Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
CHAPTER Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG HỌC
Engineering Mechanics: KINEMATICS
Động học vật rắn
không gian
Nguyễn Quang Hoàng
Bộ môn Cơ học ứng dụng
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-2-
Nội dung
I. Động học vật rắn quay quanh điểm cố định
1. Định nghĩa, thí dụ và mô hình
2. Thông số định vị - Các góc quay Ơle [Euler-angles]
3. Véc tơ vận tốc góc - Gia tốc góc của vật
4. Vận tốc và gia tốc các điểm thuộc vật
5. Trục quay tức thời
6. Chuyển động quay tiến động đều
II. Động học vật rắn chuyển động không gian
1. Phân tích thành chuyển động tịnh tiến và quay quanh một điểm
2. Các đặc trưng động học: Vận tốc và gia tốc điểm cực; vận tốc góc và gia tốc
góc của vật
3. Vận tốc và gia tốc các điểm thuộc vật
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-3-
I. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN QUAY QUANH ĐIỂM CỐ ĐỊNH
1. Định nghĩa, thí dụ và mô hình
2. Thông số định vị - Các góc quay Ơle [Euler-angles]
3. Véc tơ vận tốc góc - Gia tốc góc của vật
4. Vận tốc và gia tốc các điểm thuộc vật
5. Trục quay tức thời
6. Chuyển động quay tiến động đều
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-4-
1. Định nghĩa, ví dụ, mô hình
Định nghĩa. Chuyển động của vật rắn được gọi là chuyển động quay quanh điểm cố
định nếu trong quá trình chuyển động có một điểm thuộc vật đứng yên.
các điểm thuộc vật luôn giữ một khoảng cách cố định đến một điểm cố định, do đó
chuyển động này còn được gọi là chuyển động cầu.
Ví dụ
- Một vật thể hình nón hay hình côn lăn không trượt
trên mặt phẳng cố định.
- Chuyển động của bánh xe ô tô khi ô tô chuyển động
trên một cung đường tròn.
- Các bánh răng trong hộp truyền động vi sai nón.
- Chuyển động của con quay đặt trong giá.
1
2
0z
e
z
e
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-5-
1. Định nghĩa, ví dụ, mô hình
O
z0z
1
P
C
1
2
AB
DC
M
z0
A
2
O
1
2
1
z
x
y
r
K1K2
R
M
AB
O
C
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-6-
1. Định nghĩa, ví dụ, mô hình
O
O
B
C
A
0
B
OA
C
Mô hình
Trong chuyển động quay quanh điểm cố định, vị trí của
vật hoàn toàn được xác định nếu ta biết vị trí của hai
điểm bất kỳ thuộc vật không trùng với điểm cố định. Do
đó ta có thể chọn mô hình cho bài toán này là một tấm
phẳng chứa điểm cố định và hai điểm bất kỳ khác thuộc
vật. Như vậy mô hình khảo sát có thể được chọn là một
tấm phẳng thuộc vật chứa điểm cố định O.
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-7-
2. Ba góc Eul฀r và phương trình chuyển động
Hệ trục cố định: R0={Ox0y0z0}
Hệ trục gắn liền vào vật: R = {Oxyz}.
Ba góc (, , ) được gọi là ba góc Euler, cho biết vị trí
của vật rắn đối với hệ qui chiếu cố định.
-góc quay tiến động, - góc quay chương động, và
- góc quay riêng.
(), (), ()tt t


Dựng trục OK (giao của Oxy và Ox0y0). Xác định 3 góc
quay: , ,
Thực hiện các chuyển động quay để R0 về trùng R.
0
1. ( , ), 2. ( , ), 3. ( , )rot z rot OK rot z

Phương trình chuyển động
000
{,,}
xyz
eee

{,,}
xyz
eee

y0
z0
x0
x
y
z
O
Kx’, x’’
y’
y’’
0x
e
0z
e
0y
e
z
e
x
e
y
e
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-8-
3. Vận tốc góc của vật rắn tính th฀o ba góc Eul฀r
0zKz
eee



 

Chuyển động của vật rắn quanh điểm cố định O có thể
được xem là tổng hợp của ba chuyển động quay
quanh ba trục giao nhau Oz0, OK và Oz.
Véc tơ vận tốc góc của vật:
Biểu diễn trong hệ qui chiếu R0 cố định
y0
z0
x0
x
y
z
O
Kx’, x’’
y’
y’’
{,,}
xyz
eee

000
{,,}
xyz
eee

Biểu diễn trong hệ qui chiếu R gắn liền vật
(0) (0) (0)
0000zKzxxyyzz
eee e e e




0zKzxxyyzz
eee e ee




(0) (0) (0) (0)
[]
T
xyz

[]
T
xyz

0x
e
0z
e
0y
e
z
e
x
e
y
e
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-9-
3. Vận tốc góc của vật rắn tính th฀o ba góc Eul฀r
00 0
cos sin , cos sin
Kx yzzT
eeeeee



00
sin cos ,
Tx y
ee e



000
cos sin sin sin cos ,
zz x y
ee e e



Biểu diễn trong hệ qui chiếu R0 cố định 000
{,,}
xyz
eee

(0) (0) (0)
0000zKzxxyyzz
eee e e e




,
Kz
ee
Cần tính theo các véc tơ đơn vị 000
{,,}
xyz
eee

[OT z0thuộc mặt (z0, z),
ngược Oy’, thuộc x0y0]

0
000 0 0 0
000
(cos sin ) (cos sin sin sin cos )
cos sin sin sin sin cos cos
zKz
zxy z x y
xyz
eee
eee e e e
eee


 










y0
z0
x0
x
y
z
O
Kx’, x’’
y’
y’’
T
0x
e
0z
e
0y
e
z
e
x
e
y
e
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-10-
{,,}
xyz
eee

Biểu diễn trong hệ qui chiếu R gắn liền vật
0zKzxxyyzz
eee e ee




y0
z0
x0
x
y
z’,z
O
Kx’, x’’
y’
y’’,
E
[OE là trục Oy’’]
0
sin cos , cos sin ,
cos sin cos sin sin sin cos
ExyK xy
zzEz x y
eeee ee
eeee e e






Cần tính theo các véc tơ đơn vị
0
,
Kz
ee
{,,}
xyz
eee


0
cos sin sin sin cos cos sin
sin sin cos sin cos sin cos
zKz
zx yxyz
xyz
eee
ee eeee
eee


 











Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-11-
3. Vận tốc góc của vật rắn tính th฀o ba góc Eul฀r
sin sin cos 0
sin cos sin 0
cos 0 1
x
y
z









sin cos 0
1cos sin sin sin 0
sin cos sin cos cos 1
x
y
z

 








(0)
(0)
(0)
cos sin sin
sin sin cos
cos
x
y
z







Trong hệ qui chiếu R0 cố định
0zKz
eee




Trong hệ qui chiếu R gắn liền vật
sin sin cos
sin cos sin
cos
x
y
z







Phương trình vi phân động học quay
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-12-
Gia tốc góc của vật
d
dt



y0
z0
x0
x
y
z
O
Kx’, x’’
y’
y’’



(0) (0)
(0) (0)
(0) (0)
cos sin sin ...
sin sin cos ...
cos cos sin
xx
yy
zz
d
dt
d
dt
d
dt









trong hệ qui chiếu cố định R0
Véc tơ gia tốc góc
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-13-
4. Vận tốc và gia tốc của điểm thuộc vật
P
d
vr r
dt w==´

()
PP
d
av r r
dt aww==´+´´


w
a
r
P
Vận tốc của điểm P thuộc vật
Gia tốc của điểm P thuộc vật
5. Trục quay tức thời (Instantaneous axis of rotation)
Mọi điểm thuộc vật nằm trên trục chứa véc tơ vận tốc góc sẽ có vận tốc bằng 0. Trục chứa véc tơ
vận tốc góc được gọi là trục quay tức thời. [Trục quay tức thời qua điểm cố định O]
Khi M nằm trên trục qua O chứa 0
MMM
rk v r kwwwww= =´=´=


trục quay tức thời
O
M
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-14-
5. Trục quay tức thời (Instantaneous axis of rotation)
z
z0
O
bA
C
B
O
B
C
A
Mặt cố định
0
B
OA
C
Bánh cố
định
[Trục quay tức thời qua điểm cố định O].
Tất cả các điểm thuộc trục quay tức thời có vận tốc bằng 0.
Véc tơ vận tốc góc nằm trên trục quay tức thời.
OC là trục quay tức thời
Đường tiếp xúc OA là
trục quay tức thời
OB là trục quay tức thời
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-15-
6. Chuyển động quay tiến động đều
Định nghĩa: chuyển động quay quanh điểm cố định được gọi là
quay tiến động đều nếu ,
0, [ ]
const
const
const






10 2
0
zz
ee







() N
dd v
dt dt




1
2
N
v
O
z
N
z0
Véc tơ vận tốc góc và gia tốc góc của vật
y0
z0
x0
x
y
z
O
Kx’, x’’
y’
y’’
1
2
,const
const




có chiều dài không
đổi và quay đều quanh
trục z0 cố định.
22
12 12
2cos


12
sin

Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-16-
Ví dụ
O
B
x
y
z0, z
1
2
,,ijk
Trụ 1 quay đều quanh trục thẳng đứng z0 với vận tốc góc .
Thanh OB dài L quay đều quanh trục ngang x (gắn vào trụ 1), với
vận tốc góc 2. Hãy tính và biểu diễn theo các véc tơ đơn vị của
hệ trục Oxyz
(a) vận tốc góc của thanh OB, vận tốc điểm B.
(b) gia tốc góc của thanh OB và gia tốc điểm B.
Phân tích CĐ: Thanh OB tham gia hai chuyển động quay: quay quanh
z0 và quay quanh Ox.
(a) vận tốc góc của thanh OB, vận tốc điểm B.
22
kiww w=W+ =W +


(
)
(
)
2
22
cos sin
cos sin cos
BB
vrikLjLk
LiL jL k
ww j j
jwj wj
=´ = +W´ +
=- W - +



kW
2iw
w
cos sin
B
rL jL kjj=+
i
j
k
ij k
j
ki
ki j
´=
´=
´=



Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-17-
Ví dụ
222
()
dd
ki j
dt dt
aw w ww==W+=W´=W



()
(
)
22
22
22 2
222
()
cos sin 0
cos sin cos
2 sin cos sin
BB B BB
ar r rv
ijk
jL jL k
LLL
LiL jLk
aww aw
wjjw
jwjwj
wj jw wj
=´ +´ ´ =´ +´
=W ´ + + W
-W -
=W - +W-





(b) gia tốc góc của thanh OB và gia tốc điểm B.
i
O
B
x
y
z0, z
1
2
j
k
22
cos sin cos
B
vL iL jL kjwj wj=- W - +

cos sin
B
rL jL kjj=+
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-18-
II. ĐỘNG HỌC VẬT RẮN CHUYỂN ĐỘNG KHÔNG GIAN
1. Phân tích thành chuyển động TT và quay quanh một điểm
2. Các đặc trưng động học:
Vận tốc và gia tốc điểm cực; vận tốc góc và gia tốc góc của vật
3. Vận tốc, gia tốc các điểm thuộc vật
Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-19-
1. Phân tích thành chuyển động tịnh tiến và quay quanh một điểm
P
r
A
r
x’ y’
z’
A
P
O
x0
y0
z0
x
y
z
u
Xét vật rắn CĐ trong không gian đối với HQC cố định
R0=(Oxyz)0. Tại điểm A thuộc vật ta dựng hai hệ qui
chiếu:
• Hệ qui chiếu Ax’y’z’ có x’ // x0, y’ // y0, z’ // z0.
• Hệ qui chiếu R = Axyz gắn liền với vật (xem như tại
A có một khớp cầu).
Các thông số định vị vật rắn trong không gian
[,,]
T

[,,,,,]
T
AAA
xyz

q


Khi vật chuyển động, điểm A chuyển động và hệ Ax’y’z’
chuyển động tịnh tiến cùng điểm A, còn nếu đứng trong
hệ Ax’y’z’ ta sẽ thấy vật rắn quay quanh điểm A. Điểm A
được gọi là điểm cực (tùy ý thuộc vật).
[,, ]
T
AAA
xyz
Chuyển động của điểm cực A
Chuyển động quay quanh
điểm cực A (3 góc ơ le)
[,,,,,]
T
AAA
xyz

q
Véc tơ tọa độ suy rộng (vị
trí của A và 3 góc ơ le)
Véc tơ vận tốc suy rộng
0000
{, , }
xyz
Re e e

{, , }
xyz
Reee

Chương 4. Động học vật rắn không gian – 3D Kinematics of a Rigid Body
Nguyễn Quang Hoàng-Department of Applied Mechanics-SME
-20-
2. Các đặc trưng động học
,d
dt


Véc tơ vận tốc góc và gia tốc góc của vật rắn
Vận tốc và gia tốc điểm cực A
000AA Ax Ay Az
vrxe ye ze


000AA Ax Ay Az
arxe ye ze

   
Tính từ 3 góc ơ le (như trường hợp
quay quanh điểm cố định)
A
r
x’ y’
z’
A
P
O
x0
y0
z0
x
y
z
u
w
a
0000
{, , }
xyz
Re e e

{, , }
xyz
Reee
