§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007
123
Mét sè kÕt qu¶ vÒ tæng trùc tiÕp c¸c CS - m«®un
Ng« Sü Tïng (a)
,
NguyÔn TiÕn Dòng (b)
Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i ®−a ra mét sè kÕt qu¶ vÒ tæng trùc tiÕp c¸c
CS - m«®un. C¸c kÕt qu¶ chÝnh cña bµi b¸o lµ: NÕu M = ⊕
i
∈
I
M
i
, trong ®ã M
i
lµ c¸c m«®un
®Òu vµ cã ®é dµi lín nhÊt b»ng 2 víi mäi i ∈ I, th× M lµ CS - m«®un nÕu vµ chØ nÕu mäi
m«®un M
i
⊕ M
j
, trong ®ã M
i
vµ M
j
cïng cã ®é dµi 2 víi mäi i ≠ j ∈ I lµ CS - m«®un. Ngoµi
ra nÕu M = M
1
⊕ M
2
⊕…⊕ M
n
, trong ®ã M
i
lµ c¸c m«®un ®Òu víi 1 ≤ i ≤ n lµ sù ph©n tÝch
bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu vµ gi¶ thiÕt r»ng mäi ®¬n cÊu M
i
→ M
j
lµ ®¼ng cÊu víi mäi 1 ≤ i
≠ j ≤ n, th× m«®un M lµ CS - m«®un nÕu vµ chØ nÕu mäi h¹ng tö trùc tiÕp M
i
⊕ M
j
lµ CS -
m«®un víi mäi 1 ≤ i ≠ j ≤ n.
I. Më ®Çu
VÊn ®Ò ®Æc tr−ng CS - m«®un (t−¬ng øng (1 - C
1
) – m«®un) qua ®iÒu kiÖn tæng
trùc tiÕp c¸c m«®un ®Òu ®· ®−îc nhiÒu t¸c gi¶ nghiªn cøu (ch¼ng h¹n xem [2], [3],
[5], [6]). Trong [6, Theorem 11], Kamal vµ Muller ®· chØ ra r»ng ®èi víi mét miÒn
giao ho¸n xo¾n tù do rót gän R; R - m«®un M lµ CS khi vµ chØ khi M = M
1
⊕ M
2
⊕…⊕
M
n
lµ mét tæng trùc tiÕp h÷u h¹n cña nh÷ng m«®un ®Òu U
i
(1≤ i ≤ n) sao cho U
i
⊕ U
j
lµ mét CS - m«®un víi mäi 1≤ i ≤j ≤ n. TiÕp ®ã trong [3, Theorem 3], hai t¸c gi¶
Haramanci vµ Smith sau khi chØ ra r»ng, mét R - m«®un M lµ CS - m«®un khi vµ chØ
khi M lµ mét tæng trùc tiÕp h÷u h¹n cña c¸c m«®un con ®Òu vµ mäi h¹ng trùc tiÕp
cña M cã chiÒu ®Òu 2 lµ mét CS - m«®un, ®· ®Æt c©u hái “Cho M = M
1
⊕ M
2
⊕…⊕ M
n
lµ mét tæng trùc tiÕp h÷u h¹n cña nh÷ng m«®un ®Òu U
i
(1≤ i ≤ n) sao cho U
i
⊕ U
j
lµ
mét CS - m«®un víi mäi 1≤ i ≤j ≤ n khi ®ã M cã lµ CS - m«®un kh«ng?”. Trong bµi
b¸o nµy chóng t«i tr¶ lêi mét phÇn c©u hái ®Æt ra ë trªn. Chóng t«i chøng tá r»ng R -
m«®un M = ⊕
i
∈
I
M
i
trong ®ã I kh«ng nhÊt thiÕt h÷u h¹n, M
i
lµ c¸c m«®un ®Òu cã ®é
dµi lín nhÊt b»ng hai víi mäi i ∈ I lµ CS - m«®un nÕu vµ chØ nÕu mäi m«®un M
i
⊕ M
j
trong ®ã M
i
vµ M
j
cïng cã ®é dµi hai lµ CS - m«®un. Ngoµi ra mét R - m«®un M = M
1
⊕ M
2
⊕ …⊕ M
n
trong ®ã M
i
lµ m«®un ®Òu víi mäi 1≤ i ≤ n vµ sù ph©n tÝch lµ bï h¹ng
tö trùc tiÕp ®Òu lµ CS - m«®un nÕu vµ chØ nÕu mäi m«®un M
i
⊕ M
j
lµ CS - m«®un víi
mäi 1≤ i≠j ≤ n.
II. §Þnh nghÜa vµ ký hiÖu
C¸c vµnh R xÐt trong bµi nµy ®−îc gi¶ thiÕt lµ vµnh kÕt hîp cã ®¬n vÞ, mäi R -
m«®un lµ R - m«®un ph¶i unita. C¸c ký hiÖu K ⊂ M, K ⊂
⊕
M, K M chØ ra r»ng K lµ
m«®un con, h¹ng tö trùc tiÕp vµ m«®un con cèt yÕu cña m«®un M t−¬ng øng, ®é dµi
cña mét m«®un M ®−îc ký hiÖu lµ l(M).
Ta xÐt ®iÒu kiÖn sau ®èi víi mét m«®un M:
(C
1
): Mäi m«®un con cña M lµ cèt yÕu trong mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M. Nãi
.
NhËn bµi ngµy 24/10/2005. Söa ch÷a xong 12/9/2006.
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007
124
c¸ch kh¸c mäi m«®un con ®ãng cña M lµ mét h¹ng tö trùc tiÕp cña M .
Mét m«®un M ®−îc gäi lµ CS - m«®un nÕu M tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (C
1
). M«®un M
®−îc gäi lµ cã tÝnh chÊt (U) hay (1 - C
1
) - m«®un nÕu mäi m«®un con ®ãng ®Òu cña M
lµ h¹ng tö trùc tiÕp cña M.
Mét sù ph©n tÝch M =
⊕
i
∈
I
M
i
c¸c m«®un con cña m«®un M ®−îc gäi lµ bï h¹ng tö
trùc tiÕp nÕu víi mäi h¹ng tö trùc tiÕp U cña M, tån t¹i tËp con J ⊆ I sao cho
M = U ⊕ (
⊕
j
∈
J
M
j
).
Mét sù ph©n tÝch M =
⊕
i
∈
I
M
i
c¸c m«®un con cña m«®un M ®−îc gäi lµ bï h¹ng tö
trùc tiÕp ®Òu nÕu víi mäi h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu U cña M, tån t¹i tËp con J ⊆ I sao cho
M = U ⊕ (
⊕
j
∈
J
M
j
).
Mét sù ph©n tÝch bï h¹ng tö trùc tiÕp lµ bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu.
Cho M lµ mét m«®un kh¸c kh«ng. Mét tËp hîp h÷u h¹n n+1 m«®un con cña M
M = M
0
>M
1
> ... > M
n
= 0
®−îc gäi lµ mét d·y hîp thµnh ®é dµi n cña M víi ®iÒu kiÖn r»ng m«®un M
i-1
/M
i
lµ
®¬n (i = 1, 2, ..., n).
§é dµi cña m«®un M ( l(M)) ®−îc ®Þnh nghÜa:
l(M) =
III. Tæng trùc tiÕp c¸c CS - m«®un
Bæ ®Ò 3.1. H¹ng tö trùc tiÕp bÊt kú cña mét CS ( t−¬ng øng (1 - C
1
)) - m«®un lµ
mét CS ( t−¬ng øng (1 - C
1
)) - m«®un.
Chøng minh. Gäi K lµ mét h¹ng tö trùc tiÕp cña mét m«®un M vµ N lµ mét
m«®un con ®ãng (t−¬ng øng ®ãng ®Òu) trong mét m«®un K. Theo [2, 1.10(4)] N lµ
m«®un con ®ãng (t−¬ng øng ®ãng ®Òu) trong M (v× K⊂
⊕
M nªn K ®ãng trong M).
§iÒu nµy dÉn ®Õn N ⊂
⊕
M (do M lµ CS (t−¬ng øng (1 - C
1
)), nghÜa lµ M = N ⊕ X víi X
lµ m«®un con nµo ®ã cña M. Do N ⊂ K vµ K⊂
⊕
M nªn theo luËt modula ta cã K = N ⊕
(K ∩ X) hay K lµ CS - m«®un (t−¬ng øng (1-C
1
)).
Bæ ®Ò 3.2. Cho R lµ mét vµnh vµ M lµ mét R - m«®un sao cho M=M
1
⊕
M
2
⊕
…
⊕
M
n
lµ mét tæng trùc tiÕp h÷u h¹n nh÷ng m«®un M
i
(1
≤
i
≤
n) néi x¹ lÉn nhau. Khi ®ã M
lµ mét CS - m«®un nÕu vµ chØ nÕu M
i
lµ mét CS - m«®un víi mçi 1
≤
i
≤
n.
Chøng minh. Xem [3, Theorem 8].
§Þnh lý 3.3. Cho R lµ vµnh vµ mét R - m«®un ph¶i M = M
1
⊕
M
2
⊕
...
⊕
M
n
lµ
mét tæng trùc tiÕp h÷u h¹n nh÷ng m«®un néi x¹ lÉn nhau cã ®é dµi 2. Khi ®ã M lµ
CS - m«®un.
Chøng minh. Tr−íc hÕt ta sÏ chøng minh r»ng m«®un M
i
lµ mét CS - m«®un víi
mäi 1≤ i ≤ n.
0 nÕu M =0
n nÕu M cã mét d·y hîp thµnh ®é dµi n.
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007
125
ThËt vËy, nÕu M
i
(1≤ i ≤ n) lµ m«®un kh«ng ph©n tÝch ®−îc, th× lÊy bÊt kú c¸c
m«®un con A ⊂ M
i
vµ B ⊂ M
i
sao cho A ∩ B = 0. Khi ®ã ta cã d·y hîp thµnh:
0 ⊂ A ⊂ A ⊕ B ⊂ M
i
.
Theo gi¶ thiÕt m«®un M
i
cã l(M
i
) = 2 nªn ta cã A = A ⊕ B hay B = 0. Nh− vËy
.
A M
i
vµ ®iÒu nµy dÉn ®Õn M
i
lµ m«®un ®Òu. VËy M lµ m«®un CS - m«®un.
NÕu M
i
lµ m«®un ph©n tÝch ®−îc th× theo [1, The Krull - Schmit Theorem 12.9] ta
cã sù ph©n tÝch m«®un M
i
= M
1
i
⊕ M
2
i
, trong ®ã M
1
i
vµ M
2
i
lµ nh÷ng m«®un ®¬n
(v× l(M) =2 dÉn ®Õn l(M
1
i
) = l(M
2
i
) = 1). Nh− vËy M
i
lµ m«®un nöa ®¬n vµ dÉn ®Õn
lµ CS - m«®un.
Theo Bæ ®Ò 3.2 ta cã M lµ CS - m«®un.
§Þnh lý 3.4. Cho R lµ vµnh vµ M lµ mét R - m«®un ph¶i sao cho M =
i
Ii
M
∈
⊕
lµ
mét tæng trùc tiÕp c¸c m«®un ®Òu cã ®é dµi lín nhÊt b»ng hai. Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu
sau lµ t−¬ng ®−¬ng:
(i) M lµ CS - m«®un;
(ii) M
i
⊕
M
j
mµ l(M
i
) = l(M
j
) = 2 lµ CS - m«®un, i
≠
j
∈
I.
Chøng minh. (i) ⇒ (ii): Lµ hiÓn nhiªn theo Bæ ®Ò 3.1.
(ii) ⇒ (i): Gi¶ sö A = M
i
⊕ M
j
mµ l(M
i
) = l(M
j
) = 2 lµ CS - m«®un víi i ≠ j ∈ I. Khi
®ã A lµ (1- C
1
) - m«®un. Do M
i
, M
j
lµ c¸c m«®un ®Òu, cã ®é dµi h÷u h¹n nªn theo
.
[1, Lemma 12.8], ta cã End(M
i
) vµ End(M
j
) lµ nh÷ng vµnh ®Þa ph−¬ng. Tõ ®ã ¸p
dông [1, Corollary 12.7], sù ph©n tÝch A = M
i
⊕ M
j
lµ bï h¹ng tö trùc tiÕp vµ dÉn ®Õn
lµ bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu. Tõ gi¶ thiÕt l(M
i
) = l(M
j
) suy ra M
i
kh«ng thÓ nhóng thùc
sù trong M
j
(v× nÕu nh− vËy th× l(M
i
) ≠ l(M
j
)) nªn ¸p dông [7, Theorem 2.(ii ⇒ iii)] ta
cã, M
i
lµ M
j
néi x¹. Nh− vËy m«®un M
i
(i ∈ I) víi l(M
i
)= 2 lµ néi x¹ lÉn nhau. Theo
.
[2, Lemma 8.14] ta cã M lµ CS - m«®un.
MÖnh ®Ò 3.5. Cho R lµ vµnh vµ mét R - m«®un ph¶i M = M
1
⊕
M
2
lµ mét tæng
trùc tiÕp cña mét m«®un ®¬n vµ mét m«®un cã ®é dµi 2 khi ®ã M lµ CS - m«®un.
Chøng minh. ThËt vËy, gi¶ sö m«®un M = M
1
⊕ M
2
víi M
1
lµ m«®un ®¬n vµ M
2
cã
®é dµi 2 (khi ®ã M cã ®é dµi 3). Gäi K lµ mét m«®un con ®ãng trong M, th× tõ M
1
lµ
m«®un ®¬n nªn hoÆc K ∩ M
1
= 0 hoÆc K ∩ M
1
= M
1
Tr−êng hîp 1. K ∩ M
1
= M
1
, th× râ rµng K ⊂
⊕
M.
Tr−êng hîp 2. K ∩ M
1
= 0. Gäi π : M
1
⊕ M
2
→ M
2
lµ phÐp chiÕu vµ gäi α = π|
K
. Khi
®ã víi phÇn tö bÊt kú x ∈ K: x = x
1
+ x
2
víi x
1
∈ M
1
, x
2
∈ M
2
. Cho α(x) = 0 th× dÉn ®Õn
α(x
1
+ x
2
) = α(x
1
) + α(x
2
) = x
2
= 0, vµ bëi v× K ∩ M
1
= 0 nªn suy ra x
1
= 0 hay x = 0.
VËy α lµ mét ®¬n cÊu vµ ta cã K ≅ α(K) ⊂ M
2
. Do K lµ m«®un con thùc sù cña M (cã
l(M) = 3) nªn l(K) ≤ 2.
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007
126
NÕu l(K) = l(M
2
) = 2 th× ®¬n cÊu α lµ mét ®¼ng cÊu vµ nh− vËy ta cã M = M
1
⊕ K.
NÕu l(K) = 1 (K lµ m«®un ®¬n) th× K ≅ α(K) lµ mét m«®un con thùc sù cña M
2
. V×
l(M) = 3 nªn nÕu nh− K ∩ M
2
= 0 th× dÔ thÊy M = K ⊕ M
2
(v× nÕu kh«ng th× tõ K ⊕
M
2
⊂ M hay 3 = l(K ⊕ M
2
) < l(M) = 3, m©u thuÉn), hay K ⊂
⊕
M. NÕu K∩M
2
≠ 0 th× dÔ
thÊy K = α(K) ⊂ M
2
. Do K ®ãng trong M nªn dÉn ®Õn K ®ãng trong M
2
(M
2
lµ CS -
m«®un theo chøng minh cña §Þnh lý 3.3), suy ra K ⊂
⊕
M
2
⊂
⊕
M.
VËy M lµ CS - m«®un.
VÝ dô d−íi ®©y chØ ra r»ng MÖnh ®Ò 3.5 kh«ng cßn ®óng trong tr−êng hîp M lµ
tæng trùc tiÕp cña mét m«®un ®¬n vµ mét m«®un cã ®é dµi lín h¬n 2.
VÝ dô 3.6. XÐt - m«®un M = (/p
3
) ⊕ ((p
2
/p
3
)/( p/p
3
)), trong ®ã (/p
3
) lµ
mét m«®un ®Òu (CS - m«®un) cã ®é dµi b»ng 3 vµ (p
2
/p
3
)/(p/p
3
) lµ mét m«®un
®¬n.
NhËn xÐt r»ng End(/p
3
) vµ End((p
2
/p
3
)/(p/p
3
)) lµ nh÷ng vµnh tù ®ång cÊu
®Þa ph−¬ng theo [1, Lemma 12.8]. Gi¶ sö M lµ CS - m«®un. §Æt
π : p
2
/p
3
→ (p
2
/p
3
)/(p/p
3
)
lµ phÐp chiÕu tù nhiªn, th× râ rµng π kh«ng ®¬n cÊu. Tõ [2, Lemma 7.3.(i)], π cã thÓ
®−îc më réng tíi mét ®ång cÊu
f : /p
3
→ (p
2
/p
3
)/(p/p
3
).
Do (p
2
/p
3
)/(p/p
3
) lµ m«®un ®¬n nªn Imf =(p
2
/p
3
)/(p/p
3
) hoÆc Imf = 0, vµ ®iÒu
®ã dÉn ®Õn
(/p
3
)/ker(f) ≅ (p
2
/p
3
)/(p/p
3
) hoÆc Ker(f) = /p
3
.
Khi ®ã Ker(f) = (p
2
/p
3
) hoÆc Ker(f) = /p
3
, vµ ®iÒu nµy m©u thuÉn víi π vµ f lµ c¸c
®ång cÊu kh¸c ®ång cÊu kh«ng.
VËy M kh«ng lµ CS - m«®un.
§Þnh lý 3.7. Gi¶ sö R lµ mét vµnh vµ M lµ mét R - m«®un ph¶i sao cho
.
M = M
1
⊕
M
2
⊕
...
⊕
M
n
lµ tæng trùc tiÕp cña nh÷ng m«®un ®Òu M
i
vµ sù ph©n tÝch lµ
bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu. Gi¶ thiÕt r»ng víi mäi 1
≤
i
≠
j
≤
n, mäi ®¬n cÊu M
i
→
M
j
lµ
mét ®¼ng cÊu. Khi ®ã c¸c ph¸t biÓu sau lµ t−¬ng ®−¬ng :
(i) M lµ CS - m«®un;
(ii)M
i
⊕
M
j
lµ CS - m«®un víi mäi 1
≤
i
≠
j
≤
n.
Chøng minh. (i) ⇒ (ii) lµ hiÓn nhiªn theo Bæ ®Ò 3.1.
(ii) ⇒ (i) Gi¶ sö mäi m«®un A = M
i
⊕ M
j
lµ CS - m«®un víi 1 ≤ i ≠ j ≤ n. Gäi
.
K ⊂ M
i
(K lµ m«®un ®Òu) vµ f : K → M
j
lµ mét ®ång cÊu . §Æt
U = {x - f(x) : x ∈ K} ⊆ M
i
⊕ M
j
,
th× U ≅ K (do phÐp chiÕu tù nhiªn π : M
i
⊕ M
j
→ M
i
cã π(U) = K) lµ mét m«®un con
®Òu cña A. LÊy y ∈ U ∩ M
j
th× tån t¹i x ∈ K sao cho y = x - f(x).
§¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVI, sè 1A-2007
127
Suy ra
.
x = y + f(x) ∈ M
j
∩ K = 0. Do ®ã y = 0 vµ dÉn ®Õn U ∩ M
j
= 0. Bëi v× A lµ CS -
m«®un (suy ra A lµ (1 -C
1
) - m«®un) nªn tån t¹i m«®un con U’ ⊂
⊕
A sao cho U U’.
Do sù ph©n tÝch lµ bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu nªn chóng ta cã:
A = U’ ⊕ M
i
hoÆc A = U’ ⊕ M
j
.
Tr−êng hîp 1. A = U’ ⊕ M
i
. Gäi π
i
lµ phÐp chiÕu tõ U’ ⊕ M
i
®Õn M
i
vµ gäi
.
α = π
i
|j
M
. Khi ®ã v× U U’ nªn U’ ®ãng ®Òu trong A vµ khi ®ã U’ ∩ M
j
= 0. Nh− vËy
α lµ mét ®¬n cÊu, vµ tõ gi¶ thiÕt suy ra α lµ mét ®¼ng cÊu. §iÒu ®ã cã nghÜa
.
A = U’ ⊕ M
j
. Khi ®ã víi mäi x ∈ K, x = f(x) + (x - f(x)), trong ®ã f(x) ∈ M
j
vµ (x - f(x)) ∈
U’. Tõ ®ã ta cã
α(x) = π
i
|
i
M
(x) = π
i
|
i
M
( f(x) + (x - f(x)) = π
i
|
i
M
(f(x)) + π
i
|
i
M
(x - f(x)) = f(x), nghÜa lµ
α lµ mét më réng cña f, hay M
j
lµ M
i
néi x¹.
Tr−êng hîp 2. A = U’ ⊕ M
j
. Gäi π
j
: U’ ⊕ M
j
→ M
j
lµ phÐp chiÕu vµ gäi β = π
j
|
i
M
.
Khi ®ã víi mäi x ∈ M
i
, x = (x - f(x) + f(x) trong ®ã f(x) ∈ M
j
vµ x - f(x) ∈ U’. Tõ ®ã ta
cã:
β(x) = β[(x - f(x)) + f(x)] = f(x) .
Suy ra β lµ mét më réng cña f, hay M
j
lµ M
i
néi x¹.
Nh− vËy, m«®un M
i
(1 ≤ i ≤ n) lµ néi x¹ lÉn nhau vµ do ®ã ¸p dông Bæ ®Ò 3.2 th×
ta cã M lµ CS - m«®un.
HÖ qu¶ 3.8. Gi¶ sö R lµ mét vµnh vµ M lµ mét R - m«®un sao cho
.
M = M
1
⊕
M
2
⊕
...
⊕
M
n
lµ tæng trùc tiÕp h÷u h¹n cña nh÷ng m«®un ®Òu M
i
cã cïng
®é dµi vµ sù ph©n tÝch lµ bï h¹ng tö trùc tiÕp ®Òu. Khi ®ã M lµ CS - m«®un nÕu vµ
chØ nÕu mäi h¹ng tö trùc tiÕp M
i
⊕
M
j
lµ CS - m«®un víi mäi 1
≤
i
≠
j
≤
n.
Chøng minh. Do c¸c m«®un M
i
vµ M
j
víi 1 ≤ i ≠ j ≤ n cã cïng ®é dµi nªn mäi ®¬n
cÊu M
i
→ M
j
lu«n lµ mét ®¼ng cÊu (v× nÕu kh«ng th× l(M
i
) ≠ l(M
j
)). Theo §Þnh lý 3.6
ta cã ®iÒu cÇn chøng minh.
tµi liÖu tham kh¶o
[1] F. W Anderson and K. R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Springer -
Verlag, New York - Heidelberg - Berlin, 1974.
[2] Ng. V. Dung - D. V. Huynh - P. F. Smith and R. Wisbauer, Extending Modules,
Pitman, London, 1994.
[3] A. Harmanci and P. F. Smith, Finite direct sum of CS - modules, Houston J.
Math 19 (1993), 523 - 532.
[4] D. V. Huynh - S. K. Jain and S.R. Lãpez – Permouth, Rings characterized by
direct sums of CS modules, Comm. Algebra, 28 (9), (2000), 4219 - 4222.
