Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 1 -
Nguyên tắc chung thiết lập các biểu thức tìm cực trị trong mạch điện xoay chiều:
Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép
biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi (chia cả tử và
mẫu cho tử số chẳng hạn..)
Bổ đề :
Bất đẳng thức Cauchy : Cho hai số không âm a, b khi đó a b
ab a b 2 ab
2
+≥ ⇔ + ≥
Dấu bằng xảy ra khi a = b.
Hàm số bậc hai y = ax
2
+ bx + c, với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm
2
min
b 4ac b '
x ;y
2a 4a 4a a
∆ − ∆
= − = − = = −
II. MẠCH RLC CÓ L THAY ĐỔI
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó L có thể thay đổi được. Tìm giá trị của L để
a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại.
b) công suất tỏa nhiệt của mạch đạt cực đại. Tính giá trị P
max.
c) điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại.
Hướng dẫn giải:
a)
Ta có
( )
max min L C 2
2
2L C
U U 1
I I Z Z Z 0 L
R Z Z
= = → ⇔ ←→ − = ⇔ =
ω
+ −
V
ậ
y
2
1
L
C
=
ω
thì I
max
và giá tr
ị
max
U
I .
R
=
b)
Công su
ấ
t t
ỏ
a nhi
ệ
t trên m
ạ
ch P = I
2
R. Do R không
đổ
i nên P
max
khi I
max
2
1
L .
C
→ = ω
T
ừ
đ
ó
2
2
max max
U
P I R .
R
= =
c)
Đ
i
ệ
n áp hi
ệ
u d
ụ
ng hai
đầ
u cu
ộ
n c
ả
m là
( ) ( )
L L L L L min
max
2 2 2
22 2
L C L C C
2 2
L L L L
U U U U U
U I.Z .Z .Z U y
Zy
R Z Z Z Z Z
R R 1
Z Z Z Z
= = = = = = ⇒←→
+ −
−
+ + −
V
ớ
i
2
2C
2
L L
Z
R
y 1 ,
Z Z
= + −
đặ
t
( )
( )
2
2 2 2 2 2
C C C
L
1
x y R x 1 Z x R Z x 2Z x 1
Z
= → = + − = + − +
Do h
ệ
s
ố
(
)
2 2
C
a R Z 0
=+>
→
ymin khi
( ) ( )
2 2
C C C
L
2 2 2 2
L C
C C
2Z Z R Z
b 1
x Z .
2a Z Z
2 R Z R Z
− +
= − = − ⇔ = → =
+ +
Khi
đ
ó
(
)
( )
2 2 2 2
C C
2 2
min L C
2 2 2 2 max 2
C C min
2 2
C
Z R Z
' R U U U
y U R Z
4a a R Z R Z R
yR
R Z
− +
∆ ∆
= − = − = − = → = = = +
+ +
+
V
ậ
y
( )
ax
2 2
2 2
C
L C L
mC
R Z
U
U R Z khi Z .
R Z
+
= + =
Chú ý:
- Khi L = L
1
hoặc L = L
2
mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi thì ta có
+
=
1 2
L L
C
Z Z
Z
2
Bài giảng 6:
CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN XOAY CHIỀU_PHẦN 2
Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 2 -
- Khi U
L
cực đại thì ta có
( )
= + +
2
2 2 2
L R C
max
U U U U
- Khi UL c
ự
c
đạ
i thì
đ
i
ệ
n áp hai
đầ
u
đ
o
ạ
n m
ạ
ch RC vuông pha v
ớ
i
đ
i
ệ
n áp u c
ủ
a hai
đầ
u m
ạ
ch.
- Khi L = L1 ho
ặ
c L = L2 mà UL không
đổ
i,
đồ
ng th
ờ
i khi L = Lo mà UL
đạ
t c
ự
c
đạ
i thì ta có h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a
các
đạ
i l
ượ
ng là
o 1 2
2 1 1
, (*).
L L L
= +
Ch
ứ
ng minh (*):
( ) ( )
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
2 2
2 2
L L
L L L L
L C L C
Z Z
U U I Z I Z
R Z Z R Z Z
= ⇔ = ⇔ =
+ − + −
(
)
(
)
(
)
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
1 2 1 2 1 2 2 1 2
1 2 2 1 2
1 2 1 2
2 2
2 2 2 2 2
2
21
1
2 2
2
2
L L L L C L L C
L L L L L L C L L C L L C L L C
L L L L C L L L L C L L
C L L L L C L L
L L L L
R Z Z Z Z Z Z Z Z
R Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
R Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z
R R Z
Z Z Z Z
⇔ − = − − −
⇔ − + = − − − − + −
⇔ − + = − − +
− − +
= ⇔ =
− +
2 2
1 2 1 2
1 1
2 2
2 2
L L L L
C C C C
L L L L
Z Z Z Z
Z R Z Z
Z Z Z Z
− ←→ + =
+ +
T
ừ
đ
ó ta
đượ
c
2
1 2
2 2 1
2
L L
C
C L L
Z Z
R Z
Z Z Z
+=+
Khi L = L
o
mà U
L
đạ
t c
ự
c
đạ
i thì
2 2
1 2 1 2 1
2 2 1 1
1 2
2
1 2 1 1 2 1 1
.
2
o o
o o â
L L L L
C
L L
C L L L L L L L L o
Z Z Z Z
R Z
Z Z
Z Z Z Z Z Z Z Z Z L L L
+
+
= ⇔ = ⇔ = ⇔ = + ⇔ = +
+
Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có
4
10
R 100 3
Ω, C (F).
2π
−
= = Cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L thay đổi
được. Điện áp giữa hai đầu đoạn mạch là u = 200cos(100πt) V. Xác định độ tự cảm của cuộn dây trong các
trường hợp sau ?
a) Hệ số công suất của mạch cosφ = 1.
b) Hệ số công suất của mạch
3
cos
φ.
2
=
c) Điện áp hiệu dụng trên cuộn cảm L là cực đại.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
Ta có
C
1
Z 200
Ω.
ωC
= =
a)
Từ cosφ = 1 → mạch có cộng hưởng điện. Khi đó
L C
2
Z Z 200
ΩL (H).
π
= = → =
b) Khi
( ) ( )
2 2
2 2 2 2
L C L C
3 R 3
cosφ4R 3Z 3 R Z Z R 3 Z Z
2 Z 2
= ⇔ = ⇔ = = + − → = −
Thay số ta được
L
L C
L
3
L (H)
Z 300Ω
Rπ
Z Z 100 Z 100Ω1
3
L (H)
π
=
=
− = ± = ± → ←→
=
=
c)
Theo chứng minh trên, U
L
đạt cực đại khi
(
)
22
2 2
C
L
C
100 3 200
R Z 35
Z 350
ΩL (H).
Z 200 10π
+
+
= = = → =
Giá trị cực đại là
( )
( )
2
2 2 2
L C
max
U 100 2 100 42
U R Z 100 3 200 V.
R 3
100 3
= + = + =
Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC, L có thể thay đổi được, điện áp hai đầu mạch là
(
)
u 170 2cos 100
πt V.
= Biết
rằng
4
10
R 80
Ω, C (F).
2π
−
= = Tìm L để
Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 3 -
a) công suất tỏa nhiệt trên R cực đại. Tính P
max
b) công suất tỏa nhiệt có giá trị P = 80W
c) điện áp hiệu dụng giữa hai đầu L đạt cực đại. Tính giá trị cực đại đó.
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có R = 80 Ω, Z
C
= 200 Ω.
a) Do
2max L C
2
P I R P Z Z 200
ΩL (H).
π
= → ←→ = = ⇔ =
Khi đó
2 2 2
2
max max 2
U U 170
P I R R 361,25W.
R R 80
= = = = =
b)
( )
2 2 L
2
2
22L
L
3,5
L (H)
Z 350Ω
U 170 .80 π
P I R 200 R 80 80 Z 50Ω1
Z80 Z 200
L (H)
2π
=
=
= = ⇔ = ⇔ = → ←→
=
+ −
=
c)
Điện áp hiệu dụng hai đầu L đạt cực đại khi
2 2 2 2
C
L
C
R Z 80 200 58
Z 232
Ω
L (H).
Z 200 25
π
++
= = = → =
Giá tr
ị
c
ự
c
đạ
i c
ủ
a U
L
là
( )
2 2 2 2
L C
max
U 170
U R Z 80 200 85 29 V.
R 80
= + = + =
Ví dụ 3: Cho mạch điện RLC có L thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch điện là
(
)
u 200 2cos 100
πt V.
=Khi
mạch có
1
3 3
L L (H)
π
= = và
2
3
L L (H)
π
= = thì mạch có cùng cường độ dòng điện hiệu dụng nhưng giá trị
tức thời lệch pha nhau góc 2π/3 rad.
a) Tính giá trị của R và C.
b) Viết biểu thức của cường độ dòng điện chạy trong mạch.
Hướng dẫn giải:
Ta có
1 2
L L
Z 300 3
Ω, Z 100 3Ω.
= =
a) Do
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
L L
2 2 L C L C
2 2
1 2 1 2 L C L C
L L
L C C L C
Z Z
Z Z Z Z
I I Z Z R Z Z R Z Z
Z Z
Z Z Z Z Z2
=
− = −
= ⇔ = ⇔ + − = + − → ←→
+
− = − =
Chỉ có một trường hợp thỏa mãn, thay số ta được
1 2
4
L L
C
Z Z 10
Z 200 3
ΩC (F).
22 3π
−
+
= = → =
Gọi φ
1
là độ lệch pha của u và i khi L = L
1
, φ
2
là độ lệch pha của u và i khi L = L
2
.
Ta có
1
2
L C
1
L C
2
Z Z
300 3 200 3 100 3
tanφR R R
Z Z
100 3 200 3 100 3
tanφ
R R R
−
−
= = =
−−
= = = −
Do 1 2
L C C L 1 2
Z Z Z Z
− = − →ϕ = − ϕ
M
ặ
t khác
1 2
1
1
L L
22
π
φ
φ
0
3
Z Z
φ
0
π
φ
3
=
>
> → ←→
<
= −
T
ừ
đ
ó ta
đượ
c π100 3
tan 3 R 100
Ω.
3 R
= = → =
Vậy các giá trị cần tìm là
4
10
R 100
Ω, C (F).
2 3π
−
= =
b)
Viết biểu thức của i:
Với 1
C L o
200 2
R 100
Ω, Z 200 3Ω, Z 300 3ΩZ 200ΩI 2 A.
200
= = = → = → = =
Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 4 -
Độ lệch pha của u và i :
1
L C
u i i
Z Z 100 3 π π π
tan
φ3φ φ φ φ i 2cos 100πt A.
R 100 3 3 3
−
= = = ⇒= = − ⇒= − → = −
Với
2
C L o
200 2
R 100
Ω, Z 200 3Ω, Z 100 3ΩZ 200ΩI 2 A.
200
= = = → = → = =
Ta có
2
L C
u i i
Z Z 100 3 π π π
tan
φ3φ φ φ φ i 2cos 100πt A.
R 100 3 3 3
−−
= = = − ⇒= − = − ⇒= → = +
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Cho mạch điện RLC có
−
= =
4
10
C ( F ), R 120
Ω.
0,9π Điện áp hai đầu mạch là
=u 200 2cos(100
πt )V ,
L có thể
thay đổi được.
a)
Tính L để U
Lmax
. Tính giá trị U
Lmax
b)
Tính L để =
L
U 175 2V .
Bài 2:
Cho mạch điện RLC có L có thể thay đổi được. Điện áp hai đầu mạch là
=u 100 2cos(100
πt )V.
Khi
= =
1
1
L L ( H )
π
và = =
1
3
L L ( H )
π
thì mạch có cùng công suất tỏa nhiệt P = 40 W.
a) Tính R và C
b) Viết biểu thức của i ứng với các giá trị L
1
và L
2
.
Bài 3: Cho mạch điện RLC có
−
= =
4
10
C ( F ), R 80
Ω
.
2
π
Đ
i
ệ
n áp hai
đầ
u m
ạ
ch là
=u 170 2cos(100
πt )V ,
L có th
ể
thay
đổ
i
đượ
c. Tìm L
để
a) công su
ấ
t t
ỏ
a nhi
ệ
t c
ự
c
đạ
i, tính giá tr
ị
P
max
b) công su
ấ
t t
ỏ
a nhi
ệ
t c
ủ
a m
ạ
ch
đạ
t P = 80 W.
Bài 4: Cho m
ạ
ch
đ
i
ệ
n RLC có
−
= =
4
10
C ( F ), R 200 3
Ω
.
4
π
Đ
i
ệ
n áp hai
đầ
u m
ạ
ch là
=u 200 2cos(100
πt )V ,
L có
th
ể
thay
đổ
i
đượ
c.
a) Khi L = 2/
π
(H) hãy tính P và vi
ế
t bi
ể
u th
ứ
c c
ườ
ng
độ
dòng
đ
i
ệ
n ch
ạ
y trong m
ạ
ch.
b) Tìm L
để
P
max
, tính giá tr
ị
P
max
khi
đ
ó.
c) Tìm L
để
(U
L
)
max
, tính giá tr
ị
(U
L
)
max
.
III. MẠCH RLC CÓ C THAY ĐỔI
BÀI TOÁN TỔNG QUÁT:
Cho mạch điện xoay chiều RLC trong đó C có thể thay đổi được. Tìm giá trị của C để
a) cường độ hiệu dụng I của mạch đạt giá trị cực đại.
b) công suất tỏa nhiệt của mạch đạt cực đại. Tính giá trị P
max
đó.
c) điện áp hiệu dụng hai đầu C đạt cực đại.
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i:
a)
Ta có
( )
max min L C 2
2
2L C
U U 1
I I Z Z Z 0 C
R Z Z
= = → ⇔ ←→ − = ⇔ =
ω
+ −
Vậy
2
1
C
L
=
ω
thì I
max
và giá tr
ị
max
U
I .
R
=
b) Công su
ấ
t t
ỏ
a nhi
ệ
t trên m
ạ
ch P = I
2
R. Do R không
đổ
i nên P
max
khi I
max
2
1
C .
L
→ = ω
T
ừ
đ
ó
2
2
max max
U
P I R .
R
= =
c)
Đ
i
ệ
n áp hi
ệ
u d
ụ
ng hai
đầ
u t
ụ
đ
i
ệ
n là
( ) ( )
C C C C C min
max
2 2 2
22 2
L C L C L
2 2
C C L C
U U U U U
U I.Z .Z .Z U y
Zy
R Z Z Z Z ZR R 1
Z Z Z Z
= = = = = = ⇒←→
+ −
−
+ + −
Khóa học Dòng điện xoay chiều và Dao động điện từ BÀI GIẢNG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12 - Trang | 5 -
Với
2
2L
2
C C
Z
R
y 1
Z Z
= + −
,
đặ
t
( )
( )
2
2 2 2 2 2
L L L
C
1
x y R x 1 Z x R Z x 2Z x 1
Z
= → = + − = + − +
Do h
ệ
s
ố
(
)
2 2
L
a R Z 0
= + >
→
y
min
khi
( ) ( )
2 2
L L L
C
2 2 2 2
C L
L L
2Z Z R Z
b 1
x Z
2a Z Z
2 R Z R Z
− +
= − = − ⇔ = → =
+ +
Khi
đ
ó
(
)
( )
2 2 2 2
L L
2 2
min C L
2 2 2 2 max 2
L L min
2 2
L
Z R Z
' R U U U
y U R Z
4a a R Z R Z R
yR
R Z
− +
∆ ∆
= − = − = − = → = = = +
+ +
+
V
ậ
y
( )
ax
2 2
2 2
L
C L C
mL
R Z
U
U R Z khi Z .
R Z
+
= + =
Chú ý:
- Khi C = C
1
hoặc C = C
2
mà công suất P (hoặc cường độ hiệu dụng I) không đổi thì ta có
+
=
1 2
C C
L
Z Z
Z
2
- Khi U
C
c
ự
c
đạ
i thì ta có
( )
= + +
2
2 2 2
C R L
max
U U U U
- Khi UC c
ự
c
đạ
i thì
đ
i
ệ
n áp hai
đầ
u
đ
o
ạ
n m
ạ
ch RL vuông pha v
ớ
i
đ
i
ệ
n áp u c
ủ
a hai
đầ
u m
ạ
ch.
- Khi C = C1 ho
ặ
c C = C2 mà UC không
đổ
i,
đồ
ng th
ờ
i khi C = Co mà UC
đạ
t c
ự
c
đạ
i thì ta có h
ệ
th
ứ
c liên h
ệ
gi
ữ
a
các
đạ
i l
ượ
ng là
1 2
o
C C
C .
2
+
=
Ví dụ 1: Cho mạch điện RLC có R = 100 Ω, L = 1/π (H), C thay đổi. Điện áp hai đầu mạch có biểu thức là
(
)
u 100 2cos 100
πt V.
=Tìm giá trị của điện dung C để
a) mạch tiêu thụ công suất P = 50W
b) Mạch tiêu thụ công suất cực đại. Tính P
max
c) U
Cmax
Hướng dẫn giải:
Ta có
L
R 100 , Z 100
= Ω = Ω
a)
( )
2 2 C C
2
22 2C C
C
100 Z 100 Z 0
U 100 .100
P I R 50 R 50 50 100 Z 100 Z 200
Ω
Z100 100 Z
− = =
= = ⇔ = ⇔ = ⇔ →
− = − =
+ −
Nhận nghiệm Z
C
= 200 Ω ta được
4
10
C (F).
2
π
−
=
b) Từ P = I
2
R ta thấy do R không đổi nên
4
max max L C C L
10
P I Z Z 0 Z Z 100 C (F).
−
←→ ⇔ − = ⇔ = = Ω → = π
Khi đó,
2 2 2
2
max max 2
U U 100
P I R R 100W.
R R 100
= = = = =
c) (U
C
)
max
khi
2 2 2 2 4
L
C
L
R Z 100 100 10
Z 200
ΩC (F).
Z 100 2π
−
+ +
= = = → =
Khi đó,
( )
2 2 2 2
C L
max
U 100
U R Z 100 100 100 2 V.
R 100
= + = + =
Ví dụ 2: Cho mạch điện RLC có C thay đổi, điện áp hai đầu đoạn mạch là
(
)
u 200 2cos 100
πt V.
=Khi
4
1
10
C C (F)
4π
−
= = và
4
1
10
C C (F)
2π
−
= = thì mạch có cùng công suất P = 200 W.
a) Tính R và L.
b) Tính hệ số công suất của mạch ứng với các giá trị C
1
, C
2.
Hướng dẫn giải:
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta tính
đượ
c 1 2
C C
Z 400
Ω
, Z 200
Ω
.
= =
a)
Theo gi
ả
i thi
ế
t ta có
1 2
1 2
C C
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 L C C L L
Z Z 3
P P P 200 I R = I R Z = Z Z Z Z Z Z 300
ΩL (H)
2
π
+
= = = ⇔ ⇔ ⇔ − = − ⇔ = = → =