Bài giảng Tích phân bội và Giải tích vectơ
Huỳnh Quang Vũ
-3 -2 -1 0 1 2 3
0
1
2
3
y
x
2
Tập bài giảng này về tích phân Riemann của hàm nhiều biến và Giải tích vectơ cho sinh viên
ngành toán ở trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ Chí Minh. Nội dung bài giảng
tương ứng với những phần cuối trong các giáo trình vi tích phân phổ biến hiện nay như của J.
Stewart [Ste12], có chú ý tới đặc thù là cho sinh viên ngành toán, có yêu cầu cao hơn về tính chính
xác và hàm lượng lý thuyết. Đối với sinh viên khá giỏi bài giảng hướng tới trình độ ở các phần
tương ứng trong các giáo trình giải tích kinh điển như [Rud76], [Lan97].
Dấu Xở một bài tập là để lưu ý người đọc đây là một bài tập đặc biệt có ích hoặc quan trọng,
nên làm. Những phần có đánh dấu * là tương đối khó hơn, không bắt buộc. Có thể giáo trình này
vẫn còn được đọc lại sau khi môn học kết thúc, khi đó những phần * này sẽ thể hiện rõ hơn ý nghĩa.
Để làm một số bài tập cần dùng một phần mềm máy tính chẳng hạn như Matlab hay Maxima.
•Hướng dẫn sử dụng phần mềm Maxima
•Hướng dẫn sử dụng phần mềm Matlab
Huỳnh Quang Vũ
Địa chỉ: Khoa Toán-Tin học, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí
Minh, 227 Nguyễn Văn Cừ, Quận 5, Thành phố Hồ Chí Minh, Email: hqvu@hcmus.edu.vn
Tài liệu này sẽ được tiếp tục sửa chữa và bổ sung. Bản mới nhất có trên web ở địa chỉ:
http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu//gt3.pdf. Mã nguồn LaTeX có ở
http://www.math.hcmus.edu.vn/∼hqvu/gt3.tar.gz.
This work is releashed to Public Domain (CC0) wherever applicable, see
http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/, otherwise it is licensed under the Creative
Commons Attribution 4.0 International License, see http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/.
Mục lục
1 Tích phân bội 5
1.1 Tích phân trên hình hộp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Sựkhảtích ..................................... 11
1.3 Tích phân trên tập tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Công thức Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Công thức đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Ứng dụng của tích phân bội . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.7 * Thay thế tích phân Riemann bằng tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . 50
2 Giải tích vectơ 53
2.1 Tích phân đường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.2 Công thức Newton–Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.3 Công thức Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.4 Tíchphânmặt ................................... 77
2.5 Công thức Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6 Công thức Gauss–Ostrogradsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.7 Vài ứng dụng của Giải tích vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.8 * Công thức Stokes tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3
4MỤC LỤC
Chương 1 Tích phân bội
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu tích phân Riemann trong không gian nhiều chiều.
1.1 Tích phân trên hình hộp
Tích phân trên không gian nhiều chiều là sự phát triển tương tự của tích phân một chiều. Do đó
các ý chính đã quen thuộc và không khó, người đọc có thể xem lại phần tích phân một chiều để dễ
theo dõi hơn.
Cho Ilà một hình hộp, và f:I→R. Ta muốn tính tổng giá trị của hàm ftrên hình hộp I. Ta
chia nhỏ hình hộp Ibằng những hình hộp con nhỏ hơn. Ta hy vọng rằng trên mỗi hình hộp nhỏ
hơn đó, giá trị của hàm fsẽ thay đổi ít hơn, và ta có thể xấp xỉ fbằng một hàm hằng. Ta hy vọng
rằng nếu ta chia càng nhỏ thì xấp xỉ càng tốt hơn, và khi qua giới hạn thì ta sẽ được giá trị đúng
của tổng giá trị của f.
Sau đây là một cách giải thích hình học. Giả sử thêm hàm flà không âm, ta muốn tìm “thể
tích” của khối bên dưới đồ thị của hàm fbên trên hình hộp I. Ta sẽ xấp xỉ khối đó bằng những
hình hộp với đáy là một hình hộp con của Ivà chiều cao là một giá trị của ftrong hình hộp con
đó. Ta hy vọng rằng khi số hình hộp tăng lên thì ta sẽ gần hơn giá trị đúng của thể tích.
Hình hộp và thể tích của hình hộp
Dưới đây ta bắt đầu làm chính xác hóa các ý tưởng ở trên.
Trong môn học này khi nói đến không gian Rn,n∈Z+, thì ta dùng cấu trúc tuyến tính, chuẩn,
khoảng cách, và tích trong Euclid, cụ thể nếu x=(x1,x2, . . ., xn) ∈ Rnthì chuẩn (tức chiều dài) của
xlà
kxk=(x2
1+x2
2+···+x2
n)1/2,
khoảng cách giữa xvà y=(y1,y2, . . ., yn) ∈ Rnlà
kx−yk=(x1−y1)2+(x2−y2)2+···+(xn−yn)21/2
,
5