Nội dung

Vật rắn

1. Vận tốc góc và gia tốc góc 2. Momen ñộng và momen lực ñối với một trục 3. Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay 4. Công và năng lượng trong chuyển ñộng quay 5. Chuyển ñộng lăn

Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle59@yahoo.com

1a. Vị trí góc

1b. Vận tốc góc

θf

• Trong thời gian ∆t vật rắn

θi

∆θ

quay ñược một góc:

−

f θθθ =∆

i

• Khi vật rắn quay quanh một trục cố ñịnh mỗi chất ñiểm ñều chuyển ñộng tròn, với tâm ở trên trục quay.

∆θ > 0, ω > 0 ngược chiều kim ñồng hồ

• Vận tốc góc trung bình ñược ñịnh nghĩa như sau:

• Chọn một chất ñiểm thuộc vật rắn, có vị trí cho bởi các tọa ñộ cực r, θ.

r

θ

∆θ

• θ cũng là vị trí góc của cả vật rắn, chứ không phải của riêng chất ñiểm ñang xét.

∆θ < 0, ω < 0 cùng chiều kim ñồng hồ

= ω av ∆ θ t ∆

z

1b. Vận tốc góc (tt)

1c. Gia tốc góc

• Vận tốc góc tức thời là một

• Gia tốc góc trung bình:

ω

= α av

uz

ω θ=

d

dt

(cid:1) ωω=

vectơ xác ñịnh bởi: (cid:1) zu

• Gia tốc góc tức thời là một vectơ xác ñịnh bởi:

z

∆ ω t ∆

• Mọi chất ñiểm trong vật rắn quay ñều có cùng gia

tốc góc.

(cid:1) α α = = α= (cid:1) zu (cid:1) d ω dt dω dt

ω

• với uz là vectơ ñơn vị trên trục quay z, hướng theo chiều thuận ñối với chiều ngược chiều kim ñồng hồ. • Mọi chất ñiểm trong vật rắn quay ñều có cùng vận tốc góc.

1d. Liên hệ giữa vận tốc góc và vận tốc dài

1e. Liên hệ giữa gia tốc góc và gia tốc dài

• Gia tốc tiếp tuyến:

s

at

ut

d

• Ta có: s θ= r • Đạo hàm theo thời gian cho ta:

)

=

=

=

r

at

θ r

dv dt

( ω r dt

ω d dt

un

a

(cid:1) v

(cid:1) r

(cid:1) ×=ω

v ω= r

an

at α= r

z ω

v

• Gia tốc pháp tuyến:

• hay tổng quát hơn nữa: (cid:1) R

(cid:1) ×=ω

(cid:1) v

2

r

)2

=

=

a n

v r

( ω r r

R

2 rω=

na

• R là vị trí của chất ñiểm ñối với một ñiểm gốc bất kỳ trên trục quay.

2a. Phụ lục toán

2a. A useful formula (cont.)

z

• Xét hình chiếu trên trục z

z

ut

của vectơ R × A,

×

(cid:1) (cid:1) (cid:1) ) ( =⋅× cba

A

uz

r

⋅

×

• From vector calculus we get: (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) ) ( ) bac ( =⋅× ⋅ acb • Applying it here gives: (cid:1) (cid:1) ) AR = ⋅

(cid:1) (cid:1) (cid:1) ( ) uAR

z

z

R

r||

• R là vị trí của chất ñiểm ñối với gốc O trên trục quay, • còn A là một vectơ xác ñịnh

R

ở vị trí ñang xét.

uz

ut

• Chúng ta cần tìm một biểu tiện cho ñại

thuận

r

(cid:1) =× r

(cid:1) u

(cid:1) u

(cid:1) r

×

z

z

z

z

uz

×

⋅

=

thức lượng: (cid:1) (cid:1) ( ) × AR

(cid:1) (cid:1) (cid:1) ( ) uAR

z

z

(cid:1) ( × u • Resolve R in to r|| parallel and r perpendicular to z-axis, we have: = 0 (cid:1) (cid:1) (cid:1) (cid:1) r =× +× u uR || • Furthermore: (cid:1) =× r

(cid:1) u

(cid:1) ur t

z

2a. Phụ lục toán (tt)

2b. Momen ñộng ñối với trục quay

A

φ

t

z

=

(cid:1) (cid:1) ( AR ×

)

z

(cid:1) (cid:1) Aur =⋅ t

rA t

r

p

φ

ut

• Momen ñộng ñối với trục quay z là hình chiếu của momen ñộng trên z.

• At là hình chiếu của A trên

l

r

• Với chất ñiểm ở vị trí R và

phương pháp tuyến.

có ñộng lượng p:

R

uz

φ

t

rA

ϕcos

×

⋅

L

=

(cid:1) (cid:1) (cid:1) ( ) upR

z

z

A

(cid:1) (cid:1) Aur =⋅ t l

l

r

• Dùng công thức trong phụ lục toán vừa rồi ta ñược:

=

±=⋅

lA

π–φ

• hay: (cid:1) (cid:1) ( ) AR × = z ±=ϕcos r (cid:1) (cid:1) ( AR ×

)

z

(cid:1) (cid:1) Aur t

L

=

rp

=

rmv

• l là chiều dài tay ñòn của A.

z

t

2b. Momen ñộng ñối với trục quay (tt)

z 2c. Momen lực ñối với trục quay

F

rmv

rm

=

=

=

ω

• Biểu diễn qua vận tốc góc ta có: ( ω r

)

Lz

R

2mr • Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm thuộc vật rắn:

uz

2

• Momen lực ñối với trục quay z là hình chiếu của momen lực trên z. • Với một chất ñiểm: ×

=τ z

z

z

i

L rm i i

F

(cid:1) (cid:1) (cid:1) ( ) ⋅ uFR • Theo phụ lục ta có thể viết:

• Momen quán tính của vật rắn ñối với trục z ñược

lF

±=τ

ñịnh nghĩa là:

z

2

 = ∑    ω 

l

irm i

I

∑=

i

(cid:1) (+) khi lực có xu hướng quay chất ñiểm ngược chiều kim ñồng hồ.

• Vậy:

ωI

Lz =

3a. Định luật 2 Newton cho chuyển ñộng quay

3b. Bài tập 3.1

• Khi vật rắn quay quanh trục z:

• Tìm momen quán tính của một vành tròn ñồng

nhất khối lượng M, bán kính R ñối với:

τ=

(cid:1) τ= tot

tot z ,

(cid:1) dL dt

dL z dt

• (a) trục ñối xứng của vành, • (b) trục song song với trục ñối xứng, ñi qua một

ñiểm trên vành tròn.

i Fl i

I =

∑ ±

Tổng momen ngoại lực ñối với trục quay

i

• Momen quán tính I càng lớn vật càng khó quay.

ω d dt

3b. Trả lời bài tập 3.1

3c. Bài tập 3.2

• Một ròng rọc có dạng như

(b)

(a)

• Chia vành làm nhiều phần tử nhỏ khối lượng dm, ta có:

hình vẽ.

dm

2

2

2 dmr

R

= = R dm = MR I a

∫

∫

• Dùng ñịnh lý Steiner:

d

2Md

b

a

• Suy ra:

• Phần dây quấn quanh hình trụ bán kính R1, tác ñộng một lực T1 nằm ngang lên nó. • Phần dây quấn quanh hình trụ bán kính R2 tác ñộng một lực T2 hướng thẳng ñứng xuống.

2

2

Momen quán tính của một số vật thường gặp.

I = I +

2MR

b

a

3c. Bài tập 3.2 (tt)

3c. Trả lời bài tập 3.2

• Momen lực toàn phần tác ñộng lên ròng rọc ñối với trục quay z là:

τ = − , tot z

+ R T R T 2 2

1 1

(a) Tìm biểu thức của momen lực toàn phần tác ñộng lên ròng rọc ñối với trục quay z. (b) Xét trường hợp T1 = 5,0 N, R1 = 1,0 m, T2 = 15,0 N và R2 = 0,50 m, – Tìm momen lực toàn phần ñối với trục quay, – Ròng rọc sẽ quay theo chiều nào, biết rằng lúc

• Thay bằng số ta có:

ñầu nó ñứng yên?

I = I + MR =

1 5 0,5 15 2,5 ×

. N m

(

)

tot z ,

• τz > 0, ròng rọc quay ngược

chiều kim ñồng hồ.

= τ = − × +

3.d Bài tập 3.3

3.d Trả lời bài tập 3.3 - 1

T2

• Dùng

ñịnh

luật

2

T1

Newton cho

y

• m1 trên y hướng xuống: −

=

Tgmam 1

11

1

y

m1g

m2g

• m2 trên y hướng lên:

=

am 22

2

2

T’

T’

N

N

− gmT • ròng rọc quanh trục z

R

R

• Hai vật khối lượng m1 và m2 ñược nối với nhau bằng một dây nhẹ, dây vắt qua hai ròng rọc không ma sát (hình vẽ). • Mỗi ròng rọc có momen quán tính I và bán kính R. • Tìm gia tốc của mỗi vật

và các sức căng dây.

T2

mg

mg

=

α I

T1

=α I

hướng ra ngoài: )TTR ( ′− 1 ( )2T −′ TR

3.d Trả lời bài tập 3.3 - 2

3.d Trả lời bài tập 3.3 - 3

• Hai vật có gia tốc bằng nhau:

• Lấy tổng các pt (1) – (4) ta ñược:

≡

a

a 1

= 2 a

2

(

1

2

1

2

2

• Dây không trượt nên vận tốc của một ñiểm trên

(

2

1

α

vành ròng rọc = vận tốc vật: ⇒ aR = vR =ω

a

=

+

2

• Ta có hệ phương trình sau:

mm + 2

1

2

mm + +  )gmma = −    

−

(1)

1

• Thế gia tốc a vào (1), (2) và (3) ta có các sức

−

(2)

căng.

= = 2

(3)

2 / RIa

2

(4)

Tgmam 1 1 gmTam 2 2 ′− = 1 TT −′= T

/ RIa

I R ) − gmm I R

T 2

4a. Động năng của vật rắn quay

4b. Công trong chuyển ñộng quay

z

• Động năng của một chất ñiểm vận tốc v ở khoảng

F

(cid:1) ⋅= F

(cid:1) ( ω ×

(cid:1) )dtR

cách r ñối với trục quay:

• Công sơ cấp: (cid:1)(cid:1) ⋅= dtvF

ω

2

2

=

K

mv

mr

=

=

2 2 ω

dr

( ω rm

)

1 2

1 2

(cid:1) R

1 2 • Lấy tổng theo tất cả các chất ñiểm, ta có ñộng

)

(cid:1) (cid:1) ( FR ×

(cid:1) ) ω ⋅

=

R

năng của vật rắn quay:

dt

dt

⋅=

=

=

d

(cid:1)(cid:1) θτωτωτ z

2

irm

i

z • Suy ra công và công suất:

i

θ f

dW • Ta có: (cid:1) (cid:1) ( ω F ⋅ × • Do ñó: dW K 1  = ∑  2   2 ω 

2 ωI

P =

ωτz

K = W

∫=

4c. Bài tập 4.1

4c. Trả lời bài tập 4.1 - 1

1 2 θτ d z θ i

• Vì không có ma sát nên cơ năng thanh bảo toàn:

) 0=

( gUK +

∆=∆ E

f =

2 1 ωI 2

=∆ KK

• Một thanh ñồng nhất chiều dài L, khối lượng m có thể quay không ma sát quanh một trục ngang ñi qua một ñầu thanh. Thanh ñược thả không vận tốc ñầu khi ñang nằm ngang. Tìm:

• (a) vận tốc góc khi thanh ở

vị trí thẳng ñứng,

Thế năng trọng trường của một vật rắn: Ug = mgyCM

• (b) vận tốc khối tâm ở vị

CM

trí ñó. U = • Khối tâm là ñiểm ñặt của toàn bộ trọng lượng, do ñó thế năng trọng trường của thanh là: g mgy

4c. Trả lời bài tập 4.1 - 2

4c. Trả lời bài tập 4.1 - 3

y

• Với trục y hướng lên ta có:

g

CM

∆ U = ∆ ymg −= 2/mgL

vCM

2 E ω 1 2

1 2

• Giữa vận tốc dài của một chất ñiểm của vật rắn và vận tốc góc có hệ thức: v ω= r • Suy ra: • r là khoảng cách từ chất =∆ I − mgL = 0 ñiểm ñến trục quay.

2

• Với khối tâm thì r = L/2:

Định lý Steiner: 2/

+

=

I

I

2 = L

CM 2 mL

=

( Lm +

) 2 mL

12/

4/

=

2 mL

3/

4d. Bài tập 4.2

4d. Trả lời bài tập 4.2

=ω mgL I = ⋅ 3 gL vCM L =ω 2 1 2 3 g L 1 2 =ω g3 L

• Vì không có ma sát nên cơ năng

) 0=

E • Hai vật khối lượng m1 và m2 ñược treo ở hai bên một ròng rọc không ma sát bằng một dây nhẹ.

2 ωI

2 vm 11

f

1 2

1 2

≡

v

vR =ω

=∆ + +

• Ròng rọc có bán kính R và momen quán tính I ñối với trục quay. Lúc ñầu hệ ñược thả không vận tốc.

2

bảo toàn: ( gUK ∆=∆ + • Độ biến thiên ñộng năng: 2 = KK vm 1 22 2 • Ta cũng có: = 2 v v 1 • Do ñó:

=∆ K + /

( ) 2 + vRImm

2

1

1 2

• Tìm vận tốc dài của hai vật vào lúc vật 2 xuống ñược một khoảng h.

4d. Trả lời bài tập 4.2 (tt)

5a. Chuyển ñộng lăn của vật rắn • Khi một xe ñạp chuyển ñộng, khối tâm của mỗi

bánh xe có chuyển ñộng tịnh tiến.

2

2

2

(

)

• Tuy nhiên, một ñiểm trên vành bánh xe lại có quỹ • m1 ñi lên một khoảng h khi m2 ñi xuống cùng một khoảng, vì vậy ñộ biến thiên thế năng của hệ là: ∆ − ghmghm = ñạo là một cycloid. U g 1 • Vậy ta có: • Chuyển ñộng của bánh xe là chuyển ñộng lăn. E =∆ + / + ghmm − = 0

( ) vRImm +

1

2

1

2

1 2

1

2

=

v

2

) /

( ghmm 2 − + + RImm 2

1

5b. Vận tốc của khối tâm

5c. Kết hợp tịnh tiến và quay

• Xét bánh xe lăn không

vrot

trượt,

v

• Lăn không trượt là sự kết hợp của chuyển ñộng tịnh tiến của khối tâm,

r

r

• Khi một ñiểm trên vành ñi tròn có • và chuyển ñộng quay quanh

ñược một cung chiều dài s = rθ, một trục ñi qua khối tâm.

vCM

s = rθ

• Do ñó một chất ñiểm thuộc

• thì khối tâm cũng tịnh tiến ñược cùng một khoảng ñó. vật có vận tốc cho bởi:

(cid:1) v

=

+

(cid:2) v CM

(cid:2) v rot

ωr

• Do ñó ta có:

vCM =

(cid:1) v

=

(cid:2) r

(cid:2) ω ×+

(cid:2) v CM

= r ds dt θ d dt

5d. Động năng của chuyển ñộng lăn

5c. Kết hợp tịnh tiến và quay (tt) vrot = vCM

v = 2vCM

• Một chất ñiểm trên vành có vận tốc quay là vrot = ωr.

vCM

v

v

=

• Động năng của chuyển ñộng lăn là tổng • ñộng năng tịnh tiến của khối tâm, • và ñộng năng quay quanh trục ñi qua khối tâm.

• Ở vị trí thấp nhất: 0= −

2 ωI

2 CM +

1 2

1 2

K = Mv

vrot = – vCM

+

=

v

ω= r

2 rot

2 • trong ñó M, I là khối lượng và momen quán tính

v

v CM rot • Ở vị trí giữa: 2 v v CM • Ở vị trí cao nhất:

ñối với trục quay của vật.

vrot

v

=

+

v

ω2= r

v CM

rot

vCM

5e. Bài tập 5.1

5e. Trả lời bài tập 5.1 - 1

• Minh họa.

• Khi vật lăn không trượt vận tốc của tiếp ñiểm luôn băng không,

• vì vậy ma sát là ma sát tĩnh, • Một quả cầu khối lượng M và bán kính R lăn xuống một mặt phẳng nghiêng với vận tốc ñầu bằng không.

) 0=

=∆

KK

=

Mv

+

2 ωI

2 CM

f

1 2

1 2

∆=∆ E • Tìm vận tốc khối tâm quả cầu ở cuối mặt phẳng nghiêng. không thực hiện công. • Cơ năng ñược bảo toàn: ( gUK + • Độ biến thiên ñộng năng:

5e. Trả lời bài tập 5.1 - 2

5e. Trả lời bài tập 5.1 - 3

• Momen quán tính của quả cầu ñối với một trục ñi

qua tâm là I = 2MR2/5. • Do lăn không trượt nên: R

vCM=ω • Suy ra:

2

• Do ñó: = = vCM gh 2 + 521 gh 10 7 =∆ K

( ) 2 CMvRIM

1 2

• Nếu vật là vành tròn có cùng khối lượng và bán

CM

+ • Độ biến thiên thế năng: ∆ yMg Mgh −= =

gh = = vCM kính, momen quán tính sẽ là I = MR2: gh 2 11 + ∆ U g • Vậy: =∆ + I − Mgh = 0

( 1

) 2 vMR

2 CM

ME 1 2 • Vật với tỷ số I/MR2 nhỏ hơn sẽ lăn xuống nhanh

2

5f. Bài tập 5.2

5f. Trả lời bài tập 5.2 - 1

hơn (Ví dụ 1, 2). = vCM 2 I gh MR 1 +

N

• Dùng ñịnh luật 2 Newton

cho

fs

• Trong bài tập 5.1, hãy tìm biểu thức của gia tốc khối tâm.

Mg

Ma

=

θsin

CM

s

• khối tâm trên trục x: − f

x

mg

• quả cầu quay quanh trục z

hướng ra ngoài: s−=α I Rf

• Vì ω (< 0) giảm dần khi

Trục z hướng ra ngoài nên vật lăn xuống có ω < 0.

lăn xuống nên α < 0.

5f. Trả lời bài tập 5.2 - 2

• Vì lăn không trượt nên giữa gia tốc góc và gia tốc

khối tâm có hệ thức: α = – aCM/R.

−

f

Mg

θsin

s

• Ta có hệ phương trình sau:

CM

θ

=

=

g

f / =

aCM

2

= Ma CM ( ) 2 aRI s • Giải hệ ta ñược: θ MR

sin sin g / + I 1 5 7

• Vật với tỷ số I/MR2 nhỏ hơn sẽ có gia tốc lớn hơn.