intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 3-Bài 1: Giới hạn của dãy số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:96

Thêm vào BST
Báo xấu
2
lượt xem 0
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

"Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 3-Bài 1: Giới hạn của dãy số" là tài liệu giúp học sinh lớp 11 củng cố kiến thức. Bài ôn tập này tóm tắt lý thuyết cơ bản về giới hạn của dãy số, các quy tắc tính giới hạn và các dạng vô định thường gặp, kèm theo bài tập trắc nghiệm và hướng dẫn giải chi tiết. Tài liệu này giúp học sinh nắm vững cách tìm giới hạn của dãy số. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm vững kiến thức.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Ôn tập Toán 11 sách Cánh diều - Chương 3-Bài 1: Giới hạn của dãy số

  1. TOÁN 11-CÁNH DIỀU Điện thoại: 0946798489 BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ • CHƯƠNG 3. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC • |FanPage: Nguyễn Bảo Vương PHẦN A. LÝ THUYẾT VÀ VÍ DỤ MINH HỌA I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ 1. Định nghĩa Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn 0 như sau: Dãy số  un  có giới hạn 0 khi n dần tới dương vô cực nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu lim un  0 . n  Chú ý: Ngoài kí hiệu lim un  0 , ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: lim un  0 hay un  0 khi n  n  . 1 Từ Hoạt động 1, ta có: lim  0. n Nhận xét: Nếu u n ngày càng gần tới 0 khi n ngày càng lớn thì lim u n  0 . ( 1) n Ví dụ 1. Cho dãy số  un  , với un  . Giả sử h là số dương bé tuỳ ý cho trước. n a) Tìm số tự nhiên n để un  h . (1) n b) Tính lim . n Giải (1)n 1 1 1 a) Ta có: un   . Do đó: un  h   h  n  . n n n h 1 Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn thì un  h . h (1)n b) Theo định nghĩa về dãy số có giới hạn 0, ta có: lim  0. n Ta có định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn như sau: Dãy số  un  có giới hạn hữu hạn là a khi n dần tới dương vô cực nếu lim  un  a   0 , kí hiệu n  lim un  a . n  Chú ý: Ngoài kí hiệu lim un  a , ta cũng sử dụng các kí hiệu sau: lim un  a hay un  a khi n  n   . Ví dụ 2. Chứng minh rằng: a) lim c  c , với c là hằng số; 6n  1 b) lim 6 n Giải a) Do lim(c  c)  lim0  0 nên theo định nghĩa về dãy số có giới hạn hữu hạn, ta có: lim c  c .  6n  1  1 6n  1 b) Do lim   6   lim  0 nên lim 6.  n  n n 2. Một số giới hạn cơ bản Ta có thể chứng tỏ được các giới hạn sau: 1 1 a) lim  0;lim k  0 với k là số nguyên dương cho trước; n n Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
  2. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ c c b) lim  0;lim k  0 với c là hằng số, k là số nguyên dương cho trước; n n c) Nếu | q | 1 thì lim q n  0 ; n  1 d) Dãy số  un  với un   1   có giới hạn là một số vô tỉ và gọi giới hạn đó là e ,  n n  1 e  lim  1   .  n Một giá trị gần đúng của e là 2,718281828459045. n  1 Ví dụ 3. Chứng minh rằng lim     0 .  2 Giải n 1 1  1 Do    1 nên lim     0 . 2 2  2 II. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Ta có định lí về giới hạn hữu hạn của một tổng, của một hiệu, của một tích, của một thương và của một căn thức như sau: a) Nếu lim un  a, lim vn  b thì: lim  un  vn   a  b; lim  un  vn   a  b. lim  un  vn   a  b; un a lim   v  0, b  0  . vn b n b) Nếu un  0 với mọi n và lim un  a thì a  0 và lim un  a . Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:  1  a) lim  2  2  ;  n  4n  3 b) lim ; n  1  1  c) lim  5    6  n  .  n  4  Giải  1  1 a) lim  2  2   lim 2  lim 2  2  0  2 .  n  n 4n  3  4n 3  3 b) lim  lim     lim 4  lim  4  0  4 . n  n n n  1  1   1   1 n  c) lim  5   6  n   lim  5  n   lim 6   4    5  6  30 .  n  4          III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Khám phá kiến thức Ta nói  un  là cấp số nhân lùi vô hạn và lim Sn là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó. Trong trường hợp tổng quát, ta có: Cấp số nhân vô hạn u1 , u1q,  , u1q n 1 ,  có công bội q thoả mãn | q | 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  3. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU u Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho là: S  u1  u1q  u1q 2   1 . 1 q 1 1 1 Ví dụ 5. Tính tổng T  1   2  n 1  3 3 3 Giải Các số hạng của tổng lập thành cấp số nhân  un  , có 1 1 1 1 1 3 u1  1, q  nên T  1   2  n 1    . 3 3 3 3 1 2 1 3 Ví dụ 6. Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,(3) dưới dạng phân số. 3 3 3 3 1 Ta có: 0,  3    2  ...  n  10  . 10 10 10 1 3 1 10 IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC Khám phá kiến thức Ta thấy u n có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ta nói dãy  un  có giới hạn  khi n   . Ta có định nghĩa về dãy số có giới hạn vô cực như sau: - Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   , nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu lim un   hay lim un   hay un   khi n   . n  - Ta nói dãy số  un  có giới hạn  khi n   nếu lim  un    . n  Kí hiệu lim un   hay lim un   hay un   khi n   . n  Ví dụ 7. Chứng tỏ rằng lim n2   . Giải Xét dãy số  un   n 2 . Với M là số dương bất kì, ta thấy: un  M  n 2  M  n  M . Vậy với các số tự nhiên n  M thì un  M . Do đó, lim n2   . Nhận xét - lim nk   với k là số nguyên dương cho trước. - lim q n   với q  1 là số thực cho trước. u - Nếu lim un  a và lim vn   (hoặc lim vn    thì lim n  0 . vn u - Nếu lim un  a, a  0 và lim vn  0, vn  0 với mọi n thì lim n   . vn - lim un    lim  un    . n e Ví dụ 8. Chứng tỏ rằng lim     . 2 Giải n e e Do  1 nên lim     . 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
  4. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ PHẦN B. BÀI TẬP TỰ LUẬN (PHÂN DẠNG) Dạng 1: Dãy số có giới hạn 0 Câu 1. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Chứng minh rằng: a) lim 0  0 ; 1 b) lim  0. n 1 Câu 2. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho dãy số  un  , với un  2  . Tính lim  un  2  . n n  n e Câu 3. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Chứng minh rằng lim    0 .   4n  1 Câu 4. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Chứng minh rằng lim  4 n 1 2 Câu 5. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho hai dãy số  un  ,  vn  với un  3  ; vn  5  2 . Tính các giới n n hạn sau: a) lim un , lim vn . un b) lim  un  vn  , lim  un  vn  , lim  un  vn  , lim . vn Câu 6. Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là 0 n  1 .cosn  1 sin 2  2n  1 a. un  b. n4 3 n2 n c. 1 d.  1 sin n  1 n  2n  3  n2 Câu 7. Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là 0 n a. un   0, 99  2n b. un   1 .cos  n  1 2n  1 2n c. un   cos  2n  1  d. un  2.sin n 2 5n n4  1 Câu 8. Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là 0 n Cho dãy số  un  với un  n 3 un 1 2 a. Chứng minh rằng:  với mọi n un 3 n 2 b. Chứng minh rằng: un    3 c. Chứng minh dãy số có giới hạn 0 1  cos n 2 n  sin 2n Câu 9. Chứng minh rằng hai dãy số  un  ,  vn  với un  ; vn  có giới hạn 0 2n  1 n2  n Câu 10. Chứng minh rằng các dãy số  un  sau đây có giới hạn 0 n n n  cos a. un  n 5n b. un   1 1  n1 c. un  5 d. sin n n 1 3 1 2 3 n n n n n 1 Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  5. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU n n n  n  2 Câu 11. Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là 0 : un  2n  2n  2  Câu 12. Chứng minh rằng: a. lim 2   n2  1  n  0 b. lim   n 1  n  0 15n Câu 13. Chứng minh rằng dãy số sau có giới hạn là 0 : un  2 n  9 n  25n  Dạng 2. Dãy số có giới hạn hữu hạn Câu 14. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Tính các giới hạn sau: 8n 2  n a) lim ; n2 4  n2 b) lim . n Câu 15. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Tính các giới hạn sau: 5n  1 a) lim ; 2n 6n 2  8n  1 b) lim 5n 2  3 n 2  5n  3 c) lim ; 6n  2  1 d) lim  2  n  ;  3  3  2n n e) lim 4  3n 1 2 g) lim n n 3 1 Câu 16. Cho dãy số  vn  với vn   2 . Bằng định nghĩa hãy chứng minh rằng lim vn  2 . n3   2 n  Câu 17. Chứng minh rằng: lim     5   5  5     6n  2 Câu 18. Chứng minh rằng lim 6 n5 1  2n Câu 19. Chứng minh: lim  2 . n2 1 Câu 20. Tìm các giới hạn sau: n 1 n  n  1 3n3  2n  5 2n 3 a. lim 2 . b. lim 3 . c. lim . d. lim . n 2  n  4 2 n 2  5n  3 n 4  3n 2  1 Câu 21. Tìm các giới hạn sau: 3n  4n  5n 1  3n 4.3n  7 n1 4n 1  6n  2 a. lim . b. lim . c. lim . d. lim . 3n  4n  5n 4  3n 2.5n  7 n 5 n  8n Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
  6. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 22. Tìm các giới hạn sau: 1  sinn  sin10n  cos10n a. lim . b. lim . n 1 n 2  2n Câu 23. Tìm các giới hạn sau: 3 n n 1 n2  2 3 n3  3n 2  2 a. lim . b. lim . c. lim . nn n n n n 2  4n  5 Câu 24. Tìm các giới hạn sau: 8n 2  3n 2n 2  3n  1 a. lim 3 n2 . b. lim n 2  2 .  c. lim n  1  n2  1 .  Câu 25. Tìm các giới hạn sau: 2 n3  2 n  1 n2  n  n a. lim . b. lim . 3n3  n  3 4n 2  1  n  1 4  2n  3n  2 c. lim  2  n 1 n  5.3 . d. lim  n 2  2n  3  n .  Câu 26. Tìm các giới hạn sau: 2 n5  7 n 2  3 2n 2  n  4 7.2 n  4 n a. un  . b. un  . c. un  . n  3n5 2n 4  n 2  1 2.3n  4 n Câu 27. Tìm các giới hạn sau: n3  n 2 sin 3n  1 5.2n  3n n6  3n3  3 a. un  . b. un  . c. un  . 2n 4  n 2  7 2n 1  3n 1 2n 6  n5  2 Câu 28. Tìm giới hạn: a) lim  4 n  5n  2 n  2 b) lim  2n  1  n  c) lim  3n  9n  1  2 d) lim  3 n 3  2n  n  Câu 29. Tìm giới hạn: a)  lim n  n 2  2n  3  b) lim  n 2  2n  1  n  1  4n 2  2n  n  1 Câu 30. Tìm giới hạn: lim 9n 2  n  2 n Câu 31. Tìm giới hạn: a)  lim 3n  5  9n 2  1  b) lim  3 8n 3  1  4 n 2  n  5  Câu 32. Tìm giới hạn: a) lim  n 2  2n  3  n  b) lim  3 n2  3 n  Câu 33. Tìm giới hạn: 3n2  1  n 2  1 a) lim  n2  1  n 2  2  b) lim n c) lim  3 n 3  2n 2  n  Câu 34. Tìm giới hạn Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  7. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU  1 1 1 1 a. lim 1     2   2 4 16 n  n b. lim 1  0,1  0,12  0,13   1 .0,1n    Câu 35. Tìm giới hạn 1  2  n n 2  4  2n 1  2  n a. lim ’ b. lim . c. lim . n2 3n 2  n  2 n 2  3n Câu 36. Tìm giới hạn  1 1 1 1  a. lim     . 1.3 3.5 5.7   2n  1 .  2n  1    1 1 1  b. lim     .  2 1 1 2 3 2  2 3   n  1 n  n  n  1   Câu 37. Tìm giới hạn 3 n3  1  n n 3n 2  4 a. lim b. lim n n2  1 3n  2 3 3n3  n 2  n  2 n  n  1 c. lim . d. lim 3 . 2 4n  4n  5  n  4  u1  5  Câu 38. Cho dãy số  un  được xác định bởi:  . Tìm lim un . un 1  un  u1  1 Câu 39. Cho dãy số  u n  xác định bởi :  un1  un  3 , n  N , n  1 un Tính lim . 5n  2020 u1  1  Câu 40. Cho dãy số  un  xác định bởi :  1 3 un 1  2 un  2 ; n   *  Tính giới hạn của dãy  un  . u1  1  Câu 41. Cho dãy số  un  xác định bởi :   n  2  un  2 ; n   * un1   n u Tính giới hạn lim n . n2 Câu 42. Cho dãy số  un  xác định bởi u1  1 và un1  un  2n  1, n   * . un  u4 n  u42 n  ...  u42018 n Tính lim . un  u2 n  u22 n  ...  u22018 n Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
  8. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ u1  1  Câu 43. Cho dãy số  un  được xác định bởi:  1 * . Tính lim  un  2  un1  un  2n ; n    u1  2 Câu 44. Cho dãy số  u n  xác định bởi :  un1  2un  3.2 ; n   * n 1 un Tính lim  2n  1 2n 1  2 u1  3  Câu 45. Cho dãy số  u n  xác định bởi :  u  2nun ; n   *  n1 n  3  u u u  . Tính L  lim  1  2    n  2 2 2 2n  u1  2  Câu 46. Cho dãy số (un ) xác định bởi :  1 un1  2  u ; n   *  n Tính giới hạn của dãy  un  . u1  1; u2  2  Câu 47. Cho dãy số  un  xác định bởi :  2unun 1 un 2  u  u ; n   *  n n 1 Tính giới hạn của dãy  un  . u1  2019  Câu 48. Cho dãy số  un  xác định bởi :  3 un1  u  2 ; n   *  n Tính giới hạn của dãy  un  . u1  2  Câu 49. Cho dãy số  un  xác định bởi :  un1  3  3  un ; n   *  Tính giới hạn của dãy  un  .  1 u1  2  Câu 50. Cho dãy số  un  xác định bởi :  u  u 2  1 u ; n   *  n1  n 3 n Tính giới hạn của dãy  un  . u1  2019  Câu 51. Cho dãy số  un  xác định bởi :  un 1  3 un ; n   *  Tính giới hạn của dãy  un  . Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  9. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU u1  1  Câu 52. Cho dãy số  un  xác định bởi :  un 1  6  un , n   *  Tính giới hạn của dãy  un  . u1  1 Câu 53. Cho dãy số  u n  được xác định bởi   2  2un  1 .  u n 1  ; n   *  un  3 Tính lim un . u1  2019  Câu 54. Cho dãy số  un  xác định bởi :  u3  12u un1  n 2 n , n   *  3un  4 Tính giới hạn của dãy  un  . Dạng 3: Dãy số có giới hạn vô hạn Câu 55. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Tính lim   n3  . n 1 Câu 56. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Chứng tỏ rằng lim  0. n2 Câu 57. Tìm giới hạn  a. lim n3  n2  n  1   b. lim n2  n n  1  1 c. lim  n  sin 2 n  d. lim n  cos2 n Câu 58. Tìm giới hạn a. lim  3 1  2n  n3  n   b. lim n  n2  n  1  Câu 59. Tìm giới hạn n5  n 4  n  2 3 n 6  7 n 3  5n  8 a. lim b. lim 4n3  6n 2  9 n  12 n n  3 n 2  2  n3 13  23  n3 c. lim d. lim n 2  n n  12 n 2  3n n  2 Câu 60. Tìm giới hạn 3n  4n 1 a. lim 2 n 3  3n b. lim 2 n  n  1  c. lim 4n  2.3n  3.2n  1  Câu 61. Tìm giới hạn của dãy số  un  với a. un   n 4  50n  11 b. un  3 7n2  n3 c. un  5n2  3n  7 d. un  2n3  n2  2 Câu 62. Tìm giới hạn của dãy số  un  với 3n  n3 2n 4  n 2  7 a. un  . b. un  . 2n  15 4n  5 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
  10. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2n 2  15n  11  2n  11  3n  c. un  . d. un  . 2 3 3n  n  3 n3  7n 2  5 Câu 63. Tìm các giới hạn sau: n a. lim 1, 001  b. lim 3.2n  5n1  10 .  n n 1 n 3  11 2  2.5  3 c. lim d. lim . 1  7.2 n 3.2 n  7. 4 n 1 1 1 Câu 64. Tìm giới hạn của dãy số  u n  với un    1 2 n Câu 65. Tìm các giới hạn sau: 2n  3n a. lim n  2n  b. lim 100n  7  2n  Câu 66. Tìm giới hạn của dãy số  u n  với 2n 1  3n  11 13. 3n  5n a. un  b. un  3n  2  2 n 3  4 3. 2n  5. 4n Dạng 4. Tính tổng của dãy số 1 Câu 67. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Cho cấp số nhân  un  , với u1  1 và công bội q  . 2 a) So sánh | q | với 1. b) Tính S n  u1  u2  un . Từ đó, hãy tính lim Sn . n 1 1 1  1 Câu 68. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Tính tổng M  1   2      2 2  2 Câu 69. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Zénon (Zê-nông, 496  429 trước Công nguyên) là một triết gia Hy Lạp ở thành phố Edée đã phát biểu nghịch lí như sau: Achilles (A-sin) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, người được mệnh danh là "có đôi chân chạy nhanh như gió" đuổi theo một con rùa trên một đường thẳng. Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách Achilles một khoảng bằng a khác 0. Khi Achilles chạy đến vị trí rùa xuất phát thì rùa chạy về trước một khoảng (như Hình 1). Quá trình này tiếp tục vô hạn. Vì thế, Achilles không bao giờ đuổi kịp rùa. Trên thực tế, Achilles không đuổi kịp rùa là vô lí. Kiến thúc toán học nào có thể giải thích đực nghịch lí Zénon nói trên là không đúng? 2 1 Câu 70. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn  un  , với u1  ,q   . 3 4 b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1, (6) dưới dạng phân số. Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  11. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU Câu 71. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. a) Tính diện tích Sn của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n ; b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành. Câu 72. (SGK-Cánh diều 11-Tập 1) Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T  24000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khoẻ của con người ( T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXB GD Việt Nam, 2021) Gọi u n là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n . a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số  un  . b) Chứng minh rằng  un  có giới hạn là 0. c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 106 g . Câu 73. Cho hình vuông cạnh bằng a . Người ta lấy bốn trung điểm các cạnh của hình vuông trên để được hình vuông nhỏ hơn nằm bên trong hình vuông bên ngoài. Quy trình làm như vậy diễn ra tới vô hạn. Tính diện tích tất cả hình vuông có trong bài toán. Câu 74. Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng tổng của cấp số nhân đó là 3 12, hiệu của số hạng đầu và số hạng thứ hai là và số hạng đầu là một số dương. 4 Câu 75. Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1, 2, 3, 4, …n,… trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó.Giả sử quy trình tô màu của chuột Mickey có thể tiến ra vô hạn (như hình vẽ dưới đây). Tính tổng diện tích mà chuột Mickey phải tô màu. Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
  12. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ Câu 76. Từ độ cao 63m của tháp nghiêng Pi-sa ở Italia, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả 1 sử mỗi lần chạm quả bóng lại nảy lên độ cao bằng độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Tính độ 10 dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất. 1 1 1 1 Câu 77. Tính tổng M   2  3  ...  10 5 5 5 5 1 1 1 1 Câu 78. Cho tổng: S n     ...  . Tính S30 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n  n  1 n  2  5 5 5 5 2 2 Câu 79. Cho tổng S n     ...  . Tính S4  S6 1.2 2.3 3.4 n  n  1 9  1 9 2  1 93  1 99  1 Câu 80. Cho tổng: S   2  9  ...  9 . Tính 8S 9 9 9 9 PHẦN C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM (PHÂN MỨC ĐỘ) 1. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh trung bình – khá Câu 1. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào sai?. A. Nếu lim un   và limv n  a  0 thì lim  un vn    . u  B. Nếu lim un  a  0 và limv n   thì lim  n   0 .  vn  u  C. Nếu lim un  a  0 và limv n  0 thì lim  n    .  vn  u  D. Nếu lim un  a  0 và limv n  0 và vn  0 với mọi n thì lim  n    .  vn  Câu 2. Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn P  2,13131313... , 212 213 211 211 A. P  B. P  . C. P  . D. P  . 99 100 100 99 Câu 3. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Ta nói dãy số  un  có giới hạn là số a (hay u n dần tới a ) khi n   , nếu lim  un  a   0 . n  B. Ta nói dãy số  un  có giới hạn là 0 khi n dần tới vô cực, nếu un có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  13. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU C. Ta nói dãy số  u n  có giới hạn  khi n   nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. D. Ta nói dãy số  u n  có giới hạn  khi n   nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. un Câu 4. Cho các dãy số  un  ,  vn  và lim un  a, lim vn   thì lim bằng vn A. 1. B. 0 . C.  . D.  . Câu 5. Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng? (I) lim nk   với k nguyên dương. (II) lim q n   nếu q  1 . (III) lim q n   nếu q  1 A. 0 . B. 1 . C. 3 . D. 2 . 1 Câu 6. Cho dãy số  u n  thỏa un  2  với mọi n   * . Khi đó n3 A. lim un không tồn tại. B. lim un  1 . C. lim un  0 . D. lim un  2 . Câu 7. Phát biểu nào sau đây là sai? A. lim un  c ( un  c là hằng số). B. lim q n  0  q  1 . 1 1 C. lim  0. D. lim  0  k  1 . n nk n 1 L  lim Câu 8. Tính n3  3 . A. L  1. B. L  0. C. L  3. D. L  2. 1 lim Câu 9. 5n  3 bằng 1 1 A. 0 . B. . C.  . D. . 3 5 1 lim Câu 10. 2n  7 bằng A. 1 . B.  . C. 1 . D. 0 . 7 2 1 lim Câu 11. 2n  5 bằng 1 1 A. . B. 0 . C.  . D. . 2 5 1 lim Câu 12. 5n  2 bằng 1 1 A. . B. 0 . C. . D.  . 5 2 7 n 2  2n3  1 I  lim . Câu 13. Tìm 3n3  2n 2  1 7 2 A. . B.  . C. 0 . D. 1 . 3 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13
  14. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2n 2  3 lim Câu 14. n 6  5n5 bằng: 3 A. 2 . B. 0 . C. . D. 3 . 5 2018 lim Câu 15. n bằng A.  . B. 0 . C. 1 . D.  . 2n  1 Câu 16. Tính giới hạn L  lim ? 2  n  n2 A. L   . B. L  2 . C. L  1 . D. L  0 . Câu 17. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n2  2 n 2  2n 1  2n 1  2n 2 A. un  . B. un  . C. un  . D. un  . 5n  3n 2 5n  3n 2 5n  3n 2 5n  3n 2 2n  3 I  lim 2 Câu 18. Tính 2n  3n  1 A. I   . B. I  0 . C. I   . D. I  1 . 2n Câu 19. Giá trị của lim bằng n 1 A. 1 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . n2 Câu 20. Kết quả của lim bằng: 3n  1 1 1 A. . B.  . C. 2 . D. 1 . 3 3 3n  2 Câu 21. Tìm giới hạn I  lim . n3 2 A. I   . B. I  1 . C. I  3 . D. k   . 3 1  2n Câu 22. Giới hạn lim bằng? 3n  1 2 1 2 A. . B. . C. 1 . D.  . 3 3 3 2n  2017 Câu 23. Tính giới hạn I  lim . 3n  2018 2 3 2017 A. I  . B. I  . C. I  . D. I  1 . 3 2 2018 1  19n lim Câu 24. 18n  19 bằng 19 1 1 A. . B. . C.  . D. . 18 18 19 Câu 25. Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0 ? 1 1 n 1 sin n A. . B. . C. . D. . n n n n 1  n2 lim Câu 26. 2n 2  1 bằng Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  15. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU 1 1 1 A. 0 . B. . C. . D.  . 2 3 2 4n  2018 Câu 27. Tính giới hạn lim . 2n  1 1 A. . B. 4 . C. 2 . D. 2018 . 2 8n5  2n3  1 lim Câu 28. Tìm 4 n5  2 n 2  1 . A. 2 . B. 8 . C. 1 . D. 4 . 2n  1 Câu 29. Tính lim được kết quả là 1 n 1 A. 2 . B. 0 . C. . D. 1 . 2 2 n 4  2n  2 lim Câu 30. 4n 4  2n  5 bằng 2 1 A. . B. . C.  . D. 0 . 11 2 2n 2  3 Câu 31. Giá trị của lim bằng 1  2n 2 A.  3 . B. 2 . C. 1 . D. 0 . 2 n n A  lim Câu 32. Giá trị 12n 2  1 bằng 1 1 1 A. . B. 0 . C. . D. . 12 6 24 5n  3 lim Câu 33. Tính 2n  1 . 5 A. 1. B.  . C. 2 . D. . 2 n3  4n  5 lim Câu 34. 3n3  n 2  7 bằng 1 1 1 A. 1 . B. . C. . D. . 3 4 2 n2  3n3 Câu 35. Tính giới hạn lim . 2n3  5n  2 1 3 1 A. . B. 0 . C.  . D. . 5 2 2 2n  1 Câu 36. Giới hạn của dãy số  un  với un  , n  * là: 3n 2 1 A. 2 . B. . C. 1 . D.  . 3 3 10n  3 Câu 37. Tính giới hạn I  lim ta được kết quả: 3n  15 10 10 3 2 A. I   . B. I  . C. I  . D. I   . 3 3 10 5 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15
  16. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ 2n  1 lim Câu 38. n  1 bằng A. 1 . B. 2 . C. 2 . D.  . 3n 2  1 lim Câu 39. n 2  2 bằng: 1 1 A. 3 . B. 0 . C. . D.  . 2 2 8n 2  3n  1 lim Câu 40. Tính 4  5n  2n 2 . 1 1 A. 2 . B.  . C. 4 . D.  . 2 4 1 3 u Câu 41. Cho hai dãy số  u n  và  vn  có un  ; vn  . Tính lim n . n 1 n3 vn 1 A. 0 . B. 3 . C. . D.  . 3 lim 2n Câu 42. n bằng. A. 2 . B.  . C.  . D. 0 . Câu 43. Trong các giới hạn sau giới hạn nào bằng 0 n n n 2 5 4 A. lim   . B. lim   . C. lim   . n       D. lim  2  .  3  3  3 n  2018  lim   Câu 44.  2019  bằng. 1 A. 0 . B.  . C. . D. 2 . 2 Câu 45. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0 ? n n n n A.  0,999  . B.  1 . C.  1, 0001 . D. 1, 2345 . 100n 1  3.99 n lim Câu 46. 10 2 n  2.98n 1 là 1 A.  . B. 100 . C. . D. 0 . 100 lim  3n  4n  Câu 47. là 4 A.  . B.  . C. . D. 1 . 3 3.2n 1  2.3n 1 Câu 48. Tính giới hạn lim . 4  3n 3 6 A. . B. 0 . C. . D. 6 . 2 5 Câu 49. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ? 1  2.2017 n 1  2.2018n A. lim . B. lim . 2016n  2018n 2016 n  2017 n1 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  17. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU n n 1 1  2.2018 2.2018  2018 C. lim n n . D. lim . 2017  2018 2016n  2018n 2n  1 lim Câu 50. Tính 2.2n  3 . A. 2. B. 0. C. 1. D. 1 . 2 2. Câu hỏi dành cho đối tượng học sinh khá-giỏi Câu 51. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a thuộc khoảng  0; 2019  để 9n  3n1 1 lim n na  ? 5 9 2187 A. 2018 . B. 2012 . C. 2019 . D. 2011 . Câu 52. Tính giới hạn T  lim  16n 1  4n  16n1  3n .  1 1 1 A. T  0 . B. T  . C. T  . D. T  . 4 8 16 cos n  sin n Câu 53. Tính giá trị của lim . n2  1 A. 1. B. 0. C. . D. . 8n5  2n3  1 lim Câu 54. Giới hạn 2n 2  4n5  2019 bằng A. 2 . B. 4 . C.  . D. 0 . 4n 2  3n  1 Câu 55. Giá trị của B  lim 2 bằng:  3n  1 4 4 A. . B. . C. 0 . D. 4 9 3 n3  n 2  1 L  lim  Câu 56. Tính 2018  3n3 1 1 A. . B. 3 . C.  . D.  . 2018 3  3n  2  Câu 57. Gọi S là tập hợp các tham số nguyên a thỏa mãn lim   a 2  4a   0 . Tổng các phần tử  n2  của S bằng A. 4 . B. 3 . C. 5 . D. 2 . an 2  a 2 n  1 Câu 58. Cho a   sao cho giới hạn lim 2  a 2  a  1 .Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng?  n  1 1 A. 0  a  2 . B. 0  a  . C. 1  a  0 . D. 1  a  3 . 2 2 Câu 59. Dãy số  u n  với un   3n  1 3  n  có giới hạn bằng phân số tối giản a . Tính a.b 3  4n  5  b A. 192 B. 68 C. 32 D. 128 3 2 2n  n  4 1 Câu 60. Biết lim 3  với a là tham số. Khi đó a  a 2 bằng an  2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17
  18. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/ A. 12 . B. 2 . C. 0 . D. 6 . 1  2  3  ...  n Câu 61. Cho dãy số  un  với un  . Mệnh đề nào sau đây đúng? n2  1 A. lim un  0 . 1 B. lim un  . 2 C. Dãy số  u n  không có giới hạn khi n   . D. lim un  1 . 12  22  32  42  ...  n 2 Câu 62. Giới hạn lim có giá trị bằng? n 3  2n  7 2 1 1 A. . B. . C. 0 . D. . 3 6 3 1  3  5  ...  2n  1 lim Câu 63. 3n 2  4 bằng 2 1 A. . B. 0 . C. . D.  . 3 3 1 2 3 n Lim  2  2  2  ...  2  Câu 64. n n n n  bằng 1 1 A. 1. B. 0 . C. . D. . 3 2 1 3 2n  1 Câu 65. Cho dãy số  un  xác định bởi: un  2  2  2 với n   * Giá trị của lim un bằng: n n n A. 0`. B.  . C.  . D. 1  1 2 n lim  2  2  ...  2  Câu 66. Tìm n n n . 1 1 A.  . B. . C. . D. 0 . 2 n  1  1  1  Câu 67. Tính giới hạn: lim 1  2 1  2  ... 1  2   .  2  3   n   1 1 3 A. 1 . B. . C. . D. . 2 4 2 1 1 1 Câu 68. Cho dãy số  un  với un    ...  . Tính lim un . 1.3 3.5 2n 1.2n 1 1 1 A. . B. 0. C. 1. D. . 2 4 2019 2018 Câu 69. Tính lim(2n  3n  4) ? A.  . B.  . C. 2 . D. 2019 . 4 3 lim  2  3n   n  1 Câu 70. là: A.  B.  C. 81 D. 2 n 3  2n L  lim Câu 71. Tính giới hạn 3n 2  n  2 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
  19. Điện thoại: 0946798489 TOÁN 11-CÁNH DIỀU 1 A. L   . B. L  0 . C. L  . D. L   . 3 2  3n  2n3 Câu 72. Tính giới hạn của dãy số un  3n  2 2 A. . B.  . C. 1 . D.  . 3 1  5  ...   4n  3 lim Câu 73. Giới hạn 2n  1 bằng 2 A. 1. B.  . C. . D. 0 . 2 4n 2  1  n  2 lim Câu 74. 2n  3 bằng 3 A. . B. 2. C. 1. D.  . 2 4n 2  5  n Câu 75. Cho I  lim . Khi đó giá trị của I là: 4n  n 2  1 5 3 A. I  1 . B. I  . C. I  1 . D. I  . 3 4 4x2  x  1  x2  x  3 lim Câu 76. Tính giới hạn x  3x  2 1 2 1 2 A.  . B. . C. . D.  . 3 3 3 3 n 1  3  5  ...   2n  1 Câu 77. Tìm lim un biết un  2n 2  1 1 A. . B.  . C. 1. D.  . 2 12  22  33  ...  n 2 lim 2n  n  7  6n  5 Câu 78. Tính 1 1 1 A. . B. . C. . D.  . 6 2 6 2 Câu 79. lim  n 2  3n  1  n  bằng 3 A. 3 . B.  . C. 0 . D.  . 2 Câu 80. Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào có giá trị bằng 1? 3n 1  2 n 3n 2  n A. lim . B. lim 2 . 5  3n 4n  5  C. lim n 2  2n  n 2  1 .  D. lim 2n 3  3 1  2n 2 . Câu 81. Giới hạn lim n  n4  n3  bằng 7 1 A. 0 . B.  . C. . D. . 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19
  20. Blog: Nguyễn Bảo Vương: https://www.nbv.edu.vn/  Câu 82. Tính giới hạn lim n  n 2  4n .  A. 3 . B. 1 . C. 2 . D. 4 . Câu 83. Có bao nhiêu giá trị nguyên của a để lim   n 2  4n  7  a  n  0 ? A. 3 . B. 1. C. 2. D. 0 . Câu 84. Tính I  lim  n    n2  2  n2  1  .   3 A. I   . B. I  . C. I  1, 499 . D. I  0 . 2 Câu 85. Tính lim n  4n2  3  3 8n3  n . 2 A.  . B. 1 . C.  . D. . 3 Câu 86. Tính giới hạn L  lim  9 n 2  2n  1  4 n 2  1 . 9 A.  . B. 1 . C.  . D. . 4 Câu 87. Tính giới hạn L  lim  4n 2  n  1  9n . 9 A.  . B. 7 . C.  . D. . 4 Câu 88. Tính giới hạn L  lim  4n 2  n  4n 2  2 . 1 A.  . B. 7 . C.  . D. . 4 Câu 89. Tính giới hạn L  lim  n 2  3n  5  n  25 . 53 9 A.  . B. 7 . C. . D. . 2 4 2n  1  n  3 L  lim Câu 90. Tính giới hạn 4n  5 . 53 2 1 A.  . B. 7 . C. . D. . 2 2 Câu 91. Tính giới hạn sau L  lim  3 n  4  3 n 1 .  53 A.  . B. 7 . C. . D. 0 . 2 Câu 92. Tính giới hạn L  lim  3 8n3  3n2  2  3 5n2  8n3 .  53 2 A.  . B. 7 . C. . D. . 2 3 Câu 93. Tính giới hạn L  lim  3 8n3  3n2  4  2n  6 .  25 53 1 A.  . B. . C. . D. . 4 2 2 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright ©2025 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
49=>1