Bài giảng "Toán giải tích 1 - Chương 8: Tích phân" cung cấp cho người học các định nghĩa về tích phân, các tài toán ví dụ về tích phân, định lý tích phân,... Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.
AMBIENT/
Chủ đề:
Nội dung Text: Bài giảng Toán giải tích 1: Chương 8 - Dương Minh Đức
- T Í C H P H AÂ N
413
- 414
- Ñònh nghóa. Cho A laø moät taäp con khaùc troáng cuûa —
vaø f laø moät aùnh xaï töø A vaøo —, ta noùi f laø moät haøm
soá thöïc lieân tuïc ñeàu treân A neáu vaø chæ neáu
" > 0 , $ () > 0 sao cho
| f(x) - f(y) | < " x vaø y A sao cho |y - x | < () .
Cho I laø moät khoaõng trong A coù chieàu daøi ñd(I) nhoû hôn
(). Cho x vaø y trong I sao cho f(x) vaø f(y) laàn löôït laø cöïc
tieåu vaø cöïc ñaïi cuûa
f trong I . Luùc ñoù
f(y) – f (x) <
I ñd(I) < ()
415
- Cho f laø moät haøm soá lieân tuïc treân khoaûng [a,b]. Ñaët S laø
laø dieän tích cuûa hình giôùi haïn bôûi ñoà thò cuûa f , truïc hoaønh
vaø caùc ñöôøng thaúng thaúng goùc vôùi truïc hoaønh taïi caùc ñaàu
muùt a vaø b vôùi truïc hoaønh.
S
a b
Cho moät soá thöïc döông , chuùng ta seõ tính xaáp xæ S vôùi
sai soá nhoû hôn .
Nhöng dt(S) laø gì ? Laøm sao xaùc ñònh noù ? 416
- Ñònh nghóa. Cho moät khoaûng ñoùng [a, b]. Cho 2n+1 soá
thöïc a0, a1, , an, c1, , cn sao cho a = a0 < a1 < <
an-1 < an = b vaø ck [ak-1, ak] vôùi moïi k =1, , n.
Luùc ñoù ta noùi P = a0 , a1, , an-1 , an; c1, , cn laø
moät phaân hoaïch cuûa khoaûng [a, b] vaø ñaët
|P | = maxa1 - a0 , a2- a1, , an - an-1.
Ñaët P([a,b]) laø taäp hôïp taát caû caùc phaân hoaïch cuûa [a, b].
a b
a0 c1 a1 c2 a2 c3 a3 a n-1 cn an
417
- Ñònh nghóa. Cho moät haøm soá thöïc f treân moät khoaûng
ñoùng [a, b] vaø P = a0,a1, , an-1,an; c1, , cn laø moät
phaân hoaïch cuûa khoaûng [a, b]. Ta ñaët
n
S ( f , P ) f (ck )(a k a k 1 )
k 1
vaø goïi toång soá naøy laø toång Riemann töông öùng vôùi phaân
hoaïch P.
418
a0 c1 a1 c2 a2 c3 a3 a n-1c n a n
- Ñònh nghóa. Cho P = a0,a1, , an-1,an; c1, , cn laø moät
phaân hoaïch cuûa khoaûng [a,b]. Ta ñaët di = ai-1 vôùi moïi i
trong {1,. . ., n} vaø P’ = a0,a1, , an-1,an; d1, , dn.
Ta thaáy P’ laø moät phaân hoaïch cuûa [a,b].
d2 d3 d4 dn-1
dc1
a b
a0 c1 a1 c2 a2 c3 a 3 a n-1 c n an
Baøi toaùn TP1. Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân
moät khoaûng ñoùng [a, b], vaø laø moät soá thöïc döông.
Chöùng minh coù moät soá thöïc döông () sao cho
|S(f,P) - S(f,P’)| < P P ([a, b]), |P| < ().419
- Baøi toaùn TP1. Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân
moät khoaûng ñoùng [a, b], vaø laø moät soá thöïc döông.
Chöùng minh coù moät soá thöïc döông () sao cho
|S(f,P) - S(f,P’)| < P P ([a, b]), |P| < ().
Cho > 0, tìm () > 0 sao cho
|S(f,P) - S(f,P’)| < P P ([a, b]), |P| < ().
Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho
|f(y) - f(x)| < ’ x,y [a, b], |y-x| < ’(’).
n 1 n 1
S ( f , P ) f (ck )(ak 1 ak ) S ( f , P ') f (ak )(ak 1 ak )
k 0 k 0
n 1 n 1
| S( f , P ) S( f , P ') | | f (ck )(ak 1 ak ) f (ak )(ak 1420 ak ) |
k 0 k 0
- Cho > 0, tìm () > 0 sao cho
|S(f,P) - S(f,P’)| < P P ([a, b]), |P| < ().
Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho
|f(y) - f(x)| < ’ x,y [a, b], |y-x| < ’(’).
n 1 n 1
| S( f , P ) S( f , P ') | | f (ck )(ak 1 ak ) f (ak )(ak 1 ak ) |
k 0 k 0
n 1 n 1
| [ f (ck ) f (ak )](ak 1 ak ) | | f (ck ) f (ak ) | (ak 1 ak )
k 0 k 0
d2 d3 d4 dn-1
c1
d
a b
a0 c1 a1 c2 a2 c3 a 3 a n-1 cn an
n 1
| S( f , P ) S ( f , P ') | '(ak 1 ak ) '(b a) neáu | P | '( ')
k 0 421
- Cho > 0, tìm () > 0 sao cho
|S(f,P) - S(f,P’)| < P P ([a, b]), |P| < ().
Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho
|f(y) - f(x)| < ’ x,y [a, b], |y-x| < ’(’).
n 1
| S( f , P ) S ( f , P ') | '(ak 1 ak ) '(b a) neáu | P | '( ')
k 0
Cho > 0, ñaët ’ = (b-a)-1 . Ta coù ’(’) > 0 . Ñaët () =
’(’). Ta coù
|S(f,P) - S(f,P’)| < P P ([a, b]), |P| < ().
422
- Ñònh nghóa. Cho P = a0,a1, , an-1,an; a0, , an-1 vaø
Q = d0,d1, , dm-1,dm; d0, , dm-1 laø caùc phaân hoaïch
cuûa khoaûng [a,b]. Ta noùi P Q neáu vaø chæ neáu
a0,a1, , an-1,an } d0,d1, , dm-1,dm}
d0 d1 d2 d3 d4 d6 d7 d8 d9 d10 dm-2 dm-1 dm
a b
a0 a1 a2 a3 an-11 an
Baøi toaùn TP2. Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät
khoaûng ñoùng [a, b], vaø laø moät soá thöïc döông. Chöùng
minh coù moät soá thöïc döông () sao cho
|S(f,P’) - S(f,Q’)| < P, Q P ([a, b]), P’ Q’
|P| < ()
423
- d0 d1 d2 d3 d4 d6 d7 d8 d9 d10 dm-2 dm-1 dm
a b
a0 a1 a2 a3 an-11 an
Cho > 0, tìm () > 0 sao cho
|S(f,Q’) - S(f,P’)| < P, Q P ([a, b]),P’ Q’ |P| < ()
m 1
S( f , Q ') f (dk )(dk 1 dk )
k 0
n 1 n 1
S ( f , P ') f (a j )(a j 1 a j ) f (a j ) (dk 1 dk )
j 0 j 0 a j dk a j 1
n 1
f (a j )(dk 1 dk )
j 0 a j dk a j 1
424
- Cho > 0, tìm () > 0 sao cho
|S(f,Q’) - S(f,P’)| < P, Q P ([a, b]),P’ Q’ |P| < ()
m 1
S( f , Q ') f (dk )(dk 1 dk )
k 0
n 1
S( f , P ') f (a j )(dk 1 dk )
j 0 a j dk a j 1
n 1
S( f , Q ') f (dk )(dk 1 dk )
j 0 a j dk a j 1
n 1
| S( f , Q ') S ( f , P ') | | [ f (dk ) f (a j )](dk 1 dk ) |
j 0 a j dk a j 1 425
- Cho > 0, tìm () > 0 sao cho
|S(f,Q’) - S(f,P’)| < P, Q P ([a, b]),P’ Q’, |P| < ()
n 1
| S( f , Q ') S( f , P ') | | [ f (dk ) f (a j )](dk 1 dk ) |
j 0 a j dk a j 1
n 1
| f (dk ) f (a j ) | (dk 1 dk )
j 0 a j dk a j 1
d0 d1 d2 d3 d4 d6 d7 d8 d9 d10 dm-2 dm-1 dm
a b
a0 a1 a2 a3 an-11 an
Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho
|f(y) - f(x)| < ’ x,y [a, b], |y-x| < ’(’).
n 1
| S( f , Q ') S( f , P ') | '(dk 1 dk ) neáu | P | 426'( ')
j 0 a j dk a j 1
- Cho > 0, tìm () > 0 sao cho
|S(f,Q’) - S(f,P’)| < P, Q P ([a, b]),P’ Q’ |P| < ()
Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho
|f(y) - f(x)| < ’ x,y [a, b], |y-x| < ’(’).
n 1
| S( f , Q ') S( f , P ') | '(dk 1 dk ) neáu | P | '( ')
j 0 a j dk a j 1
n 1
| S( f , Q ') S( f , P ') | ' (dk 1 dk ) '(b a)
j 0 a j dk a j 1
neáu | P | '( ').
Cho > 0 , ñaët ’ = (b-a)-1 , ta coù ’(’). Ñaët
() = ’(’) 427
- Baøi toaùn TP3. Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät
khoaûng ñoùng [a, b], vaø laø moät soá thöïc döông. Chöùng
minh coù moät soá thöïc döông () sao cho
|S(f,P) - S(f,Q)| < P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ()
Cho > 0, tìm () > 0 sao cho
|S(f,P) - S(f,Q)| < P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ()
Cho > 0, coù () > 0 sao cho
|S(f,P) - S(f,P’)| < P P ([a, b]), |P| < ().
Cho > 0, coù () > 0 sao cho
|S(f,Q’) - S(f,P’)| < P, Q P ([a, b]),P’ Q’, |P| < ()
428
- Cho > 0, tìm () > 0 sao cho
|S(f,P) - S(f,Q)| < P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ()
Cho ’ > 0, coù ’(’) > 0 sao cho
|S(f,R) - S(f,R’)| < ’ R P ([a, b]), |R| < ’(’).
Cho ” > 0, coù ”(”) > 0 sao cho
|S(f,U’) - S(f,V’)| < ” U, V P ([a, b]), U’ V’,
|U| < ”(”)
|S(f,P) - S(f,Q)| |S(f,P) - S(f,P’)| + |S(f,P’) - S(f,Q’)| +
+ |S(f,Q’) - S(f,Q)| < 2 ’ + |S(f,P’) - S(f,Q’)|
P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ’(’) .
Ta öôùc löôïng |S(f,P’) - S(f,Q’)| 429
- Ta öôùc löôïng |S(f,P’) - S(f,Q’)|
Cho ” > 0, coù ”(”) > 0 sao cho
|S(f,U’) - S(f,V’)| < ” U, V P ([a, b]), U’ V’,
|U| < ”(”)
Neáu P vaø Q laø caùc phaân hoaïch cuûa [a,b] thaønh caùc ñoaïn
coù ñaàu muùt laàn löôït laø {a0,a1, . . .,an} vaø {d0,d1, . . .,dm},
choïn V laø moät phaân hoaïch cuûa [a,b] thaønh caùc ñoaïn coù
ñaàu muùt laø {a0,a1, . . .,an,d0,d1, . . .,dm}.
S(f,P’) - S(f,Q’)| S(f,P’) - S(f,V’)| + S(f,Q’) - S(f,V’)|
S(f,P’) - S(f,Q’)| < 2”
P, Q P ([a, b]), |P|, |Q| < ”(”)
430
- Cho > 0, tìm () > 0 sao cho
|S(f,P) - S(f,Q)| < P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ()
|S(f,P) - S(f,Q)| |S(f,P) - S(f,P’)| + |S(f,P’) - S(f,Q’)| +
+ |S(f,Q’) - S(f,Q)| < 2 ’ + |S(f,P’) - S(f,Q’)|
P, Q P ([a, b]), |P| , |Q| < ’(’) .
S(f,P’) - S(f,Q’)| < 2”
P, Q P ([a, b]), |P|, |Q| < ”(”)
S(f,P) - S(f,Q)| < 2’ + 2”
P, Q P ([a, b]), |P|, |Q| < min{’(’) , ”(”)}
Cho > 0, ñaët ’= ” = 4-1 , vaø () = min{’(’),”(”)}
431
- Ñònh nghóa. Cho moät khoaûng ñoùng [a, b], ñaët
an,k = a + n-1k(b-a) n , k = 0,1, . . ., n.
Pn = {an,0 , an,1,. . .,b; an,0 , an,1,. . ., an,n-1}
Ta goïi Pn laø phaân hoaïch ñeàu thöù n cuûa ñoaïn [a,b]
a b
Baøi toaùn TP4. Cho moät haøm soá thöïc f lieân tuïc treân moät
khoaûng ñoùng [a, b], ñaët sn = S(f,Pn) vôùi moïi soá nguyeân n.
Chöùng minh {sn} hoäi tuï veà moät soá thöïc s.
Cho moät > 0, tìm moät soá nguyeân N sao cho
|sn – sm | < n>m N
432
Thêm vào BST
Báo xấu
Download
Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ
