Bài tập số 1
Môn học: CƠ HỌC ĐẤT NÂNG CAO
Giảng viên: TRẦN QUANG HỘ
Ngày nộp: 02/3/2013
Bài 1.
1) Từ điều kiện: 0 ijij
Hãy rút ra các bất biến ứng suất ( stress invariants ) sau đây:
3213322111
I
133221
2
31
2
23
2
123311332222112
I
321
2
2311
2
1322
2
12333123123322113 2
I
Giãi thích tại sao I1, I2, I3 là các bất biến ứng suất.
Tương tự rút ra các bất biến biến dạng ( strain invariants ) sau đây:
3213322111
E
133221
2
31
2
23
2
123311332222112
E
321
2
2311
2
1322
2
12333123123322113 2
E
2) Tensơ ứng suất lệch ( stress deviator tensor) và tensơ biến dạng lệch được định
nghĩa như sau:
ijijij Is
1
3
1
ijijij Ee
1
3
1
và từ điều kiện:
0 ijij ss
Hãy rút ra các bất biến sau đây:
0
3213322111 ssssssJ
2
3
2
2
2
1
2
31
2
23
2
12
2
33
2
22
2
112
2
1
222
2
1sssssssssJ
0
3213322111 eeeeeeEJ
2
3
2
2
2
1
2
31
2
23
2
12
2
33
2
22
2
112
2
1
222
2
1eeeeeeeeeEJ
3) Hãy viết I1, I2, I3, J2 theo ứng suất trục a và ứng suất bình r; và viết E1, EJ1
theo biến dạng dọc trục a và biến dạng theo bán kính r trong thí nghiệm ba trục.
Bài 2.
Cho một tensơ ứng suất như sau:
431
322
121
ij
Hãy tính:
a) Xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt bát diện.
b) Ứng suất thủy tĩnh p và tensơ ứng suất lệch, sij
c) Các giá trị chính ( s1, s2, s3) của tensơ ứng suất lệch.
Bài 3.
Trạng thái ứng suất tại một điểm được diễn tả bởi tensơ ứng suất sau đây:
MPa
ij
105060
502045
604530
a) Hãy xác định các bất biến ứng suất I1, J2, J3 và .
b) Dựa trên các biểu thức tính ứng suất chính theo các bất biến ứng suất hãy
tính các ứng suất chính 1, 2 , và 3.
Bài 4.
Trạng thái ứng suất chính tại ba điểm khác nhau trong một loại vật liệu lần lượt
như sau (1, 2, 3) = (8, 1, 3), (1, 2, 3) = (1, 3, 8),và (1, 2, 3) = (3, 8, 1). Vẽ
các điểm mô tả ba trạng thái ứng suất nói trên trong không gian ứng suất chính và
trên mặt phẳng ( hệ toạ độ Haigh- Westergaard, , , . )
Hết.