zunia.vn

Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z

zunia.vn

» Tài Liệu Phổ Thông

» Sáng kiến kinh nghiệm

SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn

Chia sẻ: Trần Thị Ta | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:33

Báo xấu

55
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của đề tài là tìm hiểu những dạng toán tích phân sao cho khi giải không dùng được ngay máy tính bỏ túi mà phải nắm được phương pháp giải các dạng toán tích phân thì mới giải quyết được bài toán.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn

SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải MỤC LỤC Trang LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI 2 PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN 4 1.1. Bảng công thức tính nguyên hàm cơ bản 4 1.2. Định nghĩa 4 1.3. Tính chất của tích phân 4 1.4. Một số phương pháp tính tích phân 5 1.4.1. Phương pháp đổi biến số 5 1.4.2. Phương pháp tích phân từng phần 5 1.5. Ứng dụng của tích phân 5 1.5.1. Tính diện tích hình phẳng 5 1.5.2. Thể tích vật thể 6 PHẦN 2: NỘI DUNG 7 2.1. Tính tích phân hàm ẩn dựa vào các tính chất cơ bản 7 2.1.1. Phương pháp giải 7 2.1.2 Bài tập áp dụng 7 2.1.3. Bài tập tự luyện 10 2.2. Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến 11 2.2.1. Phương pháp giải 11 2.2.2. Bài tập áp dụng 12 2.2.3. Bài tập tự luyện 15 2.3. Tính tích phân hàm ẩn bằng phương pháp tích phân từng phần 16 2.3.1. Phương pháp giải 16 2.3.2. Bài tập áp dụng 16 2.3.3. Bài tập tự luyện 20 2.4. Sử dụng một số tính chất đặc biệt để tính tích phân hàm ẩn 21 2.4.1. Tính chất 2.4.1 21 1
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 2.4.2. Tính chất 2.4.2 22 2.4.3. Tính chất 2.4.3 23 2.4.4. Tính chất 2.4.4 24 2.5. Sử dụng các giả thiết có sẵn để xác định hàm ẩn 24 2.6. Bài tập tự luyện tổng hợp đánh giá kết quả học sinh 26 2
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 1. Lý do chọn đề tài Nguyên hàm, tích phân là hai khái niệm cơ bản, rất quan trọng của giải tích, có liên hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm. Phép tính tích phân cho chúng ta một phương pháp tổng quát để tính diện tích của những hình phẳng và thể tích của những vật thể có hình dạng phức tạp. Những năm gần đây Bộ Giáo dục và Đào tạo đã đổi mới hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm, nên hầu hết các bài toán tích phân có thể làm được nhờ máy tính bỏ túi. Xuất phát từ những lý do trên thôi thúc tôi tìm hiểu những dạng toán tích phân sao cho khi giải không dùng được ngay máy tính bỏ túi mà phải nắm được phương pháp giải các dạng toán tích phân thì mới giải quyết được bài toán. Thống kê thi THPT Quốc gia các năm gần đây. Số Bài hỏi có nội dung liên quan tới tích phân Năm 2017 2018 2019 Mã đề 101 102 103 101 102 103 101 102 103 Số Bài hỏi 3 3 3 5 5 5 5 5 5 Hệ thống câu hỏi trong đề sắp xếp theo thứ tự độ khó tăng dần. Các câu liên quan tới tích phân trong đề thường hỏi dạng hàm số dưới dấu tích phân là hàm số ẩn và ứng dụng của tích phân. Với tất cả lý do trên tôi mạnh dạn viết sáng kiến với tiêu đề: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn. 2. Tên sáng kiến: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn 3. Tác giả sáng kiến: Họ và tên: Trần Đức Hải Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2 – Tam Đảo – Vĩnh Phúc. 3
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Số điện thoại: 0982 358 268; E_mail: Tranduchai.gvtamdao2@vinhphuc.edu.vn 4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến: Là bản thân tác giả 5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Ứng dụng tích phân để giải quyết một số bài toán về hàm ẩn 6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử: Ngày 10 tháng 2 năm 2020 7. Mô tả bản chất của sáng kiến: Sáng kiến gồm 2 phần: Phần 1: Kiến thức cơ sở; Phần 2: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn. PHẦN 1: KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Bảng công thức nguyên hàm thường gặp 1) dx = x + C xα + 1 6) cos x.dx = sin x + C 2) α x dx = + C, ( α −1) α +1 7) sin x.dx = − cos x + C 1 3) dx = ln x + C 1 x 8) .dx = tan x + C cos 2 x 4) e x dx = e x + C 1 9) .dx = − cot x + C ax sin 2 x 5) a x dx = + C , ( a > 0, a 1) ln a 1.2. Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên [a; b]. Hiệu số F (b) − F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số f ( x), kí hiệu là f ( x)dx. a 1.3. Tính chất của tích phân 4
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải a b a 1. f ( x)dx = 0 2. � f ( x)dx = − � f ( x)dx a a b b c c b b 3. � f ( x)dx + � f ( x)dx = � f ( x)dx ( a < b < c ) 4. � k . f ( x) dx = k .� f ( x )dx ( k ﾡ) a b a a a b b b b b b 5. � [ f ( x ) + g ( x )]dx = � f ( x) dx + � g ( x)dx . 6. � [ f ( x ) − g ( x)]dx = � f ( x )dx − � g ( x)dx . a a a a a a 1.4. Một số phương pháp tính tích phân 1.4.1. Phương pháp đổi biến số Định lý 1.1: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α ; β ] sao cho ϕ (α ) = a, ϕ ( β ) = b và a ϕ (t ) b với mọi t [α ; β ]. b β Khi đó: � f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt. f ( x)dx = � a α Định lý 1.2: Giả sử hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên K, hàm số y = f ( u ) liên u ( x) � tục sao cho hàm hợp f � � �xác định trên K; a, b là 2 số thuộc K. Khi đó b u( b) � f� �u ( x) � �u ( x ) dx = �f ( u ) du a u( a) 1.4.2. Phương pháp tích phân từng phần Định lí 1.3 : Nếu u = u ( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì b b u ( x)v '( x)dx = ( u ( x)v( x) ) a − � b � u '( x)v( x)dx , hay viết gọn là a a b b � udv = uv | − � b vdu a a a 1.5. Ứng dụng của tích phân 1.5.1. Tính diện tích hình phẳng Bài toán 1.1: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Gọi H là miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a , x = b thì diện 5
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải b tích miền phẳng H được tính theo công thức S = f ( x) dx a y y = f (x ) y = f (x ) b y=0 S= f ( x ) dx (H ) x=a a O a c1 c2 c3 b x x=b Bài toán 1.2: Cho hàm số y = f1 ( x) và y = f 2 ( x) liên tục trên đoạn [ a; b ] . Gọi H là miền phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số đó hai đường thẳng x = a , x = b thì diện tích b miền phẳng H được tính theo công thức S = f1 ( x) − f 2 ( x) dx a y (C1): y = f1(x ) (C1) (C2 ): y = f 2(x ) (H ) x=a (C2 ) x=b b a c1 c2 b x S= f1 ( x ) − f 2 ( x ) dx O a 1.5.2. Thể tích vật thể 1.5.2.1. Thể tích của vật thể Bài toán 1.3: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S ( x ) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x ( a x b ) . Giả sử S ( x) là hàm số liên tục trên đoạn b [a; b] . Khi đó, thể tích của vật thể B được tính theo công thức V = S ( x)dx a 6
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải (V ) b a x V = S ( x )dx O b x a S(x) 1.5.2.2. Thể tích khối tròn xoay Bài toán 1.4: Giả sử một hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và hai đường thẳng x = a , x = b ( a < b ) quay xung quanh trục Ox tạo thành một khối b �f ( x ) � 2 tròn xoay. Khi đó thể tích của nó được tính theo công thức V = π � �dx a y y = f (x ) (C ): y = f (x ) (Ox ): y = 0 b Vx = π [ f ( x )] dx 2 O a b x x=a a x=b PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM ẨN 2.1. Tính tích phân hàm ẩn dựa vào các tính chất cơ bản 2.1.1. Phương pháp giải Sử dụng tính chất và công thức nguyên hàm cơ bản trong phần 1.3 2.1.2. Bài tập áp dụng 3 3 5 Bài 2.1. Cho � f ( x)dx = −2, � f ( x)dx = −3. Tích phân f ( x)dx bằng 1 5 1 A. 1 B. 5 C. 1 D. 5 7
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 5 3 Lời giải . Theo giả thiết ta có: � f ( x)dx = − ( −3) = 3. f ( x)dx = −� 3 5 5 3 5 Suy ra � f ( x)dx = � f ( x)dx + � f ( x) dx = −2 + 3 = 1. 1 1 3 Vậy đáp án là A. Nhận xét: Như vậy đối với các bài toán cơ bản như này học sinh chỉ cần nắm chắc kiến thức lý thuyết cơ bản là có thể giải quyết được. 3 3 3 Bài 2.2: Cho f ( x ) dx = −5, � �f ( x ) − 2 g ( x ) � ́ I = g ( x ) dx. �dx = 9. Tinh 1 1 1 A. I = 14. B. I = −14. C. I = 7. D. I = −7. Lời giải 3 3 3 3 −5 − 9 �f ( x ) − 2 g ( x ) � Ta co ́ � � f ( x ) dx − 2.� �dx = � g ( x ) dx = 9 � � g ( x ) dx = 2 = −7. Chọn D. 1 1 1 1 5 Bài 2.3: Cho các hàm số f ( x ) , g ( x ) liên tục trên ﾡ có � 2 f ( x ) + 3g ( x ) � � �dx = −5 ; −1 5 5 3 f ( x ) − 5g ( x ) � � � �f ( x ) + g ( x ) � �dx = 21 . Tính � �dx −1 −1 A. −5 B. 1 C. 5 D. −1 Lời giải Ta có: �5 �5 5 �5 �� 2 f ( x ) + 3g ( x ) � � � �dx = −5 �2 � f ( x ) dx + 3 � g ( x ) dx = −5 �� f ( x ) dx = 2 �−1 �−1 −1 �−1 �5 � �5 5 � �5 �� 3 f ( x ) − 5g ( x ) � � � ��( ) g ( x ) dx = 21 �� ( ) � �dx = 21 3 f x dx − 5 � g x dx = −3 �−1 �−1 −1 �−1 5 5 5 ��f ( x ) dx + � g ( x ) dx = −1 � � �f ( x ) + g ( x ) � � �dx = −1 . Chọn D. −1 −1 −1 2019π Bài 2.4. Tính tích phân I = 1 − cos 2 x dx. 0 8
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải A. I = 0. B. I = 2 2. C. I = 2019 2. D. I = 4038 2. Lời giải π 2π 2019π I = 2� sin x dx + 2 �sin x dx + ... + 2 �sin x dx 0 π 2018π π = 2019 2 sin xdx = 4038 2. Chọn D. 0 Bài 2.5: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn [ −6;5] có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và 5 �f ( x ) + 2 � nửa đường tròn như hình vẽ. Tính giá trị I = � �dx −6 A. 3π − 12 B. 2π + 32 C. 2π + 8 D. 3π + 12 Lời giải Nhận xét: Ở bài toán này có thể dùng kiến thức diện tích hình phẳng tìm kết quả nhanh gọn. Tuy nhiên để rèn cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp tôi hướng dẫn học sinh giải bài toán theo hướng dài hơn là dùng định nghĩa và tính chất của tích phân để giải quyết bài toán. x+4 khi − 6 x −2 2 Ta có: f ( x ) = 1+ 4 − x 2 khi − 2 x 2 2x −1 khi 2 x 5 3 5 −2 2 5 5 I= �f ( x ) + 2 � � � �dx = �f ( x ) dx + �f ( x ) dx + � f ( x ) dx + � 2dx . Chọn B. −6 −6 −2 2 −6 9
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Bài 2.6: Cho các hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0; 2] và thỏa 2 2 2 mãn f ' ( x ) g ( x ) dx = −1, f ( x ) g ' ( x ) dx = 2020. Tính tích phân I = � �f ( x ) g ( x ) � / �dx. 0 0 0 A. I = −1. B. I = 2020. C. I = 2019. D. I = 2018. Lời giải 2 2 �f ( x ) g ( x ) � �f ' ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ' ( x ) � / Ta có I = � � �dx = � � �dx 0 0 2 2 f ' ( x ) g ( x ) dx + � = � f ( x ) g ' ( x ) dx = 2019. Chọn C. 0 0 Bài 2.7: Cho các hàm số y = f ( x ) > 0 xác định và có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] thỏa x 1 mãn g ( x ) = 1 + 2018 f ( t ) dt , g ( x ) = f ( x ) . Tính g ( x ) dx 2 0 0 1011 1009 2019 A. B. C. D. 505 2 2 2 Lời giải x Ta có g ( x ) = 1 + 2018 f ( t ) dt � g ' ( x ) = 2018 f ( x ) = 2018. g ( x ) 0 g '( x) g '( x) ( ) t t � = 2018 � � dx = 2018� dx � 2 g ( t ) − 1 = 2018t (do g ( 0 ) = 1 ) g ( x) 0 g ( x ) 0 1 1009 2 �1 1011 � � g ( t ) = 1009t + 1 � g ( t ) dt = � t + t �|0 = . Chọn A. 0 �2 � 2 Bài 2.8: Cho các hàm số f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên [ 0;1] đồng thời thỏa mãn f ' ( 0) = 9 � = 9 . Tính T = f ( 1) − f ( 0 ) 2 và 9 f '' ( x ) + � �f ( x ) − x � ' 1 A. T = 2 + 9 ln 2 B. T = 9 C. T = + 9 ln 2 D. T = 2 − 9 ln 2 2 Lời giải 2 f '' ( x ) − 1 1 9f '' ( x) + � �f ( x ) − x � ' �= 9 � − 2 = �f ( x ) − x � � ' 9 � 10
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải f '' ( x ) − 1 1 1 x Lấy nguyên hàm hai vế − � ' dx = �dx � ' 2 = +C f ( x) − x 9 �f ( x ) − x � � 9 � 1 1 1 9 �9 � Do f ( 0 ) = 9 � C = � f ( x ) = +x�� f ' ( x ) dx = � + x� ' ' � dx 9 x +1 0 0� x +1 � 1 Vậy T = f ( 1) − f ( 0 ) = 9 ln 2 + . Chọn C. 2 2.1.3. Bài tập tự luyện 3 3 2 f ( x ) dx = a,� Bài 2.9: Cho � f ( x ) dx = b . Khi đó f ( x ) dx bằng: 0 2 0 A. − a − b B. b − a C. a + b D. a − b 5 2 2 − 4 f ( x) � Bài 2.10: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( x ) dx = 10. Tính I = � � �dx. 2 5 A. I = 32. B. I = 34. C. I = 36. D. I = 40. 2019 2019 2019 Bài 2.11: Cho �f ( x ) dx = 2, �g ( x ) dx = −5 . Tìm J = 2 f ( x) + g ( x) � � � �dx 1 1 1 A. J = 1 B. J = −1 C. J = 0 D. J = 2 Bài 2.12: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị là đường 9 gấp khúc như hình vẽ bên. Tính f ( x ) dx . 0 A. 18 B. 2 C. 0 D. 16 Bài 2.13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ −3;5] và có đồ thị như hình vẽ (phần cong của đồ thị là một phần của ( P ) : y = ax + bx + c ). Tích phân 2 3 f ( x ) dx bằng −2 53 61 A. . B. . 2 3 95 97 C. . D. . 7 6 11
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 1 2 Bài 2.14: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ và f ( x ) dx = 9 . Tính � �f ( 1 − 3x ) + 9 � �dx −5 0 A. 27 B. 21 C. 15 D. 75 Bài 2.15: Cho f ( x ) là hàm số liên tục trên ﾡ và thỏa mãn điều kiện 1 3 1 f ( x ) dx = 4, � � f ( x ) dx = 6 . Tính I = f ( 2 x + 1 ) dx 0 0 −1 A. I = 6 B. I = 3 C. I = 4 D. I = 5 Bài 2.16: Cho hàm số y = f ( x ) là hàm số xác định và có nguyên hàm liên tục trên R, 1 2 2018 f ( 2 x ) dx = −1; � tuần hoàn có chu kì là T = 6. Biết � f ( x + 4 ) dx = 3. Giá trị I = f ( x ) dx 0 −2 0 bằng A. 336 B. 334 C. 332 D. 338 2.2. Tính tích phân hàm ẩn nhờ phương pháp đổi biến số 2.2.1. Phương pháp giải Từ hai định lý 1 và định lý 2 trong phần 1.4.1 chúng ta có hai phương pháp đổi biến số Đổi biến số loại 1 + Đổi biến số đặt u = u ( x ) � du = u ' ( x ) dx x =α �u = u(α) = a + Đổi cận : x = β �u = u( β ) = b β b f ( u ( x ) ) .u ' ( x ) dx = � + Đổi biểu thức dưới dấu tích phân I = � f ( u ) du α a Đổi biến số loại 2 + Đổi biến số đặt x = ϕ ( t ) � dx = ϕ ' ( t ) dt x = a �t =α + Đổi cận x =b�t = β 12
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải b β f ( ϕ ( t ) ) .ϕ ' ( t ) dt f ( x ) dx = � + I = � a α Một vài tính chất b b f ( t ) dt = � Tính chất 2.2.1. � f ( x ) dx a a Tính chất 2.2.2. Tính bất biến của tích phân khi biến số thay đổi cận cho nhau b b f ( x ) dx = � � f ( a + b − x ) dx a a Tính chất 2.2.3. Nếu f ( x ) là hàm chẵn và liên tục trên [ − a; a ] thì a a �f ( x ) dx = 2� −a f ( x ) dx 0 a Tính chất 2.2.4. Nếu f ( x ) là hàm lẻ và liên tục trên [ − a; a ] thì f ( x ) dx = 0 −a Ta hoàn toàn có thể chứng minh được hai tính chất 2.2.3 và 2.2.4 trên nhờ phương pháp đổi biến ( t = − x ) 2.2.2. Bài tập áp dụng 1 2 Bài 2.17. Cho tích phân f ( 2 x ) dx = 8 , tính f ( x ) dx 0 0 A. I = 16 B. I = 4 C. I = 8 D. I = 2 Đặt t = 2 x � dt = 2dx 1 2 2 dt Đổi cận x = 0 � t = 0; x = 1 � t = 2 . Lúc đó � f ( 2 x ) dx = � f ( t ) = 8 �� f ( t ) dt = 16 0 0 2 0 Vậy đáp án là A. b Nhận xét: Nếu trong bài toán tích phân hàm ẩn xuất hiện f ( u ( x ) ) u ( x ) dx thì ta sẽ a nghĩ ngay đến việc đổi biến số bằng cách đặt u = u ( x ) . Lúc đó kết hợp với các giả thiết của bài toán ta sẽ tìm được kết quả. Tương tự 13
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 5 2 Bài 2.18: Cho f ( x ) dx = 4 . Tính I = f ( 2 x + 1) dx −1 −1 5 3 A. I = 2 B. I = C. I = 4 D. 2 2 Lời giải 5 1 1 Đặt u = 2 x + 1 � du = 2dx � I = f ( u ) du = .4 = 2 . Đáp án A 2 −1 2 2019 Bài 2.19: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ và f ( x ) dx = 2 . Tính tích phân sau 0 e 2019 −1 x I= ln ( x 2 + 1) � .f � �dx. 0 x +1 � 2 A. I = 1. B. I = 2. C. I = 4. D. I = 5. Lời giải 2 xdx xdx dt Đặt t = ln ( x 2 + 1) , suy ra dt = � 2 = . x +1 2 x +1 2 x = 0�t = 0 Đổi cận: x = e 2019 − 1 � t = 2019 2019 2019 1 1 1 Khi đó I = � f ( t ) dt = �f ( x ) dx = 2 .2 = 1. Chọn A. 2 0 2 0 ( x ) dx = 4, π 9 f Bài 2.20: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ và 2 � f ( sin x ) cos xdx = 2. � 1 x 0 3 Tính tích phân I = f ( x ) dx. 0 A. I = 2. B. I = 6. C. I = 4. D. I = 10. Lời giải Xét 9 f ( x ) dx = 4. Đặt t = x � t 2 = x, suy ra 2tdt = dx. 1 x Đổi cận x =1� t =1 . Suy ra 9 f x 3 ( ) ( ) 3 f ( t ) dt = 2. x =9�t =3 � 1 x d x = 2 � 1 f t dt � � 1 14
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải π 2 Xét f ( sin x ) cos xdx = 2. Đặt u = sin x, suy ra du = cos xdx. 0 x =0�u =0 π 2 1 Đổi cận π . Suy ra 2 = f ( sin x ) cos xdx = f ( t ) dt. x = � u =1 � � 2 0 0 3 1 3 f ( x ) dx = � Vậy I = � f ( x ) dx + � f ( x ) dx = 4. Chọn C. 0 0 1 Bài 2.21. Cho f ( x ) là hàm số lẻ và liên tục trên [ −4;4] . Biết 0 2 4 f ( −2 x ) dx = 4 . Tính f ( x ) dx . �f ( − x ) dx = 2; � −2 1 0 2 0 2 2 Lời giải : Theo giả thiết ta có : 0 = −2 �f ( x ) dx = �f ( x ) dx + � −2 f ( x ) dx � � 0 f ( x ) dx = 2 0 Mặt khác do f ( x ) là hàm lẻ nên 2 2 2 f ( −2 x ) = − f ( 2 x ) � 4 = � f ( −2 x ) dx = − � f ( 2 x ) dx �� f ( 2 x ) dx = −4 1 1 1 dt Đặt t = 2 x � dt = 2dx � dx = . Đổi cận x = 1 � t = 2; x = 2 � t = 4 . Lúc đó 2 2 4 4 4 2 4 dt f ( 2 x ) dx = � −4 = � f ( t) � f ( x ) dx = −8 . Suy ra I = � f ( x ) dx = � f ( x ) dx + � f ( x ) dx = −6 1 2 2 � 2 0 0 2 π Bài 2.22: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ và thỏa mãn tan x. f ( cos 2 x ) dx = 1, 4 0 e 2 f ( ln 2 x ) 2 f ( 2x) dx = 1. Tính tích phân I = x dx. e x ln x 1 4 A. I = 1. B. I = 2. C. I = 3. D. I = 4. Lời giải π 4 Xét A = tan x. f ( cos 2 x ) dx = 1 . Đặt t = cos 2 x. 0 dt Suy ra dt = −2 sin x cos xdx = −2 cos 2 x tan xdx = −2t. tan xdx � tan xdx = − . 2t 15
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải x = 0 � t =1 Đổi cận: π 1. x = �t = 4 2 1 1 f ( t) 1 f ( t) 1 f ( x) f ( x) 2 1 1 1 Khi đó A = − � 21 t d t = � 21 t dt = � 21 x dx � � 1 x dx = 2. 2 2 2 e2 f ( ln 2 x ) Xét B = dx = 1. Đặt u = ln 2 x. e x ln x 2 ln x 2 ln 2 x 2u dx du Suy ra du = dx = dx = dx � = . x x ln x x ln x x ln x 2u x = e � u =1 Đổi cận: . x = e2 � u = 4 1 f ( u) 1 f ( x) f ( x) 4 4 4 Khi đó B = � 21 u du = � 21 x dx � � 1 x dx = 2. 2 f ( 2x) Xét tích phân cần tính I = 1 x dx. 2 1 dx = dv 1 1 2 x = �v = Đặt v = 2 x, suy ra . Đổi cận: 4 2. v x= x =2�v = 4 2 4 f ( v) 4 f ( x) 1 f ( x) 4 f ( x) Khi đó I = � 1 v dv = � 1 x dx = � 1 x dx + � 1 x dx = 2 + 2 = 4. Chọn D. 2 2 2 2.2.3. Bài tập tự luyện 2 5 Bài 2.23: Cho f ( x + 1) dx = 2 . Khi đó I = f ( x ) dx bằng 2 1 2 A. 2. B. 1. C. 1. D. 4. 4 5 2 ln 2 f ( 4 x − 3) dx − Bài 2.24 : Biết f ( x ) dx = 6 và f ( x ) dx = 10 , khi đó � �f ( e ) e 2x 2x dx 1 4 1 0 bằng 3 13 A. . B. . C. 4 . D. 1. 2 2 16
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Bài 2.25: Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên ﾡ , thỏa f ( x 5 + 4 x + 3) = 2 x + 1 8 với mọi x ﾡ . Tích phân f ( x ) dx bằng −2 32 A. 2. B. 10. C. . D. 72. 3 π Bài 2.26: Biết f ( x ) là hàm số liên tục trên ﾡ và f ( x ) dx = 4 . Khi đó 2 0 π 4 � dx bằng �f ( 2 x ) − sin x � � 0 A. 2 + 2 . B. 3 − 2 . C. 1 + 2 . D. 2 − 2 . 2 2 2 2 Bài 2.27: Cho hàm số f ( x) liên tục trên ﾡ và thỏa mãn ( x ) dx = 1 . Tính tích phân I = π 2 16 f 1 f ( 4x) cot x. f ( sin x ) dx = � � 2 x dx. π x 1 1 8 4 3 5 A. I = 3. B. I = . C. I = 2. D. I = . 2 2 ln 2 Bài 2.28: Cho hàm số f ( x ) liên tục trên ﾡ . Biết f ( e x + 1) dx = 5 và 0 3 ( 2 x − 3) f ( x ) dx = 3 3 . Tính I = f ( x ) dx 2 x −1 2 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 Bài 2.29 : Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn [1; 4] và thỏa mãn f ( x) = ( f 2 x −1 ) + ln x . Tính tích phân của I = 4 f ( x ) dx . x x 3 A. I = 2 ln 2 2. B. I = 2 ln 2. C. I = 3 + 2 ln 2 2. D. I = ln 2 2. 2.3. Tính tích phân hàm ẩn nhờ phương pháp tích phân từng phần 2.3.1. Phương pháp giải 17
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải Định lí : Nếu u ( x ) và v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên K; a,b là 2 số thực thuộc K thì b b u ( x ) .v ' ( x ) dx = u ( x ) .v ( x ) |ba − � � u ' ( x ) .v ( x ) dx a a b b b Hay ta thường sử dụng định lý dưới dạng viết gọn sau � udv = uv − �vdu a a a 2.3.2. Bài tập áp dụng 2 2 Bài 2.30. Cho ( x − 2 ) f ( x ) dx = 5; f ( 0 ) = 1 . Tính I = f ( x ) dx 0 0 A. 6 B. 4 C. 10 D. 3 u = x−2 � �du = dx Lời giải: Đặt � � . Khi đó �dv = f ( x ) dx �v = f ( x) 2 2 2 ( x − 2) f 5=� ( x ) dx = ( x − 2 ) f ( x ) − f ( x ) dx = 2 f ( 0 ) − I = 2 − I � I = −3 0 0 � 0 Vậy đáp án là D. b Nhận xét: Nếu trong bài toán có xuất hiện tích phân dạng g ( x ) f ( x ) dx thì ta sẽ a nghĩ ngay đến việc đặt u = g ( x ) , dv = f ( x ) dx sau đó sử dụng công thức tính tích phân từng phần để giải quyết bài toán. f ( x) e ( x ) ln x dx e Bài 2.31. Cho tích phân dx = 1; f ( e ) = 1 . Tính I = f 1 x 1 A. 2 B. 2 C. 0 D.1 1 u = ln x � �du = dx Lời giải: Đặt � � x . Khi đó dv = f ( x ) dx v = f ( x) e e f ( x) I = f ( x ) ln x − dx = f ( e ) − 1 = 0 . Vậy đáp án là C. 1 1 x 18
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải �π� Bài 2.32: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên � 0; , thỏa mãn � 2� � π π f ' ( x ) cos 2 xdx = 10 và f ( 0 ) = 3. Tích phân f ( x ) sin 2 xdx bằng 2 2 0 0 A. I = −13. B. I = −7. C. I = 7. D. I = 13. Lời giải π 2 u = cos 2 x � �du = − sin 2 xdx Xét f ' ( x ) cos xdx = 10 , đặt � 2 � . dv = f ' ( x ) cos 2 xdx v = f ( x) 0 π π 2 π 2 Khi đó 10 = f ' ( x ) cos 2 xdx = cos 2 xf ( x ) f ( x ) sin 2 xdx � 0 2 0 +� 0 π π 2 2 � 10 = − f ( 0 ) + � f ( x ) sin 2 xdx = 10 + f ( 0 ) = 13. Chọn D. f ( x ) sin 2 xdx � � 0 0 3 Bài 2.33: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn x. f ( x ) .e dx = 8 và f ( 3) = ln 3 . Tính f ( x) 0 3 I = e f ( x ) dx. 0 A. I = 1. B. I = 11. C. I = 8 − ln 3. D. I = 8 + ln 3. Lời giải u=x � �du = dx 3 3 3 Đặt � � . Khi đó � x. f ( x ) .e f ( x ) dx = x.e f ( x) e f ( x ) dx. −� dv = f ( x ) .e f ( x) dx v = e f ( x) 0 0 0 3 3 f ( 3) Suy ra 8 = 3.e − � e f ( x ) dx � � e f ( x ) dx = 9 − 8 = 1. Chọn A. 0 0 Bài 2.34: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên [ 0;1] , thỏa mãn 2 1 f ( x − 1) dx = 3 và f ( 1) = 4. Tích phân x3 f ' ( x 2 ) dx bằng 1 0 1 1 A. −1. B. − . C. . D. 1. 2 2 Lời giải 19
SKKN: Phương pháp giải một số bài toán tích phân hàm ẩn – Trần Đức Hải 2 1 1 f ( x − 1) dx = 3 Ta có � t = x −1 f ( t ) dt = 3 hay � f ( x ) dx = 3. 1 0 0 1 1 1 1 1 u=x du = dx x f ' ( x ) dx � � Xét � t = x2 ( ) ( ) 2� 2� 3 2 tf ' t dt = xf ' x dx. Đặ t � � . 0 0 0 dv = f ' ( x ) dx � v = f ( x) � 1� � 1 1 1 1 1 1 1 x 3 f ' ( x 2 ) dx Khi đó � t = x2 � tf ' ( t ) dt = xf � ( x ) −� f ( x ) dx �= [ 4 − 3] = . Chọn 0 20 2� 0 0 � 2 2 C. Bài 2.35: Cho hàm số y = f ( x ) với f ( 0 ) = f ( 1) = 1. Biết rằng: 1 �f ( x ) + f ' ( x ) � ex � �dx = ae + b. Tính Q = a + b . 2019 2019 0 A. Q = 22019 + 1. B. Q = 2. C. Q = 0. D. Q = 22019 − 1. Lời giải u = ex � � � �du = e x dx 1 1 Đặt � �� e x . f ' ( x ) dx = e x . f ( x ) 1 e x . f ( x ) dx −� �dv = f ' ( x ) dx �v = f ( x ) 0 0 0 1 1 a =1 e . f ' ( x ) dx + � �� x e x . f ( x ) dx = e. f ( 1) − f ( 0 ) � ae + b = e − 1 � . Vậy Q = 0. 0 0 b = −1 Bài 2.36: Cho hàm số f ( x ) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên [ 0; 2] . Biết f ( 0) = 1 f ( x ) f ( 2 − x ) = e2 x [ 0; 2] . 2 −4 x và v ớ i m ọi x Tính tích phân I= 2 (x 3 − 3x 2 ) f ' ( x ) dx. 0 f ( x) 14 32 16 16 A. I = − . B. I = − . C. I = − . D. I = − . 3 5 3 5 Lời giải u = x3 − 3 x 2 2 (x 3 − 3x 2 ) f ' ( x ) dx. Đặt du = ( 3 x 2 − 6 x ) dx Ta có I = � f '( x) � . f ( x) dv = � dx v = ln f ( x ) � 0 f ( x) 2 2 f ( 2 ) =1 2 I = ( x − 3 x ) ln f ( x ) 3 2 ( 3x − 6 x ) ln f ( x ) dx = − 3� −� 2 ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) dx = −3J . 0 0 0 2 x = 2 −t 0 ( x 2 − 2 x ) ln f ( x ) dx = � J =� � �( 2 −t ) − 2( 2 −t ) � 2 � ( ln f 2 − t ) d ( 2 − t ) 0 2 20

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN

TRỢ GIÚP

HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG

Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.