Bài tập lớn: Các bài toán giải phương trình

Chia sẻ: Vkd Yenthanh Thanh | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:32

Thêm vào BST

Báo xấu

496
lượt xem 81
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Các giá trị của các biến số ở đó hai hàm số bằng nhau được gọi là nghiệm số của phương trình. Việc tìm ra các nghiệm số của phương trình gọi là giải phương trình. Nghiệm số, nếu tồn tại, có thể tìm thấy bằng biến đổi toán học và biểu diễn bằng các hàm toán học cơ bản hoặc tìm thấy dưới dạng số bằng phương pháp số, ngay cả khi không thể biểu diễn bằng hàm toán học cơ bản....

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài tập lớn: Các bài toán giải phương trình

Bài tập lớn: các bài toán giải phương trình
MỤC LỤC Bài tập lớn: các bài toán giải phương trình...........................................................1 MỤC LỤC...............................................................................................................2 Bài tập lớn Bài 1: Tìm khoảng cách ly nghiệm thực của các phương trình. 1) x2 – 4x – 1= 0 2) log10x – 3x +5 = 0 4) x3 – 9x2 + 18x -10 = 0 3) x – cosx = 0 Lời giải : f (x) = x2 – 4x – 1 1) f’(x) = 4x3 - 4 f’(x) = 0 => x3 = 1 => x = 1 Bảng biến thiên: X -∞ 1 +∞
f (x) -∞ 0 +∞ f (x) -4 Ta có : Khoảng phân ly nghiệm 1[ -1 ; 0 ] f (0) = - 1 < 0 f (-1) = 4 > 0 f (1) = - 4 < 0 Khoảng phân ly nghiệm 2 [ 1 ; 2 ] f (2) = 7 > Vậy nghiệm thực của phương trình là: [ -1 ; 0 ] và [ 1 ; 2 ]. 2) log10x – 3x +5 = 0 y log10x = 3x +5 Đặt: y1 = log10x y2 = 3x +5 1 0 x   -1 1 2 -1 -2 Từ đồ thị ta có: Khoảng phân ly nghiệm [ 1 ; 2 ] f (1) = 2 > 0 f (2) = - 0.7 < 0 3) x – cosx = 0 y Đặt: y1 = x y2 = cosx  . 0  x      Từ đồ thị ta có:
Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ;1 ] f(0) = 0.46 > 0 f(1) = - 1 < 0 4) x3 – 9x2 + 18x -10 = 0 f (x) = x3 – 9x2 + 18x -10 f’(x) = 3 x2 – 18x -18 f’(x) = 0 => x1= 4.73 x2 = 1.26 Bảng biến thiên: X 1.26 4.73 +∞ f (x) 0 0 +∞ f (x) -∞ 0.39 -20.39 Ta có : Khoảng phân ly nghiệm 1[-1;1,27 ] f (-1) = -38 0 Khoảng phân ly nghiệm 2 [ 1,27; 4,73] f (1,27) = 0,3922 > 0 f (4,73) = -20,39 < 0 Khoảng phân ly nghiệm 3 [ 4,73; 7] f (4,73) = - 20,39 < 0 f (7) = 18 > 0 Vậy nghiệm thực của phương trình là: [-1;1,27 ] ; [ 1,27; 4,73]; [ 4,73; 7] Bài 2: Dùng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng của x3 + 3x2 - 3 = 0 với độ chính xác 10-3, biết khoảng phân ly nghiệm (-3 ; -2). Lời giải : Ta có: f (x) = x3 + 3x2 - 3 f’ (x) = 3 x2 +6x f’(x) = 0 => x1 = 0 x2 = -2 Bảng biến thiên: X -2 0 +∞ f (x) 0 0 +∞ f (x) -∞ 1 -3 Ta có : Khoảng phân ly nghiệm [ -3; -2] f (-3) = - 3 < 0 f (-2) = 1 > 0
Áp dụng phương pháp chia đôi ta có: (−3) + (−2) a+b 2 C1 = 2 = = -2.5 => F1(C1) = 0.125 >0 => Khoảng phân ly nghiệm [ -3;-2.5 ] (−3) + (−2.5) 2 C2 = = -2.75 => F2(C2) = -1.109 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.75; -2.5 ] (−2.75) + (−2.5) 2 C3 = = -2.625 => F3(C3) = - 0.416 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.625; -2.5 ] (−2.625) + (−2.5) 2 C4 = = -2.5625 => F4(C4) = - 0.127 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.5 ] (−2.5625) + (−2.5) 2 C5 = = -2.53125 => F5(C5) = 0.004 >0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5625; -2.53125 ] C6 = -2.546875 => F6(C6) = - 0.061 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.546875; -2.53125 ] C7 = -2.5390625=> F7(C7) = - 0.029 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.5390625; -2.53125 ] C8 = -2.53515=> F8(C8) = - 0.012 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.53515; -2.5390625 ] C9 = -2.537106=> F9(C9) = - 0.020 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.537106; -2.5390625 ] C10 = -2.538084=> F10(C10) = - 0.024 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [-2.538084; -2.5390625 ] ξ = - 2.538084 Ta lấy nghiệm gần đúng: |α – bn| ≤ bn - an = |-2.5390625 – Đánh giá sai số: | = 9,785.10 -3 -4 (-2.538084) < 10
Bài 3: Dùng phương pháp lặp, tìm nghiệm đúng với độ chính xác 10-3 a) x3 + 3x2 – 3 = 0 , biết khoảng cách ly nghiệm là ( -2.75; -2.5) 1 = x +1 b) x Lời giải : , biết khoảng cách ly nghiệm là [ -2.75; -2.5] a) x3 + 3x2 – 3 = 0 x3 = 3 - 3x2 (3 - 3x2 )1/3 nên ta chọn hàm lặp ω(x) = (3 - 3x2 )1/3 | f ’ (x) | ≤ 0.045< 1 Ta nhận thấy Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ -2.75; -2.5] Do f (- 2.5) < 0 nên ta chọn đầu b = - 2.5 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = - 2.5 Ta có quá trình lặp . 1 1 1 Đặt ω(x) = (3 - 3x ) ω(x) = ’ . 1/3 -2/3 = 2 3 (3 – 3x) (3 − 3x 2 ) 2 3 3 Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ -2.75; -2.5] . Vì α 1 xo = - 2.5 ; q = € [ -2.75; -2.5] 3 1 ω(x) | ω ’ ∀ x € [ -2.75; -2.5]; ’(x) < 0 ∀ x € [ -2.75; -2.5] ta có: | ≤ 3 xn + 1 = (3 - 3x2 )1/3 xo = - 2.5 x1 = (3 – 3.(-2.5)2 )1/3 = -2.5066 x2 = (3 – 3.( x1)2 )1/3 = -2.5119 x3 = (3 – 3.( x2)2 )1/3 = -2.5161 x4 = (3 – 3.( x3)2 )1/3 = -2.5194 x5 = (3 – 3.( x4)2 )1/3 = -2.5221 x6 = (3 – 3.( x5)2 )1/3 = -2.5242 x7 = (3 – 3.( x6)2 )1/3 = -2.5259 x8 = (3 – 3.( x7)2 )1/3 = -2.5272
x9 = (3 – 3.( x8)2 )1/3 = -2.5282 x10= (3 – 3.( x9)2 )1/3 = -2.590 x11 = (3 – 3.( x10)2 )1/3 = -2.5296 x12 = (3 – 3.( x11)2 )1/3 = -2.5301 ξ = - 2.5301 Ta lấy nghiệm gần đúng: q |α -x | = 1− q | x12 - x11 | = 2.5.10 - 4 < 10-3 Đánh giá sai số: 12 1 x +1 = b) x 1 x +1 - Đặt f(x) = x Từ đồ thị ta có : f (0.7) = - 0.12473 < 0 f (0.8) = 0.09164 > 0  f (0.7) . f (0.8) < 0 . Vậy ta có khoảng phân ly nghiệm là [ 0.7; 0.8] Ta có: 1 = (x + 1 ) - 1/2 x = x +1 1 1 1 Đặt ω(x) = (x + 1 ) ω(x) = ’ 2. - 1/2 - 3/2 - 2 (x + 1) =- ( x + 1)3 nên ta chọn hàm lặp ω(x) = (x + 1 ) - 1/2 | f ’ (x) | ≤ 0.4141< 1 Ta nhận thấy Để bắt đầu quá trình lặp ta chọn xo là 1 số bất kỳ € [ 0.7; 0.8] Do f (0.7) < 0 nên ta chọn đầu b = 0.8 cố định, chọn xấp xỉ đầu x0 = 0.7. Ta có quá trình lặp . Vì α € [ 0.7; 0.8] q = 0.4141 1 ω(x) | ∀ x € [ 0.7; 0.8] ; ω(x) < 0 ∀ x € [ 0.7; 0.8] ’ ’ ta có: | ≤ 2 xn + 1 = (x + 1 ) -1/2 xo = 0.7 x1 = (0.7 + 1 ) -1/2 = 0.766964988 x2 = (x1+ 1 ) -1/2 = 0.75229128
x3 = (x2+ 1 ) -1/2 = 0.755434561 x4 = (x3+ 1 ) -1/2 = 0.754757917 ξ = 0.754757917 Ta lấy nghiệm gần đúng: q |α -x| = 1− q | x4 – x3 | = 4,7735.10-4 < 10-3 Đánh giá sai số: 4 Bài 4: Dùng phương pháp dây cung và tiếp tuyến, tìm nghiệm đúng với độ -2 chính xác 10 a) x3 + 3x2 + 5 = 0 b) x4 – 3x + 1 = 0 Lời giải : a) x3 + 3x2 + 5 = 0 Tìm khoảng phân ly nghiệm của phương trình: f (x) = x3 + 3x2 + 5 x3 = 5 - 3x2 Đặt y1 = x3 y2 = 5 - 3x2 y -2  0 1 x -1 -2 Từ đồ thị ta có: f (-2 ) = - 9 < 0
Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1 ] f (-1 ) = 1 > 0 Vì f (-2 ) . f (-1 ) < 0 * Áp dụng phương pháp dây cung ta có: Do f (-2 ) = - 9 < 0 => chọn xo = -2 f ( x0 ).(b − a ) x1 = xo – f (b) − f (a) = -1.1 f (x1) = 0.036 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.1 ] f ( x1 ).(b − a) x2 = x1 – f (b) − f (a) = -1.14 f (x2) = 0.098 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.14 ] f ( x 2 ).(b − a ) x3 = x2 – f (b) − f (a) = -1.149 f (x3) = 0.0036> 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ - 2 ; -1.149 ] x4 = -1.152 => f (x4) = 0.015> 0 => Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ; -1.152 ] x5 = -1.1534 => f (x5) = 0.0054 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ;-1.1534 ] x6 = -1.1539 => f (x6) = -1.1539 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [- 2 ;-1.1539 ]. ξ = - 1.53 Ta chọn nghiệm gần đúng | ξ - x6 | ≤ | f ( x) | với m là số dương : 0 < m ≤ f’(x) Đánh giá sai số: m | ξ - x6 | ≤ ∀ x € [-2 ;-1] 1.36 .10 -3 < 10 -2 * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) ta có: f ’(-2) = 19 > 0 f ’’(-2) = -12 < 0 => f ’(-2) . f ’’(-2) < 0 nên ta chọn x0 = -2 x0 = -2 ta có: Với
f ( x0 ) x1 = x0 - f ' ( x ) = -1.4 0 f ( x1 ) x2 = x1 - f ' ( x ) = -1.181081081 1 f ( x2 ) x3 = x2 - f ' ( x ) = -1.154525889 2 f ( x3 ) x4 = x3 - f ' ( x ) = -1.15417557 3 ξ = - 1.154 Ta chọn nghiệm gần đúng | ξ - x4 | ≤ | f ( x) | với m là số dương : | f’(x) | ≥ m > 0 Đánh giá sai số: m | ξ - x4 | ≤ ∀ x € [-2 ;-1] 1.99 .10 - 4 < 10 -2 b) x4 – 3x + 1 = 0 Tìm khoảng phân ly nghiệm : f (x) = x4 – 3x + 1 3 3 f’(x) = 4x3 - 3 f’(x) = 0 => => x = = 0.75 3 4 Bảng biến thiên: 3 X -∞ +∞ 0.75 f (x) -∞ 0 +∞ f (x) - 1.044 Ta có : f (0) = 1 > 0 Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 1 ] ; [ 1; 2 ] f (1) = -1< 0 f (2) = 11> 0 * Áp dụng phương pháp dây cung trong khoảng [ 0 ; 1 ] ta có: xo Do f (1 ) = - 1 < 0 => chọn =1 f ( x0 ).(b − a ) x1 = xo – = 0.5 f (b) − f (a )
f (x1) = - 0.4375 Khoảng phân ly nghiệm [ 0; 0.5 ] f ( x1 ).(b − a) x2 = x1 – = 0.3478 f (b) − f (a ) f (x2) = - 0.0288 Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 0.3478] f ( x 2 ).(b − a ) x3 = x2 – = 0.3380 f (b) − f (a ) f (x3) = - 0.00095 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [ 0 ; 0.3380] x4 = 0.3376 => f (x4) = 0.0019 > 0 => Khoảng phân ly nghiệm [0.0019; 0.3380] ξ = 0.3376 Ta chọn nghiệm gần đúng | ξ - x4 | ≤ | f ( x) | với m là số dương : 0 < m ≤ f’(x) Đánh giá sai số: m | ξ - x4 | ≤ ∀x € 1.9.10 - 4 < 10 -2 * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) trong khoảng [ 0 ; 1 ] ta có: f ’(1) = 1 > 0 f ’’(1) = 12 > 0 => f ’(1) . f ’’(1) > 0 nên ta chọn x0 = 0 x0 = 0 ta có: Với f ( x0 ) x1 = x0 - f ' ( x ) = 0.3333 0 f ( x1 ) x2 = x1 - f ' ( x ) = 0.33766 1 f ( x2 ) x3 = x2 - f ' ( x ) = 0.33766 2 ξ = 0.3376 Ta chọn nghiệm gần đúng | ξ - x3| ≤ | f ( x) | với m là số dương : | f’(x) | ≥ m > 0 Đánh giá sai số: m
| ξ - x3| ≤ ∀x € [ 0 ; 1 ] 6 .10 - 5 < 10 -2 * Áp dụng phương pháp dây cung trong khoảng [ 1; 2 ] ta có: xo Do f (1 ) = - 1 < 0 => chọn =1 f ( x0 ).(b − a ) x1 = xo – f (b) − f (a) = 1.083 f (x1) = - 0.873 Khoảng phân ly nghiệm [1.083; 2] f ( x1 ).(b − a) x2 = x1 – f (b) − f (a) = 1.150 f (x2) = - 0.7 Khoảng phân ly nghiệm [1.150; 2] f ( x 2 ).(b − a ) x3 = x2 – f (b) − f (a) = 1.2 f (x3) = - 0.526< 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2 ; 2] x4 = 1.237 => f (x4) = -0.369 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.237 ; 2] x5 = 1.2618 => f (x5) = -0.25 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2618 ; 2] x6 = 1.2782 => f (x6) = - 0.165 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2782 ; 2] x7 = 1.2889 => f (x7) = - 0.1069 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2889; 2] x8 = 1.2957 => f (x8) = - 0.068 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.2957; 2] x9= 1.3000 => f (x9) = - 0.0439 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.3; 2] x10= 1.3028 => f (x10) = - 0.027 < 0 => Khoảng phân ly nghiệm [1.3028; 2] ξ = 1.30 Ta chọn nghiệm gần đúng
| ξ - x10 | ≤ | f ( x) | với m là số dương : 0 < m ≤ f’(x) Đánh giá sai số: m | ξ - x10 | ≤ ∀x € -2.8.10 - 3 < 10 -2 * Áp dụng phương pháp tiếp tuyến ( Niwtơn) trong khoảng [ 1; 2 ] ta có: f ’(1) = 1 > 0 f ’’(1) = 12 > 0 => f ’(1) . f ’’(1) > 0 nên ta chọn x0 =2 x0 = 0 ta có: Với f ( x0 ) x1 = x0 - f ' ( x ) = 1.6206896 0 f ( x1 ) x2 = x1 - f ' ( x ) = 1.404181 1 f ( x2 ) x3 = x2 - f ' ( x ) = 1.320566 2 f ( x3 ) x4 = x3 - f ' ( x ) = 1.307772 3 f ( x4 ) x5 = x4 - f ' ( x ) = 1.307486 4 ξ = 1.30 Ta chọn nghiệm gần đúng | ξ - x5| ≤ | f ( x) | với m là số dương : | f’(x) | ≥ m > 0 Đánh giá sai số: m | ξ - x5| ≤ ∀ x € [ 1; 2 ] -7.486.10 - 3< 10 -2
ξ = 0.3376 Ta chọn nghiệm gần đúng | ξ - x4 | ≤ | f ( x) | với m là số dương : 0 < m ≤ f’(x) Đánh giá sai số: m | ξ - x4 | ≤ ∀x € 1.9.10 - 4 < 10 -2 Bài tập 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 2 x − 4 x = 0 (1) bằng phương pháp tiếp tuyếnvới độ chính xác 10−5 Bài giải: B1:tìm khoảng phân ly y1 = 2 x Ta tách phương trình (1)thành y2 = 4 x Dựa vào phương pháp đồ thị ta tìm dươc khoảng phân ly là : [ 0;0,5] vì f(o ) > 0 vậy f ( o ) f (0,5) < 0 f (0,5) < 0 B2: tìm nghiệm của phương trình f , f ,, < 0 nên ta chọn x0 = a = 0 f , < 0; f ,, > 0 f ( x0 ) 1 x1 = x0 − = 0− = 0,3024 −3,30685 , f ( x0 ) 0, 02359 x2 = 0,3024 − = 0,3099 −3,14521 0, 00002 x3 = 0,3099 − = 0,30991 −3,14076 0, 00001 x4 = 0,30991 − = 0,30991 −3,14075 Vậy ta thấy nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là : x= 0,30991 (Chú ý: Tính dến 6 chữ số thập phân) Bài tập 6: Dùng phương pháp Gauss để giải những hệ phương trình Ax=b. Các phép tính lấy đến 5 số lẻ sau dấu phẩy: a.
� ,5 −0,1 0,1 � 1 �, 4 � 0 � � �� A = � 0,1 1,5 −0,1 � − b=� � 0,8 � 0,3 0, 2 −0,5 � � 2� − 0, � � �� x �, 4 � 0 �1 � �� x = �2 � B=� � x 0,8 � 2� �� 0, x �� 3 � Bài giải: Lập bảng gauss : aij Quá ai1 ai2 ai3 ai4 trình (cột kiểm tra) Thuận 1,5 -0,2 0,1 0,4 0,1 1,5 -0,1 0,8 -0,3 0,2 -0,5 0,2 1 -0,13333 0,06667 0,26667 0 1,48667 0,09333 0,82667 0 1,6 -0,48 0,28 1 0,06278 0,55605 1 -1,48448 -0,33326 1 0,22449 1 0,54196 1 0,32397 Vậy nghiệm của phương trình là : (0,32397 ; 0,54196 ;0,22449 ) b) � , 6 −4,5 −2, 0 � 2 �9, 07 � 1 � � � � A = � 0 3, 0 b = � 21 � 3, 4,3 � 3, � 6, 0 3,5 3, 0 � � 18, 25 � − − � � � � x �9, 07 � 1 �1 � �� x = �2 � B = � 21 � x 3, � 18, 25 � �� − x � � �3 � Bài giải: Lập bảng gauss : aij Quá ai1 ai2 ai3 ai4 trình (cột kiểm tra)
2,6 -4,5 -2,0 19,07 Thuận 3 3 4,3 3,21 -6 3,5 3 -18,25 1 -1,73077 -0,76923 7,33462 8,9231 6,60769 -18,79386 -6,88462 -1,61538 25,75772 1 0,80657 -2,29409 3,93754 9,96378 1 2,53045 1 -4,33508 1,77810 1 Bài 7: Giải hệ phương trình: − 8 x + y + z  x _ 5 y + z (I) x + y − 4z = 7  Bằng phương pháp lặp đơn,tính lặp 3 lần,lấy x(a)=g và đánh giá sai số của x3 Giải: Từ phương trình (I)  x = y.1 / 8 + z.1 / 8 − 1 / 8  x = 0,125 y + 0,125 z − 0,125    y = x.1 / 5 + z.1 / 5 − 16 / 5   y = 0,2 x + 0,2 z − 3,2  z = x.1 / 4 + y.1 / 4 − 7 / 4  z = 0,25 x + 0,25 y − 1,75    − 0,125   0 0,125 0,125      g =  − 3,2  => B=  0,2 0 0,2  ;  0,25 0,25 0   − 1,75      r1 = 0,25  3 ∑b => r2 = 0,4 Ta xet r = maxi ij r = 0,5 j =1 3 3 ∑b  r = maxi =0,5
Đánh giá sai số x(3) x(3)- x(2) = max (0,067304687;0,07984375;0,110195375) Áp dụng công thức (3.36) SGK ta có 0,5 ≤ 1 − 0,5 .0,110195375 = 0,110195375 x(3) - 2 Vậy ta có nghiệm của phương trình là: X= -0,961835937 ± 0,110195375 Y= -3,94484337 ± 0,110195375 Z= -2,939882875 ± 0,110195375 Bâi 8 : Giải hệ phương trình 24, 21x1 + 2, 42 x2 + 3,85 x3 = 30, 24 2,31x1 + 31, 49 x2 + 1,52 x3 = 40,95 3, 49 x1 + 4,85 x2 + 28, 72 x3 = 42,81 x1 = 1, 24907 − 0, 09995 x2 − 0,15902 x3 x2 = 1,30041 − 0, 07335 x1 − 0, 04826 x3 x3 = 1, 49059 − 0,1215 x1 − 0,1689 x2 −0, 09995 −0,15902 � � 24907 � x �1 � � 0 1, � �� = �2 � � 0, 07335 x =− −0, 04826 � � + 1,30041 � f( x) 0 � � � 0,12151 −0,16887 � � 49059 � − 0 1, x �3 � � �� Ta có: r1 = 0, 25897 < 1 r2 = 0,12171 < 1 pt hội tụ r3 = 0, 29038 < 1 Lập bảng: x1 x2 x3 0 -0,09995 -0,15902 B -0,07335 0 -0,04826 -0,12151 -0,16887 0 1,24907 1,30041 1,49059 x0 0,98201 1,13685 1,11921 x1 0,95747 1,17437 1,17928 x2 0,94416 1,17326 1,17773 x3 0,94452 1,17431 1,17774 x4 0,94441 1,17429 1,17751 x5 0,94452 1,17431 1,17753 x6 0,94444 1,17429 1,17751 x7
Nghiệm bằng: (0,94444; 1,17429; 1,17751) Bài 9 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange của hàm y=f(x) cho dưới dạng bảng X 0 2 3 5 Y 1 3 2 5 Giải: ở đây ta thấy n=3 nên đa thức nội suy là một đa thức bậc 3 có dạng P3(x)= yo + lo (x) + y1L1(x) + y2 l2(x) + y3 l3(x) ( x − 2)( x − 3)( x − 5) ( x − 0)( x − 3)( x − 5) ( x − 0)( x − 2)( x − 5)  p3(x)= (0 − 2)(0 − 3)(0 − 5) +3. (2 − 0)(2 − 3)(2 − 5) +2. (3 − 0)(3 − 2)(3 − 5) + 5. ( x − 0)( x − 2)( x − 3) (5 − 0)(5 − 2)(5 − 3) x3 − 10 x 2 + 31x − 30 x3 − 8 x 2 + 15 x x3 − 5 x 2 + 6 x  p3(x) = + + − 30 6 30 9 x3 − 65 x 2 + 124 x + 30  p3(x) = 30 9 x3 − 65 x 2 + 124 x + 30 Vậy đa thức Lagrange cần tìm la : p3(x) = 30 Bài 10 : Cho bảng giá trị của hàm số y= f(x) X 321,0 322,0 324,0 325,0 Y 2,50651 2,50893 2,51081 2,51188 Tính gần đúng t (324,5) bằng đa thức nội suy Lagrange ? Giải : Gọi x* =323,5  y(x* ) =p3 (x* ) = y0l0(x* )+ y1l1(x* ) +y2l2(x* ) + y3l3(x* ) Ta có (323,5 − 322,8)(323,5 − 324,2)(323,5 − 325,0) l0(x* ) = (321,0 − 322,8)(321,0 − 324,2)(321,0 − 325,0) = - 0,031901041 = -0,03190 (323,5 − 321,0)(323,5 − 324,2)(323,5 − 325,0) L1(x* )= (322,8 − 321,0)(322,8 − 324,2)(322,8 − 325,0) = 0,473484848
= 0,43748 (323,5 − 321,0)(323,5 − 322,8)(323,5 − 325,0) L2(x* )= (324,2 − 321,0)(324,2 − 322,8)(324,2 − 325,0) =0,732421875 =0,73242 (323,5 − 321,0)(323,5 − 322,8)(323,5 − 324,2) L3(x* )= (325,0 − 321,0)(325,0 − 322,8)(325,0 − 324,2) =-0,174005681 = -0,17401  y (323,5)= 2,50651.(- 0,03190)+2,50893.0,47348+2,51081.0,73242+2,51188.(-0,17401) =2,50985 Bài 11: Cho bảng giá trị của hàm số y =f(x) X -1 0 3 6 7 Y 3 -6 39 822 1011 a. Xây dựng đa thức nội suy Niwton tiến xuất phát từ nút x0 =-1 của y = f(x) b. Dùng đa thức nội suy nhận được tính giá trị f(0,25) Giải : Đa thức vừa lặp là đa thức nội suy Niwton bước không đều a. Ta có bảng ký hiệu X Y THC1 THC2 THC3 THC4 -1 3 -9 6 0 -6 15 5 41 1 3 39 13 261 132 6 822 89
7 1611 Đa thức nội suy : p4(x) = 3-9(x+1)+6(x+1)x+5(x+1)x(x-3)+(x+1)x(x-3)(x-6) = 3-9x-9+6x2+6x+5x3-10x2-15x+x4-8x3 +9x2 +18x  p4(x) = x4-3x3 +5x2 – 6 b. Tính f(-0,25) = (-0,25)4 - 3(0,25)3 |+5(0,25)2 –b = -5,636719 Bài 12 : Cho bảng giá trị của hàm số y=sinx X 0,1 0,2 0,3 0,4 Y=f(x) 0,09983 0,19867 0,29552 0,38942 a. Dùng đa thức nội suy tiến xuất phát từ x0 = 0,1 tính gần đúng sin(0,4) và đánh giá sai số của giá trị nhận được b. Dùng đa thức nội suy lùi xuất phát từ x3 =0,4 tính gần đúng sin (0,46) và đánh giá sai số Giải: a. Đa thức nội suy bước đều với h=0,1 ta có bảng sai phân: ∆ 2Y ∆ 3Y X Y ∆Y 0,1 0,09983 0,09884 -0,00199 0,2 0,19867 -0,00096 0,09685 0,3 0,29552 -0,00295 0,09390 0,4 0,38942 Áp dụng công thức đa thức nội suy Niwton tiến ta tính: ∆y 0 t (t − 1) 2 t (t − 1)(t − 2) 3 Sai (0,014) = pn(x) [ x=0,1+0,1t] = y0 + t. + ∆ y0 + ∆ y0 1! 2! 3! Theo bài ra ta có : x=0,14  0,1+0,1t =0,1 ϕ => t=0,4