Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số kỹ thuật giải nhanh các bài toán tích phân hàm ẩn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu sáng kiến "Một số kỹ thuật giải nhanh các bài toán tích phân hàm ẩn" nhằm phát triển năng lực tư duy độc lập và sáng tạo của học sinh; Giúp học sinh phát huy tốt khả năng tự học, tự tìm tòi nghiên cứu; Hoàn thiện thêm cách giải các bài toán tích phân hàm ẩn.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Sáng kiến kinh nghiệm THPT: Một số kỹ thuật giải nhanh các bài toán tích phân hàm ẩn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƯỜNG THPT NGUYỄN ĐỨC MẬU ----   ---- SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM Đề tài: MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN Môn: TOÁN HỌC Lĩnh vực: PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC Nhóm tác giả: 1. Phan Thị Ngọc Tú 2. Hồ Đức Vượng Tổ: Toán – Tin Năm thực hiện: 2021 - 2022 Số điện thoại: 0977.733.739 0989.739.738 1
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 1. Lí do chọn đề tài Các bài toán tích phân hàm ẩn đã có mặt trong cấu trúc đề thi THPT quốc gia ngay từ khi Bộ giáo dục và Đào tạo thay đổi hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm và gần hơn nữa là nó cũng nằm trong cấu trúc của các bài thi tư duy của Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, các bài thi đánh giá năng lực của Trường Đại học Quốc gia Hà Nội và Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh với những câu hỏi ở mức độ vận dụng hoặc vận dụng cao nhằm mục đích phân loại mức độ hiểu biết và trình độ của thí sinh dự thi. Trong 2 năm nay, khi mà nhiều trường đại học xét tuyển dựa vào kết quả của bài thi tư duy của Trường Đại học Bách khoa Hà Nội và bài thi đánh giá năng lực thì những dạng toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao luôn là mối quan tâm trăn trở đối với cả giáo viên và học sinh. Trong thực tế giảng dạy, chúng tôi thấy rằng với sự đa dạng của bài toán tích phân hàm ẩn nên phần lớn học sinh khi tiếp cận bài toán này thường lúng túng hoặc không tự tin. Theo chúng tôi, nguyên nhân đó xuất phát bởi các lí do sau: - Nhìn chung đa số học sinh mới chỉ nắm được các phương pháp tính tích phân với những hàm số cho trước. - Học sinh còn chưa hiểu rõ về bản chất của hàm số ẩn trong bài toán tích phân. - Học sinh chưa biết cách phối hợp giữa các phương pháp với nhau trong bài toán tích phân hàm ẩn. - Trong hệ thống các bài toán toán tích phân hàm ẩn có những bài chúng ta có thể nhận dạng ngay được song cũng có nhiều bài toán mà bề ngoài của nó khó nhận dạng khiến học sinh không thể một lúc mà tìm thấy được phương pháp áp dụng phù hợp. - Học sinh chưa biết cách đặc biệt hóa, tổng quát hóa khi sử dụng cho bài toán tích phân hàm ẩn. Trong giai đoạn hiện nay, với những thay đổi trong hình thức tuyển sinh của các trường đại học, học sinh không chỉ có riêng hình thức thi trắc nghiệm mà còn kết hợp cả hình thức thi tự luận, thì cần trang bị hơn nữa cho học sinh những phương pháp có thuật toán rõ ràng, những kĩ thuật giúp việc giải các bài toán tích phân hàm ẩn trở nên dễ dàng, đơn giản và nhanh gọn hơn. - Thực trạng giảng dạy tại trường chúng tôi, đa phần học sinh thuộc mức trung bình hoặc trung bình khá nên việc tiếp cận các bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao còn gặp nhiều khó khăn. Vì thế chúng tôi luôn băn khoăn trăn trở để tìm ra những phương pháp và kĩ thuật giải các dạng toán tích phân hàm ẩn giúp cho đại đa số học sinh có thể vận dụng được mà không chỉ tập trung vào số đối tượng học sinh khá giỏi. 2
Với mong muốn góp phần nhỏ trong việc đơn giản hóa giải các bài toán tích phân hàm ẩn và làm phong phú thêm hệ thống các phương pháp giải dạng toán này. Và trăn trở trước những thực trạng nêu trên, chúng tôi mạnh dạn đúc rút thành sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kỹ thuật giải nhanh các bài toán tích phân hàm ẩn” để chia sẻ với đồng nghiệp, đồng thời mong nhận được những ý kiến xây dựng để sáng kiến hoàn thiện hơn, phát huy hiệu quả hơn nữa trong công việc giảng dạy. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu. - Phát triển năng lực tư duy độc lập và sáng tạo của học sinh. - Giúp học sinh phát huy tốt khả năng tự học, tự tìm tòi nghiên cứu. - Hoàn thiện thêm cách giải các bài toán tích phân hàm ẩn. 3. Phương pháp nghiên cứu 3.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu liên quan. 3.2. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: - Qua thực tiễn giảng dạy và sự góp ý của đồng nghiệp - Khảo sát thực tiễn từ học sinh 3.3. Phương pháp quan sát, điều tra: - Qua điều tra, sát hạch cách vận dụng kiến thức của học sinh 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Học sinh các lớp giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi qua các năm ở Trường THPT Nguyễn Đức Mậu, Quỳnh Lưu, Nghệ An và trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp. 5. Thời gian nghiên cứu. Đề tài được nghiên cứu và thử nghiệm trong các năm học: 2019 – 2020; 2020 – 2021 và 2021-2022. 3
PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU I. CƠ SỞ KHOA HỌC 1.1. Cơ sở lý luận. Trong chương III giải tích 12, ngoài các bài toán vận dụng và vận dụng cao như: sử dụng các phương pháp tính tích phân để tìm nguyên hàm, tích phân của các hàm số cho trước hoặc các bài toán về ứng dụng tích phân trong hình học… thì bài toán tích phân hàm ẩn thường xuất hiện khá nhiều trong các đề thi ở nhiều mức độ khác nhau và rất nhiều dạng. Để giải được các bài toán đó yêu cầu học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản như: định nghĩa, tính chất nguyên hàm, tích phân và các phương pháp tìm nguyên hàm, tích phân; quy tắc đạo hàm của hàm số hợp; biết cách sử dụng phương pháp tư duy đặc biệt hóa, tổng quát hóa bài toán. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp các bài toán về tích phân hàm ẩn lại gặp khó khăn ở việc xác định hàm số nên học sinh gặp rất nhiều trở ngại trong quá trình định hướng cách giải các dạng toán đó. Với mong muốn giúp học sinh có thêm những kỹ thuật khi giải bài toán tích phân hàm ẩn, giúp học sinh rèn luyện phương pháp tự học và phát huy năng lực sáng tạo của bản thân, chúng tôi đề xuất một số kỹ thuật giải bài toán tích phân hàm ẩn trên cở sở khai thác và phát triển từ những kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa: 1.1.1. Định nghĩa tích phân (SGK – Giải tích 12 Cơ bản). Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) trên đoạn  a; b  . Hiệu số F (b)  F (a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác b định trên đoạn  a; b  ) của hàm số f ( x) và kí hiệu là  f ( x)dx . a b Ta còn dùng kí hiệu F ( x) a để chỉ hiệu số F (b)  F (a) . b b Vậy  f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a ) . a 1.1.2. Các tính chất của tích phân. Giả sử các hàm số f ( x) , g ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Khi đó ta có: a 1)  f ( x)dx  0 ; a 4
b a 2)  f ( x)dx    f ( x)dx ; a b b a 3)  kf ( x)dx k  f ( x)dx ( k là hằng số); a b b b b 4)   f ( x)  g ( x) dx   f ( x)dx   g ( x)dx ; a a a b c b 5)  f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x )dx , ( a  c  b) . a a c 1.1.3. Các phương pháp tính tích phân. 1.1.3.1. Phương pháp đổi biến số Cho hàm số f ( x) liên tục trên đoạn  a; b  . Giả sử hàm số x   (t ) có đạo hàm liên tục trên đoạn  ;   sao cho  ( )  a ,  (  )  b và a   (t )  b với mọi t   ;   . Khi đó: b   f ( x)dx  f ( (t )). (t )dt a 1.1.3.2. Phương pháp tích phân từng phần Nếu u  u  x  và v  v  x  là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên  a; b  thì b b b  u  x .v  x  dx  u  x  v  x  a a   v  x  .u  x  dx a b b b hay  u.dv  uv a   v.du a a 1.1.4. Quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp. 1.1.4.1. Các quy tắc Cho u  u  x  , v  v  x  là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc khoảng xác định, C là hằng số. Ta có: +)  u  v  '  u ' v ' ; +)  u.v  '  u '.v  v '.u   C.u   C.u ;  u  u '.v  v '.u  C  C.v +)    2 ,  v  v ( x )  0       2 ; v   v v   v 5
+) Nếu y  f  u  , u  u  x   yx  yu .u x . 1.1.4.2. Các công thức +)  C   0;  x   1 ; +)  x   n.x n n 1    u n   n.u n1.u,  n   , n  2  ; +)  x   2 1 x ,  x  0   u   2uu , u  0 ; +)  sin x   cos x   sin u   u. cos u ; +)  cos x    sin x   cos u   u.sin u ; 1 u +)  tan x     tan u   ; cos 2 x cos 2u 1 u +)  cot x    2   cot u    2 . sin x sin u 1.1.5. Công thức tìm nguyên hàm của hàm số hợp. Nguyên hàm của hàm Nguyên hàm của hàm Nguyên hàm của hàm số hợp số sơ cấp số hợp  u  u  x    u  mx  n; m  0  dx  x  C  du  u  C  d  mx  n   mx  n  C  1 x 1 u 1 1  mx  n  x  dx   C   1  u  du   C   1  mx  n dx    C   1  1  1  m  1 1 1 1 1  x dx  ln x  C  u du  ln u  C  mx  n dx  m .ln mx  n  C 1 1 1 1 1 1 1  du   . C  x 2 dx   x  C  u2 du   u  C  mx  n 2 m mx  n 2 2 1 2  x dx  x x C  u du  u u C  mx  n dx  .  mx  n mx  n  C 3 3 m 3 x x u u mx  n 1 mxn  e dx  e C  e du  e C e dx  m e C ax au 1 a mx  n x  a dx   C  a  0, a  1 u  a du   C  a  0, a  1 mx  n  a dx   C ln a ln a m ln a 6
1  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C  sin  mx  n  dx   m cos  mx  n   C 1  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C  cos  mx  n  dx  m  sin  mx  n   C 1  tan x.dx   ln cos x  C  tan u.du   ln cos u  C  tan  mx  n  dx   m ln cos  mx  n   C 1  cot x.dx  ln sin x  C  cot u.du  ln sin u  C  cot  mx  n  dx  m ln sin  mx  n   C 1 1 1 1  sin 2 x dx   cot x  C  sin 2 u du   cot u  C  sin  mx  n  dx   m cot  mx  n   C 2 1 1 1 1  cos 2 x dx  tan x  C  cos 2 u du  tan u  C  cos  mx  n dx  m tan  mx  n   C 2 1.2. Cơ sở thực tiễn và thực trạng vấn đề nghiên cứu. Trong quá trình giảng dạy và ôn thi THPT quốc gia nhiều năm chúng tôi thấy rằng phần nguyên hàm, tích phân và ứng dụng của tích phân, học sinh mới chỉ tiếp cận giữa năm lớp 12, các bài toán về tích phân hàm ẩn không phổ biến, các dạng bài toán thường không mẫu mực nên học sinh khó nhận dạng. Vì thế mà đại đa số học sinh không định hướng được cách giải, hay nếu bắt tay vào giải thì làm một cách máy móc, chưa biết chắc đã giải được và giải đúng. Chúng tôi đã tiến hành ra đề khảo sát kết quả học sinh trong kì thi THPT quốc gia và kì thi đánh giá năng lực và thấy rằng rất ít các em làm được những dạng bài toán đó, còn hầu hết các em đều khoanh chừng đáp án khi làm trắc nghiệm hoặc để trống, hoặc chỉ làm được 1 vài bước trong các bài tự luận của đề thi đánh giá năng lực. Cụ thể, chúng tôi tiến hành cho 35 học sinh ở lớp 12A1 và 44 học sinh ở lớp 12A2 của Trường THPT Nguyễn Đức Mậu làm bài kiểm tra viết với nội dung đề bài gồm 6 câu và thời gian làm bài 60 phút. Mục đích của bài khảo sát là kiểm tra khả năng giải quyết các bài toán tích phân hàm ẩn. 1.2.1. Đề bài kiểm tra. 2 3 3 Câu 1: Cho  f  x  dx  5 và  f  x  dx  2 . Tính  f  x  dx . 1 2 1 7
1 Câu 2. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và  f ( x)dx  9 . Tính tích phân 5 2  ( f (1  3x)  9)dx . 0 1 Câu 3: Cho f  x  liên tục trên  và f  2   1 ,  f  2 x  dx  2 . Tích phân 0 2  xf   x  dx . 0 2 Câu 4. Cho f  x  là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn  6;6 . Biết  f ( x)dx  8 1 3 6 và 1 f (2 x )dx  3 . Tính tích phân  f  x  dx . 1 Câu 5: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục và không âm trên [1;4] đồng thời 4 3 2 thỏa mãn điều kiện f (1)  và x  2 xf ( x)   f ( x) , x  [1;4] . Tính  f  x  dx. 2 1 ln 2 Câu 6. Cho hàm số f  x  liên tục trên  . Biết  f e  1 dx  5 và x 0 3 3  2 x  3 f  x  dx  3 . Tính I   f  x  dx .  2 x 1 2 1.2.2. Kết quả thu được. Lớp Sĩ số Làm Làm Làm Làm Làm Làm được được được được được được Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 12A1 35 35 35 18 7 3 2 12A2 44 44 42 15 5 1 0 Câu 1: Học sinh sử dụng tính chất của tích phân để giải quyết. Câu 2: Học sinh sử dụng phương pháp đổi biến số Câu 3: Học sinh làm được đã biết kết hợp phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần. Câu 4: Học sinh sử dụng tính chất của hàm số chẵn kết hợp phương pháp đổi biến số để giải quyết. 8
2 Câu 5: Học sinh biết biến đổi giả thiết x  2 xf ( x)   f ( x) về dạng: f ( x)  x . Sau đó lấy nguyên hàm hai vế và sử dụng thêm giả thiết 1  2 f ( x) 3 f (1)  để tìm ra hàm số f ( x ) , từ đó đi đến kết quả cuối cùng. Tuy nhiên, số 2 học sinh cả 2 lớp làm được câu này rất ít. Câu 6: Chỉ có 2 học sinh làm được câu này. Cả hai học sinh này đã biết sử dụng ln 2 3 f ( x) phương pháp đổi biến số biến đổi giả thiết  f  e  1 dx  5 về  x dx  5 . 0 2 x 1 3 Sau đó sử dụng cách giải quyết của hàm phân thức biến đổi  2 x  3 f  x  dx  3  2 x 1 3 f ( x) làm xuất hiện biểu thức  x  1 dx  5 . Từ đó suy ra kết quả bài toán. 2 Qua việc phân tích và đánh giá kết quả của bài khảo sát trên các nhóm đối tượng khác nhau chúng tôi thấy rằng đa số học sinh đã nắm được định nghĩa nguyên hàm, tích phân; các phương pháp tính tích phân, biết áp dụng bảng nguyên hàm của hàm số hợp, tuy nhiên việc vận dụng nó vào bài toán tích phân hàm ẩn thì học sinh còn gặp rất nhiều khó khăn, hầu như các em chưa hiểu cách vận dụng. 9
10
11
Qua quá trình tìm tòi và nghiên cứu, chúng tôi thấy cũng đã có một số tài liệu viết về bài toán tích phân hàm ẩn, tuy nhiên chưa hình thành được một phương pháp mang tính hệ thống để qua đó hình thành ở học sinh khả năng tư duy sáng tạo, liên kết và tổng hợp các kiến thức đã có để giải quyết vấn đề. Hơn nữa qua những tiết dự giờ đồng nghiệp chúng tôi thấy rằng các phương pháp giải bài toán tích phân hàm ẩn chưa được dạy phổ biến vì việc vận dụng phương pháp bị hạn chế ở các học sinh trung bình và yếu, chỉ có hiệu quả cao đối với học sinh khá và giỏi. Từ những thực trạng nêu trên, chúng tôi nhận thấy cần phải có những giải pháp để khắc phục, thôi thúc chúng tôi nghiên cứu tìm tòi để đưa ra các giải pháp phù hợp với việc đổi mới trong quá trình dạy và học, phù hợp với đổi mới trong đánh giá kiểm tra hiện nay, đó là “Một số kỹ thuật giải nhanh bài toán tích phân hàm ẩn”. II. MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI NHANH BÀI TOÁN TÍCH PHÂN HÀM ẨN Như đã trình bày ở phần lý do chọn đề tài, các bài toán về tích phân hàm ẩn luôn gây khó khăn cho học sinh và rất nhiều học sinh e ngại hoặc bỏ qua khi gặp các bài toán dạng này. Để giúp cho học sinh có hướng giải cũng như phát huy được khả năng của mình khi giải quyết các bài toán tích phân hàm ẩn, chúng tôi đề xuất một số kỹ thuật đã rút ra được trong quá trình giảng dạy. Trong mỗi kỹ thuật đưa ra, chúng tôi xây dựng một số bài toán tổng quát và đưa ra các ví dụ cụ thể. Ở mỗi ví dụ đó, chúng tôi phân tích, định hướng phương pháp giải đồng thời đưa ra các cách giải khác nhau để từ đó thấy được các kỹ thuật mà đề tài đưa ra là hiệu quả. 2.1. Kỹ thuật 1: Kỹ thuật chọn hàm. Kỹ thuật này xuất phát từ phương pháp đặc biệt hóa bài toán, áp dụng hiệu quả đối với các đề thi trắc nghiệm, các bài toán yêu cầu ghi đáp số trong các bài thi đánh giá năng lực. Cơ sở để chọn hàm xuất phát từ các bài toán này có giả thiết đúng với mọi hàm số liên tục trên một miền nào đó. Do đó, chúng ta sẽ chọn một hàm mà nó thỏa mãn giả thiết đó. Sau đó, dùng hàm số tìm được để giải quyết yêu cầu tiếp theo của bài toán. 2.1.1. Lớp các bài toán cho bởi một giả thiết thì ta sẽ chọn hàm số f ( x )  a (với a là hằng số). 1 Ví dụ 1: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và  f ( x)dx  9 . Tính tích phân 5 2 I   ( f (1  3 x )  9)dx . 0 12
A. 27 B. 21 C. 15 D. 12 Cách 1: Đây là cách giải mà đa số các học sinh đã giải trong đề khảo sát. Cách mà học sinh dùng để giải bài toán là sử dụng phương pháp đổi biến. 5 1 1 dt 1 Đặt t  1  3x  dt  3dx  I   ( f (t )  9)   f (t )dt  3  dt  21 1 3 3 5 5 Cách 2: Sử dụng kỹ thuật chọn hàm 1 Do hàm số f ( x ) liên tục trên  và chỉ có giả thiết là  f ( x)dx  9 nên ta 5 sẽ chọn hàm số f ( x)  a ( a hằng số), với mọi x   . 1 1 3 Từ giả thiết  f ( x )dx  9 suy ra  adx  9  a  . 5 5 2 3 3 Khi đó, f ( x)  , x  R  f (1  3x)  . 2 2 2 2 2 3  21 Do vậy, I   ( f (1  3 x)  9)dx     9 dx   dx  21 0 0 2  0 2 Nhận xét: Với kỹ thuật chọn hàm thì ta có thể sử dụng máy tính Casio để đưa ra ngay kết quả bài toán. +) Các ví dụ sau đây học sinh đều có thể giải bằng phương pháp đổi biến số. Tuy nhiên, cũng tương tự như Ví dụ 1, nếu sử dụng kỹ thuật chọn hàm thì ta có ngay kết quả của bài toán. 3 Ví dụ 2: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  và  xf ( x 2 )dx  4 (2). Tính tích phân 0 9 I   f ( x )dx . 0 A. I  2 B. I  8 C. I  1 D. I  4 Bài giải: Chọn hàm số f ( x)  a ( a hằng số), với mọi x   , từ giả thiết (2) suy 3 8 ra  xa.dx  4  a  0 9 9 9 8 8 Khi đó f ( x)  nên I   f ( x)dx   dx  8 9 0 0 9 13
3 Ví dụ 3: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên  1;   và  f( x  1)dx  8 (3). Tính 0 2 tích phân I   xf ( x)dx . 1 A. I  2 B. I  8 C. I  1 D. I  4 Bài giải: Chọn hàm số f ( x)  a ( a hằng số), với mọi x  1 . 3 2 8 8 Từ giả thiết (3) suy ra  adx  8  a  . Khi đó I   xdx  4 . 0 3 1 3  2 2 sinx. f ( 3cos x  1)dx Ví dụ 4: Cho I   f ( x )dx  2 . Tính tích phân J   . 1 0 3cos x  1 4 4 A. J  2 B. J   C. J  D. J  2 3 3 Bài giải: Chọn hàm số f ( x)  a ( a hằng số). Từ giả thiết ta có 2 I   adx  2  a  2 1  2 2sin xdx 4 Suy ra, f ( x)  2 nên J    . 0 3cos x  1 3 1 1 Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn  0;1 ,   x. f '(1  x)  f ( x)dx  2 . 0 Tính f (0) . 1 1 A. f (0)  1 B. f (0)  C. f (0)   D. f (0)  1 2 2 Cách 1: Đặt t  1  x  dx   dt . Đổi cận: x  0  t  1 và x  1  t  0 . 1 1 1    x. f '(1  x)dx   (1  t ) f '(t )dt   (1  x) f '( x)dx . 0 0 0 1 1 1 1 Ta có:   x. f '(1  x)  f ( x) dx     (1  x ). f '( x )  f ( x) dx  0 2 0 2 14
1 1    (1  x). f ( x )  ' dx  0 2 1 1  (1  x). f ( x) 0  2 1  f (0)   . 2 Cách 2: Sử dụng kỹ thuật chọn hàm Chọn hàm số f ( x)  a ( a hằng số), x   0;1  f '( x)  0 . 1 1 1 1 1 Từ giả thiết  ( a )dx   a    f ( x)   , x   0;1  f (0)   0 2 2 2 2 Bình luận: Nếu sử dụng cách 1 để giải bài toán này thì học sinh phải kết hợp phương pháp đổi biến số và phương pháp tích phân từng phần. Điều này chỉ có học sinh khá, giỏi mới làm được. Tuy nhiên, khi sử dụng kỹ thuật chọn hàm thì việc giải quyết bài toán đơn giản hơn rất nhiều, học sinh trung bình có thể giải được. Các bài toán càng khó thì kỹ thật chọn hàm càng phát huy được thế mạnh của nó. 2.1.2. Lớp các bài toán cho bởi hai giả thiết thì chọn hàm số f ( x )  ax  b , (với a, b  ). Ví dụ 6: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và f (4)  1 , 2 4 2 I  xf ( x  2)dx  5 . Tính tích phân J    x 2 0 f '( x )  4 f ( x ) dx . A. J  6 B. J  4 C. J  10 D. J  6 Cách 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần Đặt t  x  2  dt  dx . Đổi cận: x  2  t  0 và x  2  t  4 . 2 4 Khi đó  xf ( x  2)dx  5   (t  2) f (t )dt  5 2 0 u  x 2 du  2 xdx Đặt   . dv  f '( x) dx v  f ( x) 4 4 4 2 2 4 Ta có: J    x f '( x )  4 f ( x ) dx  x f ( x)   2xf ( x )dx  4  f ( x )dx 0 0 0 0 4  16. f (4)  2  (2  x ) f ( x)dx 6 . 0 15
Cách 2: Kỹ thuật chọn hàm Chọn hàm số f ( x)  ax  b , x    f ( x  2)  a ( x  2)  b . Từ giả thiết ta có: f (4)  1  4a  b  1 (1) 2 2 a  x( x  2)dx  b  xdx  5 (2) 2 2 15 11 Sử dụng máy tính Casio giải hệ (1) và (2) ta được a  ;b   16 4 15 11  f ( x)  x 16 4 4  15  15 11   Khi đó J    x 2 .  4  x    dx  6 . 0 16  16 4  Ví dụ 7: Cho hàm số f  x  liên tục, có đạo hàm trên  và thỏa mãn f  2   16 , 1 2  f  2 x  dx  2 . Tích phân  xf   x dx bằng 0 0 A. 30 . B. 28 . C. 36 . D. 16 . Cách 1: Phương pháp tích phân từng phần 1 1 2 1 Ta có  f  2 x  dx  2   f  2 x  d  2 x   2   f  x  dx  4 . 0 20 0 2 Xét I   xf   x dx . 0 u  x  du  dx Đặt   .  dv  f   x  dx  v  f  x  2 2 2  I   xf   x dx  xf  x  0   f  x dx  2 f  2   4  32  4  28 . 0 0 2 Vậy  xf   x dx  28 . 0 Cách 2: Kỹ thuật chọn hàm Chọn hàm số f ( x)  ax  b , x    f (2 x)  2ax  b 16
 1 1 2a xdx  b  dx  2 Từ giả thiết ta có:  0 0 2a  b  16  Sử dụng máy tính Casio giải hệ (1) và (2) ta được a  14; b  12  f ( x)  14 x  12  f '( x)  14 2 2 Khi đó  xf   x dx  14  xdx  28 . 0 0 Nhận xét: Với các Ví dụ 6 và Ví dụ 7, để giải bài toán thì học sinh cần phải sử dụng hai phương pháp tính tích phân, điều mà không phải học sinh nào cũng có thể làm được. Tuy nhiên khi sử dụng kỹ thuật chọn hàm kết hợp với sử dụng máy tính Casio thì việc giải quyết bài toán đơn giản, nhẹ nhàng hơn rất nhiều và điều quan trọng là kể cả học sinh có học lực trung bình cũng làm được. Cũng tương tự như 2 ví dụ trên, học sinh có thể sử dụng kỹ thuật chọn hàm để giải các bài toán sau: Ví dụ 8: (Đề minh họa lần 3 của Bộ GDĐT năm 2017) 1 Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn  ( x  1) f '( x )dx  10 và 2 f (1)  f (0)  2 . Tính 0 1 tích phân I   f ( x)dx . 0 A. I  8 B. I  8 C. I  12 D. I  12 Bài giải: Chọn hàm số f ( x)  ax  b , x   . 1  1  20  a  a ( x  1)dx  10 a  ( x  1)dx  10  Từ giả thiết, ta có:  0 3  0  (sử dụng 2(a  b)  b  2  2a  b  2 b   34    3 máy tính Casio để giải hệ) 1 1 20 34  20 34  Suy ra f ( x)  x  . Vậy I   f ( x)dx    x   dx  8 . 3 3 0 0 3 3  Ví dụ 9: (Đề thi THPTQG 2019) Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  . Biết f (5)  1 , 1 5 I   xf (5 x )dx  1 . Khi đó, tích phân J   x 2 f '( x )dx bằng 0 0 17
123 A. J  25 B. J  15 C. J  D. J  23 5 Bài giải: Chọn hàm số f ( x)  ax  b , x   1  1 2 1  3   x(5ax  b)dx  1 5a  x dx  b  xdx  1 a   Từ giả thiết suy ra  0  0 0  5 5a  b  1 5a  b  1 b  4   3 3 Vậy, f ( x)   x  4  f ( x)   . 5 5 5 5 3 Khi đó, J   x f '( x )dx    x 2 dx  25 . 2 0 50 2 f '( x) Ví dụ 10: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn: f (2)  2 f (0)  4 ,  x  2 dx  3 . Tính 0 1 f (2 x ) I  2 dx . 0 ( x  1) 1 A. I   B. I  0 C. I  4 D. I  2 2 Bài giải: Chọn f ( x)  ax  b , x    f ( x )  a . 2 a  2 1  3 a  dx  3 a dx  3  Từ giả thiết suy ra  0 x  2   0 x  2  ln 2  2a  b  2b  4 2a  b  4 b  6  4    ln 2 6 6  f (2 x)  x 4 ln 2 ln 2 1 f (2 x ) Sử dụng máy tính Casio ta có I   2 dx  4 . 0 ( x  1) 2.1.3. Lớp các bài toán cho bởi ba giả thiết thì ta sẽ chọn hàm số f ( x )  ax 2  bx  c , (a , b, c   ) . Ví dụ 11: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  . Biết f (2)  3 , f (0)  1 2 1 và  f ( x)dx  3 . Tính tích phân I   xf '(2 x)dx . 0 0 1 3 A. I  2 B. I  C. I  D. I  1 4 4 18
Phân tích: Học sinh có thể giải bài toán này bằng phương pháp tích phân từng phần. Tuy nhiên khi sử dụng kỹ thuật chọn hàm và máy tính Casio sẽ cho kết quả ngay. Bài giải: Chọn hàm số f ( x)  ax 2  bx  c , x   . Từ giả thiết suy ra:   3  a   4 c  1    1 4a  2b  c  3  b    2 2 2  2 a x 2 dx  b xdx  c dx  3 c  1  0 0 0  3 2 1 3 1 1  f ( x)  x  x  1  f '( x)  x  nên f '(2 x)  3x  . 4 2 2 2 2 1 1 3 Vậy, I   x.(3 x  )dx  . 0 2 4 Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên  và thỏa mãn: f (1)  5 , 1 e 1  ln x f (0)  1 ,  f ( x) dx  3 . Tính I   f '(ln x )dx . 0 1 x A. I  1  e B. I  e  1 C. I  6 D. I  8 Phân tích: Để giải bài toán này, thông thường học sinh phải biết kết hợp cả phương pháp đổi biến số và tích phân từng phần. Khi so sánh hai cách giải sau thì ta sẽ thấy được thế mạnh của phương pháp chọn hàm. Cách 1: e 1 1  ln x Đặt t  ln x , ta có I   f '(ln x) dx   (1  t ) f '(t ) dt 1 x 0 u  1  t  du  dt Đặt    dv  f '(t )dt v  f (t ) 1 1 1  I  (1  t ) f (t ) 0   f (t )dt  2 f (1)  f (0)   f (t )dt  6 0 0 Cách 2: Sử dụng kỹ thuật chọn hàm Chọn hàm số f ( x)  ax 2  bx  c , x   . Từ giả thiết suy ra: 19
  c  1 a  0   a  b  c  5  b  4  f ( x)  4 x  1  f '(ln x)  4  1 1 1 c  1  a x dx  b xdx  c dx  3 2   0 0 0 e e 1  ln x 1  ln x Vậy I   f '(ln x)dx  4 dx  6 . 1 x 1 x 2.1.4. Kỹ thuật chọn hàm dựa vào tính chẵn, lẻ của hàm số a) Đối với hàm số chẵn: +) Hàm số cho bởi một giả thiết thì chọn f ( x)  a , ( a   ). +) Hàm số cho bởi hai giả thiết thì chọn f ( x)  ax 2  b , ( a, b   ). +) Hàm số cho bởi ba giả thiết thì chọn f ( x)  ax 4  bx 2  c , ( a, b, c   ). b) Đối với hàm số lẻ: +) Hàm số cho bởi một giả thiết thì chọn f ( x)  ax , ( a   ). +) Hàm số cho bởi hai giả thiết thì chọn f ( x)  ax 3  bx , ( a, b   ). +) Hàm số cho bởi ba giả thiết thì chọn f ( x)  ax5  bx3  cx , ( a, b, c   ). Ví dụ 13: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn  2;2  và f ( x ) là hàm số chẵn. 1 2 Biết  0 f (2 x)dx  4 . Tính tích phân  f  x  dx 2 A. 4 . B. 16 . C. 8 . D. 15 . Cách 1: Đặt t  2 x  dt  2dx . Đổi cận: x  0  t  0 và x  1  t  2 . 1 2 Khi đó:  f (2 x)dx  4   f (t )dt  8 0 0 2 0 2 Ta có:  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 2 2 0 0 2 Mặt khác, do f  x  là hàm số chẵn nên đặt t   x thì  f  x  dx   f  x  dx 2 0 2 2 Do đó:  f  x  dx  2 f  x  dx  16 2 0 Cách 2: 20