intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 5 - Vũ Đỗ Huy Cường

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:30

Thêm vào BST
Báo xấu
7
lượt xem 3
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến - Chương 5: Chuỗi số và Chuỗi hàm, cung cấp những kiến thức như Dãy số và các phép tính; chuỗi số và các phép tính; chuỗi hàm và các phép tính. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Vi tích phân hàm số một biến: Chương 5 - Vũ Đỗ Huy Cường

  1. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Chương 5 Chuỗi số và Chuỗi hàm Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 119 / 148
  2. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1. Dãy số và các phép tính 5.1.1. Khái niệm dãy số Một dãy số vô hạn là một tập hợp có thứ tự của vô số số hạng. Dãy số được mô tả bởi công thức tổng quát là một biểu thức chứa n an = Q(n). (40) Ví dụ √ √ √ √ √ a) an = n: {an } = {1, 2, 3, 4, 5...}. b) bn = (−1)n : {bn } = {−1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1...}. n−1 1 2 3 4 c) cn = : {cn } = {0, , , , ...} n 2 3 4 5 1 1 1 1 1 d) dn = (−1)n : {dn } = {−1, , − , , − ...}. n 2 3 4 5 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 120 / 148
  3. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1.2. Giới hạn của dãy số Trong một số trường hợp, các số trong dãy sẽ tiến tới một giá trị nào đó khi chỉ số n tang. Ví dụ n−1 1 2 3 4 a) cn = : {cn } = {0, , , , ...} → 1. n 2 3 4 5 1 1 1 1 1 b) dn = (−1)n : {dn } = {−1, , − , , − ...} → 0. n 2 3 4 5 Ngược lại, các số trong dãy có thể không tiến tới một giá trị nào đó khi chỉ số n tang. Ví dụ: √ √ √ √ √ c) an = n: {an } = {1, 2, 3, 4, 5...} → ∞. d) bn = (−1)n : {bn } = {−1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1, −1, 1...} →? . Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 121 / 148
  4. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1.2. Giới hạn của dãy số Dãy số {an } hội tụ đến số L nếu với mọi số dương tương ứng với N sao cho ∀n > N, |an − L| < . Ta viết lim an = L hoặc an → L và gọi L là giới hạn của dãy số. n→∞ Nếu không có số L tồn tại, ta nói rằng {an } phân kì. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 122 / 148
  5. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1.2. Giới hạn của dãy số Ví dụ: 1 a) lim 1n = 1. b) lim = 0. n→∞ n→∞ n c) lim an = ∞ với (a > 1). d) lim an = 0 với (0 < a < 1). n→∞ n→∞ √ n √ n e) lim n = 1. f) lim ln n = 1. n→∞ n→∞ 1 n 1 n g) lim 1+ = e. h) lim 1− = e−1 . n→∞ n n→∞ n  ∞  t >m>0 nt at + at−1 nt−1 + ... + a0  a t i) lim m+b m−1 + ... + b = t = m, n→∞ bm n m−1 n 0  bm  0 0
  6. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1.2. Giới hạn của dãy số Đặt {an } và {bn } là dãy các số thực. Nếu lim an = A và n→∞ lim bn = B thì ta có các quy luật sau n→∞ (i) lim (an ± bn ) = lim an ± lim bn = A ± B. n→∞ n→∞ n→∞ (ii) lim (an · bn ) = lim an · lim bn = A · B. n→∞ n→∞ n→∞ an lim an A lim = n→∞ = , (B = 0). n→∞ bn lim bn B n→∞ b lim bn (iii) lim (ann ) = ( lim an )n→∞ = AB . n→∞ n→∞ Nếu dãy {cn } hội tụ thì nó bị chặn. Nếu dãy {cn } tang và bị chặn trên thì nó hội tụ về chặn trên nhỏ nhất của chính nó. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 124 / 148
  7. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1.2. Giới hạn của dãy số Bài tập: Tìm giới hạn của các dãy số sau 1 1 1) lim + . 2) lim 1n + (−1)n . n→∞ 2n n n→∞ √ n ln n 3) lim n2 . 4) lim √ . n n→∞ n→∞ n 1 cos 1 5) lim √ n . 6) lim 1 . n→∞ n ln n n→∞ n(1 + 2n ) 2 n 3 n 7) lim +2 . 8) lim 1+ . n→∞ n n→∞ n Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 125 / 148
  8. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1.3. Tính toán dãy số Định lý so sánh: Nếu xn → a, yn → b và xn ≤ yn , ∀n ≥ N thì a ≤ b. 1 n Ví dụ: Nếu 1+ hội tụ về e. Chứng minh rằng 2 ≤ e. n Ta có 1 n lim 1+ = e, n→∞ n √ n lim ( 2)n = 2, n→∞ 1 √ n 1+ ≥ 2, ∀n ≥ 2, n Vậy e ≥ 2. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 126 / 148
  9. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1.3. Tính toán dãy số Định lý kẹp: Nếu xn → a, yn → a và xn ≤ zn ≤ yn , ∀n ≥ N nếu zn → a. (−1)n Ví dụ: Chứng minh rằng hội tụ tới 0. 2n Ta có 1 (−1)n 1 − n < n < n, 2 2 2 1 1 lim − = 0. = lim n→∞ 2n n→∞ 2n (−1)n Vậy lim = 0. n→∞ 2n Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 127 / 148
  10. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.1.3. Tính toán dãy số Bài tập: Tìm giới hạn các dãy số sau n+1 √ 3 n 1) lim n. 2) lim . n→∞ n→∞ n sin n cos2 n − sin2 n 3) lim . 4) lim . n→∞ n n→∞ n n n 5) lim n(n − 2). 6) lim ln(n) ln(n + 2). n→∞ n→∞ n+1 n! 7) lim (−1)n . 8) lim . n→∞ n2 n→∞ nn Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 128 / 148
  11. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.2. Chuỗi số và các phép tính 5.2.1. Khái niệm chuỗi số Một chuỗi số là tổng vô hạn các số trong một dãy số a1 + a2 + a3 + ... + an + ... Tổng của n số hạng đầu Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an . là một tổng hữu hạn và có thể được tính bằng phép tính cộng thông thường. Nó được gọi là tổng riêng phần thứ n. Khi n lớn, ta hy vọng tổng riêng phần sẽ tiến gần đến một giới hạn số nào đó, và khi đó chuỗi số sẽ tiến đến giá trị đó. Đặt S = lim Sn . n→∞ Nếu S có giá trị hữu hạn thì chuỗi hội tụ về giá trị S. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 129 / 148
  12. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.2.1. Khái niệm chuỗi số ∞ 1 Ví dụ: Tính tổng của chuỗi 3n n=1 ∞ 1 1 1 1 Ta có = + + + .... 3n 3 9 27 n=1 Đây là tổng của cấp số nhân có số hạng đầu là a1 = 1/3 và công bội là q = 1/3. Theo công thức tổng n số hạng đầu của cấp số nhân 1 − qn Sn = a1 1−q n 1 1 − n→∞(1/3) lim 1 1 1 Vậy S = lim Sn = = = . n→∞ 3 1 − 1/3 3 2/3 2 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 130 / 148
  13. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.2.1. Khái niệm chuỗi số ∞ 1 Ví dụ: Tính tổng của chuỗi n2 +n n=1 1 1 1 Ta có 2 = − . Do đó n +n n n+1 n 1 Sn = k2 + k k=1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + ... + = − + − 1 2 2 3 n−1 n n n+1 1 =1− . n+1 1 Vậy S = lim Sn = 1 − lim = 1. n→∞ n→∞ n + 1 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 131 / 148
  14. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.2.1. Khái niệm chuỗi số Bài tập: Tính tổng của các chuỗi sau ∞ ∞ 2n (−1)n 1) . 2) . 3n 4n n=1 n=1 ∞ ∞ 2n − 3n 1 + (−4)n 3) . 4) . 6n 12n n=1 n=1 Bài tập: Tính tổng của các chuỗi sau ∞ ∞ 1 −6 5) 2−n . 6) . n 9n2 + 3n − 2 n=2 n=1 ∞ ∞ 1 − 2n 2 7) . 8) . n4 − 2n3 + n2 n2 − 1 n=2 n=2 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 132 / 148
  15. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.2.2. Giới hạn của chuỗi số ∞ ∞ Nếu an hội tụ, thì an → 0. Nếu an 0 thì an phân kì. n=1 n=1 Ví dụ: a) Chứng minh rằng chuỗi sau phân kì 1 2 3 n + + + ... + + ... 3 5 7 2n + 1 n 1 Do lim an = lim = = 0 nên chuỗi trên phân kì. n→∞ n→∞ 2n + 1 2 Ví dụ: b) Chứng minh rằng chuỗi phân kì sau có lim an = 0 n→∞ 1 1 1 1 1+ + + + ... + + ... 2 3 4 n 1 Ta có lim an = lim = 0. n→∞ n→∞ n Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 133 / 148
  16. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.2.3. Chuỗi số dương ∞ an+1 Định lý D’Alembert: Cho chuỗi dương an và lim = h. n→∞ an n=1 (i) Nếu h < 1 thì chuỗi hội tụ. (ii) Nếu h > 1 thì chuỗi phân kì. Ví dụ: ∞ 1 a) Chuỗi hội tụ vì n! n=1 an+1 n! 1 lim = lim = lim = 0. n→∞ an n→∞ (n + 1)! n→∞ n + 1 ∞ 2n b) Chuỗi phân kì vì n n=1 an+1 2n+1 n 2n lim = lim n = lim = 2. n→∞ an n→∞ (n + 1)2 n→∞ n + 1 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 134 / 148
  17. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.2.3. Chuỗi số dương ∞ √ n Định lý Cauchy: Cho chuỗi dương an và lim an = h. n→∞ n=1 (i) Nếu h < 1 thì chuỗi hội tụ. (ii) Nếu h > 1 thì chuỗi phân kì. Ví dụ: ∞ 3n n a) Chuỗi phân kì vì 2n + 1 n=1 √ n n 3n n 3n 3 lim an = lim = lim = . n→∞ n→∞ 2n + 1 n→∞ 2n + 1 2 ∞ 1 b) Chuỗi hội tụ vì nn n=1 √ n n 1 n 1 lim an = lim = lim = 0. n→∞ n→∞ n n→∞ n Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 135 / 148
  18. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.2.3. Chuỗi số dương Bài tập: Các chuỗi sau hội tụ hay phân kì? ∞ ∞ 2n − 1 3n − 1 1) √ . 2) . ( 2)n 4n − 3 n=1 n=1 ∞ ∞ n2 n! 3) . 4) . n! 2n n=1 n=1 Bài tập: Các chuỗi sau hội tụ hay phân kì? ∞ ∞ n+1 n 4n 2n 5) . 6) . 2n − 1 3n − 1 n=1 n=1 ∞ ∞ 2n−1 2n ln n 7) . 8) . nn nn n=1 n=1 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 136 / 148
  19. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.2.3. Chuỗi số dương ∞ ∞ an Cho an và bn là các chuỗi dương. Nếu tồn tại lim =k n→∞ bn n=1 n=1 ∞ ∞ với 0 < k < ∞ thì an , bn cùng hội tụ hoặc cùng phân kì. n=1 n=1 Ví dụ: 2n + 1 ∞ 2n+1 3n + 2 1 + 1/2n a) n+2 hội tụ vì lim = lim = 1. 3 n→∞ (2/3)n n→∞ 1 + 2/3n n=1 ∞ 2n 2n/(3n2 − 1) 2n2 2 b) phân kì vì lim = lim = . 3n2 − 1 n→∞ 1/n n→∞ 3n2 − 1 3 n=1 ∞ ∞ 1 1 và phân kì nếu 0 < α ≤ 1 và hội tụ nếu α > 1. nα αn n=1 n=1 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 137 / 148
  20. Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường 5.2.3. Chuỗi số dương ∞ ∞ Cho an và bn là các chuỗi dương và an ≤ bn với mọi n ∈ N . n=1 n=1 ∞ ∞ (i) Nếu bn hội tụ thì an hội tụ. n=1 n=1 ∞ ∞ (ii) Nếu an phân kì thì bn phân kì. n=1 n=1 Ví dụ: ∞ ∞ 1 1 1 1 a) n hội tụ do n < n và hội tụ. n2 n2 2 2n n=1 n=1 ∞ ∞ 1 1 1 1 b) √ phân kì do √ > và phân kì. n n n n n=1 n=1 Giảng viên Vũ Đỗ Huy Cường Giải tích 1: Hàm số một biến 138 / 148
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2