intTypePromotion=1
ADSENSE

Bài giảng Ứng dụng của phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân - TS. Lê Xuân Đại

Chia sẻ: Nguyễn Thái Hiền | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:13

248
lượt xem
47
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Ứng dụng của phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân" giới thiệu đến các bạn những câu hỏi bài tập có đáp án về phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân. Với các bạn đang học chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Ứng dụng của phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân - TS. Lê Xuân Đại

  1. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN, HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TS. Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP. HCM TRÌNH —VI 2011. PHÂN, HỆ 1 /PHƯ 1
  2. Giải phương trình vi phân Nội dung Xét phương trình vi phân với hàm phải tìm là y (t) cùng với các điều kiện ban đầu. Lấy phép biến đổi Laplace cả 2 vế của phương trình đã cho. Phương trình mới chứa hàm cần tìm là L{y (t)}) = Y (s) không phải là phương trình vi phân. Giải phương trình này tìm Y (s), sau đó dùng phép biến đổi Laplace ngược tìm lại hàm y (t). TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP. HCM TRÌNH —VI 2011. PHÂN, HỆ 2 /PHƯ 1
  3. Giải phương trình vi phân Nội dung L{y (t)} = Y (s) L{y 0(t)} = sY (s) − y (0) L{y 00(t)} = s 2Y (s) − sy (0) − y 0(0) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP. HCM TRÌNH —VI 2011. PHÂN, HỆ 3 /PHƯ 1
  4. Giải phương trình vi phân Ví dụ Ví dụ Giải phương trình y 0(t) + 2y (t) = 1 với điều kiện ban đầu y (0) = 4 Dùng phép biến đổi Laplace lên 2 vế của phương trình, ta được L{y 0(t) + 2y (t)} = L{1} 1 ⇒ [sY (s) − y (0)] + 2Y (s) = s 1 s+4 4s + 1 1 7 ⇒ Y (s) = = = + s + 2 s(s + 2) 2s 2(s + 2) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP. HCM TRÌNH —VI 2011. PHÂN, HỆ 4 /PHƯ 1
  5. Giải phương trình vi phân Ví dụ Dùng phép biến đổi Laplace ngược tìm lại nghiệm y (t) 1 7 y (t) = L−1{Y (s)} = + e −2t 2 2 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP. HCM TRÌNH —VI 2011. PHÂN, HỆ 5 /PHƯ 1
  6. Giải phương trình vi phân Ví dụ Ví dụ Giải phương trình y 00(t) + 4y (t) = 9t với điều kiện ban đầu y (0) = 0, y 0(0) = 7 Dùng phép biến đổi Laplace lên 2 vế của phương trình, ta được L{y 00(t) + 4y (t)} = L{9t} 9 ⇒ [s 2Y (s) − sy (0) − y 0(0)] + 4Y (s) = s2 9 + 7s 2 9 19 ⇒ Y (s) = 2 2 = 2+ s (s + 4) 4s 4(s 2 + 22) TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP. HCM TRÌNH —VI 2011. PHÂN, HỆ 6 /PHƯ 1
  7. Giải phương trình vi phân Ví dụ Dùng phép biến đổi Laplace ngược tìm lại nghiệm y (t) 9 19 y (t) = L−1{Y (s)} = t + sin(2t) 4 8 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP. HCM TRÌNH —VI 2011. PHÂN, HỆ 7 /PHƯ 1
  8. Giải phương trình vi phân Bài tập Bài 1 Giải phương trình vi phân sau bằng phép biến đổi Laplace y 00(t) + 4y (t) = 0, y (0) = 2, y 0(0) = 2 Đáp số. 2s + 2 Y (s) = 2 ⇒ y (t) = sin(2t) + 2 cos(2t) s +4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP. HCM TRÌNH —VI 2011. PHÂN, HỆ 8 /PHƯ 1
  9. Giải phương trình vi phân Bài tập Bài 2 Giải phương trình vi phân sau bằng phép biến đổi Laplace y 00(t) − 3y 0(t) + 2y (t) = 4t + 12e −t , y (0) = 6, y 0(0) = −1 Đáp số. 3 2 2 3 2 Y (s) = + 2 + + − ⇒ s s s +1 s −1 s −2 y (t) = 3 + 2t + 2e −t + 3e t − 2e 2t TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP. HCM TRÌNH —VI 2011. PHÂN, HỆ 9 /PHƯ 1
  10. Giải hệ phương trình vi phân Ví dụ Ví dụ Giải hệ phương trình vi phân  0 x (t) − 2x(t) + 3y (t) = 0 y 0(t) + 2x(t) − y (t) = 0 với điều kiện ban đầu x(0) = 8, y (0) = 3 Dùng phép biến đổi Laplace lên 2 vế của phương trình, ta được L{x 0(t) − 2x(t) + 3y (t)} = L{0}  L{y 0(t) + 2x(t) − y (t)} = L{0} TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP. HCM TRÌNH — 2011. VI PHÂN, 10 HỆ/PHƯ 1
  11. Giải hệ phương trình vi phân Ví dụ  (sX (s) − x(0)) − 2X (s) + 3Y (s) = 0 ⇒ (sY (s) − y (0)) + 2X (s) − Y (s) = 0 8s − 17  5 3  X (s) =  = + ⇒ s 2 − 3s − 4 s + 1 s − 4 3s − 22 5 2  Y (s) =  = − s 2 − 3s − 4 s + 1 s − 4 x(t) = 5e −t + 3e 4t  ⇒ y (t) = 5e −t − 2e 4t TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP. HCM TRÌNH — 2011. VI PHÂN, 11 HỆ/PHƯ 1
  12. Giải hệ phương trình vi phân Bài tập Bài 1 Giải hệ phương trình vi phân  0 x (t) − 2y (t) = 1 y 0(t) + 2x(t) = t với điều kiện ban đầu x(0) = 0, y (0) = 0 Đáp số. 1 1 t sin 2t X (s) = + ⇒ x(t) = + , 2s 2 2(s 2 + 4) 2 4 1 s 1 cos 2t Y (s) = − + ⇒ y (t) = − + , 4s 4(s 2 + 4) 4 4 TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP. HCM TRÌNH — 2011. VI PHÂN, 12 HỆ/PHƯ 1
  13. Giải hệ phương trình vi phân Bài tập THANK YOU FOR ATTENTION TS. Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE GIẢI PHƯƠNG TP. HCM TRÌNH — 2011. VI PHÂN, 13 HỆ/PHƯ 1
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2