Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 6-Bài 3: Hàm số mũ - Hàm số lôgarit

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:33

Thêm vào BST

Báo xấu

3
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều – Chương 6-Bài 3 được xây dựng dành cho học sinh lớp 11 nhằm củng cố kiến thức về tính chất và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit. Nội dung gồm phần lý thuyết tổng quát, các bài tập nhận dạng đồ thị, xác định miền xác định và đạo hàm hàm số. Các dạng bài tập phong phú được kèm theo lời giải chi tiết. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu ôn tập bài 3 để thành thạo hàm mũ hàm lôgarit.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 6-Bài 3: Hàm số mũ - Hàm số lôgarit

BÀI 3. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT • CHƯƠNG 6. LOGARIT PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA I. HÀM SỐ MŨ 1. Định nghĩa Nhận xét: Tương ứng mỗi giá trị x với giá trị y  (1,062) x xác định một hàm số, hàm số đó gọi là hàm số hàm số mũ cơ số 1,062. Kiến thức trọng tâm Cho số thực a ( a  0, a  1) . Hàm số y  a x được gọi là hàm số mũ cơ số a . Tập xác định của hàm số mũ y  a x (a  0, a  1) là  . Ví dụ 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ? a) y  x 2 b) y  ( 3) x 1 c) y  ; x d) y  x 5 . Giải Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số y  ( 3) x là có dạng y  a x với a  3 nên y  ( 3) x là hàm số mũ. Kiến thức trọng tâm Đồ thị hàm số y  a x (a  0, a  1) là một đường cong liền nét, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 , nằm ở phía trên trục hoành và đi lên nếu a  1 , đi xuống nếu 0  a  1. Nhận xét: Cho hàm số mũ y  a x (a  0, a  1) . y  a x (a  1) y  a x (0  a  1) - Tập xác định:  ; tập giá trị: (0;  ) . - Tập xác định:  ; tập giá trị: (0;  ) . - Tính liên tục - Tính liên tục Hàm số y  a x (a  1) là hàm số liên tục trên Hàm số y  a x (0  a  1) là hàm số liên tục trên . . - Giới hạn đặc biệt lim a x  0, lim a x  . - Giới hạn đặc biệt lim a x  , lim a x  0. x  x  x  x  - Sự biến thiên Hàm số đồng biến trên  . - Sự biến thiên Hàm số nghịch biến trên  . - Bảng biến thiên - Bảng biến thiên Trang 1
Chú ý: Từ tính liên tục và sự biến thiên của hàm số mũ, ta có thể chứng minh được mệnh đề sau: Với mỗi N  0 , đường thẳng y  N cắt đồ thị hàm số mũ y  a x (a  0, a  1) tại một và chỉ một điểm (Hình 4 minh hoạ trường hợp a  1 ). Nói cách khác, ta có: Với mỗi N  0 , tồn tại duy nhất số thực  sao cho a  N . Ví dụ 2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y  3x. Giải Vì hàm số y  3x có cơ số 3  1 nên ta có bảng biến thiên như sau:  1 Đồ thị của hàm số y  3x là một đường cong liền nét đi qua các điểm A  1;  , B(0;1), C (1;3), D(2;9) 3  (Hình 5). Trang 2
t 1 T Ví dụ 3. Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được cho bởi công thức: m(t )  m0    ;   2 trong đó m0 là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t  0 ), m (t ) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t và T là chu kì bán rã (Nguồn: Giải tích 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Hạt nhân Poloni (Po) là chất phóng xạ  có chu kì bán rã là 138 ngày (Nguồn: Vật lí 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Giả sử lúc đầu có 100 gam Poloni. Tính khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày theo đơn vị gam (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Giải 100  1 138 Khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày là: m(100)  100     60, 5( g ). 2 II. HÀM SỐ LÔGARIT 1. Định nghĩa Ta có định nghĩa sau: Kiến thức trọng tâm Cho số thực a ( a  0, a  1) . Hàm số y  log a x được gọi là hàm số lôgarit cơ số a . Tập xác định của hàm số lôgarit y  log a x(a  0, a  1) là (0;  ) . Ví dụ 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôgarit? a) y  log x 5 b) y  log x e ; c) y  log5 x d) y  x5 . Giải Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số y  log5 x là có dạng hàm số lôgarit y  loga x (với a  5  0 và a  1 ). Vậy hàm số y  log5 x là hàm số lôgarit. 2. Đồ thị và tính chất Khám phá kiến thức Đồ thị hàm số y  log a x(a  0, a  1) là một đường cong liền nét, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 , nằm ở phía bên phải trục tung và đi lên nếu a  1 , đi xuống nếu 0  a  1. Nhận xét: Cho hàm số lôgarit y  log a x với a  0, a  1 . y  log a x với a  1 y  log a x với 0  a  1 - Tập xác định: (0;  ) ; tập giá trị:  . - Tập xác định: (0;  ) ; tập giá trị:  . - Tính liên tục - Tính liên tục Hàm số y  log a x(a  1) là hàm số liên tục Hàm số y  log a x(0  a  1) là hàm số liên tục trên khoảng (0;  ) . trên khoảng (0;  ) . - Giới hạn đặc biệt - Giới hạn đặc biệt Trang 3
lim log a x  , lim log a x  . lim log a x  , lim log a x  . x  0 x  x  0 x  - Sự biến thiên - Sự biến thiên Hàm số đồng biến trên (0;  ) . Hàm số nghịch biến trên (0;  ) . - Bảng biến thiên - Bảng biến thiên Ví dụ 5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  log3 x. Giải Vì hàm số y  log 3 x có cơ số 3  1 nên ta có bảng biến thiên như sau: 1  Đồ thị của hàm số y  log3 x là một đường cong liền nét đi qua các điểm A  ; 1 , B(1;0) , 3  C (3;1), D (9; 2) (Hình 9). Ví dụ 6. Lốc xoáy là hiện tượng một luồng không khí xoáy tròn mở rộng ra từ một đám mây dông xuống tới mặt đất (Hình 10). Các cơn lốc xoáy thường có sức tàn phá rất lớn. Tốc độ S (dặm/giờ) của gió gần tâm của một cơn lốc xoáy được tính bởi công thức: S  93log d  65 , trong đó d (dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy di chuyển được. (Nguồn: Ron Larson, Intermediate Algebra, Cengage) Hãy tính tốc độ của gió ở gần tâm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường là: a) 5 dặm; b) 10 dặm. Trang 4
Giải a) Tốc độ của gió ở gần tâm khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường 5 dặm là: S  93log 5  65  130 (dặm/giờ) b) Tốc độ của gió ở gần tâm khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường 10 dặm là: S  93log10  65  158 (dặm/giờ) PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG) Dạng 1. Tính chất và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit x 1 Câu 1. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y    . 3 Câu 2. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  log 1 x . 3 Câu 3. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Tìm tập xác định của các hàm số: a) y  12 x ; b) y  log5 (2 x  3) ; c) y  log 1   x 2  4  . 5 Câu 4. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của hàm số đó? Vì sao? x  3 a) y    ;  2    x  3 26  b) y    3   ;   c) y  log x d) y  log 15 x. 4 Câu 5. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) y  4 x ; b) y  log 1 x . 4 Câu 6. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) y  4 x ; b) y  log 1 x . 4 Trang 5
Câu 7. (Vẽ đồ thị hàm số mũ) Vẽ đồ thị của hàm số mũ y  ( 2) x . Câu 8. (Vẽ đồ thị hàm số lôgarit) Vẽ đồ thị của hàm số lôgarit y  log 2 x . Câu 9. Vẽ đồ thị của các hàm số mũ sau: x 1 a) y  ( 3) x ; b) y    .  4 Câu 10. Vẽ đồ thị của các hàm số lôgarit sau: a) log 3 x ; b) y  log 2 x . 3 x 3 Câu 11. Vẽ đồ thị hàm số y    . 2 Câu 12. Vẽ đồ thị hàm số y  log 0,5 x . Câu 13. (SGK - KNTT 11 - Tập 2) Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y  log | x  3 | ; b) y  ln  4  x 2  Câu 14. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y  12 x ; b) y  log 5 (2 x  3) . Câu 15. Tìm tập xác định của các hàm số: 2 x 5 1 a) y    2 x 1 b) y  3 x 1 c) y  1,5 x  2 ; d) y  log5 (1  5 x) ; e) y  log  4 x 2  9  ; g) y  ln  x 2  4 x  4  . Câu 16. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y  log 3 ( x  1) ; b) y  log 1 | x  1| 2 Câu 17. Tìm tập xác định của các hàm số: a) y  log 2 ( x  4) ; b) y  log 0,2  x 2  2 x  1 ; x c) y  log 5 . x 1 Câu 18. Dựa vào đồ thị hàm số, cho biết với giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y  3x : a) Nằm ở phía trên đường thẳng y  3 ; b) Nằm ở phía dưới đường thẳng y  1 . Câu 19. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  log 3  4 x 2  4 x  m  xác định trên  . Trang 6
Câu 20. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hàm số y  log a 2  2 a 1 x nghịch biến trên khoảng (0; ) Câu 21. Cho hàm số mũ f ( x)  a x (a  0) . Chứng minh rằng: f ( x  1) a) a; f ( x) 1 b) f ( x)  ; f ( x) c) f  x1  x2   f  x1   f  x2  . Câu 22. Cho hàm số lôgarit f ( x)  log a x(0  a  1) . Chứng minh rằng: 1 a) f     f ( x); b) f  x    f ( x) . x Câu 23. So sánh các cặp số sau: a) 0, 750,1 và 0, 750,2 ; 3 b) 4 và 5 8 1 1 c) 4 và 3 27 9 Câu 24. So sánh các cặp số sau: a) log 0,2  và log 0,2 3 ; b) 4 log 3 2 và 3log 3 3 15 . Câu 25. So sánh các cặp số sau: a) 1, 041,7 và 1, 042 ; 2 3    3 5  3 5 b)   và   ; 5 5 c) 1, 2 và 0,91,8 ; 0,3 0,4 1 d)   và 30,2 . 3 Câu 26. So sánh các cặp số sau: a) 3 và 5 27 ; 4 3 1  1  b)   và   ; 9  27  1 c) 3 và 5 25 5 d) 9 0, 710 và 10 0, 79 . Câu 27. So sánh các cặp số sau: a) log 4, 9 và log 5, 2 ; b) log 0,3 0, 7 và log 0,3 0,8 ; c) log 3 và log3  . Câu 28. So sánh các cặp số sau: a) 2 log 0,6 5 và 3 log 0,6 (2 3 3) ; b) 6 log 5 2 và 2 log 5 6 ; Trang 7
1 c) log 2 121 và 2 log 2 2 3 ; 2 d) 2 log 3 7 và 6 log 9 4 . 9x Câu 29. Cho hàm số f ( x)  . 9x  3 a) Với a, b là hai số thực thoả mãn a  b  1 . Tính f (a)  f (b) . 1   2   2022  b) Tính tổng: S  f   f     f  .  2023   2023   2023  Câu 30. Ta định nghĩa các hàm sin hyperbolic và hàm côsin hyperbolic như sau: 1 x x 1 sinh x  2     e  e ; cosh x  e x  e x . 2 Chứng minh rằng: a) sinh x là hàm số lẻ; b) cosh x là hàm số chẵn; c) (cosh x) 2  (sinh x)2  1 với mọi x . Câu 31. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số a) y  f ( x )  2 x trên đoạn [2;3] ; 2 x 1 1 b) y  f ( x)    trên đoạn [1; 2] . 3 Câu 32. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số x  5 a) y  f ( x)    trên đoạn [1; 4] ;  2    1 b) y  f ( x)  x trên đoạn [2; 2] . 3 Câu 33. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 1 a) y  f ( x)  log 1 x trên đoạn  ;3 ;   3 3   1  b) y  f ( x )  log 2 ( x  1) trên đoạn   ;3 .  2  Dạng 2. Ứng dụng Câu 34. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Ta coi năm lấy làm mốc để tính dân số của một vùng (hoặc một quốc gia) là năm 0 . Khi đó, dân số của quốc gia đó ở năm thứ t là hàm số theo biến t được cho bởi công thức: S  A.e rt , trong đó A là dân số của vùng (hoặc quốc gia) đó ở năm 0 và r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm (Nguồn: Giải tích 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Biết rằng dân số Việt Nam năm 2021 ước tính là 98564407 người và tỉ lệ tăng dân số là 0,93%/năm (Nguồn: https://danso.org/viet-nam). Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm là như nhau tính từ năm 2021, nêu dự đoán dân số Việt Nam năm 2030 (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) . Câu 35. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mồ phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau: f (t )  c 1  e  kt  , trong đó c là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, k (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, t (ngày) là thời gian học và f (t ) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng. tốc độ tiếp thu Trang 8
của em học sinh là k  0, 2 . Hỏi em học sinh sẽ học được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 2 ngày? Sau 8 ngày? (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Câu 36. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Chỉ số hay độ pH của một dung dịch được tính theo công thức: pH   log  H   . Phân tích nồng độ ion hydrogen  H   trong hai mẫu nước sông, ta có kết      7  9 quả sau: Mẫu 1:  H   8 10 ; Mâu 2:  H   2 10 .     Không dùng máy tính cầm tay, hãy so sánh độ pH của hai mẫu nước trên. Câu 37. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Cô Yên gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất 6% /năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Yên không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau y (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là  x  x (đồng), cô Yên sử dụng công thức y  log1,06   . Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì cô Yên có  10  thể rút ra được số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiệm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Câu 38. Các nhà tâm lí học sử dụng mô hình hàm số mũ để mô phỏng quá trình học tập của một học sinh như sau: f (t )  c 1  e  kt  , trong đó c là tổng số đơn vị kiến thức học sinh phải học, k (kiến thức/ngày) là tốc độ tiếp thu của học sinh, t (ngày) là thời gian học và f (t ) là số đơn vị kiến thức học sinh đã học được. (Nguồn: R.I. Charles et al., Algebra 2, Pearson). Giả sử một em học sinh phải tiếp thu 25 đơn vị kiến thức mới. Biết rằng tốc độ tiếp thu của em học sinh là k  0, 2 . Hỏi em học sinh sẽ học được (khoảng) bao nhiêu đơn vị kiến thức mới sau 2 ngày? Sau 8 ngày (Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Câu 39. Cô Yên gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép có kì hạn là 12 tháng với lãi suất 6% / năm. Giả sử qua các năm thì lãi suất không thay đổi và cô Yên không gửi thêm tiền vào mỗi năm. Để biết sau y (năm) thì tổng số tiền cả vốn và lãi có được là x (đồng), cô Yên sử x  dụng công thức y  log1,06    . Hỏi sau ít nhất  10  bao nhiêu năm thì cô Yên có thể rút ra được số tiền 15 triệu đồng từ tài khoản tiết kiệm đó (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Câu 40. Các nhà khoa học xác định được chu kì bán rã của 14 C là 5730 năm, tức là sau 5730 năm 6 thì số nguyên tử 14 C giảm đi một nửa. 6 a) Gọi m0 là khối lượng của 14 C tại thời điểm t  0 . Viết công thức tính khối lượng m(t ) của 14 C 6 6 tại thời điểm t (năm). b) Một cây còn sống có lượng 14 C trong cây được duy trì không đổi. Nhưng nếu cây chết thì lượng 6 14 6 C trong cây phân rã theo chu kì bán rã của nó. Các nhà khảo cổ đã tìm thấy một mẫu gỗ cổ được xác định chết cách đây 2000 năm. Tính tỉ lệ phần trăm lượng 14 C còn lại trong mẫu gỗ cổ đó so với 6 lúc còn sinh trưởng (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). I Câu 41. Mức cường độ âm L( dB) được tính bởi công thức L  10 log , trong đó I  W / m 2  là 1012 cường độ âm. Tai người có thể nghe được âm có cường độ âm từ 1012 W / m2 đến 10W / m2 . Tính mức cường độ âm mà tai người có thể nghe được. Câu 42. Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn bằng công thức: Trang 9
t  1 T m(t )  m0   2 trong đó m0 là khối lượng của chất phóng xạ tại thời điểm ban đầu t  0, m(t ) là khối lượng của chất phóng xạ tại thời điểm t , T là chu kì bán rã (là thời gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành chất khác). Biết rằng đồng vị plutonium-234 có chu kì bán rã khoảng 9 giờ. Từ khối lượng plutonium-234 ban đầu là 100 g , hãy tính khối lượng plutonium-234 còn lại sau: a) 9 giờ; b) 1 ngày. (Kết quả tính theo gam và làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Câu 43. Nếu một ô kính ngăn khoảng 3% ánh sáng truyền qua nó thì phần trăm ánh sáng p truyền qua n ô kính liên tiếp được cho gần đúng bởi hàm số sau: p(n)  100  (0,97)n . a) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 10 ô kính? b) Có bao nhiêu phần trăm ánh sáng sẽ truyền qua 25 ô kính? (Kết quả ở câu a và câu b được làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 44. Số tiền ban đầu 120 triệu đồng được gửi tiết kiệm với lãi suất năm không đổi là 6% . Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) thu được sau 5 năm nếu nó được tính lãi kép: a) hằng quý; b) hằng tháng; c) liên tục. (Kết quả được tính theo đơn vị triệu đồng và làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba). Câu 45. Chu kì bán rã của đồng vị phóng xạ Radi 226 là khoảng 1600 năm. Giả sử khối lượng m (tính bằng gam) còn lại sau t năm của một lượng Radi 226 được cho bởi công thức: t  1 1600 m  25    . 2 a) Khối lượng ban đầu (khi t  0 ) của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu? b) Sau 2500 năm khối lượng của lượng Radi 226 đó là bao nhiêu? Câu 46. Trong Vật lí, mức cường độ âm (tính bằng deciben, kí hiệu là dB ) được tính bởi công l thức L  10 log , trong đó I là cường độ âm tính theo W / m2 và I 0  1012 W / m 2 là cường độ âm I0 chuẩn, tức là cường độ âm thấp nhất mà tai người có thể nghe được. a) Tính mức cường độ âm của một cuộc trò chuyện bình thường có cường độ âm là 107 W / m2 . b) Khi cường độ âm tăng lên 1000 lần thì mức cường độ âm (đại lượng đặc trưng cho độ to nhỏ của âm) thay đổi thế nào? Câu 47. Sau khi bệnh nhân uống một liều thuốc, lượng thuốc còn lại trong cơ thể giảm dần và được tính theo công thức D(t )  D0  a t (mg ) , trong đó D0 và a là các hằng số dương, t là thời gian tính bằng giờ kể từ thời điểm uống thuốc. a) Tại sao có thể khẳng định rằng 0  a  1 ? b) Biết rằng bệnh nhân đã uống 100mg thuốc và sau 1 giờ thì lượng thuốc trong cơ thể còn 80mg . Hãy xác định giá trị của D0 và a . c) Sau 5 giờ, lượng thuốc đã giảm đi bao nhiêu phần trăm so với lượng thuốc ban đầu? Trang 10
TOÁN 11-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489 BÀI 3. HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT • CHƯƠNG 6. LOGARIT • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA I. HÀM SỐ MŨ 1. Định nghĩa Nhận xét: Tương ứng mỗi giá trị x với giá trị y  (1,062) x xác định một hàm số, hàm số đó gọi là hàm số hàm số mũ cơ số 1,062. Kiến thức trọng tâm Cho số thực a ( a  0, a  1) . Hàm số y  a x được gọi là hàm số mũ cơ số a . Tập xác định của hàm số mũ y  a x (a  0, a  1) là  . Ví dụ 1. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số mũ? a) y  x 2 b) y  ( 3) x 1 c) y  ; x d) y  x 5 . Giải Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số y  ( 3) x là có dạng y  a x với a  3 nên y  ( 3) x là hàm số mũ. Kiến thức trọng tâm Đồ thị hàm số y  a x (a  0, a  1) là một đường cong liền nét, cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 , nằm ở phía trên trục hoành và đi lên nếu a  1 , đi xuống nếu 0  a  1. Nhận xét: Cho hàm số mũ y  a x (a  0, a  1) . y  a x (a  1) y  a x (0  a  1) - Tập xác định:  ; tập giá trị: (0;  ) . - Tập xác định:  ; tập giá trị: (0;  ) . - Tính liên tục - Tính liên tục Hàm số y  a x (a  1) là hàm số liên tục trên Hàm số y  a x (0  a  1) là hàm số liên tục trên . . - Giới hạn đặc biệt lim a x  0, lim a x  . - Giới hạn đặc biệt lim a x  , lim a x  0. x  x  x  x  - Sự biến thiên Hàm số đồng biến trên  . - Sự biến thiên Hàm số nghịch biến trên  . - Bảng biến thiên - Bảng biến thiên Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Chú ý: Từ tính liên tục và sự biến thiên của hàm số mũ, ta có thể chứng minh được mệnh đề sau: Với mỗi N  0 , đường thẳng y  N cắt đồ thị hàm số mũ y  a x (a  0, a  1) tại một và chỉ một điểm (Hình 4 minh hoạ trường hợp a  1 ). Nói cách khác, ta có: Với mỗi N  0 , tồn tại duy nhất số thực  sao cho a  N . Ví dụ 2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y  3x. Giải Vì hàm số y  3x có cơ số 3  1 nên ta có bảng biến thiên như sau:  1 Đồ thị của hàm số y  3x là một đường cong liền nét đi qua các điểm A  1;  , B(0;1), C (1;3), D(2;9)  3 (Hình 5). Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU t 1 T Ví dụ 3. Trong Vật lí, sự phân rã của các chất phóng xạ được cho bởi công thức: m(t )  m0    ;   2 trong đó m0 là khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm t  0 ), m (t ) là khối lượng chất phóng xạ tại thời điểm t và T là chu kì bán rã (Nguồn: Giải tích 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Hạt nhân Poloni (Po) là chất phóng xạ  có chu kì bán rã là 138 ngày (Nguồn: Vật lí 12, NXBGD Việt Nam, 2021). Giả sử lúc đầu có 100 gam Poloni. Tính khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày theo đơn vị gam (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Giải 100 1 138 Khối lượng Poloni còn lại sau 100 ngày là: m(100)  100     60, 5( g ).   2 II. HÀM SỐ LÔGARIT 1. Định nghĩa Ta có định nghĩa sau: Kiến thức trọng tâm Cho số thực a ( a  0, a  1) . Hàm số y  log a x được gọi là hàm số lôgarit cơ số a . Tập xác định của hàm số lôgarit y  log a x(a  0, a  1) là (0;  ) . Ví dụ 4. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lôgarit? a) y  log x 5 b) y  log x e ; c) y  log5 x d) y  x5 . Giải Trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số y  log5 x là có dạng hàm số lôgarit y  loga x (với a  5  0 và a  1 ). Vậy hàm số y  log5 x là hàm số lôgarit. 2. Đồ thị và tính chất Khám phá kiến thức Đồ thị hàm số y  log a x(a  0, a  1) là một đường cong liền nét, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1 , nằm ở phía bên phải trục tung và đi lên nếu a  1 , đi xuống nếu 0  a  1. Nhận xét: Cho hàm số lôgarit y  log a x với a  0, a  1 . y  log a x với a  1 y  log a x với 0  a  1 - Tập xác định: (0;  ) ; tập giá trị:  . - Tập xác định: (0;  ) ; tập giá trị:  . - Tính liên tục - Tính liên tục Hàm số y  log a x(a  1) là hàm số liên tục Hàm số y  log a x(0  a  1) là hàm số liên tục trên khoảng (0;  ) . trên khoảng (0;  ) . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ - Giới hạn đặc biệt - Giới hạn đặc biệt lim log a x  , lim log a x  .  lim log a x  , lim log a x  . x 0 x  x  0 x  - Sự biến thiên - Sự biến thiên Hàm số đồng biến trên (0;  ) . Hàm số nghịch biến trên (0;  ) . - Bảng biến thiên - Bảng biến thiên Ví dụ 5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  log3 x. Giải Vì hàm số y  log 3 x có cơ số 3  1 nên ta có bảng biến thiên như sau: 1  Đồ thị của hàm số y  log3 x là một đường cong liền nét đi qua các điểm A  ; 1 , B(1;0) , 3  C (3;1), D (9; 2) (Hình 9). Ví dụ 6. Lốc xoáy là hiện tượng một luồng không khí xoáy tròn mở rộng ra từ một đám mây dông xuống tới mặt đất (Hình 10). Các cơn lốc xoáy thường có sức tàn phá rất lớn. Tốc độ S (dặm/giờ) của gió gần tâm của một cơn lốc xoáy được tính bởi công thức: S  93log d  65 , trong đó d (dặm) là quãng đường cơn lốc xoáy di chuyển được. (Nguồn: Ron Larson, Intermediate Algebra, Cengage) Hãy tính tốc độ của gió ở gần tâm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường là: a) 5 dặm; b) 10 dặm. Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Giải a) Tốc độ của gió ở gần tâm khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường 5 dặm là: S  93log 5  65  130 (dặm/giờ) b) Tốc độ của gió ở gần tâm khi cơn lốc xoáy di chuyển được quãng đường 10 dặm là: S  93log10  65  158 (dặm/giờ) PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG) Dạng 1. Tính chất và đồ thị của hàm số mũ, hàm số lôgarit x 1 Câu 1. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y    . 3 Lời giải x x 1 1 lim    0; lim     x  3 x  3     x 1 Hàm số y    nghịch biến trên toàn  3 Bảng biến thiên của hàm số: Đồ thị hàm số: x 1 0 1 2 3 y 3 1 1 1 1 3 9 27 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 2. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y  log 1 x . 3 Lời giải lim log 1 x  0; lim log 1 x    x 0 x  3 3 Hàm số y  log 1 x nghịch biến trên toàn (0;  ) 3 Bảng biến thiên của hàm số: Câu 3. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Tìm tập xác định của các hàm số: a) y  12x ; b) y  log5 (2 x  3) ; c) y  log 1   x 2  4  . 5 Lời giải a) Để hàm số y  12 xác định với mọi x   x 3 b) Để hàm số y  log5 (2 x  3) xác định  2 x  3  0  x  2 c) Để hàm số y  log 1  2  2  x  4 xác định  x  4  0  (2  x)(2  x)  0  2  x  2 5 Câu 4. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến trên khoảng xác định của hàm số đó? Vì sao? x  3 a) y    ;  2    x  3 26  b) y    3   ;   c) y  log x d) y  log 15 x. 4 Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Lời giải x 3  3 a) Do 0   1  Hàm số y    2   nghịch biến trên tập xác định của hàm số 2   x 26 3  3 26  b) Do 0   1  Hàm số y    3   nghịch biến trên tập xác định của hàm số 3   c) Do   1  Hàm số y  log x đồng biến trên tập xác định của hàm số 15 d) Do 0   1  Hàm số y  log 15 x nghịch biến trên tập xác định của hàm số 4 4 Câu 5. (SGK - Cánh diều 11 - Tập 2) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) y  4 x ; b) y  log 1 x . 4 Lời giải x a) Bảng biến thiên y  4 Đồ thị hàm số: y  4 x x 1 0 0,5 1 y 1 1 2 4 4 b, Bảng biến thiên: y  log 1 x 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Đồ thị hàm số: y  log 1 x 4 x 1 2 4 1 1 4 2 y 0 1 1 1 1  2 2 Câu 6. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: a) y  4 x ; b) y  log 1 x . 4 Lời giải x a) Vì hàm số y  4 có cơ số 4  1 nên ta có bảng biến thiên như sau:  1 Đồ thị hàm số y  4 x là một đường cong liền nét đi qua các điểm A  1;  , B (0;1) , C (1; 4)(Hinh1) . 4   Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU 1 b) Vì hàm số y  log 1 x có cơ số  1 nên ta có bảng biến thiên như sau: 4 4 1  Đồ thị hàm số y  log 1 x là một đường cong liền nét đi qua các điểm D  ;1 , 4 4  E (1; 0), G (4; 1)( Hinh 2) . Câu 7. (Vẽ đồ thị hàm số mũ) Vẽ đồ thị của hàm số mũ y  ( 2) x . Lời giải Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau: x -4 -2 0 2 4 1 1 y  ( 2) x 1 2 4 4 2 Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số y  ( 2) x như hình sau: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 8. (Vẽ đồ thị hàm số lôgarit) Vẽ đồ thị của hàm số lôgarit y  log 2 x . Lời giải Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau: 1 1 x 1 2 4 4 2 y  log 2 x -4 -2 0 2 4 Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số y  log 2 x như hình dưới đây. Câu 9. Vẽ đồ thị của các hàm số mũ sau: x x 1 a) y  ( 3) ; b) y    . 4 Lời giải a) Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau: x -4 -2 0 2 4 1 1 y  ( 3) x 1 3 9 9 3 Từ đó, ta vẽ được đồ thị của hàm số y  ( 3) x như hình sau: b) Lập bảng giá trị của hàm số tại một số điểm như sau: x -2 -1 0 1 2 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/