 19: Xét hàm số: f (x ) = x tại x 0 = 1 , ta có f (1+ ) = lim+ f (x ) = lim+ x = 1 . x →1 x →1 17