Bài tập số 1
Môn học: CƠ HỌC ĐẤT NÂNG CAO
Giảng viên: TRẦN QUANG HỘ
Ngày nộp: 3/11/2011
Bài 1.
1) Từ điều kiện:
0
ij ij
Hãy rút ra các bất biến ứng suất ( stress invariants ) sau đây:
22
11
2
1
I 2
1
33
22
22
11
33
11
3
3
2
2
1
2 12
2 23
2 31
I 3
22
11
33
2 22 3
11
33
31
12
23
2
1
2 23
2 12
2 13
Giãi thích tại sao I1, I2, I3 là các bất biến ứng suất.
Tương tự rút ra các bất biến biến dạng ( strain invariants ) sau đây:
E 1
11
22
33
3 2
1
E 2
11
22
33 22
33 11
2 12
2 23
2 31
2 13
21
3
E 3
33
22
11
2 31
23
12
2 12 33
2 13 22
11
2 23
21 3
2) Tensơ ứng suất lệch ( stress deviator tensor) và tensơ biến dạng lệch được định nghĩa như sau:
s
ij
ij
ij
1 I 13
e
ij
ij
ij
1 E 13
và từ điều kiện:
s
0
ij
s ij
Hãy rút ra các bất biến sau đây:
I 1 33 3
1
22
33
2
3
J
s
s
2
2
s
2
s
s
s
J s s s s 0 s 11 s 1
2
2
2 s 11
2 22
2 33
2 s 12
2 23
2 31
2 s 1
2 2
3
1 2
1 2
1
22
33
2
3
EJ
e
e
e 2
2
e
e
e
EJ e e e e 0 e 11 e 1
2
2
2 22
2 33
2 e 2 12
2 23
2 e 11
2 31
2 e 1
2 2
3
1 2
1 2
3) Hãy viết I1, I2, I3, J2 theo ứng suất trục a và ứng suất bình r; và viết E1, EJ1 theo biến dạng dọc trục a và biến dạng theo bán kính r trong thí nghiệm ba trục.
Bài 2
Cho một tensơ ứng suất như sau:
121 122
ij
311
Hãy tính:
a) Ứng suất thủy tĩnh p và tensơ ứng suất lệch, sij
b) Các giá trị chính ( s1, s2, s3) của tensơ ứng suất lệch.
Bài 3
Trạng thái ứng suất chính tại ba điểm khác nhau trong một loại vật liệu lần lượt như sau (1, 2, 3) = (11, 1, 3), (1, 2, 3) = (1, 3, 11),và (1, 2, 3) = (3, 11, 1). Vẽ các điểm mô tả ba trạng thái ứng suất nói trên trong không gian ứng suất chính và trên mặt phẳng ( hệ toạ độ Haigh- Westergaard, , , . )
