tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008
5
VÒ tÝnh Ψ
ΨΨ
Ψ-æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh
sai ph©n tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian banach
Ph¹m Ngäc Béi
(a)
, Hoµng V¨n Thµnh
(a)
Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i x©y dùng c¸c kh¸i niÖm
Ψ
-æn ®Þnh ®Òu,
Ψ
-
æn ®Þnh mò cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong kh«ng gian Banach
vµ chøng minh mét sè ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph−¬ng tr×nh nµy
Ψ
-æn ®Þnh ®Òu,
Ψ
-æn
®Þnh mò. Bµi b¸o còng chØ ra mèi quan hÖ gi÷a ®iÒu kiÖn Perron cña ph−¬ng tr×nh sai
ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt víi tÝnh
Ψ
-æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn
tÝnh thuÇn nhÊt t−¬ng øng.
I. Giíi thiÖu
Gi¶ sö B lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn
.
, vµ {A(n), n
≥
0} lµ mét d·y to¸n
tö tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian Banach B. Khi ®ã ta cã ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn
tÝnh thuÇn nhÊt trong B
)()()1( nxnAnx
=
+
(1)
C¸c kÕt qu¶ cæ ®iÓn vÒ sù æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh (1) trong
n
®−îc tr×nh
bµy mét c¸ch hÖ thèng trong nhiÒu tµi liÖu (ch¼ng h¹n trong [10]). §Ó t×m c¸c kÕt
qu¶ tæng qu¸t h¬n, cã hai quan ®iÓm nghiªn cøu: mét lµ xÐt ph−¬ng tr×nh (1) trong
c¸c kh«ng gian tæng qu¸t h¬n
n
; hai lµ ®−a ra c¸c kh¸i niÖm æn ®Þnh tæng qu¸t h¬n
kh¸i niÖm æn ®Þnh cæ ®iÓn, nh»m më réng c¸c kÕt qu¶ ®· cã vÒ tÝnh æn ®Þnh ®èi víi
ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh.
§èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n, Akinnyele ([1]) ®· ®−a ra kh¸i niÖm
Ψ
-æn ®Þnh,
Ψ
-bÞ chÆn. Cã nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m ®Õn h−íng nghiªn cøu nµy nh− Avamescu,
Constantin... (xem [2], [4] - [8]). §èi víi ph−¬ng tr×nh sai ph©n, gÇn ®©y Y. Han vµ J.
Hong ([9]) ®· chØ ra mét sè tiªu chuÈn vÒ sù tån t¹i nghiÖm
Ψ
-bÞ chÆn cña ph−¬ng
tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh trong
n
:
x(n+1) = A(n) x(n)+f(n), (2)
trong ®ã {f(n), n
≥
0} lµ d·y nhËn gi¸ trÞ trong
n
.
C¸c t¸c gi¶ cña [1], [2], [4] - [9] chØ xÐt bµi to¸n trong
n
vµ
Ψ
(t), t ∈ (hoÆc
Ψ
(n), n ∈ = {0,1,2...} ) lµ ma trËn ®−êng chÐo, mçi phÇn tö trªn ®−êng chÐo lÊy gi¸
trÞ trong (0, +∞).
Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i x©y dùng kh¸i niÖm
Ψ
-æn ®Þnh ®Òu,
Ψ
-æn ®Þnh
mò cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong kh«ng gian Banach vµ
chØ ra mét sè tiªu chuÈn ®Ó chóng
Ψ
-æn ®Þnh ®Òu,
Ψ
-æn ®Þnh mò víi {
Ψ
(n), n
≥
0} lµ
d·y to¸n tö tuyÕn tÝnh cña B kh¶ nghÞch víi mäi n ∈. Chóng t«i sö dông to¸n tö
dÞch chuyÓn lµm c«ng cô nghiªn cøu ®iÒu kiÖn Perron cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n
tuyÕn tÝnh.
NhËn bµi ngµy 14/7/2008. Söa ch÷a xong 22/8/2008.
P.N. Béi, H. V. Thµnh VÒ sù Ψ-æn ®Þnh cña ... kh«ng gian banach, Tr. 5-12
6
1.1. §Þnh nghÜa ([10]).
a) Ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc gäi lµ
Ψ
-æn ®Þnh ®Òu trªn nÕu víi mçi
ε
> 0 tån
t¹i
δ
=
δ
(
ε
) > 0 sao cho mçi mét nghiÖm bÊt kú {x(n)} cña ph−¬ng tr×nh (1) trªn [n
0
,
∞
), víi n
0
tuú ý thuéc nÕu tho¶ m·n
)()(
00
nxnΨ
<
δ
th×
)()( nxnΨ
<
ε
víi mäi n
≥
n
0
.
b) Ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc gäi lµ
Ψ
-æn ®Þnh mò trªn nÕu tån t¹i c¸c sè d−¬ng
K vµ q, q <
1
sao cho nÕu {x(n), n∈} lµ nghiÖm bÊt kú cña ph−¬ng tr×nh (1) th×
)()()()( mxmΨKqnxnΨ
mn−
≤
víi mäi n, m thuéc , n
≥
m
≥
0.
1.2. Chó ý. DÔ thÊy ph−¬ng tr×nh (1)
Ψ
-æn ®Þnh mò trªn th× còng
Ψ
-æn
®Þnh ®Òu trªn . Trong tr−êng hîp, c¸c d·y {
Ψ
(n), n
≥
0} vµ {
Ψ
-1
(n), n
≥
0} bÞ chÆn
(nãi riªng khi {
Ψ
(n), n
≥
0} lµ d·y to¸n tö ®ång nhÊt) th× kh¸i niÖm
Ψ
- æn ®Þnh ®Òu
(t−¬ng øng
Ψ
-æn ®Þnh mò) cña ph−¬ng tr×nh (1) ®ång nhÊt víi kh¸i niÖm æn ®Þnh ®Òu
(t−¬ng øng æn ®Þnh mò) cña ph−¬ng tr×nh (1).
II. c¸c kÕt qu¶
Trong bµi b¸o nµy ta gi¶ thiÕt r»ng
...,2,1),()1()(
1
=−
−
nnΨnAnΨ
lµ d·y to¸n
tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn ®Òu
...,2,1,)1()1()(
1
=∞<≤−−
−
nCnΨnAnΨ
. (3)
Ký hiÖu
X n m A n A n A m n m
I n m
( , ) ( ) ( )... ( ) ,
,
=− − >
=
1 2
,
trong ®ã I lµ to¸n tö ®ång nhÊt. X(n, m) ®−îc gäi lµ to¸n tö gi¶i cña ph−¬ng tr×nh (1)
2.1. §Þnh lý. Ph−¬ng tr×nh (1)
Ψ
-æn ®Þnh ®Òu nÕu vµ chØ nÕu
∞<≤
−
≥≥
KmΨmnXnΨ)(),()(sup
1
0mn
. (4)
Chøng minh. DÔ thÊy nghiÖm x = {x(n), n ∈} cña ph−¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n:
x(n) = X(n,m)x(m) víi mäi n
≥
m
≥
0 .
Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh (1)
Ψ
-æn ®Þnh ®Òu, khi ®ã tån t¹i δ > 0 sao cho víi x(n) lµ
nghiÖm bÊt kú cña (1) nÕu
δ
<)()( mxmΨ
(5)
th×
1)()( <nxnΨ
, n
≥
m
≥
0. (6)
§Æt
)(),()(),(
1
m
Ψ
mnXn
Ψ
mn
Φ
−
=
, ta chøng minh hä to¸n tö
{
}
0,),( ≥≥ mnmnΦ
bÞ chÆn ®Òu. Víi
0
≥
≥
mn
, gi¶ sö u ≠ 0, u ∈ B, ta xÐt d·y {x(n), n
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008
7
=m, m+1,...} sao cho x(m) =
u
um 2
)(
1
δ
Ψ
−
(
Ψ
(m) kh¶ nghÞch víi mäi m thuéc ). Khi
®ã
2
)()(
δ
=mxmΨ
nªn (5) tho¶ m·n. VËy ta cã (6), nghÜa lµ
1)()()(),()(
1
<
−
mxmΨmΨmnXnΨ
, n
≥
m
≥
0.
Suy ra
δ
u
umnΦ2
),( ≤
. (7)
Khi u = 0 hiÓn nhiªn bÊt ®¼ng thøc thøc (7). VËy ®¼ng thøc thøc (7) ®óng víi
mäi u ∈B, suy ra hä to¸n tö
{
}
0,),( ≥≥ mnmnΦ
bÞ chÆn t¹i mçi mét u ∈B. Theo
nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu, ta suy ra hä to¸n tö
{
}
0,),( ≥≥ mnmnΦ
bÞ chÆn ®Òu.
VËy (4) ®−îc chøng minh.
Ng−îc l¹i gi¶ sö cã (4). NÕu ε lµ sè d−¬ng bÊt kú, ta chän δ =
K
ε
. Khi ®ã víi
nghiÖm x(n) tuú ý cña (1) nÕu
x(m)mΨ)(
<
K
ε
th×
m)x(m))Ψ(n)X(n,Ψ(n)x(n) =
Ψ(m)x(m))(m)m)ΨΨ(n)X(n,
1−
≤
< ε,
víi mäi n
≥
m.
VËy ph−¬ng tr×nh (1) æn ®Þnh ®Òu.
XÐt tËp hîp C gåm tÊt c¶ c¸c d·y g: →
B sao cho
)()(sup ngn
n
Ψ
< ∞. DÔ
thÊy r»ng
Ψ
.
=
)()(sup ngnΨ
n
lµ mét chuÈn trªn C, víi chuÈn nµy C lµ mét kh«ng
gian Banach C
Ψ
.
LËp ¸nh x¹ S: C
Ψ
→
C
Ψ
,
≥−−
=
=
1 nÕu
0 nÕu
nnvnA
n
nSv )1()1(
0
))((
ta gäi S lµ to¸n tö dÞch chuyÓn cña C
Ψ
. Chó ý r»ng ®iÒu kiÖn (3) ®¶m b¶o cho Sv ∈
C
Ψ
vµ S ∈ L[C
Ψ
] (kh«ng gian c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn cña C
Ψ
). Ta ký hiÖu
chuÈn cña S lµ
Ψ
S
.
2.2. §Þnh lý. Ph−¬ng tr×nh (1)
Ψ
-æn ®Þnh ®Òu nÕu vµ chØ nÕu
∞<≤
Ψ
≥
MS
k
k
0
sup
.
Chøng minh. §Æt
(m)m)ΨΨ(n)X(n,mnΦ
1
),(
−
=
, tr−íc hÕt ta chøng minh ®¼ng
thøc
),(sup
0
knnΦS
n
k
−=
≥
Ψ
. (9)
DÔ thÊy
0);(),())(( ≥≥−−= knknvknnXnvS
k
nªn
P.N. Béi, H. V. Thµnh VÒ sù Ψ-æn ®Þnh cña ... kh«ng gian banach, Tr. 5-12
8
k)k)v(n(nk)nΦ(n,vS
n
k
−−−=
Ψ
Ψ
sup
)()(sup),(sup knvknΨknnΦ
nn
−−−≤
Ψ
n
v.k)nΦ(n, −≤ sup
.
VËy
),(sup
0
knnΦS
n
k
−≤
≥
Ψ
. (10)
Víi x ∈B, ký hiÖu v
x
lµ d·y
{
}
0,)()(
1
≥=
−
nxnnv
x
Ψ
.
Khi ®ã
xknnΦknnΦ
x
),(sup),(
1
−=−
=
=
k)(nk)v(nk)nΦ(n,
x
x
−−−
=
Ψ
1
sup
)(),()(sup
1
knvknnXnΨ
x
x
−−=
=
=)()(sup
1
nvSn
Ψ
x
k
x=
=
Ψ
=x
k
x
vS
1
sup
Ψ
=
Ψ
≤
x
k
v
vS
x
1
sup
Ψ
≤
k
S
.
KÕt hîp bÊt ®¼ng thøc trªn víi (10) ta cã (9).
Tõ (9) vµ §Þnh lý 2.1 suy ra ph−¬ng tr×nh (1)
Ψ
-æn ®Þnh ®Òu.
2.3. HÖ qu¶. B¸n kÝnh phæ cña S lµ
k
kn
k
knnΦsr
1
),(suplim)( −=
≥
∞→
σ
.
§iÒu nµy suy ra tõ c«ng thøc (9) vµ c«ng thøc b¸n kÝnh phæ
k
k
k
SSr
1
lim)(
Ψ
σ
∞→
=
.
2.4. §Þnh lý. Ph−¬ng tr×nh (1)
Ψ
-æn ®Þnh mò khi vµ chØ khi b¸n kÝnh phæ cña
S tho¶ m·n 1)( <Sr
σ
.
Chøng minh. Tr−íc hÕt ta chøng minh ®¼ng thøc
{
xmqNxmnXnNqSr
mn
qq
x
mn
)(),()(,00inf)(
0
Ψ≤Ψ>∃>=
−
∈
≥≥
σ
B
. (11)
§Æt vÕ ph¶i cña (11) lµ R. Tr−íc hÕt ta chøng minh
RSr ≤)(
σ
. (12)
§Ó chøng minh (12) ta chøng minh q
≥
)(Srσ
nÕu q
≥
R.
Ta cã k)k)v(nΨ(nqNv)(n)Ψ(n)(S
k
q
k
−−≤ , n
≥
k
≥
0, v ∈ C
Ψ
.
VËy
Ψ
Ψ
≤vqNvS
k
q
k
cho nªn
k
q
k
qNS ≤
Ψ
. Suy ra
qSSr
k
k
k
≤=
Ψ
∞→
σ
1
lim)(
.
VËy (12) ®−îc chøng minh.
Ta cßn ph¶i chøng minh
RSr ≥
σ
)( . (13)
§Ó chøng minh (13) ta chøng minh p
≥
R nÕu p
≥
)(Sr
σ
. ThËt vËy tõ q
≥
)(Sr
σ
nªn víi k
0
®ñ lín ta cã
pS
k
k
≤
Ψ
0
0
1
. (14)
Gi¶ sö u lµ mét phÇn tö cña B. Ký hiÖu u
x
lµ d·y
tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008
9
=
≠
=
1nÕu
1nÕu
nx
n
nu
x
0
)( .
DÔ thÊy
=−=
≥
Ψ
)(),()(sup
0
0
0
nuknnXnΨuS
x
n
x
k
xkXkΨ)1()1(
00
++
. (15)
Theo (14) ta cã
xΨpupuS
k
x
k
x
k
)1(
000
=≤
Ψ
Ψ
. KÕt hîp bÊt ®¼ng thøc nµy
víi (15), suy ra
xΨpxkXkΨ
k
)1()1,1()1(
0
00
≤++
. BÊt ®¼ng thøc nµy chøng tá p
≥
R. VËy
(13) ®−îc chøng minh. Tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc (12), (13) ta cã (11).
B©y giê ta chøng minh §Þnh lý 2.4.
Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh (1)
Ψ
-æn ®Þnh mò. Khi ®ã tån t¹i c¸c sè K vµ q : K > 0, 0 <
q<
1
sao cho nÕu {x(n), n∈N} lµ nghiÖm bÊt kú cña ph−¬ng tr×nh (1) th×
Ψ(m)x(m)KqΨ(n)x(n)
mn−
≤
víi mäi n
≥
m
≥
0. (16)
Víi phÇn tö v bÊt kú cña B, ký hiÖu x(n) lµ nghiÖm cña (1) sao cho x(0) = v. Tõ
(16) ta cã
)vΨ(Kq)vΨ(n)X(n,
n
00 ≤
. Tõ (11) ta suy ra 1)(
<Sr
σ
.
Ng−îc l¹i, nÕu 1)(
<Sr
σ
th× tõ (11) ta suy ra tån t¹i c¸c sè 0 < q<
1
, N
q
sao
cho
Ψ(m)vqNm)vΨ(n)X(n,
mn
q
−
≤
víi mäi m,n thuéc , n
≥
m
≥
0, mäi v ∈B. Gi¶ sö
x(n) lµ nghiÖm tuú ý cña (1), thay v trong bÊt ®¼ng thøc trªn bëi x(m), ta thu ®−îc
(16). VËy ph−¬ng tr×nh (1)
Ψ
-æn ®Þnh mò.
Sau ®©y ta chøng minh mèi quan hÖ gi÷a tÝnh
Ψ
-æn ®Þnh mò cña ph−¬ng
tr×nh (1) víi ®iÒu kiÖn Perron cña ph−¬ng tr×nh (2), trong ®ã {f(n), n
≥
0} lµ d·y nhËn
gi¸ trÞ trong B.
2.5. §Þnh nghÜa. NÕu víi mçi mét f thuéc C bµi to¸n Cauchy
=
+=+
0)0(
)()()()1(
x
nfnxnAnx
cã nghiÖm x(n) thuéc C,
ta nãi r»ng ph−¬ng tr×nh (2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Perron.
Sau ®©y lµ kÕt qu¶ vÒ mèi liªn hÖ gi÷a tÝnh
Ψ
-æn ®Þnh mò vµ ®iÒu kiÖn
Perron.
2.6. §Þnh lý. Ph−¬ng tr×nh (2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Perron khi vµ chØ khi
ph−¬ng tr×nh (1)
Ψ
-æn ®Þnh mò.
Chøng minh. Ký hiÖu
C
~
lµ tËp hîp con cña C gåm tÊt c¶ c¸c d·y {x(n),
n
≥
0|x(0) = 0}. DÔ thÊy r»ng tËp hîp
C
~
víi chuÈn
Ψ
.
nãi trªn lµ mét kh«ng gian
Banach, ta ký hiÖu kh«ng gian nµy lµ
Ψ
C
~
. Ký hiÖu
S
~
lµ h¹n chÕ cña S trªn
C
~
.
Tr−íc hÕt ta chøng minh hai bæ ®Ò sau (t−¬ng tù c¸ch chøng minh §Þnh lý 1
vµ §Þnh lý 5 trong [3]).