CHUYÊN ĐỀ 2
ĐẠI SỐ TỔ HỢP
A. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
I) QUY TẮC CỘNG V QUY TẮC NHN:
Bμi 1: Víi c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu:
1) Sè lÎ gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau?
2) Sè ch½n gåm 4 ch÷ sè bÊt kú?
Bμi 2: Cã 4 con ®−êng nèi liÒn ®iÓm A vμ ®iÓm B, cã 3 con ®−êng nèi liÒn ®iÓm B vμ ®iÓm
C. Ta muèn ®i tõ A ®Õn C qua B, råi tõ C trë vÒ A còng ®i qua B. Hái cã bao nhiªu c¸ch
chän lé tr×nh ®i vμ vÒ nÕu ta kh«ng muèn dïng ®−êng ®i lμm ®−êng vÒ trªn c¶ hai chÆng
AB vμ BC?
Bμi 3: Cã 5 miÕng b×a, trªn mçi miÕng ghi mét trong 5 ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4. LÊy 3 miÕng b×a
nμy ®Æt lÇn l−ît c¹nh nhau tõ tr¸i sang ph¶i ®Ó ®−îc c¸c sè gåm 3 ch÷ sè. Hái cã thÓ lËp
®−îc bao nhiªu sè cã nghÜa gåm 3 ch÷ sè vμ trong ®ã cã bao nhiªu sè ch½n?
Bμi 4: Cho 8 ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Tõ 8 ch÷ sè trªn cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè, mçi sè
gåm 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vμ kh«ng chia hÕt cho 10.
Bμi 5: Mét ng−êi cã 6 c¸i ¸o, trong ®ã cã 3 ¸o säc vμ 3 ¸o tr¾ng; cã 5 quÇn, trong ®ã cã 2
quÇn ®en; vμ cã 3 ®«i giμy, trong ®ã cã 2 ®«i giÇy ®en. Hái ng−êi ®ã cã bao nhiªu c¸ch chän
mÆc ¸o - quÇn - giμy, nÕu:
1) Chän ¸o, quÇn vμ giμy nμo còng ®−îc.
2) NÕu chän ¸o säc th× víi quÇn nμo vμ giμy nμo còng ®−îc; cßn nÕu chän ¸o tr¾ng
th× chØ mÆc víi quÇn ®en vμ ®i giμy ®en.
II) HON VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP:
Bμi 1: Cã n ng−êi b¹n ngåi quanh mét bμn trßn (n > 3). Hái cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp sao
cho:
1) Cã 2 ng−êi Ên ®Þnh tr−íc ngåi c¹nh nhau.
2) 3 ng−êi Ên ®Þnh tr−íc ngåi c¹nh nhau theo mét thø tù nhÊt ®Þnh
Bμi 2: Mét ®éi x©y dùng gåm 10 c«ng nh©n vμ 3 kü s−. §Ó lËp mét tæ c«ng t¸c cÇn chän 1
kü s− lμm tæ tr−ëng, 1 c«ng nh©n lμm tæ phã vμ 5 c«ng nh©n lμm tæ viªn. Hái cã bao nhiªu
c¸ch lËp tæ c«ng t¸c.
Bμi 3: Trong mét líp häc cã 30 häc sinh nam, 20 häc sinh n÷. Líp häc cã 10 bμn, mçi bμn
cã 5 ghÕ. Hái cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp chç ngåi nÕu:
a) C¸c häc sinh ngåi tuú ý.
b) C¸c häc sinh ngåi nam cïng 1 bμn, c¸c häc sinh n÷ ngåi cïng 1 bμn
Bμi 4: Víi c¸c sè: 0, 1, 2, , 9 lËp ®−îc bao nhiªu sè lÎ cã 7 ch÷ sè.
Bμi 5: Tõ hai ch÷ sè 1; 2 lËp ®−îc bao nhiªu sè cã 10 ch÷ sè trong ®ã cã mÆt Ýt nhÊt 3 ch÷ sè
1 vμ Ýt nhÊt 3 ch÷ sè 2.
Bμi 6: T×m tæng tÊt c¶ c¸c sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau ®−îc viÕt tõ c¸c ch÷ sè: 1, 2, 3, 4 ,
5
Bμi 7: Trong mét phßng cã hai bμn dμi, mçi bμn cã 5 ghÕ. Ng−êi ta muèn xÕp chç ngåi cho
10 häc sinh gåm 5 nam vμ 5 n÷. Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp chç ngåi nÕu:
1) C¸c häc sinh ngåi tuú ý.
2) C¸c häc sinh nam ngåi mét bμn vμ c¸c häc sinh n÷ ngåi mét bμn.
Bμi 8: Víi c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 6, 9 cã thÓ thμnh lËp ®−îc bao nhiªu sè chia hÕt cho 3 vμ
gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau
Bμi 9: Tõ c¸c ch÷ c¸i cña c©u: "TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT" cã bao nhiªu c¸ch
xÕp mét tõ (tõ kh«ng cÇn cã nghÜa hay kh«ng) cã 6 ch÷ c¸i mμ trong tõ ®ã ch÷ "T" cã mÆt
®óng 3 lÇn, c¸c ch÷ kh¸c ®«i mét kh¸c nhau vμ trong tõ ®ã kh«ng cã ch÷ "£"
Bμi 10: Cho A lμ mét tËp hîp cã 20 phÇn tö.
a) Cã bao nhiªu tËp hîp con cña A?
b) Cã bao nhiªu tËp hîp con kh¸c rçng cña A mμ cã sè phÇn tö lμ sè ch½n?
Bμi 11: 1) Cã bao nhiªu sè ch½n cã ba ch÷ sè kh¸c nhau ®−îc t¹o thμnh tõ c¸c ch÷ sè 1, 2,
3, 4, 5, 6?
2) Cã bao nhiªu sè cã ba ch÷ sè kh¸c nhau ®−îc t¹o thμnh tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5,
6 nμ c¸c sè ®ã nhá h¬n sè 345?
Bμi 12: Tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiÕt lËp tÊt c¶ c¸c sè cã 6 ch÷ sè kh¸c nhau. Hái trong
c¸c sè ®· thiÕt lËp ®−îc, cã bao nhiªu sè mμ hai ch÷ sè 1 vμ 6 kh«ng ®øng c¹nh nhau?
Bμi 13: Mét tr−êng tiÓu häc cã 50 häc sinh ®¹t danh hiÖu ch¸u ngoan B¸c Hå, trong ®ã cã 4
cÆp anh em sinh ®«i. CÇn chän mét nhãm 3 häc sinh trong sè 50 häc sinh trªn ®i dù §¹i héi
ch¸u ngoan B¸c Hå, sao cho trong nhãm kh«ng cã cÆp anh em sinh ®«i nμo. Hái cã bao
nhiªu c¸ch chän.
Bμi 14: Víi c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè cã ba ch÷ sè kh¸c
nhau vμ kh«ng lín h¬n 789?
Bμi 15: 1) Cho c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4. Hái cã thÓ thμnh lËp ®−îc bao nhiªu sè cã b·y ch÷ sè
tõ nh÷ng ch÷ sè trªn, trong ®ã ch÷ sè 4 cã mÆt ®óng ba lÇn, cßn c¸c ch÷ sè kh¸c cã mÆt
®óng mét lÇn.
2) Trong sè 16 häc sinh cã 3 häc sinh giái, 5 kh¸, 8 trung b×nh. Cã bao nhiªu c¸ch
chia sè häc sinh ®ã thμnh 2 tæ, mçi tæ 8 ng−êi sao cho ë mçi tæ ®Òu cã häc sinh giái vμ mçi
tæ cã Ýt nhÊt hai häc sinh kh¸.
Bμi 16: Sè nguyªn d−¬ng n ®−îc viÕt d−íi d¹ng: n =
δ
γ
β
α
7532 ...
Trong ®ã α, β, γ, δ lμ c¸c sè tù nhiªn
1) Hái sè c¸c −íc sè cña n lμ bao nhiªu?
2) p dông: TÝnh sè c¸c −íc sè cña 35280.
III) TON VỀ CC SỐ n
P, , :
k
n
Ak
n
C
Bμi 1: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh:
3
41
3
1
14
1
P
A
C
n
n
n<
+
−
−
Bμi 2: T×m c¸c sè ©m trong d·y sè x1, x2, , xn,  víi: xn =
nn
n
PP
A
4
143
2
44−
+
+
Bμi 3: Cho k, n lμ c¸c sè nguyªn vμ 4 ≤ k ≤ n; Chøng minh:
k
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
nCCCCCC 4
4321 464
+
−
−
−− =++++
Bμi 4: Cho n ≥ 2 lμ sè nguyªn. Chøng minh: Pn = 1 + P1 + 2P2 + 3P3 +  + (n - 1)Pn - 1
Bμi 5: Cho k vμ n lμ c¸c sè nguyªn d−¬ng sao cho k < n. Chøng minh r»ng:
1
1
11
2
1
1
−
−
−
−
−
−
−++++= k
k
k
k
k
n
k
n
k
nCC...CCC
VI) NHỊ THỨC NEWTON:
1332211 433323
−
−
−
−
=++++ nn
n
n
n
n
n
n
n.nC.n...C.C.C Bμi 1: Chøng minh r»ng:
Bμi 2: Khai triÓn vμ rót gän c¸c ®¬n thøc ®ång d¹ng tõ biÓu thøc:
()
ta sÏ ®−îc ®a thøc:P(x) = A
() ()
14109 111 x...xx ++++++ 0 + A1x + A2x2 +  +
A14x14
H·y x¸c ®Þnh hÖ sè A9
Bμi 3: 1) TÝnh (n ∈ N)
()
∫+
1
0
1dxx n
2) Tõ kÕt qu¶ ®ã chøng minh r»ng: 1
12
1
1
3
1
2
1
1
1
21
+
−
=
+
++++
+
n
C
n
...CC
n
n
nnn
Bμi 4: Chøng minh r»ng:
() ()
242 2112312 −
−=−+++ nn
nnn .nnCnn...C..C..
Bμi 5: TÝnh tæng S = (n ≥ 2)
()
n
n
n
nnnn nC...C.C.C.C 1
4321 1432 −
−++−+−
Bμi 6: Chøng minh r»ng:
1616
16
2
16
141
16
150
16
16 2333 =+−+− C...CCC
Bμi 7: T×m hÖ sè cña x5 trong khai triÓn cña biÓu thøc sau thμnh ®a thøc:
f(x) =
()
()()()
7654 12121212 +++++++ xxxx
Bμi 8: Trong khai triÓn cña
10
3
2
3
1⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+x thμnh ®a thøc:
P(x) = H·y t×m hÖ sè a
10
10
9
910 xaxa...xaa ++++ k lín nhÊt (0 ≤ k ≤ 10)
Bμi 9: T×m sè nguyªn d−¬ng n sao cho: .
243242 210 =++++ n
n
n
nnn C...CCC
Bμi 10: CMR:
(
122333 200120002000
2001
20004
2001
42
2001
20
2001 −=++++ C...CCC
Bμi 11: Víi mçi n lμ sè tù nhiªn, h·y tÝnh tæng:
1)
()
n
n
n
nnn C
n
...CCC 1
1
1
3
1
2
1210
+
−+−+−
2) nn
nnnnn C
n
...C.C.CC 2
1
1
2
4
1
2
3
1
2
2
1332210
+
+++++
Bμi 12: Cho ®a thøc P(x) = (3x - 2)10
1) T×m hÖ sè cña x2 trong khai triÓn trªn cña P(x)
2) TÝnh tæng cña c¸c hÖ sè trong khai triÓn trªn cña P(x)
Bμi 13: BiÕt tæng tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña khai triÓn nhÞ thøc:
(
)
n
x1
2+b»ng 1024 h·y t×m hÖ
sè a (a lμ sè tù nhiªn) cña sè h¹ng a.x12 trong khai triÓn ®ã.
Bμi 14: Trong khai triÓn nhÞ thøc:
n
xxx ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛+−15
28
3 h·y t×m sè h¹ng kh«ng phô thuéc vμo
x biÕt r»ng:
79
21 =++ −− n
n
n
n
n
nCCC
Bμi15: Chøng minh:
144332111 3242322 −
−
−−− =+++++ nn
nn
n
n
n
n
n
n
n.nnC...C.C.CC
Bμi 16: T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn cña biÓu thøc:
17
43
2
1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛+x
x
x ≠ 0
Bμi 17: Khai triÓn nhÞ thøc:
n
x
n
n
n
x
x
n
n
x
n
x
n
n
x
n
n
xx
CC...CC ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛+
−
−
−
−
−
−
−
−−−−
3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0
22
1
22222222
BiÕt r»ng trong khai triÓn ®ã vμ sè h¹ng thø t− b»ng 20n, t×m n vμ x
13 5nn CC =
Bμi 18: Trong khai triÓn:
21
3
3⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+a
b
b
a T×m sè h¹ng chøa a, b cã sè mò b»ng nhau.