Bài thuyết trình Lý thuyết chất rắn và bán dẫn

Chia sẻ: Phạm Tùng Lâm | Ngày: | Loại File: PPT | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

198
lượt xem 28
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Cùng nắm kiến thức trong bài thuyết trình "Lý thuyết chất rắn và bán dẫn" thông qua việc tìm hiểu nội dung về các phương pháp tính vùng năng lượng. Mời các bạn cùng tham khảo để nắm kiến thức cần thiết được trình bày trong bài thuyết trình này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài thuyết trình Lý thuyết chất rắn và bán dẫn

SEMINAR LÝ THUYẾT CHẤT RẮN VÀ BÁN DẪN GVHD: PGS. TS. TRƯƠNG MINH ĐỨC Nhóm HV: TRƯƠNG HỮU SINH PHẠM TÙNG LÂM Lớp VLLT_VLT K21
CHƯƠNG 2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH VÙNG NĂNG LƯỢNG Phương trình Schrodinger trong phép gần đúng một điện tử r r r r r H jk( ) � 2m � 2 � jk � j ( ) ﾵ Ψ r r = � 1 � +V r � r r = E k Ψ r r − Ψ jk ( ) ( ) ( ) (1.1) Các hàm riêng thỏa mãn điều kiện Bloch r u r r ( ) ( ) rur Ψ jk r r + R = ei k R Ψ j k r r ( 1.2 ) 2
1. Phương pháp biến thiên Trong phương pháp này ta xuất phát từ một ph ương trình tích phân tương đương với phương trình Schrodinger (1.1). Để viết phương trình này ta đưa vào hàm Green th ỏa mãn phương trình �1 2 �r r r r r � � + E�k ( r −r ) =δ ( r −r ) G ( 1.3) �m 2 � Với điều kiện Bloch r r ( ) r rr r r + R = e Gr ( r ) ( 1.4 ) ikR Gk k 3
Từ phương trình tích phân r r r r r r Ψ kr ( r ) = Gkr ( r − r ) V ( r ) Ψ kr ( r ) dr ( 1.5) Ω0 Trong đó Ω 0 là thể tích ô đối xứng Wigner-Seitz �1 2 � Ta nhân cả hai vế của phương trình (1.5) với � � + E� �m 2 � r � 1 2 � r r Ta tìm được H Ψ kr ( r ) = � ˆ − � + E � kr ( r ) = E Ψ kr ( r ) Ψ � 2m � Như vậy, ta có thể xác định hàm sóng Ψ kr bằng cách giải phương trình tích phân (1.5). 4
Ta biết rằng mọi phương trình của các hàm sóng đều có thể suy ra từ một nguyên lý biến thiên. Đặc biệt là phương trình tích phân (1.5) có thể thu được t ừ nguyên lý biến thiên δI =0 ( 1.6 ) Với r r r r r I= Ψ ( r ) V ( r ) Ψ k ( r ) dr − * r k Ω0 r r r r r r r rr − � Ψ ( r ) V ( r ) Gk ( r − r ) V ( r ) Ψ k � * r k r ( r ) drdr ( 1.7 ) Ω0 Ω 0 5
Trong biểu thức I ta coi Ψ kr và Ψ k* là hai đại lượng có r thể biến đổi một cách độc lập với nhau. Đại lượng δ Ilà biến thiên của tích phân khi hàm I Ψ kr Ψ* hay kr biến thiên một lượng vô cùng bé tùy ý. Giả sử ϕ j k là một hệ hàm đã biết thỏa mãn điều kiện r Bloch (1.2). Ta khai triển hàm sóng phải tìm theo h ệ hàm này r r Ψ kr ( r ) = C jkrϕ jkr ( r ) ( 1.8) j 6
Và đặt r r r r r I = ij r k ϕ ( r ) V ( r ) ϕ jk ( r ) dr − * r ik Ω0 r r r r r r r rr − �ϕ ( r ) V ( r ) Gk ( r − r ) ϕ jk ( r ') drdr � * r ik ( 1.9 ) Ω0 Ω0 Thay khai triển (1.8) vào công thức (1.7), dễ th ử lại rằng I= * ij Cikr I kr C jkr ( 1.10 ) ij 7
Nếu ta làm biến thiên Ψ kr một lượng δ Ψ kr thì Ci k * * * r cũng chịu một biến thiên tương ứng: C * r ik C +δC * r ik * r ik Mà δ Cikr với i khác nhau thì độc lập với nhau. Bi ến thiên * của I khi đó là � ij � δ I = � C � I kr C jkr � δ � * r ik ( 1.11) i �j � Nguyên lý biến thiên (1.6) dẫn tới phương trình I kij C jkr = 0 r ( 1.12 ) j 8
Muốn cho lời giải C jkr của hệ này tồn tại, các hệ số I ij r k phải thỏa mãn điều kiện ( ) =0 det I ij r k ( 1.13) r Giải phương trình (1.12) chúng ta tìm được C jk � Ψ k ( r ) r r và từ phương trình Schrodinger ta giải ra được năng r lượng E k( ) Để có thể áp dụng phương trình vừa trình bày ta ph ải biết biểu thức của hàm Green. 9
Chúng ta nhắc lại rằng hàm Green thỏa mãn phương trình ( ) r r r r ˆ + E Gr ( r − r ) = δ ( r − r ) −H0 k ( 1.14 ) r Có thể biểu diễn qua các lời giải Ψ j ( r ) của phương trình tương ứng r r ˆ Ψ ( r ) = E 0Ψ ( r ) H0 j j j ( 1.15) như sau: r r r 1 * r G( r −r ) = Ψj(r) Ψj (r ) ( 1.16 ) j E − Ej 0 10
Thực vậy, ta tác dụng lên cả hai vế phương trình (1.16) ( ˆ ) bởi toán tử E − H 0 rồi dùng phương trình (1.15) và điều r kiện đủ của hệ hàm riêng Ψ j ( r ) r * r r r Ψj (r) Ψj (r ) =δ (r −r ) ( 1.17 ) j r r Khi đó ta dễ thử lại rằng G ( r − r ) th ỏa mãn ph ương trình (1.14). 11
Trong trường hợp hàm Green trong biểu thức (1.3) �1 2 �r r r r r � � + E�k ( r −r ) =δ ( r −r ) G �m 2 � ˆ thì toán tử H 0 trong phương trình (1.14) và (1.15) là toán tử động năng. ˆ =− 1 H0 2 2m r Ψj (r) Các hàm riêng bây giờ là các sóng ph ẳng chuẩn hóa trong thΩ tích ể của tinh th ể r r r r 1 ( ) (r) = i k +K r Ψ rr Kk e Ω 12
Hàm Green có dạng r r r r ( ) i k + K ( r −r ) r r 1 e Gkr ( r − r ) = r r ( 1.18) Ω ( ) r 2 K k +K E− 2m r r ij KK Còn các yếu tố ma trận I r k thì bây giờ ta ký hi ệu là I r1 2 k Và có � � � r r r r � r r ( � K1 − K 3 V K 3 − K 2 V ) ( ) ( ) � r r = V K1 − K 2 + � ( 1.19 ) K1 K 2 I r � r r 2 ( ) k r K3 � k + K3 � � −E � � 2m � 13
Khi áp dụng phương pháp biến thiên có thể phốr hợp i nó với phương pháp ô và giả thiết rằng thế năng V ( r ) đ ối xứng hình cầu. Ngoài ra, thế năng này không đổi ở bên ngoài hình cầu bán kính nào đó nằm trong ô đối x ứng Ω 0 Chọn gốc tính năng lượng một cách thích hợp, có th ể coi: r V ( r ) = 0 , r > r0 ( 1.20 ) r Khi giả thiết rằng V (r) =0 ở bên ngoài hình cầωu r0 bán kính Ψ ta có thể biến đổi phương trình (1.5) của I cũng như biểu thức thế nào đó để chúng không chứa V tường minh, nhưng lại chứa tích phân theo ru mặt cầ0 S bán kính 14
r r Vì hàm Green có điểm bất thường r =r cho nên khi biến đổi các công thức chúng ta cần phải thận trọng. Đầu tiên ta xét hình cầu ω bán kính r0 − ε Cho ε 0 rồi sau đó sẽ dần tới giới h ạn ε 0 Để biến đổi phương trình phương trình (1.5) ta dùng hệ thức r r �1 2 � r V ( r) Ψ( r ) = � � + E� ( r ) Ψ �m 2 � 15
Và có r r r r r r r �1 2 � r r �( r − r ) V ( r ) Ψ ( r ) dr = ω G ( r − r ) � m � + E � ( r ) dr ω G � �2 Ψ � Dùng công thức Ostrogradski – Gauss, ta có thể viết lại tích phân trong vế phải như sau r r �1 2 � r r r �1 2 � r r r �( r − r ) � m � + E � ( r ) dr = ω Ψ ( r ) � m � + E � ( r − r ) dr + ω G �2 � Ψ � � 2 � G r r r 1 � r r Ψ( r) r G( r −r ) � + � (r −r) G −Ψ( r) dS � 2m S � r r � Trong đó S’ là mặt bán cầu bán kính ( r0 − ε ) 16
Từ phương trình (1.3) đối với hàm Green ta thấy rằng tích phân thứ nhất trong vế phải của phương trình r ( ) trên bằng Ψ r ' . Do đó ta có kết qu ả r r r r r r Ψ ( r ) − G ( r − r ) V ( r ) Ψ ( r ) dr = ω r r r 1 � r r Ψ( r) r G( r −r ) � =− � (r −r) G −Ψ( r) dS � ( 1.21) 2m S � r r � r Vì thế năng V ( r ) triệt tiêu ở ngoài hình c ầu bán kính r0 cho nên ta có r r r r r r r r r r �( r − r ) V ( r ) Ψ ( r ) dr = lim �( r − r ) V ( r ) Ψ ( r ) dr G Ω0 ε G 0 ω 17
Cho ε 0 trong hệ thức (1.21) và áp dụng (1.5) ta có thể viết lại phương trình (1.21) như sau r r r � r r Ψ( r) r G( r −r ) � � ( r −r) G −Ψ( r) � =0 dS ( 1.22 ) S � r r � Bây giờ ta biến đổi vế phải của công thức (1.7) xác định I Dùng (1.21) ta có: r r� r � r r r r r� r � 1 * r r I = � ( r ) V ( r ) � ( r ) − � ( r − r ) V ( r ) Ψ ( r ) dr � = − Ψ * Ψ G dr � ( r)V (r) Ψ Ω0 � Ω0 � 2m Ω 0 r r r �� r r Ψ(r ) � r G( r − r ) � � r � �� G( r − r ) −Ψ(r ) � dr dS � �� S r r � � 18
Tích phân theo Ω 0 trong vế phải công thức trên lại có thể xem là giới hạn của tích phân theo thể tích ω c ủa hình cầu bán kính ( r0 − 2ε ) Dùng công thức r r r r r r r �1 2 � * r r � ( r ) V ( r ) G ( r − r ) dr = ω�( r − r ) � m � + E � ( r ) dr Ψ Ψ * G ω � 2 � r r r * r 1 �Ψ * ( r ) r r * r G( r − r ) � =Ψ (r ) + � G( r −r ) −Ψ ( r ) dS � 2m S � r r � Trong đó S’’ là mặt cầu bán kính ( r0 − 2ε ) mà ta có th ể chứng minh giống như công thức (1.21), ta thu được biểu thức cuối cùng sau đây của I 19
r 1 �Ψ * ( r ) * r � −Ψ (r) � ε 0 4m 2 � � I = lim dS dS � S S � r r� r � r Ψ( r ) � r r � (r ) Ψ − � (r −r ) G ( 1.23) � r r � r Để tính các yếu tố ma trận của I ta lại thayΨ r ( ) bằng Ylm ( θ , ϕ ) R l E ( r) r r Và dùng biểu thức của hàm Green G ( r − r ) d ưới d ạng khai triển theo các hàm cầu. 20