Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 1-Bài 1: Góc lượng giác - Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:78

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 1-Bài 1: Góc lượng giác - Giá trị lượng giác của góc lượng giác là tài liệu dành cho học sinh lớp 11 nhằm ôn tập kiến thức cơ bản về góc và các giá trị lượng giác. Tài liệu trình bày tóm tắt lý thuyết dễ hiểu, hệ thống câu hỏi trắc nghiệm tiêu biểu và lời giải chi tiết. Học sinh có thể nắm chắc các công thức lượng giác cơ bản cũng như kỹ năng giải bài tập nhanh chóng. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu để chuẩn bị tốt cho các bài kiểm tra chương lượng giác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 1-Bài 1: Góc lượng giác - Giá trị lượng giác của góc lượng giác

BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC • CHƯƠNG 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA I. GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Góc hình học và số đo của chúng Như chúng ta đã biết, góc (còn được gọi là góc hình học) là hình gồm hai tia chung gốc. Mỗi góc có một số đo, đơn vị đo góc (hình học) là độ. Cụ thể như sau: Nếu ta chia đường tròn thành 360 cung tròn bằng nhau thì góc ở tâm chắn mỗi cung đó là 1 . Số đo của một góc (hình học) không vượt quá 180 . Một đơn vị khác được sử dụng nhiều khi đo góc là radian (đọc là ra-đi-an). Nếu trên đường tròn, ta lấy một cung tròn có độ dài bằng bán kính thì góc ở tâm chắn cung đó gọi là góc có số đo 1 radian, gọi tắt là góc 1 radian. 1 radian còn viết tắt là 1 rad. Nhận xét Ta biết góc ở tâm có số đo 180 sẽ chắn cung bằng nửa đường tròn (có độ dài bằng  R ) nên số R đo góc 180 bằng rad   rad . R 0  180         Do đó, 1rad     57 17 45 và 1    rad  0, 0175rad .     180   Chú ý: Người ta thường không viết chữ radian hay rad sau số đo của góc. Chẳng hạn, rad cũng 2  được viết là . 2 Ví dụ 1. Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc đặc biệt sau. Độ 30 ? 60 ? 120 ? 180 Radian ?  ?  ? 3 ? 4 2 4 Giải Ta có bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc đặc biệt. Độ 30  45 60 90 120 135 180 Radian     2 3  6 4 3 2 3 4 2. Góc lượng giác và số đo của chúng a) Khái niệm Cho hai tia Ou , Ov . Nếu tia Om quay chỉ theo chiều dương (hay chỉ theo chiều âm) xuất phát từ tia Ou đến trùng với tia Ov thì ta nói: Tia Om quét một góc luợng giác với tia đầu Ou và tia cuối Ov , kí hiệu là (Ou , Ov ) . Ví dụ 2. Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác đó trong Hình 4a . Trang 1
Giải: Trong Hình 4a , góc lượng giác là (Ox, Oy ) với tia đầu Ox tia đầu và tia cuối Oy . Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou , tia cuối Ov và số đo của góc đó. Ví dụ 3. Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác trong mỗi trường hợp sau: a) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou , tia cuối Ov và có số đo 510 ; 7 b) Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou , tia cuối Ov và có số đo  . 6 Giải a) Ta có 510  360  150 . Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou , tia cuối Ov và có số đo 510 được biểu diễn ở Hình 6a . 7   b) Ta có        . Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou , tia cuối Ov và có số đo 6  6 7  được biểu diễn ở Hình 6b . 6 b) Tính chất Cho hai góc lượng giác (Ou , Ov ),  O u  , O  v  có tia đầu trùng nhau  Ou  O u   , tia cuối trùng nhau ( Ov  O v   . Khi đó, nếu sử dụng đơn vị đo là độ thì ta có: (Ou , Ov )   O u  , O  v   k 360 với k là số nguyên Nếu sử dụng đơn vị đo là radian thì công thức trên có thể viết như sau: (Ou , Ov )   Ou  , O  v    k 2 với k là số nguyên. Ví dụ 4. Cho góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou , tia cuối Ov và có số đo 60 . Cho góc lượng giác ( O΄u΄, O΄v΄ ) có tia đầu O u   Ou , tia cuối O΄v΄  Ov . Viết công thức biểu thị số đo góc lượng giác ( O΄u΄, O΄v΄ ). Giải Ta có: O΄u΄, O΄v΄  (Ou, Ov)  k 360  60  k 360 (k ). Hệ thức Chasles về số đo của góc lượng giác Với ba tia tuỳ ý Ou , Ov, Ow , ta có: (Ou , Ov )  (Ov, Ow)  (Ou , Ow)  k 2 ( k  ). 3 5 Ví dụ 5. Cho góc lượng giác ( Ou, Ov) có số đo là , góc lượng giác (Ou , Ow) có số đo là . 4 4 Tìm số đo của góc lượng giác (Ov, Ow) . Giải Theo hệ thức Chasles, ta có: 5 (Ov, Ow)  (Ou , Ow)  (Ou, Ov)  k 2 5 3     k 2   k 2 (k  ). 4 4 2 Trang 2
II. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC Trong mục này, ta sẽ mở rộng các giá trị lượng giác của góc hình học thành giá trị lượng giác của góc lượng giác. Đó là cơ sở để xây dựng các hàm số lượng giác (biến số thực), những hàm số quan trọng trong toán học, khoa học - kĩ thuật và trong thực tiễn. 1. Đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , ta quy ước: Chiều ngược chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương và chiều quay của kim đồng hồ là chiều âm. Như vậy, mặt phẳng toạ độ Oxy đã được định hướng. Trong mặt phẳng toạ độ đã được định hướng Oxy , lấy điểm A(1; 0) . Đường tròn tâm O , bán kính OA  1 được gọi là đường tròn luợng giác (hay đường tròn đơn vị) gốc A . Chú ý: Các điểm B(0;1), A (1;0), B (0; 1) nằm trên đường tròn lượng giác. Ví dụ 6. Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM )  135 . Giải Gọi M là điểm chính giữa của cung BA trên đường tròn lượng giác. Ta có: (OA, OM )  135 (Hình 9). 2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác Gọi toạ độ của điểm M trong hệ toạ độ Oxy là ( x; y ) . - Hoành độ x của điểm M gọi là côsin của góc lượng giác  và kí hiệu cos  ,cos   x . - Tung độ y của điểm M gọi là sin của góc lượng giác  và kí hiệu sin  ,sin   y . sin  sin  - Nếu cos   0 thì tỉ số gọi là tang của góc lượng giác  và kí hiệu tan  , tan   . cos  cos  cos  - Nếu sin   0 thì tỉ số gọi là côtang của góc lượng giác  và kí hiệu cot  , sin  cos  cot   . sin  Ví dụ 7. Tìm các giá trị lượng giác của góc lượng giác   120 . Giải Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, OM )    120 (Hình 11). Gọi H , K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox , Oy . Khi đó, ta có:   120 , suy ra BOM  KOM  30 . AOM   Theo hệ thức trong tam giác vuông KOM , ta có: Trang 3
 3  1 OK  OM  cos KOM  cos 30  và MK  OM  sin KOM  sin 30  . 2 2  1 3  M  ;  2 2     3 1 sin120 cos120 3  sin120  ; cos120   ; tan120     3;cot120    . 2 2 cos120 sin120 3 Dấu của các giá trị lượng giác của góc   (OA, OM ) phụ thuộc vào vị trí điểm M trên đường tròn lượng giác (Hình 12). Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác như sau: 3 Ví dụ 8. Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác    . 4 Giải. 3   3   3   3   3  Do      nên sin     0;cos     0; tan     0;cot   0. 4 2  4   4   4   4  1  cos 2   sin 2   1 với mọi  ;  tan   với cos   0,sin   0 ; cot  1 1 1  tan 2   2 với cos   0; 1  cot 2   với sin   0 . cos  sin 2   Ví dụ 9. Cho góc lượng giác  sao cho     0 và tan   2 . Tính cos  ,sin  . 2 Giải sin  Do tan   2 nên  2 , suy ra sin   2cos  . Vì cos 2   sin 2   1 nên cos  1  cos2   (2cos  ) 2  1 , suy ra cos 2   . Do     0 nên cos   0 . 5 2 1 1 1 2 Từ đó ta có: cos    , suy ra sin   2   . 5 5 5 5 Trang 4
Bảng dưới đây nêu lên các giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.     Ví dụ 10. Tính giá trị của biểu thức: P  cos2  tan  cot 2  sin 3 4 6 2 Giải 2     1 21 Ta có: P  cos 2  tan  cot 2  sin     1  ( 3) 2  1  . 3 4 6 2 2 4 3. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt Ta có các công thức sau cho hai góc đối nhau ( và  ) : sin( )   sin  tan( )   tan  cos( )  cos  cot( )   cot  Ta cũng có các công thức sau cho: - Hai góc hơn kém nhau  (  và    ) (Hình 14): sin(   )   sin  tan(   )  tan  cos(   )   cos  cot(   )  cot  - Hai góc bù nhau (  và    ) (Hình 15): sin(   )  sin  tan(   )   tan  cos(   )   cos  cot(   )   cot    - Hai góc phụ nhau (  và    (Hình 16): 2  Trang 5
    sin      cos  tan      cot  2  2      cos      sin  cot      tan  2  2  Ví dụ 11. Tính: 13 a) sin ; 4  2 b) sin  cos ; 10 5 Giải Ta có: 13      2 a) sin  sin  3    sin       sin   ; 4  4  4 4 2  2    2    b) sin  cos  sin  sin     sin  sin  0 ; 10 5 10 2 5  10 10 4. Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác Ta có thể sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị lượng giác (đúng hoặc gần đúng) của một góc lượng giác khi biết số đo của góc đó. Cụ thể như sau: - Nếu đơn vị của góc lượng giác là độ    , trước hết, ta chuyển máy tính sang chế độ "độ". Phép tính Nút ấn Kết quả sin 3515΄33΄΄ 0.5772758359 tan  205 0.4663076582 - Nếu đơn vị của góc lượng giác là radian (rad), trước hết, ta chuyển máy tính sang chế độ "radian". Phép tính Nút ấn Kết quả  9  0.6234898019 cos     7   2  0.3249196962 cot    5  Ví dụ 12. Dùng máy tính cầm tay để tính: a) sin 423513 ;   2  b) cos  .  5  Giải a) Phép tính Nút ấn Kết quả sin 423513΄΄ ΄ 0.6767082232 b) Trang 6
Phép tính Nút ấn Kết quả  2  0.3090169944 cos    5  PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG) Dạng 1. Đơn vị đo góc Câu 1. Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau Độ 18 ? 72 ? Radian ? 2 ? 5 9 6 Câu 2. Hoàn thành bảng sau: Số đo độ 15 ? 0 900 ? ? Số đo ? 3 ? ? 7 11   rađian 8 12 8 Câu 3. a) Đổi từ độ sang rađian các số đo sau: 360; 450 ; 11 b) Đổi từ rađian sang độ các số đo sau: 3 ;  . 5 Câu 4. Đổi số đo cung tròn sang số đo độ: 3 5 32  a) b) c) 4 6 3 3 d) e) 2,3 f) 5, 6 7 Câu 5. Đổi số đo cung tròn sang số đo radian: a) 45 b) 150 c) 72 d) 75 Dạng 2. Độ dài cung tròn Câu 6. Một đường tròn có bán kính 20 cm . Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo sau:  a) ; b) 1,5 ; c) 35 ; d) 315 . 12 Câu 7. Một đường tròn có bán kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là 3 1 a) b) 510 c) 4 3 Câu 8. Bánh xe máy có đường kính kể cả lốp xe 55 cm. Nếu xe chạy với vận tốc 40 km/h thì trong một giây bánh xe quay được bao nhiêu vòng? Câu 9. Một máy kéo nông nghiệp với bánh xe sau có đường kính là 184 cm , bánh xe trước có đường kính là 92 cm , xe chuyển động với vận tốc không đổi trên một đoạn đường thẳng. Biết rằng vận tốc của bánh xe sau trong chuyển động này là 80 vòng/phút. a) Tính quãng đường đi được của máy kéo trong 10 phút. b) Tính vận tốc của máy kéo (theo đơn vị km/giờ). c) Tính vận tốc của bánh xe trước (theo đơn vị vòng/phút). Câu 10. Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây. Trang 7
a) Tính góc (theo độ và rađian) mà bánh xe quay được trong 1 giây. b) Tính độ dài quãng đường mà người đi xe đã đi được trong 1 phút, biết rằng đường kính của bánh xe đạp là 680 mm . Câu 11. Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A , vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9000 km . Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2 h . a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau: 1 h;3 h;5 h . b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)? Dạng 3. Mối liên hệ giữa góc hình học và góc lượng giác  Câu 12. Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao (OA, ON )   3 Câu 13. Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng giác lần lượt biểu diễn các góc lượng giác có 15 số đo bằng  và 420 . 4 Câu 14. Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau: 2 11 a) ; b)  ; c) 150 ; d) 225 . 3 4  6 9 11 31 14   Câu 15. Cho góc lượng giác  Ou, Ov  có số đo 5 . Hỏi trong các góc 5 , 5 , 5 , 5 , 5 , những góc nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho. Câu 16. Hãy tìm số đo  của góc lượng giác  Ou, Ov  với 0    2 , biết một góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc đó có số đo là: 29  128 2003 a) b)  c)  d) 18,5 4 3 6 Câu 17. Hãy tìm số đo   của góc lượng giác  Ou , Ov   0    360  biết một góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với nó có số đo: a) 395 b) 1052 c) 972 d)  20   5 Câu 18. Cho góc lượng giác có số đo bằng . 6 a) Xác định điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác đã cho. b) Tính các giá trị lượng giác của góc lượng giác đã cho. Câu 19. Dùng máy tính cầm tay để tính: a) tan  75  ;   b) cot    .  5 Câu 20. Sử dụng máy tính cầm tay để: 3 a) Tính: cos ; tan  3725΄  ; 7 b) Đổi 17923΄30΄΄ sang rađian; 7 c) Đổi (rad) sang độ. 9 Dạng 4. Dấu các giá trị lượng giác của góc 5 Câu 21. Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác   6 Câu 22. Xác định dấu của các biểu thức sau: 3  2  4  4 9 a) C  cot .sin   . b) D  cos .sin .tan .cot . 5  3  5 3 3 5 Câu 23. Cho 0    90 . Xét dấu của các biểu thức sau: Trang 8
a) A  sin   90 . b) B  cos   45 . c) C  cos  270    . d) D  cos  2  90  .  Câu 24. Cho 0    . Xét dấu của các biểu thức sau: 2 a) A  cos     . b) B  tan     .  2   3  c) C  sin    . d) D  cos    .  5   8  Câu 25. Cho tam giác ABC . Xét dấu của các biểu thức sau: a) A  sin A  sin B  sin C . b) B  sin A.sin B.sin C . A B C A B C c) C  cos .cos .cos . d) D  tan  tan  tan . 2 2 2 2 2 2 Dạng 5. Rút gọn biểu thức lượng giác     Câu 26. Tính giá trị của biểu thức Q  tan 2  sin 2  cot  cos 3 4 4 2 Câu 27. Tính:  3 a) cos2  cos2 ; 8 8 b) tan1  tan 2  tan 45  tan 88  tan 89 . Câu 28. Tính: a) A  sin 2 5  sin 2 10  sin 2 15    sin 2 85 (17 số hạng). b) B  cos 5  cos10  cos15    cos175 ( 35 số hạng). Câu 29. Rút gọn các biểu thức sau:   a) A  cos   x   cos  2  x   cos  3  x  2   7   3  b) B  2 cos x  3cos   x   5sin   x   cot   x  2   2     3    c) C  2sin   x   sin  5  x   sin   x   cos   x  2   2  2   3   3  d) D= cos  5  x   sin   x   tan   x   cot  3  x   2   2  Câu 30. Không dùng bảng số và máy tính, rút gọn các biểu thức: a) A  tan18.tan 288  sin 32.sin148  sin 302.sin122 . 1  sin 4 a  cos 4 a b) B  . 1  sin 6 a  cos 6 a Câu 31. Tính giá trị các biểu thức sau: 7 5 7 a) A  sin  cos 9  tan(  )  cot 6 4 2 1 2 sin 2550 cos( 188) b) B   tan 368 2 cos 638  cos 98 c) C  sin 25  sin 2 45  sin 2 60  sin 2 65 2  3 5 d) D  tan 2 .tan . tan 8 8 8 Câu 32. Rút gọn các biểu thức sau: a) A     sin 3280 sin 9580 cos 5080 cos 10220    .  cot 5720  tan 2120  b) B    sin 234 0  cos216 0 tan 36 0 . 0 0 sin144  cos126 Trang 9
c) C  cos200  cos400  cos600  ...  cos1600  cos1800 . d) D  cos2 100  cos2 200  cos2 300  ...  cos 2 1800 . e) E  sin 20 0  sin 40 0  sin 60 0  ...  sin 340 0  sin 360 0 .     Câu 33. Rút gọn biểu thức A  sin       cos      cot  2     tan     2  2      3   7  tan     cos      sin 3     2  2   2  Câu 34. Rút gọn biểu thức B      3  cos     tan     2  2  2 sin x  tan x  Câu 35. Rút gọn biểu thức A     1  cos x  1  . cos x Câu 36. Rút gọn biểu thức A  tan x  1  sin x Câu 37. Đơn giản biểu thức A  sin x  cos 4 x  2 cos 2 x 4 sin 4 x  3cos 4 x  1 Câu 38. Đơn giản biểu thức B  sin 6 x  cos 6 x  3cos 4 x  1 tan 2 x  cos 2 x cot 2 x  sin 2 x Câu 39. Đơn giản biểu thức C   sin 2 x cos 2 x 1  2sin 2 x Câu 40. Đơn giản biểu thức D  2 cos 2 x  1 Câu 41. Đơn giản biểu thức E  2  sin 6 x  cos 6 x   3  sin 4 x  cos 4 x  Dạng 6. Tính giá trị lượng giác của góc lượng giác  Câu 42. Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác    4 3 4 Câu 43. Cho góc lượng giác  sao cho     và sin    . Tìm cos  2 5 5 19 159 Câu 44. Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau: 225 ; 225 ; 1035 ; ; ; . 3 2 4 Câu 45. Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau:  a)  k 2 (k ) 3 b) k ( k  ) ;  c)  k (k ) 2  d)  k (k ) . 4 Câu 46. Tính các giá trị lượng giác của góc  trong mỗi trường hợp sau: 15  a) sin   với     ; 4 2 2 b) cos    với     0 ; 3 c) tan   3 với     0 ; d) cot   2 với 0     . 2 3 Câu 47. Tính các giá trị lượng giác của góc  , biết: cos    và     . 3 2 Câu 48. Tính: Trang 10
a) sin  675  ; 15 b) tan 4 Câu 49. Tính các giá trị lượng giác của góc  , biết: 1  a) cos   và 0    ; 5 2 2  b) sin   và     ; 3 2 3 c) tan   5 và     2 1 3 d) cot    và    2 . 2 2 Câu 50. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại 4 5  a) cos a  , 270  a  360 .b) sin a  ,  a   . 5 13 2 3 c) tan a  3,   a  .d) cot15  2  3 . 2 Câu 51. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với: cot a  tan a 3  a) A  , khi sin a  , 0  a  . cot a  tan a 5 2 sin 2 a  2 sin a.cos a  2 cos 2 a b) C  , khi cot a  3 . 2 sin 2 a  3sin a.cos a  4 cos 2 a 8cos3 a  2sin 3 a  cos a c) E  khi tan a  2 . 2 cos a  sin 3 a cot a  3 tan a 2 d) G  khi cos a   . 2 cot a  tan a 3 sin a  cos a e) H  khi tan a  5 . cos a  sin a Câu 52. Tính giá trị lượng giác của góc  nếu 2 3 3 a) sin    ;     .b) cos   0,8;    2 . 5 2 2 13  19  c) tan   ; 0    .d) cot    ;     . 8 2 7 2 2 tan   3cot  cos   A Câu 53. a) Cho 3 . Tính tan   cot  . sin   cos  b) Cho tan   3 . Tính B  sin   3cos 3   2 sin  3 c) Cho cot   5 . Tính C  sin 2   sin  cos   cos2  Câu 54. Cho tan   cot   3 . Tính giá trị các biểu thức sau: a/ A  tan 2   cot 2  b/ B  tan   cot  c/ C  tan 4   cot 4  Câu 55. 3 a) Cho 3sin 4 x  cos 4 x  . Tính A  sin 4 x  3cos4 x . 4 1 b) Cho 3sin 4 x  cos 4 x  . Tính C  sin 4 x  3cos4 x . 2 Trang 11
7 c) Cho 4 sin 4 x  3cos 4 x  . Tính C  3sin 4 x  4cos4 x . 4 Câu 56. 1 a) Cho sin x  cos x  . Tính sin x, cos x, tan x,cot x. 5 b) Cho tan x  cot x  4. Tính sin x, cos x, tan x,cot x. Câu 57. Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày. Giả sử huyết áp tâm trương (tức là áp lực máu lên thành động mạch khi tim giãn ra) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi tại thời điểm t được cho bởi công thức: πt B (t )  80  7 sin , 12 trong đó t là số giờ tính từ lúc nửa đêm và B(t ) tính bằng mmHg (milimét thuỷ ngân). Tìm huyết áp tâm trương của người này vào các thời điểm sau: a) 6 giờ sáng; b) 10 giờ 30 phút sáng; c) 12 giờ trưa; d) 8 giờ tối. Dạng 7. Chứng minh đẳng thức Câu 58. Chứng minh các đẳng thức: a) cos4   sin 4   2cos2   1 ; cos 2   tan 2   1 b) 2  tan 2  . sin  Câu 59. Chứng minh các đẳng thức: sin 3 a  cos3 a sin 2 a  cos 2 a tan a  1 a)  1  sin a cos a .b)  . sin a  cos a 1  2 sin a cos a tan a  1 c) sin 4 a  cos 4 a  sin 6 a  cos 6 a  sin 2 a.cos 2 a . Câu 60. Chứng minh các đẳng thức: tan a  tan b sin 530 1 a)  tan a.tan b .b) tan100   . cot a  cot b 1  sin 640 sin10 c) 2  sin 6 a  cos6 a   1  3  sin 4 a  cos 4 a  . Câu 61. Giả sử biểu thức sau đây có nghĩa. Chứng minh rằng: sin 4 x cot 2 x  cos 4 x tan 2 x  sin 4 x  sin 2 x cos 2 x  sin 2 x .  Câu 62. Cho 0  x  . Chứng minh rằng: 2 2  sin 2 x  cos 2 x  cos 2 x  tan 2 x  3  cos x . cos x Câu 63. Chứng minh các đẳng thức sau : tan 2 x  sin 2 x  tan 2 x.sin 2 x sin x  cos x  1 2 cos x Câu 64. Chứng minh đẳng thức sau:  . 1  cos x sin x  cos x  1 3 Câu 65. Cho tan   2 và     . Chứng minh rằng 2 sin   2 cos  2 5  2 sin  .cos   2 sin   2 5 Câu 66. Cho tam giác ABC . Chứng minh : a. sin B  sin  A  C  . b. cos  A  B    cos C . A B C c. sin  cos . d. cos  B  C    cos  A  2C  . 2 2 Trang 12
3 A  B  C e. cos  A  B  C    cos 2C . f. cos  sin 2 A . 2 A  B  3C A  B  2C 3C g. sin  cos C . h. tan  cot . 2 2 2 PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ) 1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá Câu 1. Số đo theo đơn vị rađian của góc 315 là 7 7 2 4 A. . B. . C. . D. . 2 4 7 7 5 Câu 2. Cung tròn có số đo là . Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây. 4 A. 5 . B. 15 . C. 172 . D. 225 . Câu 3. Cung tròn có số đo là  . Hãy chọn số đo độ của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây. A. 30 . B. 45 . C. 90 . D. 180 . 0 Câu 4. Góc 63 48 ' bằng (với   3,1416 ) A. 1,113 rad . B. 1,108 rad . C. 1,107 rad . D. 1,114 rad . 2 Câu 5. Góc có số đo đổi sang độ là: 5 A. 1350. B. 720. C. 2700. D. 2400. Câu 6. Góc có số đo 1080 đổi ra rađian là: 3  3  A. . B. . C. . D. . 5 10 2 4  Câu 7. Góc có số đo đổi sang độ là: 9 A. 250. B. 150. C. 180. D. 200.  Câu 8. Cho a   k 2 . Tìm k để 10  a  11 2 A. k  7 . B. k  5 . C. k  4 . D. k  6 . Câu 9. Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là: A. 600 . B. 300 . C. 400 . D. 500 . Câu 10. Đổi số đo góc 1050 sang rađian. 7 9 5 5 A. . B. . C. . D. . 12 12 8 12 Câu 11. Số đo góc 220 30’ đổi sang rađian là:   7  A. . B. . C. . D. . 5 8 12 6 Câu 12. Một cung tròn có số đo là 450 . Hãy chọn số đo radian của cung tròn đó trong các cung tròn sau đây.    A. B.  C. D. 2 4 3  Câu 13. Góc có số đo đổi sang độ là: 24 A. 7 0. B. 7030. C. 80. D. 8030. Câu 14. Góc có số đo 1200 đổi sang rađian là: 2 3   A. . B. . C. . D. . 3 2 4 10 Trang 13
Câu 15. Cung tròn bán kính bằng 8, 43cm có số đo 3, 85 rad có độ dài là A. 32, 46cm . B. 32, 47cm . C. 32, 5cm . D. 32, 45cm . Câu 16. Trên đường tròn với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác AM có số đo 60 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy , số đo cung AN là A. 120 hoặc 240 . B. 120  k 360, k   . C. 120 . D. 240 . Câu 17. Trên đường tròn bán kính r  15 , độ dài của cung có số đo 500 là: 180 15 180 A. l  15. . B. l  . C. l  15. .50 . D. l  750 .  180  5  25 19 Câu 18. Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng):    ,   ,  ,  , Các cung 6 3 3 6 nào có điểm cuối trùng nhau: A.  và  ;  và  . B.  ,  ,  . C.  ,  ,  . D.  và  ;  và  . Câu 19. Cho L , M , N , P lần lượt là điểm chính giữa các cung AB , BC , CD , DA . Cung  có mút 3 đầu trùng với A và số đo     k . Mút cuối của  ở đâu? 4 A. L hoặc N . B. M hoặc P . C. M hoặc N . D. L hoặc P .  Câu 20. Trên đường tròn bán kính r  5 , độ dài của cung đo là: 8  r 5 A. l  . B. l  . C. l  . D. kết quả khác. 8 8 8 Câu 21. Một đường tròn có bán kính R  10cm . Độ dài cung 40o trên đường tròn gần bằng A. 11cm . B. 13cm . C. 7cm . D. 9cm . 3 Câu 22. Biết một số đo của góc   Ox, Oy    2001 . Giá trị tổng quát của góc   Ox, Oy  là: 2 3 A.   Ox, Oy    k . B.   Ox, Oy     k 2 . 2   C.   Ox, Oy    k . D.   Ox, Oy    k 2 . 2 2 Câu 23. Cung nào sau đây có mút trung với B hoặc B’? A. a  900  k 3600 . B. a  –900  k1800 .   C.    k 2 . D.     k 2 . 2 2 Câu 24. Cung  có mút đầu là A và mút cuối là M thì số đo của  là: 3 3 3 3 A.  k 2 . B.   k 2 . C.  k . D.   k . 4 4 4 4 Câu 25. Trên hình vẽ hai điểm M , N biểu diễn các cung có số đo là: Trang 14
     A. x   2k . B. x    k . C. x   k . D. x  k .. 3 3 3 3 2   Câu 26. Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M xác định bởi sđ AM  . Gọi M 1 là điểm đối 3  xứng của M qua trục Ox . Tìm số đo của cung lượng giác AM 1 .  5   A. sđ AM1   k 2 , k  B. sđ AM1   k 2 , k  3 3     C. sđ AM1   k 2 , k  D. sđ AM 1   k , k  3 3 7 Câu 27. Góc lượng giác nào sau đây có cùng điểm cuối với góc ? 4   3 3 A.  . B. . C. . D.  . 4 4 4 4  k 2 Câu 28. Có bao nhiêu điểm M trên đường tròn định hướng gốc A thỏa mãn    AM , k  . 6 3 A. 6 . B. 4 . C. 3 . D. 8 .  Câu 29. Cho  a   . Kết quả đúng là 2 A. sin a  0 , cos a  0 . B. sin a  0 , cos a  0 . C. sin a  0 , cos a  0 . D. sin a  0 , cos a  0 . Câu 30. Trong các giá trị sau, sin  có thể nhận giá trị nào? 4 5 A. 0,7 . B. . C.  2 . D. . 3 2 5 Câu 31. Cho 2  a  . Chọn khẳng định đúng. 2 A. tan a  0, cot a  0. B. tan a  0, cot a  0. C. tan a  0, cot a  0. D. tan a  0, cot a  0 . Câu 32. Ở góc phần tư thứ nhất của đường tròn lượng giác. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây. A. cot   0 . B. sin   0 . C. cos   0 . D. tan   0 . Câu 33. Ở góc phần tư thứ tư của đường tròn lượng giác. hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau đây. A. cot   0 . B. tan   0 . C. sin   0 . D. cos   0 . 7 Câu 34. Cho    2 .Xét câu nào sau đây đúng? 4 A. tan   0 . B. cot   0 . C. cos   0 . D. sin   0 . Câu 35. Xét câu nào sau đây đúng?   A. cos 2 45  sin  cos 60  .  3  B. Hai câu A và C. Nếu a âm thì ít nhất một trong hai số cos a,sin a phải âm. D. Nếu a dương thì sin a  1  cos 2 a .  Câu 36. Cho     . Kết quả đúng là: 2 A. sin   0 ; cos   0 . B. sin   0 ; cos   0 . C. sin   0 ; cos   0 . D. sin   0 ; cos   0 . Câu 37. Xét các mệnh đề sau: Trang 15
      I. cos      0 . II. sin      0 . III. tan      0 .  2   2   2  Mệnh đề nào sai? A. Chỉ I. B. Chỉ II. C. Chỉ II và III. D. Cả I, II và III. Câu 38. Xét các mệnh đề sau đây:       I. cos      0 . II. sin      0 . III. cot      0 .  2  2  2 Mệnh đề nào đúng? A. Chỉ II và III. B. Cả I, II và III. C. Chỉ I. D. Chỉ I và II. Câu 39. Cho hai góc nhọn  và  phụ nhau. Hệ thức nào sau đây là sai? A. cot   tan  . B. cos   sin  . C. cos   sin  . D. sin    cos  . Câu 40. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?   A. sin 1800 – a  – cos a . B. sin 1800 – a   sin a .   C. sin 180 0 – a   sin a . D. sin 1800 – a   cos a . Câu 41. Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau     A. sin   x   cos x . B. sin   x   cos x . 2  2      C. tan   x   cot x . D. tan   x   cot x . 2  2  Câu 42. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. cos   x    cos x . B. sin  x     sin x .   C. cos   x    cos x . D. sin   x    cos x . 2  Câu 43. Khẳng định nào sau đây là sai? A. sin      sin  . B. cot      cot  . C. cos      cos  . D. tan      tan  . Câu 44. Khẳng định nào sau đây đúng? A. sin   x    s in x. B. cos   x    cos x. C. cot   x   cot x. D. tan   x   tan x. Câu 45. Chọn hệ thức sai trong các hệ thức sau.  3  A. tan   x   cot x . B. sin  3  x   sin x .  2  C. cos  3  x   cos x . D. cos   x   cos x . Câu 46. cos( x  2017 ) bằng kết quả nào sau đây? A.  cos x . B.  sin x . C. sin x . D. cos x . Câu 47. Giá trị của cot1458 là A. 1. B. 1 . C. 0 . D. 52 5 . 89 cot Câu 48. Giá trị 6 là 3 3 A. 3. B.  3 . C. . D. – . 3 3 Câu 49. Giá trị của tan180 là A. 1 . B. 0 . C. –1 . D. Không xác định. Trang 16
1 Câu 50. Cho biết tan   . Tính cot  2 1 1 A. cot   2 . B. cot   . C. cot   . D. cot   2 . 4 2 Câu 51. Trong các công thức sau, công thức nào sai? 1    A. sin 2   cos2   1 . B. 1  tan 2   2     k , k    . cos   2  1  k  C. 1  cot 2   2   k , k   . D. tan   cot   1   ,k . sin   2  Câu 52. Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài 10, 57cm và kim phút dài 13, 34cm .Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là A. 2, 78cm . B. 2, 77cm . C. 2, 76cm . D. 2, 8cm . Câu 53. Trong 20 giây bánh xe của xe gắn máy quay được 60 vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng 3 phút,biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng 6, 5cm (lấy   3,1416 ) A. 22043cm . B. 22055cm . C. 22042cm . D. 22054cm . 3  Câu 54. Cho sin   và     . Giá trị của cos là: 5 2 4 4 4 16 A. . B.  . C.  . D. . 5 5 5 25 4  cos   0   Câu 55. Cho 5 với 2 . Tính sin  . 1 1 3 3 A. sin   . B. sin    . C. sin   . D. sin    . 5 5 5 5 Câu 56. Tính  biết cos   1 A.   k k   . B.   k 2 k   .  C.    k 2  k   . D.     k 2 k   . 2 4 3 tan       2 Câu 57. Cho 5 với 2 . Khi đó: 4 5 4 5 A. sin    , cos    . B. sin   , cos   . 41 41 41 41 4 5 4 5 C. sin    cos   . D. sin   , cos    . 41 41 41 41 2 3 Câu 58. Cho cos150  . Giá trị của tan15 bằng: 2 2 3 2 3 A. 32 B. C. 2  3 D. 2 4 2. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh khá-giỏi 2   Câu 59. Cho cos          . Khi đó tan  bằng 5 2  21 21 21 21 A. . B.  . C. . D.  . 3 5 5 2 3 Câu 60. Cho tan   5 , với     . Khi đó cos  bằng: 2 Trang 17
6 6 1 A.  . B. 6. C. . D. . 6 6 6 3 Câu 61. Cho sin    90    180 . Tính cot  . 5 3 4 A. cot   . B. cot   . 4 3 4 3 C. cot    . D. cot    . 3 4 2 Câu 62. Trên nửa đường tròn đơn vị cho góc  sao cho sin   và cos   0 . Tính tan  . 3 2 5 2 5 2 A. . B. . C. . D. 1 . 5 5 5 1  Câu 63. Cho sin   và     . Khi đó cos  có giá trị là. 3 2 2 2 2 8 2 2 A. cos    . B. cos   . C. cos   . D. cos    . 3 3 9 3    Câu 64. Cho cot   3 2 với     . Khi đó giá trị tan  cot bằng: 2 2 2 A. 2 19 . B. 2 19 . C.  19 . D. 19 . 3 Câu 65. Nếu sin   cos   thì sin 2 bằng 2 5 1 13 9 A. . B. . C. . D. . 4 2 4 4 1  Câu 66. Cho sin x  cos x  và 0  x  . Tính giá trị của sin x . 2 2 1 7 1 7 1 7 1 7 A. sin x  . B. sin x  . C. sin x  . D. sin x  . 6 6 4 4 1 Câu 67. Cho sinx = . Tính giá trị của cos2 x . 2 3 3 1 1 A. cos 2 x  B. cos 2 x  C. cos 2 x  D. cos 2 x  4 2 4 2 3sin x  cos x Câu 68. Cho P  với tan x  2 . Giá trị của P bằng sin x  2 cos x 8 2 2 8 5 A. . B.  . C. . D. . 9 3 9 4 1 sin x  cos x Câu 69. Cho s inx  và cosx nhận giá trị âm, giá trị của biểu thức A  bằng 2 sin x  cox A. 2  3 B. 2  3 C. 2  3 D. 2  3 4 sin x  5 cos x Câu 70. Cho tan x  2 .Giá trị biểu thức P  là 2 sin x  3cos x A. 2 . B. 13 . C. 9 . D. 2 .             Câu 71.    Cho tam giác ABC đều. Tính giá trị của biểu thức P  cos AB, BC  cos BC, CA  cos CA, AB .    3 3 3 3 3 3 A. P  . B. P   . C. P   . D. P  . 2 2 2 2 Trang 18
2sin a  cos a Câu 72. Cho tan a  2 . Tính giá trị biểu thức P  . sin a  cos a 5 A. P  2 . B. P  1 . C. P  . D. P  1. 3 sin x  3cos3 x Câu 73. Cho cung lượng giác có số đo x thỏa mãn tan x  2 .Giá trị của biểu thức M  5sin 3 x  2 cos x bằng 7 7 7 7 A. . B. . C. . . D. 30 32 33 31 1 sin x  cos x Câu 74. Cho sin x  và cos x nhận giá trị âm, giá trị của biểu thức A  bằng 2 sin x  cos x A. 2  3 . B. 2  3 . C. 2  3 . D. 2  3 . cos 7500  sin 4200 Câu 75. Giá trị của biểu thức A  bằng sin  3300   cos  3900  2 3 1 3 A. 3  3 . B. 2  3 3 . C. . D. . 3 1 3 3 cot   2 tan  Câu 76. Cho sin   và 900    1800 . Giá trị của biểu thức E  là: 5 tan   3cot  2 2 4 4 A. . B.  . C. . D.  . 57 57 57 57 3sin   cos  Câu 77. Cho tan   2 . Giá trị của A  là: sin   cos  5 7 A. 5 . B. . C. 7 . D. . 3 3  3 5 7 Câu 78. Giá trị của A  cos2  cos2  cos2  cos2 bằng 8 8 8 8 A. 0 . B. 1 . C. 2 . D. 1 . sin  234   cos 216 0 0 Câu 79. Rút gọn biểu thức A  0 0 .tan 360 , ta có A bằng sin144  cos126 A. 2 . B. 2 . C. 1 . D. 1 . Câu 80. Biểu thức B   cot 44 0  tan 226  .cos 406 0 0  cot 720.cot180 có kết quả rút gọn bằng cos 3160 1 1 A. 1. B. 1 . C. . D. . 2 2   Câu 81. Biết tan   2 và 180    270 . Giá trị cos   sin  bằng 3 5 3 5 5 1 A.  . B. 1– 5 . C. . D. . 5 2 2 1 2 Câu 82. Cho biết cot x  . Giá trị biểu thức A  bằng 2 sin x  sin x.cos x  cos2 x 2 A. 6. B. 8. C. 10. D. 12. tan 2 a  sin 2 a Câu 83. Biểu thức rút gọn của A = bằng: cot 2 a  cos 2 a A. tan 6 a . B. cos6 a . C. tan 4 a . D. sin 6a . Câu 84. Biểu thức D  cos2 x.cot 2 x  3cos2 x – cot 2 x  2sin 2 x không phụ thuộc x và bằng A. 2. B. –2 . C. 3. D. –3 . Trang 19
sin  3280  .sin 9580 cos  5080  .cos  10220  Câu 85. Biểu thức A   rút gọn bằng: cot 5720 tan  2120  A. 1 . B. 1 . C. 0 . D. 2 . sin 515 .cos  475   cot 222 .cot 408 0 0 0 0 Câu 86. Biểu thức A  có kết quả rút gọn bằng cot 4150.cot  5050   tan1970.tan 730 1 2 0 1 1 1 2 0 A. sin 25 . cos2 550 . B. C. cos2 250 . D. sin 65 . 2 2 2 2 2 cos 2 x  1 Câu 87. Đơn giản biểu thức A  ta có sin x  cos x A. A  cos x  sin x . B. A  cos x – sin x . C. A  sin x – cos x . D. A   sin x – cos x . 2 Câu 88. Biết sin   cos   . Trong các kết quả sau, kết quả nào sai? 2 1 6 A. sin  .cos   – . B. sin   cos    . 4 2 7 C. sin 4   cos 4   . D. tan 2   cot 2   12 . 8 Câu 89. Biểu thức:  2003  A  cos   26   2sin   7   cos1,5  cos      cos   1,5  .cot   8  có  2  kết quả thu gọn bằng: A.  sin  . B. sin  . C.  cos  . D. cos  .    Câu 90. Đơn giản biểu thức A  1– sin 2 x .cot 2 x  1– cot 2 x , ta có  A. A  sin 2 x . B. A  cos2 x . C. A  – sin 2 x . D. A  – cos2 x .         Câu 91. Đơn giản biểu thức A  cos      sin      cos      sin     , ta có: 2  2  2  2  A. A  2 sin a . B. A  2 cos a . C. A  sin a – cos a . D. A  0 .    3  Câu 92. Biểu thức P  sin   x   cos   x   cot  2  x   tan   x  có biểu thức rút gọn là 2   2  A. P  2sin x . B. P  2sin x . C. P  0 . D. P  2cot x . Câu 93. Cho tam giác ABC . Đẳng thức nào sau đây sai? A B C A. A  B  C   . B. cos  A  B   cos C . C. sin  cos . D. sin  A  B   sin C . 2 2   Câu 94. Đơn giản biểu thức A  cos      sin     , ta có  2 A. A  cos a  sin a . B. A  2 sin a . C. A  sin a – cos a . D. A  0 . Câu 95. Cho A, B, C là ba góc của một tam giác không vuông. Mệnh đề nào sau đây sai?  A B  C A. tan    cot .  2  2  A B  C B. cot    tan .  2  2 C. cot  A  B    cot C . D. tan  A  B   tan C . Câu 96. Tính giá trị của biểu thức A  sin 6 x  cos6 x  3sin 2 x cos2 x . Trang 20