Bài giảng Cơ học kỹ thuật: Phương trình Lagrange loại 2 - Nguyễn Quang Hoàng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:5

Thêm vào BST

Báo xấu

1
lượt xem 0
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng "Cơ học kỹ thuật" – Phương trình Lagrange loại 2 giới thiệu phương pháp Lagrange trong cơ học phân tích nhằm thiết lập phương trình chuyển động cho các hệ cơ học phức tạp. Nội dung tập trung vào cách xây dựng hàm Lagrangian, ứng dụng phương trình Lagrange loại 2 để giải bài toán động lực học, đặc biệt hữu ích với hệ có ràng buộc và nhiều bậc tự do. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Cơ học kỹ thuật: Phương trình Lagrange loại 2 - Nguyễn Quang Hoàng

Phương trình Lagrange loại 2 Hàm Lagrange của hệ d æ ¶L ö ¶L ç ÷ L = T (q 1 ,..., q f , q 1 ,..., q f , t ) - P(q 1 , ..., q f )   ÷ kt ç ¶q ø - ¶q = Qi ç dt ç i è ÷ ÷ i   T (q 1 , ..., q f , q 1 , ..., q f , t ) là biểu thức động năng P(q 1 ,..., q f ) là biểu thức thế năng của hệ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE LOẠI 2 Lagrange's Equations of Second Kind d æ ¶T ö ¶T ç ÷ ¶P ÷ kt ç ¶ q ÷ - ¶ q = Q i - ¶ q , (i = 1, 2, ..., f ) ç dt ç i ÷ è ø i i Động năng 1 2 Vật rắn tịnh tiến T = mvC Nguyễn Quang Hoàng 2 Email: hoang.nguyenquang@hust.edu.vn 1 Vật rắn qq trục z cố định T = Izw2 2 1 1 Vật rắn chuyển động phẳng T = mvC + I Cz w 2 2 2 2 Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -1- Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -2- Thế năng của trọng lượng và lò xo tuyến tính Phương trình Lagrange loại 2 Thế năng của trọng lực Thế năng của lò xo kéo nén Các bước thực hiện khi áp dụng: g=+Wy  = ks2/2 y W l0 s 1. Xác định số bậc tự do của hệ;  g= 0 =0 2. Chọn tọa độ suy rộng đủ; ‐y k s 3. Tính biểu thức động năng và thế năng hệ;  g=‐Wy  = ks2/2 1 2 4. Tính lực suy rộng của các lực/ngẫu lực không thế; W P g = mgy Pe = ks 2 5. Tính các đạo hàm; 6. Viết phương trình Lagrange loại 2 cho hệ. Thế năng của lò xo xoắn P = 2 k q2 1 k P = 2 kj 2 1 k = 2 k (j 2 - j1 )2 1 1  2  Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -3- Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -4-
PT Lagrange loại 2 - Ví dụ Bài tập 16-3 Mô hình cầu trục cùng với tải trọng được cho như hình vẽ. Xe A có khối Vật A có khối lượng m1 được nối với các đường cố định nhờ các lò xo có lượng m1 chuyển động trên đường ngang, lò xo có độ cứng k, cản nhớt độ cứng như nhau k, có thể trượt không ma sát dọc sàn ngang. Quả cầu hệ số c. Dây AB có chiều dài l, khối lượng không đáng kể và luôn căng. Tải nhỏ B khối lượng m2 được treo vào thanh mảnh, nhẹ, chiều dài l, và nối trọng B được coi như chất điểm có khối lượng m2. Thiết lập phương bản lề tại A. Thành lập phương trình vi phân chuyển động của hệ và tìm trình vi phân chuyển động với các tọa độ suy rộng x và : các tích phân đầu. y x x k k2 m1 k1 F(t) m1 Phân tích chuyển động: A A  Số bậc tự do c  Tọa độ suy rộng x  Dạng chuyển động l l  Lực sinh công (có thế và   không thế) B B m2 m2 Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -5- Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -6- Bài tương tự Bài tập 16-17 y y Cho cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng như trên hình. Đĩa đồng chất x x tâm A khối lượng m1, bán kính R, lăn không trượt trên nền ngang. Con lắc AB trọng lượng Q = m2g và khối tâm C với AC = l, mômen quán tính khối đối với trục qua k1 k2 k1 k2 khối tâm C là IC, được nối vào A bằng một khớp bản lề trụ. Trên đĩa có ngẫu lực M m1 m1 và lực F nằm ngang tác dụng. Hãy thiết lập phương trình vi phân chuyển động của A A hệ. x x  l = AC l  x M m2, IC B C B m2 k  A Phân tích chuyển động: F  Số bậc tự do 1 1 1 1 T  m1v A  m2vB , 2 2 T  m1v A   m2vC  I C2  , 2 2 2 2     Tọa độ suy rộng 2 2 2 2  Dạng chuyển động  Lực sinh công (có thế và  C 1  không thế) 1   (k1  k2 ) x 2  m2 gl cos  ;   (k1  k2 ) x 2  m2 gl cos  ; B 2 2 Q Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -7- Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -8-
Bài tập 16-6 Bài tập 16-7 Một hình trụ khối lượng m bán kính r lăn không trượt bên trong một trụ rỗng, khối Một đĩa đồng chất bán kính R, có khối lượng M có thể quay xung quanh lượng M bán kính R . Trụ này có thể quay quanh trục nằm ngang O. Mômen quán tính của các trụ đối với các trục tương ứng bằng MR2 và mr2/2. Thành lập phương trục nằm ngang O. Một dây nhẹ không giãn AB = l, một đầu của nó treo trình vi phân chuyển động của hệ và tìm các tích phân đầu. vào vành đĩa tại A, và đầu kia buộc vật có khối lượng m tại B (coi như chất điểm). Thành lập phương trình vi phân chuyển động của hệ.  Phân tích chuyển động:  Số bậc tự do O  Tọa độ suy rộng   Dạng chuyển động M y  C  Lực sinh công (có O  thế và không thế) Phân tích chuyển động:  A   Số bậc tự do B g   Tọa độ suy rộng O  x  Dạng chuyển động  C  Lực sinh công (có thế và không thế)  Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -9- Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -10- Bài tập 16-16 Bài tập tương tự Cho cơ hệ như trên hình vẽ. Con lăn tâm C là trụ tròn đồng chất, khối lượng m2, x2 x2 lăn không trượt trên tấm A. Tấm A có khối lượng m1, chuyển động không ma sát trên nền ngang. Các lò xo có độ cứng lần lượt là k1 và k2. Khi x1 = 0 và x2 = l các x1 x1   lò xo không biến dạng. Chọn tọa độ suy rộng cho hệ là x1 và x2. Thiết lập phương k2 C k2 C k1 k1 trình vi phân chuyển động của cơ hệ và tìm các tích phân đầu. A  A  x2 x1 Phân tích chuyển động:  Số bậc tự do Cho cơ cấu vi sai chuyển động trong mặt phẳng  k2  C  Tọa độ suy rộng ngang. Moment M1 tác dụng lên bánh răng 1, M2 tác  k1  Dạng chuyển động dụng lên tay quay OA.   Lực sinh công (có thế và O A Bánh 1: m1, r1, Bánh 2: m2, r2,  không thế) A Tay quay: m0, L = r1 + r2.  Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -11- Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -12-
Bài tập tương tự Bài tập 16-9 x2 x2 Dầm 1 khối lượng m1 được khoét theo chiều dọc một rãnh trụ có bán x1 x1 kính R, một hình trụ tròn đồng chất 2 bán kính r, khối lượng m2 lăn không trượt trong rãnh. Trục rãnh trụ và trục hình trụ 2 song song với A k A k C C nhau. Dầm 1 chuyển động trên mặt phẳng ngang nhẵn dưới tác dụng F(t) F(t) của lực ngang F(t), lực đàn hồi tuyến tính của lò xo có độ cứng k và lực cản tỷ lệ bậc nhất với vận tốc có hệ số cản b. Hãy thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ. x M Phân tích chuyển động: 1  Số bậc tự do k  Tọa độ suy rộng O F(t)  Dạng chuyển động  2  Lực sinh công (có thế và b C không thế) Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -13- Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -14- Bài tập 16-10 Một số tay máy phẳng 2 bậc tự do Vật A có khối lượng m được kéo lên nhờ các trục y b B P quay I và II có cùng bán kính R và mômen quán  m2, I2z y0 g tính của chúng đối với trục quay riêng bằng I. Xác M1 F(t) C2 x d a2 C2 1  A  x0 định gia tốc của vật A nếu các trục quay chịu tác a C1 O u1 C1 dụng của các ngẫu lực có mômen là M1 và M2. Bỏ C M(t) m1 u2  u qua khối lượng của các ròng rọc và ma sát ở các ổ O x I trục. Coi các dây là nhẹ, không giãn và không trượt đối với các ròng rọc. A x2 E y2 M2 q2 g Q O2 II g 2 C2 l2 C2 u2 y0 y1 Phân tích chuyển động: q2 y0 O1 x1  Số bậc tự do l1 q1 u1  Tọa độ suy rộng C1 q1 u2  Dạng chuyển động O O0 x0  Lực sinh công (có thế và không thế) u1 x0 Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -15- Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -16-
Bài tập 16-14 Tay máy T-R Tay máy chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Khâu 1 có khối lượng m1 và Mô hình cơ học của tay máy phẳng hai bậc tự do gồm khâu 1 tịnh tiến theo mômen quán tính khối đối với khối tâm C của nó là I1 quay quanh trục ngang qua phương ngang, khâu hai nối với khâu 1 bằng khớp quay A, khoảng cách C1A= d. O cố định. Khâu 2 có khối lượng m2 và mômen quán tính khối đối với khối tâm Khâu 1 có khối lượng m1 trượt không ma sát trên nền ngang dưới tác dụng của C2 của nó là I2 và chuyển động tịnh tiến đối với khâu 1. Tác dụng một ngẫu lực lực ngang F1. Khâu 2 có khối lượng m2, khối tâm C2, khoảng cách AC2 = lC2, mômen quán tính khối đối với trục ngang qua C2 là IC2. Tại khớp quay A có điều khiển có mômen M(t) lên khâu quay 1 và một lực điều khiển F(t) lên khâu 2. mômen (nội lực) M2 tác dụng. Bỏ qua ma sát và lực cản. Viết phương trình chuyển động của tay máy theo các tọa độ suy rộng  và u. B y b Phân tích chuyển động: m2, I2z P y0 g  Số bậc tự do a2 C2  x d  Tọa độ suy rộng A  x0 F(t) C2  Dạng chuyển động O u1 C1   Lực sinh công (có thế và không thế) m1 a C1 u2 M(t) O  u x 1  2    d ¶T dt ¶ qi - ¶T ¶q i = Qi = - ¶P ¶qi + Q ikt , i = 1, 2 Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -17- Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -18- Tay máy R-R Tay máy R-R Tay máy hai bậc tự do chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Khâu 1 chiều dài OA y C2 Sử dụng PT Lagrange 2 thiết lập = l1, khối tâm C1, OC1 = s1, khối lượng m1, B PT động lực cho tay máy 2 bậc tự A q2 mômen quán tính đối với trục qua khối tâm do chuyển động trong mặt phẳng C2 y là IC1. Khâu 2 chiều dài AB = l2, khối tâm C1 u2 đứng. q2 B C2, AC2 = s2, khối lượng m2, mômen quán u1 u2 tính đối với trục khối tâm là IC2. Động cơ 1 Khâu 1: m1, L1, IC1, OC1 = lC1. gắn liền với giá cố định tạo ra mômen M1 tác q1 O Khâu 2: m2, L2, IC2, AC2 = lC2. A dụng lên khâu 1, động cơ 2 gắn liền với khâu x C1 1 tạo ra mômen M2 tác dụng lên khâu 1. u1 d A = u 1 dq 1 + u 2 dq 2 q1 O x Q 1kt = u 1 éu ù é 0 ùú éêu 1 ùú ê 1 ú = ê1 = Bu kt Q2 = u2 êu ú ê0 1 úú êêu 2 úú êë 2 úû êë ûë û Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -19- Nguyen Quang Hoang - Department of Mechatronics/Applied Mechanics -20-