Bài giảng Tích phân bội và giải tích vectơ

Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ<br /> Huỳnh Quang Vũ<br /> <br /> y<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> <br /> 1<br /> <br /> 0<br /> <br /> -3<br /> <br /> -2<br /> <br /> -1<br /> <br /> 0<br /> <br /> x<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> 3<br /> <br /> 2<br /> Tập bài giảng này về tích phân Riemann của hàm nhiều biến và Giải tích vectơ cho sinh viên<br /> ngành toán ở trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh. Nội dung bài giảng<br /> tương ứng với những phần cuối trong các giáo trình vi tích phân phổ biến hiện nay như của J.<br /> Stewart [Ste12], có chú ý tới đặc thù là cho sinh viên ngành toán, có yêu cầu cao hơn về tính chính<br /> xác và hàm lượng lý thuyết. Đối với sinh viên khá giỏi bài giảng hướng tới trình độ ở các phần<br /> tương ứng trong các giáo trình giải tích kinh điển như [Rud76], [Lan97].<br /> Dấu X ở một bài tập là để lưu ý người đọc đây là một bài tập đặc biệt có ích hoặc quan trọng,<br /> nên làm. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn, không bắt buộc. Có thể giáo trình này<br /> vẫn còn được đọc lại sau khi môn học kết thúc, khi đó những phần * này sẽ thể hiện rõ hơn ý nghĩa.<br /> Để làm một số bài tập cần dùng một phần mềm máy tính chẳng hạn như Matlab hay Maxima.<br /> • Hướng dẫn sử dụng phần mềm Maxima<br /> • Hướng dẫn sử dụng phần mềm Matlab<br /> Huỳnh Quang Vũ<br /> Địa chỉ: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí<br /> Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh, Email: hqvu@hcmus.edu.vn<br /> <br /> Tài liệu này sẽ được tiếp tục sửa chữa và bổ sung. Bản mới nhất có trên web ở địa chỉ:<br /> http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu//gt3.pdf. Mã nguồn LaTeX có ở<br /> http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/gt3.tar.gz.<br /> This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see<br /> http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, otherwise it is licensed under the Creative<br /> Commons Attribution 4.0 International License, see http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.<br /> <br /> Mục lục<br /> <br /> 1<br /> <br /> 2<br /> <br /> Tích phân bội<br /> 1.1 Tích phân trên hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.2 Sự khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.3 Tích phân trên tập tổng quát . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.4 Công thức Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.5 Công thức đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.6 Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . .<br /> 1.7 * Thay thế tích phân Riemann bằng tích phân Lebesgue<br /> Giải tích vectơ<br /> 2.1 Tích phân đường . . . . . . . .<br /> 2.2 Công thức Newton–Leibniz . . .<br /> 2.3 Công thức Green . . . . . . . .<br /> 2.4 Tích phân mặt . . . . . . . . .<br /> 2.5 Công thức Stokes . . . . . . . .<br /> 2.6 Công thức Gauss–Ostrogradsky<br /> 2.7 Vài ứng dụng của Giải tích vectơ<br /> 2.8 * Công thức Stokes tổng quát .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 3<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 5<br /> 5<br /> 11<br /> 18<br /> 23<br /> 31<br /> 44<br /> 50<br /> <br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> .<br /> <br /> 53<br /> 53<br /> 62<br /> 69<br /> 77<br /> 86<br /> 91<br /> 97<br /> 100<br /> <br /> 4<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> <br /> Chương 1<br /> <br /> Tích phân bội<br /> <br /> Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu tích phân Riemann trong không gian nhiều chiều.<br /> <br /> 1.1<br /> <br /> Tích phân trên hình hộp<br /> <br /> Tích phân trên không gian nhiều chiều là sự phát triển tương tự của tích phân một chiều. Do đó<br /> các ý chính đã quen thuộc và không khó, người đọc có thể xem lại phần tích phân một chiều để dễ<br /> theo dõi hơn.<br /> Cho I là một hình hộp, và f : I → R. Ta muốn tính tổng giá trị của hàm f trên hình hộp I. Ta<br /> chia nhỏ hình hộp I bằng những hình hộp con nhỏ hơn. Ta hy vọng rằng trên mỗi hình hộp nhỏ<br /> hơn đó, giá trị của hàm f sẽ thay đổi ít hơn, và ta có thể xấp xỉ f bằng một hàm hằng. Ta hy vọng<br /> rằng nếu ta chia càng nhỏ thì xấp xỉ càng tốt hơn, và khi qua giới hạn thì ta sẽ được giá trị đúng<br /> của tổng giá trị của f .<br /> <br /> Sau đây là một cách giải thích hình học. Giả sử thêm hàm f là không âm, ta muốn tìm “thể<br /> tích” của khối bên dưới đồ thị của hàm f bên trên hình hộp I. Ta sẽ xấp xỉ khối đó bằng những<br /> hình hộp với đáy là một hình hộp con của I và chiều cao là một giá trị của f trong hình hộp con<br /> đó. Ta hy vọng rằng khi số hình hộp tăng lên thì ta sẽ gần hơn giá trị đúng của thể tích.<br /> <br /> Hình hộp và thể tích của hình hộp<br /> Dưới đây ta bắt đầu làm chính xác hóa các ý tưởng ở trên.<br /> Trong môn học này khi nói đến không gian Rn , n ∈ Z+ , thì ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn,<br /> khoảng cách, và tích trong Euclid, cụ thể nếu x = (x1, x2, . . ., xn ) ∈ Rn thì chuẩn (tức chiều dài) của<br /> x là<br /> k xk = (x12 + x22 + · · · + xn2 )1/2,<br /> khoảng cách giữa x và y = (y1, y2, . . ., yn ) ∈ Rn là<br />  1/2<br /> <br /> k x − yk = (x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2<br /> ,<br /> 5<br /> <br />