intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 1-Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:80

Thêm vào BST
Báo xấu
1
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 1-Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản là tài liệu dành cho học sinh lớp 11 luyện tập cách giải các phương trình sin, cos, tan đơn giản. Tài liệu bao gồm lý thuyết nền tảng, các dạng bài trắc nghiệm điển hình và hướng dẫn giải chi tiết. Thông qua việc rèn luyện bài tập theo chuyên đề, học sinh sẽ nắm vững phương pháp tìm nghiệm lượng giác chính xác. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để giải tốt các bài phương trình lượng giác trong đề kiểm tra.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 1-Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

  1. TOÁN 11-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489 BÀI 4. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN • CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA I. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG Hai phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Nếu phương trình f1 ( x )  g1 ( x ) tương đương với phương trình f 2 ( x )  g 2 ( x ) thì ta viết f1 ( x )  g1 ( x )  f 2 ( x )  g 2 ( x ) . Ví dụ 1. Hai phương trình x  3  0 và x 2  6 x  9  0 có tương đương không? Vì sao? Giải Tập nghiệm của phương trình x  3  0 là S1  {3} . Tập nghiệm của phương trình x 2  6 x  9  0 là S 2  {3} . Vì S1  S 2 nên hai phương trình x  3  0 và x 2  6 x  9  0 tương đương. Định lí sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng: Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mối tương đương. a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. Ví dụ 2. Giải phương trình: x 2  6 x  8  2  x . Giải Ta có: x 2  6 x  8  2  x  x 2  6 x  8  (2  x )  0  x 2  5 x  6  0  x  2  x  3. II. PHƯƠNG TRÌNH sin x  m Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình sin x  m như sau: - Với | m | 1 , phương trình sin x  m vô nghiệm.    - Với | m | 1 , gọi  là số thực thuộc đoạn   ;  sao cho sin   m . Khi đó, ta có:  2 2  x    k 2 sin x  m  sin x  sin    (k  ).  x      k 2 Chú ý a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình sin x  m :  - sin x  1  x   k 2 (k  ) 2  - sin x  1  x    k 2 (k  ) ; 2  x  k 2 - sin x  0    x  k ( k  ) .  x    k 2  f ( x)  g ( x)  k 2 b) Ta có sin f ( x)  sin g ( x)   ( k  ) .  f ( x)    g ( x)  k 2 c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho sin x  sin a như sau:  x  a   k 360 sin x  sin a       ( k  ).  x  180  a  k 360 Ví dụ 3. Giải phương trình: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 1 a) sin x   2 2 b) sin x  2 Giải       1    x   6  k 2  x   6  k 2 a) Do sin      nên sin x  sin       (k   )  6 2  6  x         k 2  x  7  k 2       6  6      2   x  4  k 2  x  4  k 2 b) Do sin  nên sin x  sin    (k   ) . 4 2 4  x      k 2  x  3  k 2   4   4 Ví dụ 4. Giải phương trình: a) sin 3 x  sin 2 x ; b) sin x  cos 3 x . Giải   x  k 2 a) sin 3x  sin 2 x  3x  2 x  k 2  ( k  ) . 3x    2 x  k 2  x    k 2    5 5      x  2  3 x  k 2 b) sin x  cos 3 x  sin x  sin   3 x    2   x       3x   k 2     2        4 x  2  k 2  x  8 k 2   (k  )  2 x    k 2  x     k   2   4       Vì   k ∣      k ∣   nên ta có thể viết như sau: k k  4   4     x  8  k 2 sin x  cos 3 x   (k  ).  x     k   4 III. PHƯƠNG TRÌNH cos x  m Trong trường hợp tổng quát, ta có thể giải phương trình cos x  m như sau: - Với | m | 1 , phương trình cos x  m vô nghiệm. - Với | m | 1 , gọi  là số thực thuộc đoạn [0;  ] sao cho cos   m . Khi đó, ta có:  x    k 2 cos x  m  cos x  cos    (k  ).  x    k 2 Chú ý a) Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình cos x  m : - cos x  1  x  k 2 (k ) ; - cos x  1  x    k 2 (k  ) ;  - cos x  0  x   k ( k   ) . 2 Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU  f ( x)  g ( x)  k 2 b) Ta có cos f ( x)  cos g ( x)   ( k  ) .  f ( x)   g ( x)  k 2 c) Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho  x  a   k 360 cos x  cos a như sau: cos x  cos a      (k  ) .  x  a  k 360 Ví dụ 5. Giải phương trình: 3 a) cos x  ; 2 2 b) cos x   . 2 Giải    3   x  6  k 2 a) Do cos  nên cos x  cos   6 2 6  x     k 2   6  3 3 2 3  x  4  k 2 b) Do cos  nên cos x  cos  (k  ) . 4 2 4  x   3  k 2   4   Ví dụ 6. Giải phương trình: cos 3x  cos  x   .  3 Giải       3x  x  3  k 2  x  6  k Ta có: cos 3 x  cos  x      (k  ) .  3 3x    x     k 2 x     k        3  12 2 IV. PHƯƠNG TRİNH tan x  m Trong trường hợp tổng quát, ta có cách giải phương trình tan x  m như sau:    Gọi  là số thực thuộc khoảng   ;  sao cho tan   m . Khi đó với mọi m   , ta có:  2 2 tan x  m  tan x  tan   x    k (k ) . Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho tan x  tan a như sau: tan x  tan a   x  a   k180 ( k   ) . Ví dụ 7. Giải phương trình: 1 a) tan x  3 b) tan x  1 . Giải  1 1   a) Do tan  nên tan x   tan x  tan  x   k ( k   ) . 6 3 3 6 6      b) Do tan     1 nên tan x  1  tan x  tan     x    k (k  ) .  4  4 4 V. PHƯƠNG TRÌNH cot x  m Trong trường hợp tổng quát, ta có cách giải phương trình cot x  m như sau: Gọi  là số thực thuộc khoảng (0;  ) sao cho cot   m . Khi đó với mọi m   , ta có: cot x  m  cot x  cot   x    k ( k  ). Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cot x  cot a như sau: cot x  cot a   x  a   k180 (k  ). Ví dụ 8. Giải phương trình: cot 2 x   3 . Giải 5 Do cot  3 nên cot 2 x   3  cot 2 x  cot 5 . 6 5 5   2x   k  x   k ( k  ). 6 12 2 VI. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG CIÁC CƠ BẢN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY Có thể sử dụng máy tính cầm tay (MTCT) để giải các phương trình lượng giác cơ bản. Ví dụ 9. Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn). a) sin x  0, 6 ; 1 b) cos x   3 c) tan x  3 . Giải Sau khi chuyển máy tính sang chế độ "radian". a) Bấm liên tiếp Ta được kết quả gần đúng là 0, 644. Vậy phương trình sin x  0, 6 có các nghiệm là: x  0, 644  k 2 , k   và x    0, 644  k 2 , k  . b) Bấm liên tiếp Ta được kết quả gần đúng là 1,911. 1 Vậy phương trình cos x   có các nghiệm là: x  1,911  k 2 , k  . 3 c) Bấm liên tiếp Ta được kết quả gần đúng là 1,047. Vậy phương trình tan x  3 có nghiệm là: x  1, 047  k , k   . Chú ý 1 Để giải phương trình cot x  a(a  0) bằng MTCT, ta đưa về giải phương trình tan x  . a x Ví dụ 10. Một cây cầu có dạng cung AB của đồ thị hàm số y  4, 2  cos và được mô tả trong hệ 8 trục toạ độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 38. Một sà lan chở khối hàng hoá được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3 m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 12,5 m. Giải Với mỗi điểm M nằm trên mặt cầu, khoảng cách từ điểm M đến mặt nước tương ứng với giá trị tung độ y của điểm M . Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU x x 5 x    Xét phương trình: 4, 2  cos  3  cos  . Do x [4 ;4 ] nên    ;  . 8 8 7 8  2 2 x 5 x x Khi đó, ta có: cos    0, 775 , suy ra  0, 78 | x | 6, 24 . 8 7 8 8 Do sà lan có thể đi qua được gầm cầu nên chiều rộng của khối hàng hoá là: 2 x  12, 48  12,5  m  . PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG) DẠNG 1. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG x2 1 Câu 1. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Hai phương trình x  1  0 và  0 có tương đương không? Vì x 1 sao? Câu 2. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Khẳng định 3 x  6  0  3 x  6 đúng hay sai? 2 Câu 3. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Giải phương trình:  x  1  5 x  11 Câu 4. Phương trình x 2  3x tương đương với phương trình nào trong bốn phương trình sau ? 1 1 1 :x 2  x  2  3x  x  2 .  2  :x 2   3x  . x 3 x3  3 :x 2 x  3  3 x x  3 .  4  :x 2  x 2  1  3 x  x 2  1 . Câu 5. Tìm m để cặp phương trình sau tương đương mx 2  2  m  1 x  m  2  0 (1) và 2 2  m  2 x  3x  m  15  0 (2) Câu 6. Tìm m để cặp phương trình sau tương đương 2 x 2  mx  2  0 1 và 2 x3   m  4  x 2  2  m  1 x  4  0  2  DẠNG 2. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Câu 7. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) 3 a) Giải phương trình: sin x  2 b) Tìm góc lượng giác x sao cho sin x  sin 55 .   Câu 8. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Giải phương trình sin 2 x  sin  x    4 Câu 9. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) 1 a) Giải phương trình cos x   2 b) Tìm góc lượng giác x sao cho cos x  cos  87  Câu 10. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) a) Giải phương trình: tan x  1 . b) Tìm góc lượng giác x sao cho tan x  tan 67 . Câu 11. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) a) Giải phương trình: cot x  1 . b) Tìm góc lượng giác x sao cho cot x  cot  83  Câu 12. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn): a) sin x  0, 2 ; 1 b) cos x   ; 5 c) tan x  2 . Câu 13. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Giải phương trình: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/   3 a) sin  2 x      3 2   1 b) sin  3x      4 2 x  3 c) cos     2 4 2 d) 2 cos 3 x  5  3 ; e) 3 tan x   3 ; g) cot x  3  3(1  cot x) . Câu 14. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Một vệ tinh nhân tạo bay quanh Trái Đất theo một quỹ đạo là đường elip (Hình 33). Độ cao h( km) của vệ tinh so với bề mặt Trái Đất được xác định bởi công thức  h  550  450cos t (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021), trong 50 đó t là thời gian tính bằng phút kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo. Tại thời điểm t bằng bao nhiêu thì vệ tinh cách mặt đất 1000 km; 250 km;100 km ? Câu 15. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40 Bắc    trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số d (t )  3sin  (t  80)   12 182  với t   và 0  t  365 . (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020) a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm? b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời? c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời? Câu 16. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 39). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h( m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) (với t  0 ) bởi hệ thức h | d | với   d  3cos  (2t  1)  , trong đó ta quy ước d  0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu  3  và d  0 trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian t nào thì khoảng cách h là 3 m;0 m ? Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Câu 17. Giải các phương trình sau: x  3 a) sin      2 3 4 b) sin 3x  30  sin 45    3    c) sin  3x    sin   x   4  6      d) sin  4 x    0 e) cos   x    1  3  3    7  f) cos  5 x    sin   2x   3  4  2   1 g) cos  2 x  25    h) cos   2 x    2 6  4 Câu 18. Giải các phương trình sau:   a) tan  2 x  1  tan   x    3 b) tan 3x  10  3     c) 3 tan  3 x    1  6   d) cot  2 x    1  3 e) 2 cot  3 x   3     f) cot  x    cot  2 x    3  6 DẠNG 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÓ ĐIỀU KIỆN NGHIỆM Câu 19. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Dùng đồ thị hàm số y  sin x, y  cos x để xác định số nghiệm của phương trình:  5 5  a) 3sin x  2  0 trên khoảng   ;  ;  2 2   5 5  b) cos x  0 trên đoạn   ;  .  2 2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/    Câu 20. 1. Tìm nghiệm thuộc khoảng   ; 2   4    a) sin   2 x   1 6      b) cos  2 x    cos  x    3  3     c) tan  3x    tan  x    4  6 2. Tìm nghiệm thuộc khoảng   ;    3  a) cot   x  0  4    b) 2sin  x    2  6 c) tan   x   tan  2 x  1 DẠNG 4. SỬ DỤNG CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN Câu 21. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Giải phương trình:   a) sin  2 x    sin x  4 b) sin 2 x  cos 3 x ;   c) cos2 2 x  cos 2  x   .  6 Câu 22. Giải các phương trình sau:     a) cos  3 x    sin  2 x    0  6  3 b) tan 3 x  tan x  0 Câu 23. Giải các phương trình sau:  π  4π  a) cos 2  x    sin 2  2 x    5  5  b) 4 cos 2  2 x  1  1 Câu 24. Giải các phương trình sau: a) cos x  cos 2 x  cos 3 x  0 b) 8sin 2 x.cos 2 x.cos 4 x  2 c) cos 3 x  cos 5 x  sin x d) sin 7 x  sin 3 x  cos 5 x Câu 25. Giải các phương trình sau:  5π   π a) cot   3 x   tan  2 x    0  3   3 b) cot x.cot 2 x  1 Câu 26. Giải các phương trình sau: a) tan x  3cot x b) 2 sin 2 x  cos 2 x  2  π Câu 27. Giải các phương trình: 2 sin  2 x    3sin x  cos x  2  4 Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Câu 28. Giải các phương trình: 1  sin x  cos x  sin 2 x  cos 2 x  0 Câu 29. Giải các phương trình:  2 cos x  1 2sin x  cos x   sin 2 x  sin x Câu 30. Giải các phương trình: cos 3 x  cos 2 x  cos x  1  0 Câu 31. Tìm m để:  π 3π  a) Phương trình sin x  m có đúng hai nghiệm thuộc   ;  .  4 4  π 3π  b) Phương trình  2 cos x  1 sin 2 x  m   0 có đúng hai nghiệm thuộc   ;  .  4 4 PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ) 1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá Câu 1. Hai phương trình được gọi là tương đương khi A. Có cùng tập xác định. B. Có số nghiệm bằng nhau. C. Có cùng dạng phương trình. D. Có cùng tập hợp nghiệm. Câu 2. Trong các phương trình sau, phương trình nào tương với phương trình x  1  0 ? A. x  2  0 . B. x  1  0 . C. 2 x  2  0 . D.  x  1 x  2   0 . Câu 3. Cho phương trình: x2  x  0 (1) . Phương trình nào tương đương với phương trình (1) ? A. x  x  1  0 . B. x  1  0 . C. x 2  ( x  1) 2  0 . D. x  0 Câu 4. Xét trên tập số thực, khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hai phương trình x 2  1  0 và x  1  3 là hai phương trình tương đương. B. Các phương trình bậc 3 một ẩn đều có 3 nghiệm thực. C. Các phương trình bậc 2 một ẩn đều có 2 nghiệm thực. D. Định lý Vi-ét không áp dụng cho phương trình bậc 2 có nghiệm kép. Câu 5. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2  3 x  0 ? 1 1 A. x 2 x  3  3 x x  3. B. x 2   3x  . x3 x3 C. x  x 1  3x  x 1. . 2 2 2 D. x 2  x  2  3 x  x  2. . Câu 6. Cho phương trình f  x  g  x xác định với mọi x  0 . Trong các phương trình dưới đây, phương trình nào không tương đương với phương trình đã cho? f  x g  x A. x 2  2 x  3. f  x  x 2  2 x  3.g  x . B.  . x x C. k . f  x  k .g  x , với mọi số thực k  0 D.  x 2  1. f  x   x 2  1.g  x . Câu 7. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: x2  4  0 ?   A.  2  x   x 2  2 x  1  0  B.  x  2  x 2  3x  2  0  C. x 2  3  1 D. x2  4 x  4  0 Câu 8. Khẳng định nào sau đây là sai? x 1 A. x 1  2 x 1  x 1  0 B. x 2  1  0  0 x 1 2 2 C. x  2  x  1   x  2    x  1 D. x 2  1  x  1 Câu 9. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. 2 x  x  3  1  x  3 và 2 x  1 x x 1 B.  0 và x  0 x 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2 C. x  1  2  x và x  1   2  x  D. x  x  2  1  x  2 và x  1 Câu 10. Hai phương trình nào sau đây không tương đương với nhau: A. x  1  x và  2 x  1 x  1  x  2 x  1 B.  x  1 2  x   0 và 1  x . 2  x  0 2x x2 2x C. 2  và  x2  x  1 x 1 x 1 D. x 2  x  2   0 và x . x  2  0 Câu 11. Phép biến đổi nào sau đây là phép biến đổi tương đương? 2 2 2 2 2 A. x  x  2  x  x  2  x  x . B. 2 x  x  2 x  x . 2 2 2 2 2 2 C. x  x  2  x  x  2  x  x . D. x  x  3  x  x  3  x  x . Câu 12. Khi giải phương trình x 2  5  2  x 1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Bước 1 : Bình phương hai vế của phương trình 1 ta được: x 2  5  (2  x)2  2  Bước 2 : Khai triển và rút gọn  2  ta được: 4 x  9 . 9 Bước 3 :  2   x  . 4 9 Vậy phương trình có một nghiệm là: x  . 4 Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào? A. Đúng. B. Sai ở bước 1 . C. Sai ở bước 2 . D. Sai ở bước 3 . 2 Câu 13. Phương trình x  3 x tương đương với phương trình: A. x 2 x  3  3 x x  3 . B. x 2  x2  1  3x  x 2  1 . 1 1 C. x 2  x  2  3 x  x  2 . D. x 2   3x  . x3 x3  x  3 x  4   0 1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Câu 14. Khi giải phương trình  x 2 Bước 1 : 1   x  3  x  4  0  2 x 2 Bước 2 :   x  3  0  x  4  0 . x 2 Bước 3 :  x  3  x  4 . Bước 4 :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T  3; 4 . Cách giải trên sai từ bước nào? A. Sai ở bước 2 . B. Sai ở bước 1 . C. Sai ở bước 4 . D. Sai ở bước 3 .  x  5 x  4  0 1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau: Câu 15. Khi giải phương trình  x 3 Bước 1 : 1   x  5  x  4   0  2 x 3 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Bước 2 :   x  5  0  x  4  0 . x 3 Bước 3 :  x  5  x  4 . Bước 4 :Vậy phương trình có tập nghiệm là: T  5; 4 . Cách giải trên sai từ bước nào? A. Sai ở bước 3 . B. Sai ở bước 2 . C. Sai ở bước 1 . D. Sai ở bước 4 . Câu 16. Phép biến đổi nào sau đây đúng A. 5 x  x  3  x 2  x 2  5 x  x  3 . x  2  x  x  2  x2 . B. x3 3 2 x C. 3 x  x  1  x 2  x  1  3x  x 2 . D.    x2  2x  0 . x ( x  1) x x  1 1 Câu 17. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình x   1 ? x A. 7  6 x  1  18. B. 2 x  1  2 x  1  0. C. x x  5  0. D. x 2  x  1. 3x  2 2x Câu 18. Cho phương trình 1  . Với điều kiện x  1, phương trình đã cho tương đương với x 1 x 1 phương trình nào sau đây? A. 3x  2   x  1  2 x. B. 3x  2  1  2 x. C. 3x  2  x  1  2 x. D. 3x  2  2 x. Câu 19. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau: A. x 3  2 x  x 2  x 2  x và x 3  2 x  x. B. 3 x x  1  8 3  x và 6 x x  1  16 3  x . 2 5 C. x  1  x 2  2 x và x  2   x  1 . D. x  2  2 x và x  . 3 Câu 20. Khẳng định nào sau đây là sai? x 1 A. x 2  1  0   0. B. x2  1  x  1. x 1 2 2 C. x  2  x  1   x  2    x  1 . D. x  1  2 1  x  x  1  0. Câu 21. Khẳng định nào sau đây là đúng? 2x  3 2 A. 3 x  x  2  x 2  x  2  3 x  x 2 . B.  x  1  2 x  3   x  1 . x 1 C. 3 x  x  2  x 2  3 x  x 2  x  2. D. x  1  3 x  x  1  9 x 2 . Câu 22. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. x  x  1  1  x  1 và x  1 . B. x  x  2   x và x  2  1. C. x  x  2  1  x  2 và x  1 . D. x  x  2   x và x  2  1 . Câu 23. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: x x 1 A. 2x  x  3  1  x  3 và 2 x  1 . B.  0 và x  0 . x 1 2 C. x  1  2  x và x  1   2  x  . D. x  x  2  1  x  2 và x  1. x Câu 24. Nghiệm của phương trình sin  1 là 2  A. x    k 4 , k   . B. x  k 2 , k   . C. x    k 2 , k   . D. x   k 2 , k  . 2   Câu 25. Phương trình sin  x    1 có nghiệm là  3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  5 5   k 2 . A. x  B. x   k . C. x   k 2 . D. x   2 . 3 6 6 3 Câu 26. Tìm nghiệm của phương trình sin 2 x  1 .    k A. x   k 2 . B. x   k . C. x   k 2 . D. x  . 2 4 4 2 Câu 27. Tìm nghiệm của phương trình 2sin x  3  0 .   3  x  arcsin  2   k 2   A. x  . B.  k   .  3  x    arcsin    k 2  2   3  x  arcsin  2   k 2   C.   k   . D. x   .  3  x   arcsin    k 2  2 Câu 28. Phương trình sin x  1 có một nghiệm là    A. x   . B. x   . C. x  . D. x  . 2 2 3 3 Câu 29. Phương trình sin x  có nghiệm là: 2  x    k  x    k 2   6 3 A. x    k 2 . B. x   k . C.  . D.  . 3 3 x  5  k x  2  k 2  6  3 Câu 30. Tập nghiệm của phương trình sin x  sin 30 là A. S  30  k 2 | k   150  k 2 | k   . B. S  30  k 2 | k  . C. S  30  k 360 | k  . D. S  30  360 | k   150  360 | k   .   Câu 31. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin  x    1 .  6   A. x   k  k    . B. x    k 2  k    . 3 6  5 C. x   k 2  k    . D. x   k 2  k    . 3 6 Câu 32. Phương trình 2sin x  1  0 có tập nghiệm là:  5   2  A. S    k 2 ;  k 2 , k    . B. S    k 2 ;   k 2 , k    .  6 6   3 3     1  C. S    k 2 ;   k 2 , k    . D. S    k 2 , k    . 6 6  2  Câu 33. Phương trình 2sin x  1  0 có nghiệm là:      x   6  k 2  x   6  k 2 A.  B.   x   7   k 2  x  7   k 2   6   6 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU      x  6  k 2 x  6  k C.  D.   x  5  k 2   x   7  k    6   6   2 Câu 34. Nghiệm của phương trình cos  x    là:  4 2  x  k 2  x  k A.  B.  k  Z   (k  Z )  x     k  x    k  2  2  x  k  x  k 2 C.  (k  Z ) D.  (k  Z )  x     k 2  x     k 2  2  2 1 Câu 35. Nghiệm của phương trình cos x   là 2 2    A. x    k 2 B. x    k  C. x    k 2 D. x    k 2 3 6 3 6 Câu 36. Giải phương trình cos x  1 . k A. x  , k . B. x  k  , k   . 2  C. x   k 2 , k   . D. x  k 2 , k   . 2  Câu 37. Phương trình cos x  cos có tất cả các nghiệm là: 3 2  A. x   k 2  k    B. x    k  k    3 3   C. x    k 2  k    D. x   k 2  k    3 3 Câu 38. Phương trình cos x  0 có nghiệm là:  A. x   k  k    . B. x  k 2 k   . 2  C. x   k 2 k   . D. x  k  k   . 2   2 Câu 39. Nghiệm của phương trình cos  x    là  4 2  x  k 2  x  k A.   k   . B.   k   .  x     k  x     k  2  2  x  k  x  k 2 C.  k   . D.  k   .  x     k 2  x     k 2  2  2 x Câu 40. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos  0. 3  A. x  k , k  . B. x   k , k  . 2 3 3 C. x   k 6 , k  . D. x   k 3 , k  . 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 41. Phương trình 2 cos x  2  0 có tất cả các nghiệm là  3    x  4  k 2  x  4  k 2 A.  ,k  . B.  ,k  .  x   3  k 2  x     k 2   4   4    7  x  4  k 2  x  4  k 2 C.  ,k  . D.  ,k  .  x  3  k 2  x   7  k 2   4   4 Câu 42. Giải phương trình 2cos x  1  0    x  3  k 2 A. x    k , k   . B.  , k  . 3 x  2  k 2   3    x  3  k C. x    k 2, k   . D.  , k  . 3  x  2  k    3 Câu 43. Nghiệm của phương trình cos x  1 là:  A. x   k , k  . B. x  k 2 , k  . 2 C. x    k 2 , k  . D. x  k , k  . Câu 44. Phương trình lượng giác: 2 cos x  2  0 có nghiệm là    3    7  x  4  k 2  x  4  k 2  x  4  k 2  x  4  k 2 A.  . B.  . C.  . D.  .  x     k 2  x   3  k 2  x  3  k 2  x   7  k 2   4   4   4   4 Câu 45. Tìm công thức nghiệm của phương trình 2cos  x     1 .    x    3  k 2   x     k 2 A.  k   . B.  3  k   .  x    2  k 2    x    k 2  3      x    3  k 2  x    3  k 2 C.   k   D.   k   .  x      k 2  x      k 2   3   3 Câu 46. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình tan x  m ,  m    . A. x  arctan m  k hoặc x    arctan m  k ,  k    . B. x   arctan m  k ,  k    . C. x  arctan m  k 2 ,  k    . D. x  arctan m  k ,  k    . Câu 47. Phương trình tan x  3 có tập nghiệm là Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU       A.   k 2 , k    . B.  . C.   k , k    . D.   k , k    .  3   3   6  Câu 48. Nghiệm của phương trình tan 3x  tan x là k k A. x  , k  . B. x  k , k   . C. x  k 2 , k  . D. x  , k  . 2 6 Câu 49. Phương trình lượng giác: 3.tan x  3  0 có nghiệm là:     A. x   k . B. x    k 2 . C. x   k . D. x    k . 3 3 6 3 Câu 50. Giải phương trình: tan2 x  3 có nghiệm là:    A. x   k . B. x    k . C. x    k . D. vô nghiệm. 3 3 3 Câu 51. Nghiệm của phương trình 3  3 tan x  0 là:     A. x    k . B. x   k . C. x   k . D. x   k 2 . 6 2 3 2 Câu 52. Giải phương trình 3 tan 2 x  3  0 .    A. x   k  k    . B. x   k  k    . 6 3 2    C. x   k  k    . D. x   k  k    . 3 6 2 Câu 53. Phương trình lượng giác 3cot x  3  0 có nghiệm là:    A. x   k 2 . B. Vô nghiệm. C. x   k . D. x   k . 3 6 3 Câu 54. Phương trình 2 cot x  3  0 cónghiệmlà    x  6  k 2  A.  k  Z  . B. x   k 2  k  Z   x     k 2 3   6 3  C. x  arccot  k  k  Z  . D. x   k  k  Z  . 2 6 Câu 55. Giải phương trình cot  3 x  1   3. 1 5  1   A. x    k k  Z . B. x    k  k  Z  . 3 18 3 3 18 3 5  1  C. x   k  k  Z  . D. x    k  k  Z  . 18 3 3 6 Câu 56. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: 3sin x  m 1  0 có nghiệm? A. 7 B. 6 C. 3 D. 5 Câu 57. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình sin x  m có nghiệm. A. m  1. B. m  1. C. 1  m  1. D. m  1. Câu 58. Tìm tất các các giá trị thực của tham số m để phương trình cos x  m  0 vô nghiệm. A. m   ; 1  1;   . B. m  1;   . C. m   1;1. D. m   ; 1 . Câu 59. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm biểu diễn trên đường tròn lượng giác là 2 điểm M, N ? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ A. 2sin 2 x  1 . B. 2cos 2 x  1 . C. 2sin x  1 . D. 2cos x  1 . Câu 60. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3sin 2 x  m 2  5  0 có nghiệm? A. 6. B. 2. C. 1. D. 7. Câu 61. Cho phương trình cos 5 x  3m  5 . Gọi đoạn  a; b là tập hợp tất cả các giá trị của m để phương trình có nghiệm. Tính 3a  b . 19 A. 5 . B. 2 . . C. D. 6 . 3 Câu 62. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos x  m  1 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số.   Câu 63. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos  2 x    m  2  3 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S . A. T  6. B. T  3. C. T  2. D. T  6. Câu 64. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 3 cos x  m  1  0 có nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. Câu 65. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn  2018;2018 để phương trình m cos x  1  0 có nghiệm? A. 2018. B. 2019. C. 4036. D. 4038. Câu 66. Phương trình sin 2 x  cos x có nghiệm là   k   k x  6  3 x  6  3 A.  k   . B.  k   .  x    k 2  x    k 2   2   3     k 2  x  6  k 2 x  6  3 C.  k   . D.  k   .  x    k 2  x    k 2   2   2 Câu 67. Nghiệm của phương trình sin 3x  cos x là     A. x  k ; x  k . B. x   k ; x   k . 2 8 2 4   C. x  k 2 ; x   k 2 . D. x  k ; x   k . 2 4 2. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh khá-giỏi Câu 68. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: mx 2  2  m  1 x  m  2  0 1 và  m  2  x 2  3x  m2  15  0  2  . Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  17. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU A. m  5. B. m  5; m  4. C. m  4. D. m  5. Câu 69. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: 2 x 2  mx  2  0 1 và 2 x3   m  4  x 2  2  m  1 x  4  0  2  . 1 A. m  2. B. m  3. C. m  2. D. m  . 2 Câu 70. Cho phương trình f  x   0 có tập nghiệm S1  m; 2 m  1 và phương trình g  x   0 có tập nghiệm S2  1; 2  . Tìm tất cả các giá trị m để phương trình g  x   0 là phương trình hệ quả của   phương trình f  x   0 . 3 3 A. 1  m . B. 1  m  2 . C. m . . D. 1  m  . 2 2 Câu 71. Xác định m để hai phương trình sau tương đương: x2  x  2  0 (1) và x 2  2  m  1 x  m 2  m  2  0 (2) A. m  3 B. m  3 C. m  6 D. m  6    3  Câu 72. Cho phương trình sin  2 x    sin  x   . Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng  0;   của  4  4  phương trình trên. 7 3  A. . B.  . C. . D. . 2 2 4  Câu 73. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình  m  2  sin 2 x  m  1 nhận x  làm nghiệm. 12 A. m  2. B. m  2  3 1 . C. m  4. D. m  1. 32   3   Câu 74. Phương trình sin 3 x        có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng 0;  ?      3 2  2  A. 3 . B. 4 . C. 1 . D. 2 . Câu 75. Số nghiệm của phương trình 2sin x  3  0 trên đoạn đoạn  0; 2  . A. 3. B. 1. C. 4. D. 2.   3   Câu 76. Phương trình sin  3 x     có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng  0;  ?  3 2  2 A. 3 . B. 4 . C. 1. D. 2 . 3 Câu 77. Phương trình sin 2 x   có hai công thức nghiệm dạng   k ,   k  k   với  ,  2    thuộc khoảng   ;  . Khi đó,    bằng  2 2    A. . B.  . C.  . D.  . 2 2 3 1    Câu 78. Tính tổng S của các nghiệm của phương trình sin x  trên đoạn  2 ; 2  . 2   5    A. S  . B. S  . C. S  . D. S  . 6 3 2 6   Câu 79. Số nghiệm của phương trình sin  x    1 thuộc đoạn  ;2  là:  4 A. 3 . B. 2 . C. 0 . D. 1 . Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
  18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 80. Phương trình sin 5 x  sin x  0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn  2018 ; 2018  ? A. 20179 . B. 20181 . C. 16144 . D. 16145 .  3  Câu 81. Số nghiệm thực của phương trình 2sin x  1  0 trên đoạn   ;10  là:  2  A. 12 . B. 11 . C. 20 . D. 21 .   Câu 82. Phương trình: 2sin  2 x    3  0 có mấy nghiệm thuộc khoảng  0;3  .  3 A. 8 . B. 6 . C. 2 . D. 4 .    Câu 83. Tổng các nghiệm thuộc khoảng   ;  của phương trình 4 sin 2 2 x  1  0 bằng:  2 2   A.  . B. . C. 0 . D. . 3 6 1   Câu 84. Biết các nghiệm của phương trình cos 2 x   có dạng x   k và x    k , k   ; với 2 m n m, n là các số nguyên dương) Khi đó m  n bằng A. 4. B. 3. C. 5. D. 6.  Câu 85. Phương trình 2cos  x    1 có số nghiệm thuộc đoạn  0; 2  là    3 A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Câu 86. Nghiệm lớn nhất của phương trình 2cos 2 x  1  0 trong đoạn  0;   là: 11 2 5 A. x   . B. x . C. x  . D. x  . 12 3 6 Câu 87. Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một góc là nghiệm của phương 1 trình cos 2 x   . 2  2          2    A.  , ,  . B.  , ,  ;  , ,  .  3 6 6 3 3 3  3 6 6             C.  , ,  ;  , , . D.  , ,  . 3 3 3 4 4 2 3 3 3 1 Câu 88. Số nghiệm của phương trình cos x  thuộc đoạn  2 ; 2  là? 2 A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1. Câu 89. Phương trình cos 2 x  cos x  0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng   ;   ? A. 2 . B. 3 . C. 1. D. 4 . Câu 90. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x  cos x  0 trên khoảng  0; 2  bằng T . Khi đó T có giá trị là: 7 4 A. T  . B. T  2 . C. T  . D. T   . 6 3  5  Câu 91. Số nghiệm của phương trình 2 cos x  3 trên đoạn 0;  là  2 A. 2 . B. 1. C. 4 . D. 3 . Câu 92. Tính tổng các nghiệm trong đoạn  0;30 của phương trình: tan x  tan3x 171 190 A. 55 . B. . C. 45 . D. . 2 2 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  19. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU  3 Câu 93. Nghiệm của phương trình tan x  được biểu diễn trên đường tròn lượng giác ở hình bên là 3 những điểm nào? y B D C A' O A x E F B' A. Điểm F , điểm D . B. Điểm C , điểm F . C. Điểm C , điểm D , điểm E , điểm F . D. Điểm E , điểm F . 3   Câu 94. Số nghiệm của phương trình tan x  tan trên khoảng  ; 2  là? 11 4  A. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 95. Tổng các nghiệm của phương trình tan 5 x  tan x  0 trên nửa khoảng  0;   bằng: 5 3 A. . B.  . C. . D. 2 . 2 2 0  0 0  Câu 96. Tính tổng các nghiệm của phương trình tan 2 x 15  1 trên khoảng 90 ;90 bằng)  0 0 0 0 A. 0 . B. 30 . C. 30 . D. 60 .    k k Câu 97. Nghiệm của phương trình cot  x    3 có dạng x    , k  , m , n  * và là  3 m n n phân số tối giản. Khi đó m  n bằng A. 3 . B. 5 . C. 3 . D. 5 . Câu 98. Hỏi trên đoạn  0; 2018  , phương trình 3 cot x  3  0 có bao nhiêu nghiệm? A. 2018. B. 6340. C. 2017. D. 6339. 3 Câu 99. Số nghiệm của phương trình sin  2 x  400   với 1800  x  1800 là ? 2 A. 2 . B. 4 . C. 6 . D. 7 .   Câu 100. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2sin  4 x    1  0.  3  7   A. x  . B. x  . C. x  . D. x  . 4 24 8 12 Câu 101. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình  2 cos x  1 sin 2 x  cos x   0 trên    ta sin x  1  0; 2    được kết quả là: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
  20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2   A. T  . B. T  . C. T   . D. T  . 3 2 3 Câu 102. Phương trình sin x  cos x có số nghiệm thuộc đoạn  ;  là: A. 3 B. 5 C. 2 D. 4  x  x  Câu 103. Giải phương trình  2 cos  1  sin  2   0  2  2  2  A. x    k 2 ,  k    B. x    k 2 ,  k    3 3  2 C. x    k 4 ,  k    D. x    k 4 ,  k    3 3 Câu 104. Phương trình 8.cos 2 x.sin 2 x.cos 4 x   2 có nghiệm là        x  32  k 4  x  16  k 8 A.   k   . B.   k   .  x  5  k   x  3  k    32 4   16 8       x  8  k 8  x  32  k 4 C.   k   . D.   k   .  x  3  k   x  3  k    8 8   32 4 Câu 105. Tìm số nghiệm của phương trình sin  cos 2 x   0 trên  0; 2  . A. 2 . B. 1 . C. 4 . D. 3 . Câu 106. Trong khoảng  0;   , phương trình cos 4 x  sin x  0 có tập nghiệm là S . Hãy xác định S .   2 3 7    3  A. S   ; ; ; . B. S   ;  .  3 3 10 10   6 10     7    5 3 7  C. S   ; ;  . D. S   ; ; ;  .  6 10 10   6 6 10 10  Câu 107. Phương trình cos3x.tan 5x  sin 7 x nhận những giá trị sau của x làm nghiệm     A. x  . B. x  10 ; x  . C. x  5  x  . D. x  5  x  2 10 10 20 1  sin 2 x Câu 108. Giải phương trình 2  tan 2 x  4 . 1  sin x     A. x    k 2 . B. x    k 2 . C. x    k . D. x    k . 3 6 3 6 cos x 1  2sin x  Câu 109. Giải phương trình  3. 2 cos 2 x  sin x  1   A. x    k 2 . B. x    k 2 . 6 6    C. x   k 2 . D. x    k 2 , x    k 2 . 6 6 2 Câu 110. Giải phương trình sin x.cos x 1  tan x 1  cot x   1 . k A. Vô nghiệm. B. x  k 2 . C. x  . D. x  k . 2 Câu 111. Phương trình sin 2 x  cos x  0 có tổng các nghiệm trong khoảng  0; 2  bằng A. 2 . B. 3 . C. 5 . D. 6 . Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
74=>2