Bài giảng Toán giải tích 1 chương 8: Dương Minh Đức

T Í

C H P H AÂ N

413

414

cuûa moät

— haøm lieân laø moät A vaøo treân

con khaùc taäp troáng —, ta f laø noùi A neáu neáu chæ vaø

> 0 , $ Ñònh nghóa. f vaø thöïc soá 

" sao cho vaø

x | < () |y - cho hôn ñd(I) nhoû daøi chieàu f(y) laàn f(x) vaø cöïc laø löôït

415

I ñd(I) < () Cho A laø moät aùnh xaï töø ñeàu tuïc () > 0 sao | f(x) - f(y) | <  laø Cho I moät (). Cho x cöïc vaø tieåu f I . Luùc trong f(y) – f y A x A coù trong khoaõng y cho sao I trong vaø cuûa ñaïi ñoù (x) < 

[a,b]. Ñaët f , truïc cuûa taïi hoaønh S laø hoaønh ñaàu caùc

Cho f dieän laø caùc vaø a muùt soá haøm moät laø hình cuûa tích thaúng ñöôøng b truïc vôùi vaø khoaûng treân tuïc lieân thò ñoà bôûi haïn giôùi truïc vôùi goùc thaúng hoaønh.

vôùi

a thöïc  hôn

, chuùng ta seõ tính xaáp xæ S soá nhoû

416

döông . Cho moät soá sai Nhöng dt(S) laø gì ? Laøm sao xaùc ñònh noù ?

a1 = b]. Cho 2n+1 soá a1 < < a = < k =1,   , n. a0 [a, ñoùng cho sao moïi ] vôùi

Luùc moät



, cn laø ; c1 ,

- - , . maxa1

P([a,b]) laø Ñaët

taäp

taát

hoaïch

a0 c1

a1 c2

a3 a n-1 c n

a n

417

nghóa. Cho moät Ñònh khoaûng cn c1 an a0 , , , , , , thöïc ak  [ak-1 ck b vaø an an-1 , < P = a0 , a1 ,   , an-1 , an noùi ta ñoù b] vaø [a, ñaët khoaûng cuûa hoaïch phaân |P | = - a1 a0 , a2 , caùc caû hôïp an-1 an phaân cuûa [a, b].

(

)



1 

Ñònh ñoùng phaân khoaûng moät cn  , moät laø f treân ; c1 ,

nghóa. Cho moät thöïc soá haøm ,an ,   , an-1 ,a1 a0 P = b] vaø [a, b]. Ta ñaët [a, khoaûng cuûa hoaïch n )( ( ) , S f P f c   1 k  toång laø Riemann naøy soá töông öùng vôùi phaân vaø goïi hoaïch

418

a0 c1

a1 c2

a n-1

c n

a n

toång P.

Ñònh phaân trong Ta thaáy

n-1d

nghóa. Cho P = cuûa hoaïch {1,. . ., n} vaø laø

P’ d2

c3 a3 a n-1 c n c3 a3 a n-1 c n

a0 c1 a1 c2 a0 c1 a1 c2

a n a n

; c1 ,an ,   , an-1 ,a1 a0 cn  , moät laø i = ai-1 vôùi di [a,b]. Ta ñaët moïi khoaûng ,   , an-1 ,a1 dn ; d1 ,an a0 P’ . , , = [a,b]. moät cuûa hoaïch phaân d3 d4 c1d1 a a2 a2

ñoùng Baøi moät Chöùng

419

[a, moät

TP1. Cho moät toaùn khoaûng minh coù |S(f,P) -

f lieân thöïc soá haøm treân tuïc b], vaø  döông. thöïc soá moät laø () sao cho döông thöïc soá P ([a, b]), |P| < ().  P S(f,P’)| < 

toaùn TP1. Cho moät ñoùng khoaûng Baøi moät Chöùng

[a, moät

minh coù |S(f,P) -

S(f,P’)| <  () > 0 sao > 0, tìm

([a, b]), |P| < ().







)(

)



S f P ( ,

)

f a ( k

a k

 1

a k

 1





 1







S f P ( ,

)

S f P ( ,

') |

)(

)

)(

) |

f c ( k

a k

f a ( k

a k

 1

420  1





f lieân thöïc soá haøm treân tuïc b], vaø  döông. thöïc soá moät laø () sao cho döông thöïc soá P ([a, b]), |P| < ().  P Cho  cho  P S(f,P’)| <  |S(f,P) - P Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho [a, b], |y-x| < ’(’). x,y |f(y) -   1 S f P ( , f(x)| < ’  1  f c )( ( k

> 0, tìm () > 0 sao

([a, b]), |P| < ().

 1







S f P ( ,

)(

)

) |

f a ( k

a k

 1





 1









)

)](

) |

)

) | (

)

f c [ ( k

f a ( k

a k

f c ( k

f a ( k

a k

 1





n-1d

c1d1

d3 a a2 a2

a0 c1 a1 c2 a0 c1 a1 c2

a n a n

c3 a3 a n-1 c n c3 a3 a n-1 c n  1







b a 



S f P ( ,

)

S f P ( ,

') |

 '(

)

  '(

) neáu |

  '( ')

a k

 1



421



[a, b], |y-x| < ’(’).  f(x)| < ’  ) ') | Cho  cho  P S(f,P’)| <  |S(f,P) - P Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho x,y |f(y) -  a f c ( k k

> 0, tìm () > 0 sao

([a, b]), |P| < ().

 1





b a 



S f P ( ,

 '(

)

) neáu |

  '( ')

a k

 1





f(x)| < ’  Cho  cho  P S(f,P’)| <  |S(f,P) - P Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho x,y |f(y) -   ) ') | [a, b], |y-x| < ’(’).   '(

> 0, ñaët

’ = (b-a)-1 . Ta coù ’(’) > 0 . Ñaët () = Cho  ’(’). Ta coù

 P |S(f,P) -

422

S(f,P’)| <  P ([a, b]), |P| < ().

m-1d

 vaø hoaïch Ñònh Q = cuûa

a n

,   , an-1 an-1 ; a0 ,an , , dm-1  , phaân caùc laø Q  neáu chæ neáu vaø }  d0 ,dm ,   , dm-1 ,d1 } d8 m-2d d d9 d 7 10

tuïc moät

treân döông. Chöùng

423

nghóa. Cho P = a0 ,a1 ,d1 ,   , dm-1 ; d0 ,dm d0 , P [a,b]. Ta noùi khoaûng ,   , an-1 ,a1 ,an a0 d4 d6 d2 d0 d1 a a0 a2 a1 a3 a n-1 a 1 toaùn Baøi TP2. Cho moät thöïc soá haøm b], vaø [a,  ñoùng khoaûng soá moät laø () sao döông thöïc soá moät minh coù  P, Q S(f,Q’)| <  |S(f,P’) - f lieân thöïc cho P ([a, b]), P’ Q’  |P| < ()

m-2d

m-1d

d 7

d9 d 10

a n

a3 a n-1 a 1

a1 > 0, tìm

 1

([a, b]),P’  Q’ |P| < ()

d6 d0 d1 a a0 a2 Cho  () > 0 sao S(f,P’)| <   P, Q |S(f,Q’) - 



S f Q ( ,

f d (

)(

)

 1





 1









S f P ( ,

f a (

)(

)

f a (

)

(

)

 1











 1

 1





f a (

)(

)

 1

 







 1

424

cho P d

> 0, tìm

 1

Cho  |S(f,Q’) -

([a, b]),P’  Q’ |P| < ()



S f Q ( ,

f d (

)(

)

 1





 1





S f P ( ,

f a (

)(

)

 1

 







 1

 1





S f Q ( ,

f d (

)(

)

 1

 







 1

 1







S f Q ( ,

S f P ( ,

') |

f d [ (

)

f a (

)](

) |

 1

 

425







 1

cho P d () > 0 sao S(f,P’)| <   P, Q 

> 0, tìm

 1

Cho  |S(f,Q’) -

f d

([a, b]),P’





S f Q ( ,

S f P ( ,

') |

[ (

)

)](

) |

 1







 1

 1





f d (

)

f a (

) | (

)

 1

 

 1

m-2d

m-1d

a  0 d8

d 7

d   d9 d 10

a n

a a3 a n-1 1

d6 d0 d1 a a0 a2

|P| < () d () > 0 sao S(f,P’)| <   P, Q  Q’,  f a ( j cho P  

 1







) neáu |

 |

  '( ')

 1

426







 1

[a, b], |y-x| < ’(’). d f(x)| < ’ S f Q ( , S f P ( , ') | Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho x,y |f(y) -     '(

> 0, tìm

Q’ |P| < ()

 1







) neáu |

S f Q ( ,

S f P ( ,

 |

  '( ')

 1







 1

 1









b a 

S f Q ( ,

S f P ( ,

') |

 '

(

)

 '(

)

 1

 







 1



 

neáu |

'( ').

 [a, b], |y-x| < ’(’). d f(x)| < ’ ') ') | () > 0 sao Cho  cho ([a, b]),P’ S(f,P’)| <   P, Q |S(f,Q’) - P Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho x,y |f(y) -     '(

427

Cho  > 0 , ñaët

’ = (b-a)-1  , ta coù ’(’). Ñaët

() = ’(’)

moät tuïc

f lieân thöïc cho

() () () > 0 sao > 0, coù

([a, b]), |P| < (). > 0, coù

Cho  |S(f,P) - Cho  |S(f,Q’) -

428

toaùn TP3. Cho moät Baøi haøm thöïc soá treân b], vaø [a,  ñoùng khoaûng döông. Chöùng soá moät laø () sao döông thöïc soá moät minh coù ([a, b]), |P| , |Q| < S(f,Q)| <   P, Q |S(f,P) - P () > 0 sao Cho  cho > 0, tìm ([a, b]), |P| , |Q| < S(f,Q)| <   P, Q |S(f,P) - P cho  P S(f,P’)| <  () > 0 sao cho S(f,P’)| <   P, Q P P ([a, b]),P’ Q’,  |P| < ()

Cho  |S(f,P) - > 0, tìm () > 0 sao cho

S(f,Q)| <   P, Q ()

P ([a, b]), |P| , |Q| < Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao S(f,R’)| < ’ |S(f,R) -  ([a, b]), |R| < ’(’).

cho R Cho ” > 0, coù ”(”) > 0 sao S(f,V’)| < ” |S(f,U’) -  ([a, b]), U’ V’,  P cho U, V P |U| < ”(”)

|S(f,P) -

S(f,Q)|  |S(f,P) -

+ |S(f,Q’) -

S(f,P’)| + |S(f,P’) - S(f,Q)| < 2 ’ + |S(f,P’) -



429

’(’) . Ta öôùc P, Q |S(f,P’) -

löôïng S(f,Q’)| + S(f,Q’)| ([a, b]), |P| , |Q| < P S(f,Q’)|

|S(f,P’) -

löôïng

S(f,Q’)| Ta öôùc Cho ” > 0, coù ”(”) > 0 sao S(f,V’)| < ” |S(f,U’) -  ([a, b]), U’  V’, cho U, V P |U| < ”(”)

ñoaïn caùc , . . .,dm }, coù ñoaïn }.

S(f,V’)|

S(f,P’) -

430

 [a,b] thaønh Q P cuûa hoaïch laø phaân caùc vaø Neáu ,d1 {d0 , . . .,an ,a1 coù ñaàu muùt laàn löôït laø {a0 } vaø [a,b] thaønh V caùc cuûa hoaïch phaân moät choïn laø , . . .,dm ,d1 ,d0 , . . .,an ,a1 {a0 laø muùt ñaàu S(f,V’)| + S(f,Q’) - S(f,P’) - S(f,Q’)|  S(f,P’) - S(f,Q’)| < 2”

P, Q P ([a, b]), |P|, |Q| < ”(”)

Cho  |S(f,P) - > 0, tìm () > 0 sao cho

P ([a, b]), |P| , |Q| < |S(f,P) -

S(f,Q)| <   P, Q S(f,Q)|  |S(f,P) -

+ |S(f,Q’) -

S(f,P’)| + |S(f,P’) - S(f,Q)| < 2 ’ + |S(f,P’) -



() S(f,Q’)| + S(f,Q’)| ([a, b]), |P| , |Q| < ’(’) . P, Q P

S(f,P’) -

 S(f,Q’)| < 2”

P ([a, b]), |P|, |Q| < ”(”) S(f,P) -

P, Q S(f,Q)| < 2’ + 2” 

([a, b]), |P|, |Q| < min{’(’) , ”(”)}

431

Cho 

P, Q P > 0, ñaët ’= ” = 4-1 , vaø () = min{’(’),”(”)}

Ñònh

khoaûng [a,

nghóa. Cho moät + n-1k(b-a)  an,k = a = {an,0 , an,1 Pn laø Ta goïi Pn

b], ñaët ñoùng  , k = 0,1, . . ., n. n ,. . ., an,n-1 ,. . .,b; an,0 , an,1 cuûa thöù ñeàu phaân } ñoaïn hoaïch n [a,b]

b tuïc soá

toaùn Baøi khoaûng Chöùng treân nguyeân moät n.

Cho moät

TP4. Cho moät b], ñaët [a, ñoùng minh {sn tuï } hoäi moät haøm soá thöïc = S(f,Pn sn ) vôùi thöïc soá moät veà nguyeân soá f lieân moïi s. sao

432

 > 0, tìm – sm

cho N N  n > m  | <  |sn

Cho moät

moät soá nguyeân

N() sao  n > m  | < 

cho N()

moät nguyeân N() sao cho

 n > m   > 0, tìm |sn – sm  Cho moät |S(f,Pn )

soá > 0, tìm – S(f,Pm) | <  N()



Choïn |Pk

Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao P, Q S(f,Q)| < ’ |S(f,P) - | = k-1(b-a) M(’) cho P sao M(’)-1(b-a) <

| <

([a, b]), |P| , |Q| < cho ’(’)  | , |Pm  ) |S(f,Pn

433

|Pn – S(f,Pm) | < ’ n > m  n > m  ’(’) ’(’) M(’) M(’)

> 0, choïn

Cho  ’ = . Ta coù

M(’). Ñaët N() = M(’)

moät treân tuïc TP4. Chöùng f lieân toaùn

(). Cho moät

moät

 P ñoùng | S(f,P) –  |S(f,P)

(). Cho moät

P nguyeân moät cho soá

 toaùn TP5. Cho moät Baøi haøm thöïc soá s nhö b], ñaët [a, trong khoaûng baøi minh :   > 0 ,  () > 0 sao cho ([a, b]), |P| <  P s | <  P () > 0 sao > 0, tìm – s | <  ’ |S(f,Pn )

cho ([a, b]), |P| < N(’) sao n  N(’)

’(”) > 0 sao

434

> 0, tìm – s | < ’ Cho ” cho > 0, tìm S(f,Q)| <   P, QP ([a, b]), |P| , |Q| < |S(f,P) - ’(”)

Cho moät

moät () > 0 sao

().  |S(f,P) Cho moät

 P P nguyeân soá moät

 > 0, tìm – s | <  ’ |S(f,Pn )

cho ([a, b]), |P| < N(’) sao cho n 

cho

N(’) P ([a, b]), |P| , |Q| < )

’(”) – s | < ” + ’ )| + |S(f,Pn  | <

’(”)

435

Cho  soá

([a, b]), |P| , |Pn N(’) vaø

 P

haøm Cho moät moät f treân

Ñònh ñoùng thöïc

a0 c1

a1 c2

a n-1

c n

a n

nghóa. f [a,b]. Ta noùi khaû  sao soá moïi vôùi cho S(f,P) |   |  - thöïc soá khoaûng Riemann tích neáu coù moät soá > 0, ta  cho > 0 ñeå moät coù  P  P([a, |P | b]) vôùi  

- - - |P | = , .

436

[a, b]

c3 a0 , a2 laø

a3 an cuûa

treân

a2 maxa1  goïi ta ñoù z b ( )  laø f t dt a

Luùc hieäu a1 , phaân tích an-1 f vaø kyù

 

f t dt ( )

Ta kyù hieäu

 f laø [a,

 thöïc tuïc lieân moät treân f khaû . tích Riemann phaân tích tích xaáp : tính

Cho ñoùng Ñònh lyù. haøm moät b] . Luùc khoaûng Integrate[f(x),x,a,b]

Out[1]= 1 - 6

x arctgxdx



437

1 6

phaân soá ñoù : tính NIntegrate[f(x),x,a,b] xæ In[1]:= Integrate x3 * ArcTan x , x , 0 , 1

In[3]:= Integrate x ^ 3 * ArcTan x , x , 0 , 6

Out[3]= -198 + 3885 ArcTan[6] --------------------- -------------------- 12

In[4]:= NIntegrate x ^ 3 * ArcTan x , x , 0 , 6

Out[4]= 438.578

arctg



198 3885 

x arctgxdx

, 438 578





z

438

Cho [a, veà ñoùng thuyeát

n, choïn [a,b]

a k 





 Xöû )

(

)

])

b a  n

 1 n



 f a k (

439

tuïc khoaûng moät treân giaûi lyù toaùn baøi caùc sau böôùc nhöõng laøm Pn cuûa hoaïch phaân a) , b ; - a) , b} - Riemann S(f,Pn toång ñd a ([ ) döïa f a k  (

f x dx ( )

 

Duøng

k  1 chaát

f lieân thöïc soá haøm laø moät f khaû b] . Luùc tích. Ñeå ñoù f ta , chuùng cuûa phaân tích Vôùi nguyeân soá moïi a),   , a + (n -1)n-1(b a , a + n-1(b - a),   , a + (n-1)n-1(b a + n-1(b - toaùn baøi lyù treân n b a   S f P  ( , n n b a b a   ) n n S f P lim ( , ) n n 

tính

vaø g laø

[a, thöïc lieân soá

Baøi treân Chöùng tuïc . t dt ( ) g t dt ( ) f ñoùng f (   

g a k

)(

)

b - a b - a )

haøm caùc b],  vaø b  z g t dt )( )  a a),   , a + (n - a) , b} laø soá thöïc  laø caùc b  z  a -1)n-1(b a) , b ; - hoaïch phaân





1 

(

)

(

)]



[ 

f a k 

 

g a k 



b - a n

n b - a n

1 

440

toaùn 114.Cho khoaûng moät z minh = a , a + n-1(b Cho Pn a),   , a + (n-1)n-1(b a + n-1(b - khoaûng cuûa f (    b]. f (    ñoùng g ,P n [a, 

g a k

)

)(

b - a b - a )

f (   



f (   



g ,P n



(

)

(

)]

k 1  f a k [  



 

g a k 



b - a n

n b - a n

b - a n

1 

)

(

b a b a )

)

( 





f a k 

 

f ,P n

( S f ,P n



1  n

)

(

b a b a )

)





g a k 

 

( S g ,P  n

( S g ,P n



 n  n

1 

441





f    (

g x dx )( )

f x dx ( )

g x dx ( )



 

 

442

tuïc laø





Baøi moät treân f

f t dt ( )

ñoùng f t dt ( )

Q a a 



{ ,

a n   (

 , ,

c a ;

a n   (

c , }





 , ,

b c ;

 , ,

  c n (

b , }

c c { ,

  c n (

R n

a n



 

c n  

 , ,

c c , ,

 , ,

( 1)

;

P a a  { , n

a n



c n  



 

443

 , ,

( 1)

c c , ,

 , ,

( 1)

b , }

moät [a,b] vaø c 

c a  n b c  n c a  n c a  n

c a  n b c  n b c  n b c  n

toaùn 116.Cho khoaûng b  a c a  n b c  n c a  n c a  n haøm lieân thöïc soá c  (a,b). Ta coù  f t dt ( ) c c a  n b c  n b c  n b c  n

Q a a 



{ ,

 , ,

a n   (

c a ;

 , ,

a n   (

c , }





c c { ,

 , ,

  c n (

b c ;

 , ,

  c n (

b , }

R n



 

a n

  c n

 , ,

( 1)

c c , ,

 , ,

( 1)

;

 P a a { , n



 



a n

  c n

 , ,

( 1)

c c , ,

 , ,

( 1)

b , }

c a  n b c  n  c a n  c a n

c a  n b c  n  b c n  b c n

444





)

f a k  (

c a c a )

f c (

b c b c )

S f P ( , n



 n

 1



)

 n c a c a )

)

S f Q ( , n

S f R ( , n

 f a k (

 f c k (

 n

  n n b c b c  ) n

 n

 1

445





)

f a k  (

c a c a )

f c (

b c b c )

S f P ( , n



 1



)

  n n c a c a )

)

S f Q ( , n

S f R ( , n

 f a k (

 f c k (

 n

  n n b c b c  ) n

 n

 1





f x dx ( )



446

tuïc

Baøi treân

minh toaùn 117. Cho b] . Giaû [a, söû

)

g haøm hai laø soá lieân thöïc b]. [a, x g(x)   Chöùng b  g t dt f t dt  ( ) ( ) a



S f ,P ( n

 f a k (

1  n

)



S g ,P ( n

 g a k (

 n b a b a  ) n

 n  n

1 



f t dt ( )

g t dt ( )



447

f vaø f(x)  b  a b a b a )

tuïc

laø b Baøi [a, f soá b treân

 z

)

b a b a )



S f ,P ( n

 f a k (

a  n

 n

1 

)

| f a k (

b a b a )|





S f |,P n



 n

1 

t dt ( )

t dt ( )|

moät f haøm t dt ( ) thöïc f lieân t dt ( )| toaùn 118.Cho b] . minh Chöùng

z

 z

448

Baøi laø tuïc treân

moät haøm soá thöïc lieân moät



x  

G x ( )

f t dt ( )

a b [ , ]

toaùn 119.Cho khoaûng f b]. Ñaët [a,

 a moät

Chöùng soá lieân haøm [a,

treân b] minh G laø Cho moät

 > 0 , tìm moät

|G(x) –



y  

[a, y y | < ()

G x G y  ( )

( )

f t dt ( )

tuïc cho b] , |x f t dt ( )

G x G y 





y  

( )

( ) |

f t dt ( )

f t dt ( ) |



449

G(y) | <   x  () > 0 sao y  ,  f t dt  ( ) – y 

Cho moät

 > 0 , tìm moät

|G(x) –

G(y) | <   x

G x G y 



y  

( )

( ) |

cho b] , |x  () > 0 sao y  , f t dt ( ) [a, | y | < () – f t dt ( ) |

 [a,b], neân

 moät

Vì lieân

f coù M :

tuïc | f(t) | 

soá ,

G x G y 







( )

t ( ) |



thöïc x  dt M y döông [a,  treân M  ( ) | b] | y |

() = M-1 

450

 x |G(x) –

G(y) | <  , y  [a, b] , |x – y | < ()

Baøi vôùi

moïi vaø  thöïc soá f x dx ( ) f (x) = c c b a  ) ( x  Cho c Chöùng

(



c( b a ) 



 n

b a  n

1 

S f ( ,

c b a ( -

)

P = ) n



f x dx ( )

c b a  (

)



f x x

120. b] . ) moät b  b a b a ) laø minh f a k  toaùn [a, S f ,P ( n n 

 ( )d

451

Baøi laø tuïc treân



G x ( )

a b [ , ]



moät haøm soá lieân moät . x   thöïc f t dt ( )

toaùn 121.Cho khoaûng





(

Chöùng (

f x ( )



lim h  0

vi treân  x  (a,b) f x ( ) |

x h 



f t dt ( )

x h 





(



f b]. Ñaët [a, G khaû minh G x h G x   ( ) ) h (a,b) vaøG’( x) =f (x) G x h G x ( ) ) lim | h h  0

 

f t dt ( )



G x h G x ( ) ) h

1 h

x h 

f x ( ) =

f x dt ( )

f x h ( )

f x dt ( )





1 h

x h 





(







f x ( )

f t dt ( )

f x dt ( )



452

1 h

 G x h G x ( ) ) h

h > 0

x h 





(







f x ( )

f t dt ( )

f x dt ( )



G x h G x ( ) ) h

1 h

x h 



f x dt

f t [ ( )- ( )]



1 h



h , 0

h    ( )

 x h 

f x dt

Cho moät  (







f x ( ) |

f t [ ( )- ( )]



() > 0 sao 

x h 

f x dt

f t



f t [ ( )- ( )]

[ ( )- ( )]



1 h

x h 



f x dt

f t ( )- ( ) |



453

1 h | 1 h

 > 0, tìm G x h G x  ( ) ) h cho 1 h



h , 0

h    ( )

 x h 

f x dt

Cho moät  (







f x ( ) |

f t [ ( )- ( )]



() > 0 sao 

x h 

f x dt

f t



f t [ ( )- ( )]

[ ( )- ( )]



1 h

 > 0, tìm G x h G x  ( ) ) h cho 1 h

x h 



f x dt

f t ( )- ( ) |



1 h | 1 h

h > 0

f x dt





 x h  () > 0 sao cho

f t ( )- ( ) |





h , 0

h    ( )



> 0, tìm |

454

Cho moät 1 h

f x dt





 x h  () > 0 sao cho

f t ( )- ( ) |





h , 0

h    ( )



> 0, tìm |

Cho moät 1 h

Cho moät

’ |f(u)-f(v)| < ’

x h 

' dt

' h

cho [a,b], | u-v|< ’(’) t x+h > 0, coù u h > 0

)

 





h (     

1   h

1  h Cho 

moät = t , v f f x dt | ( )- ( ) |

()= ’(’)

455







, |

  ( )

Cho moät (  cho  ’(’) > 0 ñaët () > 0 sao f x ( ) |

’(’) > 0 sao u, v x = x 1  h ’ =  > 0 , ñaët > 0 coù > 0, tìm ñöôïc G x h G x   ( ) ) h

tuïc



a b [ , ]

v x ( )





x  

Ñaët

G x ( )

f t dt ( )

u x ( )

v x ( )

v a G x  ( ) ( )

a b [ , ]



)

f x

 (a, 

treân lieân thöïc soá haøm moät laø [a,b] vaø v lieân khaû treân tuïc soá b) . Luùc (a, x  ñoù moïi x    f haøm coù v’(x) = f(x) vôùi f t dt ( ) v a ( ) toaùn 122.Cho Baøi [a,b]. Giaû söû (a,b) vaø treân x 

u'( x ) v'( x ) G'( x )  (a, x  b),  t   u(t) = u(a) = 0  t  u t u b  lim ( ) 0 ( ) t 

treân x

x  



= ( ) - ( ) = 0 b) : u(t) – b) u [a, v x  ( )

a,b ( x   a) = 0 – [a,b] f t dt ( )

a b [ , ]

456



tuïc  u(a) = u’(x)(t lieân v a ( )

u(t) = 0 t 

[a,b]

tuïc



toaùn 123.Cho Baøi [a,b]. Giaû söû (a,b) vaø treân treân khaû ñoù

f t dt ( )

a b [ , ]

lieân thöïc soá haøm moät laø [a,b] vaø v lieân treân tuïc soá b) . Luùc (a, x  moïi x v a    ( ) f haøm coù v’(x) = f(x) vôùi x  v x ( )

tuïc

Ñònh [a,b]. Cho haøm (a,b) vaø





f t dt ( )

ø la

tích phaân xaùc ñò

cuûa

a x treân [ , ]

457

 

f nghóa. Cho moät laø v lieân soá v’(x) = f(x) vôùi moät laø soá treân x  f v haøm tuïc moïi cuûa  haøm f t dt ( ) thöïc lieân treân [a,b] vaø khaû vi treân b). Luùc (a, noùi ta ñoù (a,b), coù moät haèng soá c treân x a b   [ , ] nguyeân x  v x ( )

soá soá





Baøi lieân lieân vôùi

v a ( )







Baøi toaùn 124 . Tính

(







 0 

Ñaët

v x ( )

vôùi moïi

[0,3]

1 8

1 4

f v v’(x) = f(x) v b ( ) toaùn tuïc tuïc moïi 123 giuùp ta tính haøm moät cuûa phaân tích [a,b] nhö khoaûng moät treân haøm moät : tìm sau (a,b) vôùi [a,b] vaø vi treân khaû treân (a,b) . Luùc x  ñoù f t dt ( )

Duøng

beân









(

(3)

(

x  5 )

1 8

1 4





458

6519 8

treân v nhaän  ta  xeùt 5) coù (0)

Baøi moät

toaùn 125. Cho khoaûng ñoùng tuïc b) sao treân cho

)

lieân (a,  haøm moät laø b]. Luùc ñoù f x dx  ( ) thöïc soá c  coù f c b a ( )(

x  



a b [ , ]

Ñaët

G x ( )

f t dt ( )

f [a, b 

vi treân (a, b) vaø G’(x) = f(x)

Coù







 a G tuïc lieân treân x trong moïi vôùi (a, c G b G a  ( )

f x dx ( )



459





f x dx ( )

f c b a ( )(

)



– G(a) b  b] , khaû [a, b). (a, b) : G(b) ( ) = G’(c)(b-a) = f(c)(b-a) f x dx ( )



Baøi toaùn 126.Cho u d), vaø tuïc cho treân Ta coù  u t v t dt ( ) ( ) vaø v laø haøm caùc thöïc soá b] chöùa [a, khoaûng moät u a v a u b v b  [ ( ) ( ) ( ) ( )]

(c, 

G(s) = u(s)v(s) Ñaët s (c,

moïi

vôùi G’(x) = u‘(x)v(x) + u(x)v’(x) x 

G'( t )dt

G( b ) G( a ) 

 



u( t )v'( t ) u ( t )v( t ) dt [

]

u( b )v( b ) u( a )v( a ) 







460



u( t )v'( t )dt

u ( t )v( t )dt







vi lieân khaû d). (c, trong   u t v t dt ( ) ( ) coù . ta moïi [a, b] d) vôùi

tính tích phaân töøng Baøi phaàn

126 cho haøm caùc



toaùn cho (ña phaùp tích: giaùc)



 (ln

thöùc).(bieåu x, arctg thöùc)

Baøi toaùn 127 . Tính

cos

x). (ña xdx

u’(x) = vaø

xdx

v’(x) = cos x







 v u   ( ) ( )

 v (0) (0)

 u x v x dx ( ) ( )





461

x dx

 





 



sin( )

cos

cos 0



 ta phöông daïng coù soá löôïng thöùc x, arccos x, arcsin  x v(x) = sin  u x v x dx ( ) ( ) u(x) = x cos Ñaët   vaø  

d laø khaû g(x)

k ( )

 1

(

n ( )



)

(

x dx ( )

soá caùc thöïc caáp vi ñeán = f(x) – sao n treân (x,c) Pn-1



c ( ) !

d x  n  (

) 1)!

 1

Ñònh (Taylor) lyù . Cho a, b, c vaø (a,b), vaø f [c,d]  haøm moät cho laø n  (a,b), 1. Ñaët vôùi môû khoaûng (c,d) . Luùc x ñoù trong moïi vôùi  d c f c f d   ( ) ( )

g(x) (x,c) 

 1

= f(x) - Pn-1

(

n ( )



g d ( )

x d



ñoù x dx ( )

) 1)!

462

(c,d). Luùc  d x  n  (

k ( )

 1

(

n ( )





d c 



f d ( )

f c ( )

(

)

x dx ( )





c ( ) !

d x  n  (

) 1)!

 1

(1)



x dx ( )

f c ( )

f d ( )



 1

(

)





  c n = m  : 1 ñuùng k ( ) m  1 f d c f c  ( )

(

)

x dx ( )





c ( ) !

d x  m  (

) 1)!

söû  n = 1 : Giaû f d ( )

k ( )

)

(



(

 k 1 n = m +1 m 



d c 



f c ( )



(

)

x dx ( )





c ( ) !

d x  m !

 1

463

Xeùt f d ( )

k ( )

 1

(

)





d c 



f d ( )

f c ( )

(

)

x dx ( )





c ( ) !

d x  m  (

) 1)!

k ( )

)

(



(

 k 1 n = m +1 m 



d c 



f c ( )



(

)

x dx ( )





c ( ) !

d x  m !

 1

 1

(

)

(

)

(

)

 

x dx ( )

x ( )



 m

x 

d  m (

) 1)!

x !

  

(

)



(





x dx ( )

 m

x !

)

(

)

(



(

)

(

464





c ( )

x dx ( )



  m

d c  m !

x !

Xeùt f d ( )

tuïc treân tuïc treân h([c,d])

h d ( )



f x dx ( )

Baøi toaùn 128 .Cho [a,b], h khoaûng moät (p,q), vaø khoaûng [a, trong chöùa

h c ( )

haøm soá haøm [c,d]  minh d c lieân thöïc soá lieân khaû thöïc (p,q). Giaû söû  f h s h s ds ( ( )) '( )

u’

sao v’(s)







Choïn v’(s) d v = uoh . = f(h(s))h’(s)

 v s ds ( )

 ( )

v d ( )

v c ( )



u h c





 c u h d ( ( ))

( ( ))

h d (

)

h d (

)

465

u x dx u h d





f x dx ( )

( ( ))

 ( )

u h c ( ( ))

h c ( )



f moät laø moät laø khoaûng b]. Chöùng  = f . Ñaët u cho = u’(h(s))h’(s) d f h s h s ds ( ( ))

f treân

Ñònh môû haøm soá thöïc moät khoaûng

nghóa. b) . Giaû (a, d ( ) t dt  (a, Cho moät söû xaùc vôùi

[c, cho soá b). thöïc döông   ta

c Coù tìm | 

döông soá moät ( ) t dt d]  vôùi  ñeå | a - ñònh moïi  sao thöïc thöïc soá | <  khi

 vaø roäng | d - cuûa b|  f treân . (a,b) vaø tích phaân b

moïi cho c |  suy ( ) t dt moät ñöôïc d z - c ñoù Luùc kyù vaãn noùi ta hieäu  laø laø noù

466

a baèng

a b ÔÛû hoaëc coù

-  ñaây ta coù theå xeùt theå baèng 





Baøi toaùn 129

f x . Cho ( )

vôùi moïi

(0,1).

1 x

Chöùng minh

khaû tích treân (0,1) vaø tính

f x dx ( )



( ) t dt

c Coù

 (0, 1). vôùi xaùc

moïi cho soá thöïc döông  ta  tìm

d]  [c, vôùi  ñeå

moät ñöôïc d |   sao döông thöïc | <  khi | 0 ñònh thöïc soá ( ) t dt soá moät f





= 2 x

)

2 khi d

1 vaø c

467



d    c

1 x

- moïi cho c |  -  vaø | 1 - d|  .

Baøi toaùn





130

f x . Cho ( )

vôùi moïi

 .

1 x 





Chöùng minh

khaû tích treân

vaø tính

f x dx ( )





( ) t dt

c Coù

 vôùi xaùc

(-,) soá thöïc döông  ta  tìm

M d]  [c, moïi vôùi cho M ñeå c  moät ñöôïc d |   sao döông thöïc | <  khi vaø d. ñònh thöïc soá ( ) t dt soá moät f

c 468



 

= arctg

arctg - arctg



khi

vaø

  -

 



1 x 

- moïi cho - M 

<...< )

Cho a, b, a1 , ... , Cho f laø f ñöôïc

moät goïi laø

)

Ñònh

1 i  treân tuïc , a ai

ñoaïn ). Giaû an = b. . Luùc ñoù b). (a, töøng 

an trong lieân soá haøm haøm moät nghóa. Cho f laø treân 

), . . ., söû

(a1 ,a2 lieân 1 n  ( A   1 i  khoaûng

treân

). Luùc tích phaân suy roäng cuûaf treân (an-1

f t dt ( )

ta ,an vaø Riemann cuûa b a

469



(a, n b) xaùc 1 caùc phaân  hieäu tích kyù laø coù f trò laø giaù

 z

a i a i



noùi ñoù ñònh, ñöôïc ( ) t dt

Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 8 - Dương Minh Đức

Bài giảng "Toán giải tích 1 - Chương 8: Tích phân" cung cấp cho người học các định nghĩa về tích phân, các tài toán ví dụ về tích phân, định lý tích phân,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

T Í

C H P H AÂ N

z

z

 ( )d

Baøi toaùn 129

Baøi toaùn

130

Tài liệu liên quan

Tài liêu mới

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Hỗ trợ

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi