Bài giảng Vật rắn - Lê Quang Nguyên

Chia sẻ: Sơn Tùng | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:12

Thêm vào BST

Báo xấu

60
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Vật rắn" cung cấp cho người học các kiến thức: Vận tốc góc và gia tốc góc, momen động và momen lực đối với một trục, định luật 2 Newton cho chuyển động quay, công và năng lượng trong chuyển động quay, chuyển động lăn. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Vật rắn - Lê Quang Nguyên

Nội dung 1. Vận tốc góc và gia tốc góc 2. Momen ñộng và momen lực ñối với một trục 3. Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay Vật rắn 4. Công và năng lượng trong chuyển ñộng quay 5. Chuyển ñộng lăn Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com 1a. Vị trí góc 1b. Vận tốc góc θf • Khi vật rắn quay quanh một • Trong thời gian ∆t vật rắn θi trục cố ñịnh mỗi chất ñiểm quay ñược một góc: ∆θ ñều chuyển ñộng tròn, với tâm ở trên trục quay. ∆θ = θ f − θ i • Chọn một chất ñiểm thuộc vật ∆θ > 0, ω > 0 • Vận tốc góc trung bình ngược chiều kim ñồng hồ rắn, có vị trí cho bởi các tọa ñược ñịnh nghĩa như sau: ñộ cực r, θ. • θ cũng là vị trí góc của cả vật r ∆θ θ ωav = rắn, chứ không phải của riêng ∆t ∆θ chất ñiểm ñang xét. ∆θ < 0, ω < 0 cùng chiều kim ñồng hồ
1b. Vận tốc góc (tt) z 1c. Gia tốc góc • Vận tốc góc tức thời là một ω • Gia tốc góc trung bình: vectơ xác ñịnh bởi: ∆ω α av = ω = ω uz ω = dθ dt uz ∆t • Gia tốc góc tức thời là một vectơ xác ñịnh bởi: • với uz là vectơ ñơn vị trên z dω dω trục quay z, hướng theo α= = α uz α= chiều thuận ñối với chiều dt dt ngược chiều kim ñồng hồ. • Mọi chất ñiểm trong vật rắn • Mọi chất ñiểm trong vật rắn quay ñều có cùng gia quay ñều có cùng vận tốc tốc góc. ω góc. 1d. Liên hệ giữa vận tốc góc và vận tốc dài 1e. Liên hệ giữa gia tốc góc và gia tốc dài • Ta có: s = θ r • Gia tốc tiếp tuyến: s at • Đạo hàm theo thời gian cho ta: θ dv d (ω r ) dω ut r at = = =r dt dt dt v = ωr v =ω×r un a an z at = α r • hay tổng quát hơn nữa: ω v • Gia tốc pháp tuyến: v =ω×R v 2 (ω r ) 2 r • R là vị trí của chất ñiểm ñối an = = R r r với một ñiểm gốc bất kỳ trên trục quay. an = ω 2 r
2a. Phụ lục toán 2a. A useful formula (cont.) z • Xét hình chiếu trên trục z z • From vector calculus we get: của vectơ R × A, (a × b )⋅ c = (b × c )⋅ a = (c × a ) ⋅ b ut A uz • R là vị trí của chất ñiểm ñối • Applying it here gives: r với gốc O trên trục quay, (R × A)⋅ uz = (uz × R )⋅ A r|| R • còn A là một vectơ xác ñịnh R • Resolve R in to r|| parallel and ở vị trí ñang xét. uz r perpendicular to z-axis, we ut • Chúng ta cần tìm một biểu have: =0 thức thuận tiện cho ñại r u z × R = u z × r|| + u z × r = u z × r uz lượng: • Furthermore: (R × A)z = (R × A)⋅ uz u z × r = ru t 2a. Phụ lục toán (tt) 2b. Momen ñộng ñối với trục quay t φ A • Momen ñộng ñối với trục (R × A) = rut ⋅ A = rAt z z r φ quay z là hình chiếu của p ut • At là hình chiếu của A trên momen ñộng trên z. l phương pháp tuyến. • Với chất ñiểm ở vị trí R và r • hay: có ñộng lượng p: R (R × A)z = rut ⋅ A = rA cosϕ φ Lz = (R × p ) ⋅ u z uz t r cos ϕ = ±l A l r • Dùng công thức trong phụ (R × A)z = rut ⋅ A = ±lA π–φ lục toán vừa rồi ta ñược: • l là chiều dài tay ñòn của A. Lz = rpt = rmv
z 2b. Momen ñộng ñối với trục quay (tt) 2c. Momen lực ñối với trục quay F • Biểu diễn qua vận tốc góc ta có: • Momen lực ñối với trục quay z là hình chiếu của Lz = rmv = rm(ωr ) = mr 2ω momen lực trên z. • Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm thuộc vật rắn: R • Với một chất ñiểm: uz   Lz =  ∑ mi ri 2 ω τ z = (R × F )⋅ u z  i  • Theo phụ lục ta có thể viết: F • Momen quán tính của vật rắn ñối với trục z ñược ñịnh nghĩa là: τ z = ±lF I = ∑ mi ri 2 (+) khi lực có xu hướng l i quay chất ñiểm ngược • Vậy: Lz = Iω chiều kim ñồng hồ. 3a. Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay 3b. Bài tập 3.1 • Khi vật rắn quay quanh trục z: • Tìm momen quán tính của một vành tròn ñồng nhất khối lượng M, bán kính R ñối với: dL dLz = τ tot = τ tot , z • (a) trục ñối xứng của vành, dt dt • (b) trục song song với trục ñối xứng, ñi qua một dω Tổng momen ngoại ñiểm trên vành tròn. I = ∑ ± li Fi dt i lực ñối với trục quay • Momen quán tính I càng lớn vật càng khó quay.
3b. Trả lời bài tập 3.1 3c. Bài tập 3.2 • Chia vành làm nhiều phần • Một ròng rọc có dạng như tử nhỏ khối lượng dm, ta có: (b) (a) hình vẽ. dm I a = ∫ r dm = R 2 2 ∫ dm = MR 2 R • Phần dây quấn quanh hình trụ bán kính R1, tác ñộng một • Dùng ñịnh lý Steiner: lực T1 nằm ngang lên nó. d • Phần dây quấn quanh hình I b = I a + Md 2 trụ bán kính R2 tác ñộng một lực T2 hướng thẳng ñứng • Suy ra: Momen quán tính của xuống. I b = I a + MR = 2 MR 2 2 một số vật thường gặp. 3c. Bài tập 3.2 (tt) 3c. Trả lời bài tập 3.2 (a) Tìm biểu thức của momen lực toàn phần tác • Momen lực toàn phần tác ñộng lên ròng rọc ñối với trục quay z. ñộng lên ròng rọc ñối với (b) Xét trường hợp T1 = 5,0 N, R1 = 1,0 m, T2 = trục quay z là: 15,0 N và R2 = 0,50 m, τ tot , z = − R1T1 + R2T2 – Tìm momen lực toàn phần ñối với trục quay, – Ròng rọc sẽ quay theo chiều nào, biết rằng lúc • Thay bằng số ta có: ñầu nó ñứng yên? τ tot , z = −1× 5 + 0,5 × 15 = 2,5 ( N .m ) • τz > 0, ròng rọc quay ngược chiều kim ñồng hồ.
3.d Bài tập 3.3 3.d Trả lời bài tập 3.3 - 1 • Hai vật khối lượng m1 và • Dùng ñịnh luật 2 T2 T1 m2 ñược nối với nhau Newton cho y bằng một dây nhẹ, dây • m1 trên y hướng xuống: vắt qua hai ròng rọc m1a1 = m1 g − T1 không ma sát (hình vẽ). y m1g m2g • m2 trên y hướng lên: • Mỗi ròng rọc có momen quán tính I và bán kính R. m2 a2 = T2 − m2 g N T’ T’ N • Tìm gia tốc của mỗi vật • ròng rọc quanh trục z R R và các sức căng dây. hướng ra ngoài: Iα = R(T1 − T ′) mg mg T2 T1 Iα = R(T ′ − T2 ) 3.d Trả lời bài tập 3.3 - 2 3.d Trả lời bài tập 3.3 - 3 • Hai vật có gia tốc bằng nhau: • Lấy tổng các pt (1) – (4) ta ñược: a1 = a2 ≡ a  m + m + 2 I  a = (m − m ) g • Dây không trượt nên vận tốc của một ñiểm trên  1 2  1 2  R2  vành ròng rọc = vận tốc vật: ωR = v ⇒ αR = a (m1 − m2 )g a= I • Ta có hệ phương trình sau: m1 + m2 + 2 R2 m1a = m1 g − T1 (1) • Thế gia tốc a vào (1), (2) và (3) ta có các sức m2 a = T2 − m2 g (2) căng. Ia / R 2 = T1 − T ′ (3) Ia / R 2 = T ′ − T2 (4)
4a. Động năng của vật rắn quay 4b. Công trong chuyển ñộng quay • Động năng của một chất ñiểm vận tốc v ở khoảng • Công sơ cấp: z dW = F ⋅ v dt = F ⋅ (ω × R )dt cách r ñối với trục quay: F ω K = 12 mv 2 = 12 m(ωr ) = 12 mr 2ω 2 • Ta có: 2 dr F ⋅ (ω × R ) = (R × F ) ⋅ ω • Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm, ta có ñộng năng của vật rắn quay: • Do ñó: R 1  dW = τ ⋅ ω dt = τ zω dt = τ z dθ K =  ∑ mi ri 2 ω 2 2 i  • Suy ra công và công suất: θf 1 K = Iω 2 W = ∫ τ z dθ P = τ zω 2 θi 4c. Bài tập 4.1 4c. Trả lời bài tập 4.1 - 1 • Một thanh ñồng nhất chiều • Vì không có ma sát nên dài L, khối lượng m có thể cơ năng thanh bảo toàn: quay không ma sát quanh một trục ngang ñi qua một ∆E = ∆ (K + U g ) = 0 ñầu thanh. Thanh ñược thả ∆K = K f = 12 Iω 2 không vận tốc ñầu khi ñang nằm ngang. Tìm: • Khối tâm là ñiểm ñặt của • (a) vận tốc góc khi thanh ở toàn bộ trọng lượng, do vị trí thẳng ñứng, ñó thế năng trọng trường Thế năng trọng trường • (b) vận tốc khối tâm ở vị của thanh là: của một vật rắn: Ug = mgyCM trí ñó. U g = mgyCM
4c. Trả lời bài tập 4.1 - 2 4c. Trả lời bài tập 4.1 - 3 y • Với trục y hướng lên ta có: • Giữa vận tốc dài của một chất ñiểm của vật rắn và ∆U g = mg∆yCM = − mgL / 2 vận tốc góc có hệ thức: v = ωr • Suy ra: • r là khoảng cách từ chất vCM ∆E = Iω − mgL = 0 1 2 2 1 2 ñiểm ñến trục quay. Định lý Steiner: • Với khối tâm thì r = L/2: mgL ω= I = I CM + m( L / 2 ) 2 I L 1 3g 2 1 = mL / 12 + mL / 4 2 2 vCM = ω = ⋅L = 3 gL 3g 2 2 L 2 ω= = mL2 / 3 L 4d. Bài tập 4.2 4d. Trả lời bài tập 4.2 • Hai vật khối lượng m1 và m2 • Vì không có ma sát nên cơ năng ñược treo ở hai bên một ròng bảo toàn: rọc không ma sát bằng một dây ∆E = ∆ (K + U g ) = 0 nhẹ. • Độ biến thiên ñộng năng: • Ròng rọc có bán kính R và ∆K = K f = 12 m1v12 + 12 m2 v22 + 12 Iω 2 momen quán tính I ñối với trục quay. Lúc ñầu hệ ñược thả • Ta cũng có: không vận tốc. v1 = v2 ≡ v ωR = v • Tìm vận tốc dài của hai vật vào • Do ñó: lúc vật 2 xuống ñược một ∆K = 12 (m1 + m2 + I / R 2 )v 2 khoảng h.
4d. Trả lời bài tập 4.2 (tt) 5a. Chuyển ñộng lăn của vật rắn • m1 ñi lên một khoảng h khi m2 ñi xuống cùng một • Khi một xe ñạp chuyển ñộng, khối tâm của mỗi khoảng, vì vậy ñộ biến thiên thế năng của hệ là: bánh xe có chuyển ñộng tịnh tiến. ∆U g = m1 gh − m2 gh • Tuy nhiên, một ñiểm trên vành bánh xe lại có quỹ ñạo là một cycloid. • Vậy ta có: • Chuyển ñộng của bánh xe là chuyển ñộng lăn. ∆E = 12 (m1 + m2 + I / R 2 )v 2 + (m1 − m2 )gh = 0 2(m2 − m1 )gh v= m1 + m2 + I / R 2 5b. Vận tốc của khối tâm 5c. Kết hợp tịnh tiến và quay • Xét bánh xe lăn không • Lăn không trượt là sự kết trượt, hợp của chuyển ñộng tịnh vrot v • Khi một ñiểm trên vành ñi tiến của khối tâm, ñược một cung tròn có r • và chuyển ñộng quay quanh r chiều dài s = rθ, một trục ñi qua khối tâm. vCM • thì khối tâm cũng tịnh tiến • Do ñó một chất ñiểm thuộc ñược cùng một khoảng ñó. s = rθ vật có vận tốc cho bởi: • Do ñó ta có: v = vCM + vrot ds dθ =r vCM = r ω dt dt v = vCM + ω × r
5c. Kết hợp tịnh tiến và quay (tt) 5d. Động năng của chuyển ñộng lăn vrot = vCM • Một chất ñiểm trên vành có v = 2vCM • Động năng của chuyển ñộng lăn là tổng vận tốc quay là vrot = ωr. • ñộng năng tịnh tiến của khối tâm, • Ở vị trí thấp nhất: vCM • và ñộng năng quay quanh trục ñi qua khối tâm. v = vCM − vrot = 0 • Ở vị trí giữa: vrot = – vCM K = 12 MvCM 2 + 12 Iω 2 v = vCM 2 + vrot 2 = ωr 2 • trong ñó M, I là khối lượng và momen quán tính v • Ở vị trí cao nhất: vrot ñối với trục quay của vật. v = vCM + vrot = 2ωr vCM • Minh họa. 5e. Bài tập 5.1 5e. Trả lời bài tập 5.1 - 1 • Một quả cầu khối lượng • Khi vật lăn không trượt vận M và bán kính R lăn tốc của tiếp ñiểm luôn băng xuống một mặt phẳng không, nghiêng với vận tốc ñầu • vì vậy ma sát là ma sát tĩnh, bằng không. không thực hiện công. • Tìm vận tốc khối tâm quả • Cơ năng ñược bảo toàn: cầu ở cuối mặt phẳng ∆E = ∆ (K + U g ) = 0 nghiêng. • Độ biến thiên ñộng năng: ∆K = K f = 12 MvCM 2 + 12 Iω 2
5e. Trả lời bài tập 5.1 - 2 5e. Trả lời bài tập 5.1 - 3 • Do lăn không trượt nên: • Momen quán tính của quả cầu ñối với một trục ñi ω = vCM R qua tâm là I = 2MR2/5. • Suy ra: • Do ñó: 2 gh 10 gh vCM = = ∆K = 12 (M + I R 2 )vCM 2 1+ 2 5 7 • Độ biến thiên thế năng: • Nếu vật là vành tròn có cùng khối lượng và bán ∆U g = Mg∆yCM = − Mgh kính, momen quán tính sẽ là I = MR2: 2 gh • Vậy: vCM = = gh ∆E = 12 M (1 + I MR 2 )vCM 2 − Mgh = 0 1+1 • Vật với tỷ số I/MR2 nhỏ hơn sẽ lăn xuống nhanh 2 gh vCM = hơn (Ví dụ 1, 2). 1 + I MR 2 5f. Bài tập 5.2 5f. Trả lời bài tập 5.2 - 1 • Trong bài tập 5.1, hãy tìm • Dùng ñịnh luật 2 Newton N biểu thức của gia tốc khối cho tâm. • khối tâm trên trục x: fs MaCM = Mg sin θ − f s • quả cầu quay quanh trục z mg x hướng ra ngoài: Iα = − f s R • Vì ω (< 0) giảm dần khi Trục z hướng ra lăn xuống nên α < 0. ngoài nên vật lăn xuống có ω < 0.
5f. Trả lời bài tập 5.2 - 2 • Vì lăn không trượt nên giữa gia tốc góc và gia tốc khối tâm có hệ thức: α = – aCM/R. • Ta có hệ phương trình sau: MaCM = Mg sin θ − f s (I / R )a 2 CM = fs • Giải hệ ta ñược: g sin θ 5 aCM = = g sin θ 1 + I / MR 2 7 • Vật với tỷ số I/MR2 nhỏ hơn sẽ có gia tốc lớn hơn.