Bài tập đại số tổ hợp

Chia sẻ: Nguyễn Thị Giỏi | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:11

Thêm vào BST

Báo xấu

685
lượt xem 184
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

VD: có 4 con đường nối liền điềm A và điểm B, có 3 con đường nối liền điểm B và điểm C. Ta muốn đi từ A đến C qua B, rồi từ C trở về A cũng đi qua B. Hỏi có bao nhiêu cách chọn lộ trình đi và nếu ta không muốn dùng đường đi làm đường về trên của hai chặng AB và BC

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập đại số tổ hợp

CHUYÊN ĐỀ 2 ĐẠI SỐ TỔ HỢP A. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP I) QUY TẮC CỘNG V QUY TẮC NH N: Bμi 1: Víi c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu: 1) Sè lÎ gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau? 2) Sè ch½n gåm 4 ch÷ sè bÊt kú? Bμi 2: Cã 4 con ®−êng nèi liÒn ®iÓm A vμ ®iÓm B, cã 3 con ®−êng nèi liÒn ®iÓm B vμ ®iÓm C. Ta muèn ®i tõ A ®Õn C qua B, råi tõ C trë vÒ A còng ®i qua B. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän lé tr×nh ®i vμ vÒ nÕu ta kh«ng muèn dïng ®−êng ®i lμm ®−êng vÒ trªn c¶ hai chÆng AB vμ BC? Bμi 3: Cã 5 miÕng b×a, trªn mçi miÕng ghi mét trong 5 ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4. LÊy 3 miÕng b×a nμy ®Æt lÇn l−ît c¹nh nhau tõ tr¸i sang ph¶i ®Ó ®−îc c¸c sè gåm 3 ch÷ sè. Hái cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè cã nghÜa gåm 3 ch÷ sè vμ trong ®ã cã bao nhiªu sè ch½n? Bμi 4: Cho 8 ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Tõ 8 ch÷ sè trªn cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè, mçi sè gåm 4 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau vμ kh«ng chia hÕt cho 10. Bμi 5: Mét ng−êi cã 6 c¸i ¸o, trong ®ã cã 3 ¸o säc vμ 3 ¸o tr¾ng; cã 5 quÇn, trong ®ã cã 2 quÇn ®en; vμ cã 3 ®«i giμy, trong ®ã cã 2 ®«i giÇy ®en. Hái ng−êi ®ã cã bao nhiªu c¸ch chän mÆc ¸o - quÇn - giμy, nÕu: 1) Chän ¸o, quÇn vμ giμy nμo còng ®−îc. 2) NÕu chän ¸o säc th× víi quÇn nμo vμ giμy nμo còng ®−îc; cßn nÕu chän ¸o tr¾ng th× chØ mÆc víi quÇn ®en vμ ®i giμy ®en. II) HO N VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP: Bμi 1: Cã n ng−êi b¹n ngåi quanh mét bμn trßn (n > 3). Hái cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp sao cho: 1) Cã 2 ng−êi Ên ®Þnh tr−íc ngåi c¹nh nhau. 2) 3 ng−êi Ên ®Þnh tr−íc ngåi c¹nh nhau theo mét thø tù nhÊt ®Þnh Bμi 2: Mét ®éi x©y dùng gåm 10 c«ng nh©n vμ 3 kü s−. §Ó lËp mét tæ c«ng t¸c cÇn chän 1 kü s− lμm tæ tr−ëng, 1 c«ng nh©n lμm tæ phã vμ 5 c«ng nh©n lμm tæ viªn. Hái cã bao nhiªu c¸ch lËp tæ c«ng t¸c. Bμi 3: Trong mét líp häc cã 30 häc sinh nam, 20 häc sinh n÷. Líp häc cã 10 bμn, mçi bμn cã 5 ghÕ. Hái cã bao nhiªu c¸ch s¾p xÕp chç ngåi nÕu: a) C¸c häc sinh ngåi tuú ý. b) C¸c häc sinh ngåi nam cïng 1 bμn, c¸c häc sinh n÷ ngåi cïng 1 bμn Bμi 4: Víi c¸c sè: 0, 1, 2, , 9 lËp ®−îc bao nhiªu sè lÎ cã 7 ch÷ sè. Bμi 5: Tõ hai ch÷ sè 1; 2 lËp ®−îc bao nhiªu sè cã 10 ch÷ sè trong ®ã cã mÆt Ýt nhÊt 3 ch÷ sè 1 vμ Ýt nhÊt 3 ch÷ sè 2.
Bμi 6: T×m tæng tÊt c¶ c¸c sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau ®−îc viÕt tõ c¸c ch÷ sè: 1, 2, 3, 4 , 5 Bμi 7: Trong mét phßng cã hai bμn dμi, mçi bμn cã 5 ghÕ. Ng−êi ta muèn xÕp chç ngåi cho 10 häc sinh gåm 5 nam vμ 5 n÷. Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp chç ngåi nÕu: 1) C¸c häc sinh ngåi tuú ý. 2) C¸c häc sinh nam ngåi mét bμn vμ c¸c häc sinh n÷ ngåi mét bμn. Bμi 8: Víi c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 6, 9 cã thÓ thμnh lËp ®−îc bao nhiªu sè chia hÕt cho 3 vμ gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau Bμi 9: Tõ c¸c ch÷ c¸i cña c©u: "TRƯỜNG THPT LÝ THƯỜNG KIỆT" cã bao nhiªu c¸ch xÕp mét tõ (tõ kh«ng cÇn cã nghÜa hay kh«ng) cã 6 ch÷ c¸i mμ trong tõ ®ã ch÷ "T" cã mÆt ®óng 3 lÇn, c¸c ch÷ kh¸c ®«i mét kh¸c nhau vμ trong tõ ®ã kh«ng cã ch÷ "£" Bμi 10: Cho A lμ mét tËp hîp cã 20 phÇn tö. a) Cã bao nhiªu tËp hîp con cña A? b) Cã bao nhiªu tËp hîp con kh¸c rçng cña A mμ cã sè phÇn tö lμ sè ch½n? Bμi 11: 1) Cã bao nhiªu sè ch½n cã ba ch÷ sè kh¸c nhau ®−îc t¹o thμnh tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6? 2) Cã bao nhiªu sè cã ba ch÷ sè kh¸c nhau ®−îc t¹o thμnh tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6 nμ c¸c sè ®ã nhá h¬n sè 345? Bμi 12: Tõ c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiÕt lËp tÊt c¶ c¸c sè cã 6 ch÷ sè kh¸c nhau. Hái trong c¸c sè ®· thiÕt lËp ®−îc, cã bao nhiªu sè mμ hai ch÷ sè 1 vμ 6 kh«ng ®øng c¹nh nhau? Bμi 13: Mét tr−êng tiÓu häc cã 50 häc sinh ®¹t danh hiÖu ch¸u ngoan B¸c Hå, trong ®ã cã 4 cÆp anh em sinh ®«i. CÇn chän mét nhãm 3 häc sinh trong sè 50 häc sinh trªn ®i dù §¹i héi ch¸u ngoan B¸c Hå, sao cho trong nhãm kh«ng cã cÆp anh em sinh ®«i nμo. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän. Bμi 14: Víi c¸c ch÷ sè 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè cã ba ch÷ sè kh¸c nhau vμ kh«ng lín h¬n 789? Bμi 15: 1) Cho c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4. Hái cã thÓ thμnh lËp ®−îc bao nhiªu sè cã b·y ch÷ sè tõ nh÷ng ch÷ sè trªn, trong ®ã ch÷ sè 4 cã mÆt ®óng ba lÇn, cßn c¸c ch÷ sè kh¸c cã mÆt ®óng mét lÇn. 2) Trong sè 16 häc sinh cã 3 häc sinh giái, 5 kh¸, 8 trung b×nh. Cã bao nhiªu c¸ch chia sè häc sinh ®ã thμnh 2 tæ, mçi tæ 8 ng−êi sao cho ë mçi tæ ®Òu cã häc sinh giái vμ mçi tæ cã Ýt nhÊt hai häc sinh kh¸. α β γ δ Bμi 16: Sè nguyªn d−¬ng n ®−îc viÕt d−íi d¹ng: n = 2 .3 .5 .7 Trong ®ã α, β, γ, δ lμ c¸c sè tù nhiªn 1) Hái sè c¸c −íc sè cña n lμ bao nhiªu? 2) p dông: TÝnh sè c¸c −íc sè cña 35280.
k k III) TO N VỀ C C SỐ Pn , A n , C n : n− 3 C n −1 1 Bμi 1: Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: < A 4 +1 n 14P3 4 A 143 Bμi 2: T×m c¸c sè ©m trong d·y sè x1, x2, , xn, víi: xn = n + 4 − Pn+ 2 4Pn Bμi 3: Cho k, n lμ c¸c sè nguyªn vμ 4 ≤ k ≤ n; Chøng minh: C k + 4C k−1 + 6C k− 2 + 4C k− 3 + C k−4 = C k+4 n n n n n n Bμi 4: Cho n ≥ 2 lμ sè nguyªn. Chøng minh: Pn = 1 + P1 + 2P2 + 3P3 + + (n - 1)Pn - 1 Bμi 5: Cho k vμ n lμ c¸c sè nguyªn d−¬ng sao cho k < n. Chøng minh r»ng: C k = C k−1 + C k−1 + ... + C k−1 + C k−1 n n −1 n− 2 k k −1 VI) NHỊ THỨC NEWTON: 1 n −1 2 n− 2 3 n− 3 n n −1 Bμi 1: Chøng minh r»ng: C n 3 + 2.C n 3 + 3.C n 3 + ... + n.C n = n.4 Bμi 2: Khai triÓn vμ rót gän c¸c ®¬n thøc ®ång d¹ng tõ biÓu thøc: (1 + x )9 + (1 + x )10 + ... + (1 + x )14 ta sÏ ®−îc ®a thøc:P(x) = A0 + A1x + A2x2 + + A14x14 H·y x¸c ®Þnh hÖ sè A9 1 ∫ (1 + x ) n Bμi 3: 1) TÝnh dx (n ∈ N) 0 1 1 1 2 1 n 2 n +1 − 1 2) Tõ kÕt qu¶ ®ã chøng minh r»ng: 1 + C n + C n + ... + Cn = 2 3 n+1 n+1 2 4 n− 2 Bμi 4: Chøng minh r»ng: 2.1.C n + 3.2.C n + ... + n(n − 1)C n = n(n − 1).2 n 1 2 3 4 n −1 Bμi 5: TÝnh tæng S = C n − 2.C n + 3.C n − 4.C n + ... + ( − 1) nC n n (n ≥ 2) 16 Bμi 6: Chøng minh r»ng: 3 C16 − 315 C16 + 314 C16 − ... + C16 = 216 0 1 2 16 Bμi 7: T×m hÖ sè cña x5 trong khai triÓn cña biÓu thøc sau thμnh ®a thøc: 4 5 6 7 f(x) = (2x + 1) + ( 2x + 1) + (2x + 1) + ( 2x + 1) 10 1 2 Bμi 8: Trong khai triÓn cña ⎛ + x ⎞ ⎜ ⎟ thμnh ®a thøc: ⎝3 3 ⎠ 9 10 P(x) = a 0 + a 1 x + ... + a 9 x + a 10 x H·y t×m hÖ sè ak lín nhÊt (0 ≤ k ≤ 10) 0 1 2 n n Bμi 9: T×m sè nguyªn d−¬ng n sao cho: C n + 2C n + 4C n + ... + 2 C n = 243 .
0 2 2 4 4 Bμi 10: CMR: C 2001 + 3 C 2001 + 3 C 2001 + ... + 3 2000 ( ) C 2000 = 2 2000 2 2001 − 1 2001
Bμi 11: Víi mçi n lμ sè tù nhiªn, h·y tÝnh tæng: 0 1 1 1 2 1 1) C n − C n + C n − ... + (− 1) n Cn n 2 3 n+1 0 1 1 1 2 2 1 3 3 1 2) C n + C n .2 + C n .2 + C n 2 + ... + Cn 2n n 2 3 4 n+1 Bμi 12: Cho ®a thøc P(x) = (3x - 2)10 1) T×m hÖ sè cña x2 trong khai triÓn trªn cña P(x) 2) TÝnh tæng cña c¸c hÖ sè trong khai triÓn trªn cña P(x) ( 2 )n Bμi 13: BiÕt tæng tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña khai triÓn nhÞ thøc: x + 1 b»ng 1024 h·y t×m hÖ sè a (a lμ sè tù nhiªn) cña sè h¹ng a.x12 trong khai triÓn ®ã. 28 n ⎛ − ⎞ Bμi 14: Trong khai triÓn nhÞ thøc: ⎜ x 3 x + x 15 ⎟ h·y t×m sè h¹ng kh«ng phô thuéc vμo ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ n −1 n x biÕt r»ng: C n + C n + C n − 2 = 79 n Bμi15: Chøng minh: 2 n−1 C1 + 2 n−1 C n + 3.2 n− 3 C n + 4.2 n−4 C 4 + ... + nC n = n.3 n−1 n 2 3 n n 17 ⎛ 1 4 3⎞ Bμi 16: T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn cña biÓu thøc: ⎜ + x ⎟ x≠0 ⎜ 2 ⎟ ⎝ x ⎠ Bμi 17: Khai triÓn nhÞ thøc: ⎛ x −1 −x ⎞ n ⎛ x −1 ⎞ ⎛ x −1 ⎞ n n −1 x x −1 ⎛ − x ⎞ n −1 ⎛ −x ⎞ n − n⎜ 3 ⎟ ⎜2 2 + 2 2 ⎟ = C 2 + ... + C n 2 2 ⎜ 2 3 ⎟ 0⎜ 2 ⎟ 1⎜ 2 ⎟ 3 n −1 + Cn 2 2 + Cn 2 ⎜ ⎟ n⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 3 1 BiÕt r»ng trong khai triÓn ®ã C n = 5C n vμ sè h¹ng thø t− b»ng 20n, t×m n vμ x 21 ⎛ a b ⎞ Bμi 18: Trong khai triÓn: ⎜ 3 + 3 ⎟ T×m sè h¹ng chøa a, b cã sè mò b»ng nhau. ⎝ b a⎠
B. B I TẬP TỰ LUYỆN Bμi 1. Víi c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5, cã thÓ lËp ®−îc bμo nhiªu sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau? Bμi 2. Dïng 5 ch÷ sè 2,3,4,6,8 ®Ó viÕt thμnh sè gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau. Hái: a. B¾t dÇu bëi ch÷ sè 2. b. B¾t ®Çu bëi ch÷ sè 36 c. B¾t ®Çu bëi ch÷ sè 482 Bμi 3. Dïng 6 ch÷ sè 1,2,3,4,5,6 ®Ó viÕt thμnh sè tù nhiªn gåm 4 ch÷ sè kh¸c nhau. Hái: a. Cã bao nhiªu sè nh− vËy b. Cã bao nhiªu sè b¾t ®Çu bëi ch÷ sè 1 Bμi 4. Cho 8 ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6,7. Hái cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè cã 6 ch÷ sè kh¸c nhau trong ®ã nhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt ch÷ sè 4. Bμi 5. Víi c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5,6 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè cã 5 ch÷ sè kh¸c nhau trong ®ã nhÊt thiÕt ph¶i cã mÆt ch÷ sè 5. Bμi 6. Tõ c¸c ch÷ sè 1,2,3,4,5,6,7,8,9 thiÕt lËp tÊt c¶ c¸c sè cã 9 ch÷ sè kh¸c nhau. Hái trong c¸c sè thiÕt lËp ®−îc cã bao nhiªu sè mμ ch÷ sè 9 ®øng chÝnh gi÷a. Bμi 7. Cho A = {0,1,2,3,4,5} cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè ch½n, mçi sè cã 4 ch÷ sè kh¸c nhau. Bμi 8. a. Tõ c¸c ch÷ sè 4,5,6,7 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè cã c¸c ch÷ sè ph©n biÖt. b. Tõ c¸c ch÷ sè 0,1,2,3,4,5 cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè ch½n gåm 5 ch÷ sè ®«i mét kh¸c nhau? Bμi 9. Cho tËp E = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Hái cã bao nhiªu sè tù nhiªn gåm 5 ch÷ sè kh¸c nhau chia hÕt cho 5? Bμi 10. Mét tËp thÓ gåm 14 ng−êi gåm 6 nam vμ 8 n÷, ng−êi ta muèn chän 1 tæ c«ng t¸c gåm 6 ng−êi. T×m sè c¸ch chän sao cho trong tæ ph¶i cã c¶ nam vμ n÷? Bμi 11. Mét nhãm häc sinh gåm 10 ng−êi, trong ®ã cã 7 nam vμ 3 n÷. Hái cã bao nhiªu c¸ch xÕp 10 hoc sinh trªn thμnh 1 hμng däc sao cho 7 häc sinh nam ph¶i ®øng liÒn nhau? Bμi 12. Cã mét hép ®ùng 2 viªn bi ®á, 3 viªn bi tr¾ng, 5 viªn bi vμng. Chon ngÉu nhiªn 4 viªn bi lÊy tõ hép ®ã. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän ®Ó trong sè viªn bi lÊy ra kh«ng ®ñ 3 mμu? Bμi 13. Mét líp cã 20 häc sinh trong ®ã cã 2 c¸n bé líp. Hái cã bao nhiªu c¸ch cö 3 ng−êi ®i dù héi nghÞ sinh viªn cña tr−êng sao cho trong 3 ng−êi cã Ýt nhÊt mét c¸n bé líp? Bμi 14. Mét ®éi v¨n nghÖ cã 20 ng−êi trong ®ã cã 10 nam vμ 10 n÷. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän ra 5 ng−êi sao cho: 1. Cã ®óng 2 ng−êi nam trong 5 ng−êi ®ã 2. Cã Ýt nhÊt 2 nam vμ Ýt nhÊt 1 n÷ trong 5 ng−êi ®ã Bμi 15. Cã 5 nhμ To¸n häc nam, 3 nhμ To¸n häc n÷ vμ 4 nhμ VËt lý nam. LËp mét ®oμn c«ng t¸c cÇn cã c¶ nam vμ n÷, cÇn cã c¶ nhμ To¸n häc vμ nhμ VËt lý. Hái cã bao nhiªu c¸ch?
Bμi 16. Mét líp häc cã 30 häc sinh nam vμ 15 häc sinh n÷. Cã 6 häc sinh ®−îc chä ra ®Ó lËp mét tèp ca. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän kh¸c nhau. 1. NÕu ph¶i cã Ýt nhÊt 2 n÷. 2. NÕu ph¶i chän tuú ý. Bμi 17. Mét tæ häc sinh gåm 7 nam vμ 4 n÷. Gi¸o viªn muèn chän 3 häc sinh xÕp vμo bμn ghÕ cña líp, trong ®ã cã Ýt nhÊt 1 nam. Hái cã bao nhiªu c¸ch chän? Bμi 18. Chøng minh r»ng: . Bμi 19. Chøng minh r»ng: Bμi 20. Víi n lμ sè nguyªn d−¬ng, chøng minh hÖ thøc sau: Bμi 21. Chøng minh r»ng: Bμi 22. TÝnh tæng: Bμi 23. TÝnh tæng: Bμi 24. Chøng minh r»ng: Bμi 25. Cho n lμ mét sè nguyªn d−¬ng: 1 a. TÝnh : I = ∫ (1 + x) n dx 0 b. TÝnh tæng: Bμi 26. T×m sè nguyªn d−¬ng n sao cho: Bμi 27. T×m sè nguyªn d−¬ng n sao cho: Bμi 28. T×m sè tù nhiªn n th¶o m·n ®¼ng thøc sau: Bμi 29. TÝnh tæng: , biÕt r»ng, víi n lμ sè nguyªn d−¬ng: Bμi 30. T×m sè nguyªn d−¬ng n sao cho:
Bμi 31. T×m hÖ sè cña x8 trong khai triÓn thμnh ®a thøc cña: Bμi 32. Gäi a3n - 3 lμ hÖ sè cña x3n - 3 trong khai triÓn thanh ®a thøc cña:(x2 + 1)n(x + 2)n. T×m n ®Ó a3n - 3 = 26n Bμi 33. T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x26 trong khai triÓn nhÞ thøc Newton cña n ⎛1 7 ⎞ ⎜ 4 +x ⎟ ⎝x ⎠ BiÕt r»ng: C2 n+1 + C2 n+1 + ... + C2 n+1 = 2 − 1 1 2 n 20 Bμi 34. T×m c¸c sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn nhÞ thøc Newton cña: víi x > 0 Bμi 35. T×m sè h¹ng thø 7 trong khai triÓn nhÞ thøc: ; Bμi 36. Cho : Sau khi khai triªn vμ rót gän th× biÓu thøc A sÏ gåm bao nhiªu sè h¹ng? Bμi 37. T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x8 trong khai triÓn nhÞ thøc Newton cña , biết rằng: Bμi 38. khai triÓn biÓu thøc (1 - 2x)n ta ®−îc ®a thøc cã d¹ng: . Tìm hệ số của , biết ao+a1+a2 = 71 B i 39. Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức: n ⎛ 1⎞ B i 40. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức ⎜ x 2 + 3 ⎟ ⎝ x ⎠
Biết rằng: B i 41. Giải các phương trình: B i 42. Giải các hệ phương trình: B i 43. Giải các bất phương trình: