intTypePromotion=1

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về sự Y-ổn định của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banac"

Chia sẻ: Nguyễn Phương Hà Linh Linh | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:8

0
71
lượt xem
7
download

Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về sự Y-ổn định của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banac"

Mô tả tài liệu
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong toán học, một phép biến đổi tuyến tính (còn được gọi là toán tử tuyến tính hoặc là ánh xạ tuyến tính) là một hàm giữa hai không gian vectơ mà bảo toàn được các thao tác cộng và nhân vô hướng vectơ. Nói một cách khác, nó bảo toàn tổ hợp tuyến tính. Trong ngôn ngữ của đại số trừu tượng, một phép biến đổi tuyến tính là một đồng cấu giữa các không gian vectơ.

Chủ đề:
Lưu

Nội dung Text: Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Về sự Y-ổn định của phương trình sai phân tuyến tính trong không gian Banac"

  1. tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 VÒ tÝnh Ψ-æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian banach Ph¹m Ngäc Béi , Ho ng V¨n Th nh (a) (a) Tãm t¾t. Trong bµi b¸o nµy chóng t«i x©y dùng c¸c kh¸i niÖm Ψ-æn ®Þnh ®Òu, Ψ- æn ®Þnh mò cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong kh«ng gian Banach vµ chøng minh mét sè ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph−¬ng tr×nh nµy Ψ-æn ®Þnh ®Òu, Ψ-æn ®Þnh mò. Bµi b¸o còng chØ ra mèi quan hÖ gi÷a ®iÒu kiÖn Perron cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt víi tÝnh Ψ-æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt t−¬ng øng. I. Giíi thiÖu Gi¶ sö B lµ kh«ng gian Banach víi chuÈn . , vµ {A(n), n ≥ 0} lµ mét d·y to¸n tö tuyÕn tÝnh cña kh«ng gian Banach B. Khi ®ã ta cã ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong B (1) x(n + 1) = A(n) x(n) C¸c kÕt qu¶ cæ ®iÓn vÒ sù æn ®Þnh cña ph−¬ng tr×nh (1) trong »n ®−îc tr×nh bµy mét c¸ch hÖ thèng trong nhiÒu tµi liÖu (ch¼ng h¹n trong [10]). §Ó t×m c¸c kÕt qu¶ tæng qu¸t h¬n, cã hai quan ®iÓm nghiªn cøu: mét lµ xÐt ph−¬ng tr×nh (1) trong c¸c kh«ng gian tæng qu¸t h¬n »n; hai lµ ®−a ra c¸c kh¸i niÖm æn ®Þnh tæng qu¸t h¬n kh¸i niÖm æn ®Þnh cæ ®iÓn, nh»m më réng c¸c kÕt qu¶ ®· cã vÒ tÝnh æn ®Þnh ®èi víi ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh. §èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n, Akinnyele ([1]) ®· ®−a ra kh¸i niÖm Ψ-æn ®Þnh, Ψ-bÞ chÆn. Cã nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m ®Õn h−íng nghiªn cøu nµy nh− Avamescu, Constantin... (xem [2], [4] - [8]). §èi víi ph−¬ng tr×nh sai ph©n, gÇn ®©y Y. Han vµ J. Hong ([9]) ®· chØ ra mét sè tiªu chuÈn vÒ sù tån t¹i nghiÖm Ψ-bÞ chÆn cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh trong »n: x(n+1) = A(n) x(n)+f(n), (2) n trong ®ã {f(n), n ≥ 0} lµ d·y nhËn gi¸ trÞ trong » . C¸c t¸c gi¶ cña [1], [2], [4] - [9] chØ xÐt bµi to¸n trong »n vµ Ψ(t), t ∈» (hoÆc Ψ(n), n ∈» = {0,1,2...} ) lµ ma trËn ®−êng chÐo, mçi phÇn tö trªn ®−êng chÐo lÊy gi¸ trÞ trong (0, +∞). Trong bµi b¸o nµy, chóng t«i x©y dùng kh¸i niÖm Ψ-æn ®Þnh ®Òu, Ψ-æn ®Þnh mò cho ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt trong kh«ng gian Banach vµ chØ ra mét sè tiªu chuÈn ®Ó chóng Ψ-æn ®Þnh ®Òu, Ψ-æn ®Þnh mò víi {Ψ(n), n ≥ 0} lµ d·y to¸n tö tuyÕn tÝnh cña B kh¶ nghÞch víi mäi n ∈». Chóng t«i sö dông to¸n tö dÞch chuyÓn lµm c«ng cô nghiªn cøu ®iÒu kiÖn Perron cña ph−¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh. NhËn bµi ngµy 14/7/2008. Söa ch÷a xong 22/8/2008. 5
  2. VÒ sù Ψ-æn ®Þnh cña ... kh«ng gian banach, Tr. 5-12 P.N. Béi, H. V. Th nh 1.1. §Þnh nghÜa ([10]). a) Ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc gäi lµ Ψ-æn ®Þnh ®Òu trªn » nÕu víi mçi ε > 0 tån t¹i δ = δ (ε) > 0 sao cho mçi mét nghiÖm bÊt kú {x(n)} cña ph−¬ng tr×nh (1) trªn [n0, ∞), víi n0 tuú ý thuéc » nÕu tho¶ m·n Ψ (n0 ) x(n0 ) < δ th× Ψ (n) x(n) < ε víi mäi n ≥ n0. b) Ph−¬ng tr×nh (1) ®−îc gäi lµ Ψ-æn ®Þnh mò trªn » nÕu tån t¹i c¸c sè d−¬ng K vµ q, q < 1 sao cho nÕu {x(n), n∈»} lµ nghiÖm bÊt kú cña ph−¬ng tr×nh (1) th× Ψ (n) x(n) ≤ Kq n −m Ψ (m) x(m) víi mäi n, m thuéc », n ≥ m ≥ 0. 1.2. Chó ý. DÔ thÊy ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò trªn » th× còng Ψ-æn ®Þnh ®Òu trªn ». Trong tr−êng hîp, c¸c d·y {Ψ(n), n ≥ 0} vµ {Ψ -1(n), n ≥ 0} bÞ chÆn (nãi riªng khi {Ψ(n), n ≥ 0} lµ d·y to¸n tö ®ång nhÊt) th× kh¸i niÖm Ψ- æn ®Þnh ®Òu (t−¬ng øng Ψ-æn ®Þnh mò) cña ph−¬ng tr×nh (1) ®ång nhÊt víi kh¸i niÖm æn ®Þnh ®Òu (t−¬ng øng æn ®Þnh mò) cña ph−¬ng tr×nh (1). II. c¸c kÕt qu¶ Trong bµi b¸o nµy ta gi¶ thiÕt r»ng Ψ ( n) A( n − 1)Ψ −1 ( n), n = 1, 2, ... lµ d·y to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn ®Òu Ψ (n) A(n − 1)Ψ −1 (n − 1) ≤ C < ∞, n =1, 2, ... . (3)  A(n − 1) A(n − 2)... A(m) , n > m Ký hiÖu X ( n, m) =  , ,n=m I trong ®ã I lµ to¸n tö ®ång nhÊt. X(n, m) ®−îc gäi lµ to¸n tö gi¶i cña ph−¬ng tr×nh (1) 2.1. §Þnh lý. Ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh ®Òu nÕu vµ chØ nÕu sup Ψ (n) X (n, m)Ψ −1 (m) ≤ K < ∞ . (4) n ≥ m ≥0 Chøng minh. DÔ thÊy nghiÖm x = {x(n), n ∈»} cña ph−¬ng tr×nh (1) tho¶ m·n: x(n) = X(n,m)x(m) víi mäi n ≥ m≥ 0 . Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh ®Òu, khi ®ã tån t¹i δ > 0 sao cho víi x(n) lµ nghiÖm bÊt kú cña (1) nÕu (5) Ψ ( m ) x ( m) < δ th× Ψ (n) x(n) < 1 , n ≥ m ≥ 0. (6) −1 §Æt Φ (n, m) = Ψ (n) X (n, m)Ψ (m) , ta chøng minh hä to¸n tö {Φ(n, m) , n ≥ m ≥ 0} bÞ chÆn ®Òu. Víi n ≥ m ≥ 0 , gi¶ sö u ≠ 0, u ∈ B, ta xÐt d·y {x(n), n 6
  3. tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 δ −1 =m, m+1,...} sao cho x(m) =Ψ (Ψ(m) kh¶ nghÞch víi mäi m thuéc »). Khi (m)u 2u δ ®ã Ψ ( m) x( m) = nªn (5) tho¶ m·n. VËy ta cã (6), nghÜa lµ 2 Ψ (n) X (n, m)Ψ −1 (m)Ψ (m) x(m) < 1 , n ≥ m ≥ 0. 2u Suy ra Φ (n, m)u ≤ . (7) δ Khi u = 0 hiÓn nhiªn bÊt ®¼ng thøc thøc (7). VËy ®¼ng thøc thøc (7) ®óng víi mäi u ∈B, suy ra hä to¸n tö {Φ (n, m) , n ≥ m ≥ 0} bÞ chÆn t¹i mçi mét u ∈B. Theo nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu, ta suy ra hä to¸n tö {Φ (n, m) , n ≥ m ≥ 0} bÞ chÆn ®Òu. VËy (4) ®−îc chøng minh. ε Ng−îc l¹i gi¶ sö cã (4). NÕu ε lµ sè d−¬ng bÊt kú, ta chän δ = . Khi ®ã víi K ε nghiÖm x(n) tuú ý cña (1) nÕu Ψ (m) x(m) < th× K Ψ(n)x(n) = Ψ(n)X(n, m)x(m)) ≤ Ψ(n)X(n, m)Ψ −1(m) Ψ(m)x(m)) < ε, víi mäi n ≥ m. VËy ph−¬ng tr×nh (1) æn ®Þnh ®Òu. XÐt tËp hîp C gåm tÊt c¶ c¸c d·y g: » → B sao cho sup Ψ ( n) g ( n) < ∞. DÔ n thÊy r»ng . Ψ = sup Ψ ( n) g ( n) lµ mét chuÈn trªn C, víi chuÈn nµy C lµ mét kh«ng n gian Banach CΨ. LËp ¸nh x¹ S: CΨ → CΨ, 0 nÕu n = 0 ( Sv)(n) =   A(n − 1)v(n − 1) nÕu n ≥ 1 ta gäi S lµ to¸n tö dÞch chuyÓn cña CΨ . Chó ý r»ng ®iÒu kiÖn (3) ®¶m b¶o cho Sv ∈ CΨ vµ S ∈ L[CΨ] (kh«ng gian c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn cña CΨ). Ta ký hiÖu chuÈn cña S lµ S Ψ . 2.2. §Þnh lý. Ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh ®Òu nÕu vµ chØ nÕu ≤ M < ∞. sup S k Ψ k ≥0 Chøng minh. §Æt Φ (n, m) = Ψ(n)X(n, m)Ψ −1(m) , tr−íc hÕt ta chøng minh ®¼ng thøc = sup Φ (n, n − k ) . (9) Sk Ψ n≥ 0 DÔ thÊy ( S k v)( n) = X ( n, n − k )v( n − k ); n ≥ k ≥ 0 nªn 7
  4. VÒ sù Ψ-æn ®Þnh cña ... kh«ng gian banach, Tr. 5-12 P.N. Béi, H. V. Th nh S kv = sup Φ(n, n − k)Ψ(n − k)v(n − k) ≤ sup Φ (n, n − k ) sup Ψ (n − k )v(n − k ) Ψ n n n ≤ sup Φ(n, n − k) . v Ψ . n VËy S ≤ sup Φ (n, n − k ) . (10) k Ψ n≥0 { } −1 Víi x ∈B, ký hiÖu vx lµ d·y v x (n) =Ψ ( n) x, n ≥ 0 . Khi ®ã Φ (n, n − k ) = sup Φ (n, n − k ) x = sup Φ(n, n − k)Ψ(n − k)v x (n − k) x =1 x =1 = sup Ψ (n) X (n, n − k )v x (n − k ) = sup Ψ (n) S k v x (n) = sup S k vx ≤ Sk . ≤ sup S k vx Ψ Ψ Ψ x =1 x =1 x =1 =1 vx Ψ KÕt hîp bÊt ®¼ng thøc trªn víi (10) ta cã (9). Tõ (9) vµ §Þnh lý 2.1 suy ra ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh ®Òu. 1 2.3. HÖ qu¶. B¸n kÝnh phæ cña S lµ rσ ( s ) = lim sup Φ ( n, n − k ) k . k →∞ n ≥ k §iÒu nµy suy ra tõ c«ng thøc (9) vµ c«ng thøc b¸n kÝnh phæ 1 . rσ ( S ) = lim S k k Ψ k →∞ 2.4. §Þnh lý. Ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò khi vµ chØ khi b¸n kÝnh phæ cña S tho¶ m·n rσ ( S ) 0 ∃N q > 0, Ψ (n) X (n, m) x ≤ N q q n − m Ψ (m) x . (11) n ≥ m≥ 0 x∈B §Æt vÕ ph¶i cña (11) lµ R. Tr−íc hÕt ta chøng minh rσ ( S ) ≤ R . (12) §Ó chøng minh (12) ta chøng minh q ≥ nÕu q ≥ R. rσ ( S ) Ta cã Ψ(n)(S k v)(n) ≤ N q q k Ψ(n − k)v(n − k) , n ≥ k ≥ 0, v ∈ CΨ. 1 VËy S k v cho nªn S k ≤ N q q k . Suy ra rσ ( S ) = lim S k ≤q. ≤ Nqqk v k Ψ Ψ Ψ Ψ k →∞ VËy (12) ®−îc chøng minh. Ta cßn ph¶i chøng minh rσ ( S ) ≥ R . (13) §Ó chøng minh (13) ta chøng minh p ≥ R nÕu p ≥ rσ ( S ) . ThËt vËy tõ q ≥ rσ ( S ) nªn víi k0 ®ñ lín ta cã 1 S k0 ≤ p. (14) k0 Ψ Gi¶ sö u lµ mét phÇn tö cña B. Ký hiÖu ux lµ d·y 8
  5. tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 0 nÕu n ≠1 . u x ( n) =  n =1  x nÕu DÔ thÊy S k0 u x = sup Ψ (n) X (n, n − k 0 )u x (n) = Ψ (k 0 + 1) X (k 0 + 1) x . (15) Ψ n ≥0 k ≤ p k0 u x = p k0 Ψ (1) x . KÕt hîp bÊt ®¼ng thøc nµy Theo (14) ta cã S 0 u x Ψ Ψ víi (15), suy ra Ψ (k 0 + 1) X (k 0 + 1,1) x ≤ p k0 Ψ (1) x . BÊt ®¼ng thøc nµy chøng tá p ≥ R. VËy (13) ®−îc chøng minh. Tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc (12), (13) ta cã (11). B©y giê ta chøng minh §Þnh lý 2.4. Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò. Khi ®ã tån t¹i c¸c sè K vµ q : K > 0, 0 < q< 1 sao cho nÕu {x(n), n∈N} lµ nghiÖm bÊt kú cña ph−¬ng tr×nh (1) th× Ψ(n)x(n) ≤ Kq n− m Ψ(m)x(m) víi mäi n ≥ m ≥ 0. (16) Víi phÇn tö v bÊt kú cña B, ký hiÖu x(n) lµ nghiÖm cña (1) sao cho x(0) = v. Tõ (16) ta cã Ψ(n)X(n, 0 )v ≤ Kq n Ψ( 0 )v . Tõ (11) ta suy ra rσ ( S ) < 1 . Ng−îc l¹i, nÕu rσ ( S ) < 1 th× tõ (11) ta suy ra tån t¹i c¸c sè 0 < q< 1, Nq sao cho Ψ(n)X(n, m)v ≤ N q q n − m Ψ(m)v víi mäi m,n thuéc », n ≥ m ≥ 0, mäi v ∈B. Gi¶ sö x(n) lµ nghiÖm tuú ý cña (1), thay v trong bÊt ®¼ng thøc trªn bëi x(m), ta thu ®−îc (16). VËy ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò. Sau ®©y ta chøng minh mèi quan hÖ gi÷a tÝnh Ψ-æn ®Þnh mò cña ph−¬ng tr×nh (1) víi ®iÒu kiÖn Perron cña ph−¬ng tr×nh (2), trong ®ã {f(n), n ≥ 0} lµ d·y nhËn gi¸ trÞ trong B. 2.5. §Þnh nghÜa. NÕu víi mçi mét f thuéc C bµi to¸n Cauchy  x(n + 1) = A(n) x(n) + f (n)   x ( 0) = 0 cã nghiÖm x(n) thuéc C, ta nãi r»ng ph−¬ng tr×nh (2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Perron. Sau ®©y lµ kÕt qu¶ vÒ mèi liªn hÖ gi÷a tÝnh Ψ-æn ®Þnh mò vµ ®iÒu kiÖn Perron. 2.6. §Þnh lý. Ph−¬ng tr×nh (2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Perron khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò. ~ Chøng minh. Ký hiÖu C lµ tËp hîp con cña C gåm tÊt c¶ c¸c d·y {x(n), ~ n ≥ 0|x(0) = 0}. DÔ thÊy r»ng tËp hîp C víi chuÈn . Ψ nãi trªn lµ mét kh«ng gian ~ ~ ~ Banach, ta ký hiÖu kh«ng gian nµy lµ CΨ . Ký hiÖu S lµ h¹n chÕ cña S trªn C . Tr−íc hÕt ta chøng minh hai bæ ®Ò sau (t−¬ng tù c¸ch chøng minh §Þnh lý 1 vµ §Þnh lý 5 trong [3]). 9
  6. VÒ sù Ψ-æn ®Þnh cña ... kh«ng gian banach, Tr. 5-12 P.N. Béi, H. V. Th nh ~ 2.7. Bæ ®Ò. NÕu λ thuéc gi¶i thøc ρ ( S ) th× ®−êng trßn z = λ n»m trong ~ ρ (S ) . ~ ý nghÜa h×nh häc cña Bæ ®Ò nµy lµ: gi¶i thøc cña S lµ mét h×nh trßn xoay t©m lµ gèc to¹ ®é. Chøng minh. §Ó chøng minh Bæ ®Ò 2.7 ta chØ cÇn chøng minh r»ng phæ ~ σ ( S ) bÊt biÕn víi mäi phÐp quay quanh gèc to¹ ®é: ~ ~ σ ( S ) = eiασ ( S ) , (17) víi mäi α ∈». Tr−íc hÕt ta chøng minh cho α ∈2π», (» lµ tËp hîp c¸c sè h÷u tû). Tøc lµ α p ~ ~ = , trong ®ã p∈», q∈». XÐt to¸n tö: Tα : C → C x¸c ®Þnh nh− sau: 2π q iαn ( Tα v)(n) = e v(n). ~ iαn ~ iαn Ta cã ( Tα S T− α v)(n) = e ( S T− α v)(n) = e A(n-1)( T− α v)(n-1) ~ = eiαnA(n-1)e-iα(n-1)v(n-1) = eiαA(n-1)v(n-1) = eiα( S v)(n), víi mäi n thuéc ». ~ ~ Suy ra Tα S T− α = eiα( S ). V× Tα lµ to¸n tö tuyÕn tÝnh liªn tôc vµ ~ ~ ~ ~ (Tα ) −1 = T− α nªn σ( S ) = σ(Tα S T− α ) = σ(eiα S ) = eiα σ( S ) . NÕu α lµ sè thùc bÊt kú khi ®ã tån t¹i d·y {αn}⊂ 2π» sao cho ~ ~ ~ αn → α. Theo chøng minh trªn σ( S ) = eiα n σ( S ) , víi mäi n ∈ » . Do σ( S ) ®ãng trong ~ ~ ~ » nªn suy ra eiα σ( S ) ⊂ σ( S ) . ThËt vËy gi¶ sö z0 lµ sè phøc tuú ý thuéc σ( S ) th× d·y ~ ~ ~ ~ iα iα {z(n) = e n z0} ⊂ eiα n σ( S ) = σ( S ) héi tô vÒ z = e z0 trong CΨ nªn z ∈ σ( S ) . MÆt ~ ~ ~ ~ ~ iα kh¸c z = e z0 ∈ e − iα σ( S ) . VËy σ( S ) ⊂ e − iα σ( S ) hay eiα σ( S ) ⊂ σ( S ) . ~ ~ Hoµn toµn t−¬ng tù ta cã σ( S ) ⊂ eiα σ( S ) . VËy (17) ®−îc chøng minh. ~ ~ 2.8. Bæ ®Ò. NÕu λ ∈ρ ( S ) th× rσ ( S ) < |λ|. ~ ~ ý nghÜa h×nh häc cña Bæ ®Ò nµy lµ: gi¶i thøc cña S vµ phæ cña S n»m ë hai ~ phÇn ph©n biÖt cña mÆt ph¼ng ». Phæ cña S chiÕm phÇn “trong” vµ gi¶i thøc cña ~ S chiÕm phÇn “ngoµi”. Chøng minh. Theo Bæ ®Ò 9, toµn bé ®−êng trßn z = λ kh«ng n»m trong phæ ~ ~ ~ σ ( S ) . Ký hiÖu R ( s, S ) = ( S − sI ) −1 , víi I lµ to¸n tö ®ång nhÊt. TÝch ph©n 1 ~ ∫ λR(s, S )ds P =− 2π i z = 10
  7. tr−êng §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXVII, sè 3A-2008 ~ ~ (P2=P). lµ mét phÐp chiÕu trong H¬n n÷a giao ho¸n víi P S CΨ ~ ~ (P S = S P) vµ ~~ σ(P S P) = σ( S ) ∩ { z | |z| < |λ|} ~ ~ σ((I-P) S (I-P)) = σ( S ) ∩ { z | |z| > |λ|} (18) ~ ~ §Æt U = (I-P) S (I-P), ta chøng minh U = 0. ThËt vËy tõ ®Þnh nghÜa cña S ta ∞ ~ suy ra Ι Im( S n ) = {0} (19) n =1 V× σ(U) kh«ng chøa 0 nªn U kh¶ nghÞch. Tõ U = U n .U − n +1 ta thu ®−îc ImU ⊂ ImUn. MÆt kh¸c, hiÓn nhiªn ImUn ⊂ ImU v× vËy ImU = ImUn, víi mäi sè tù nhiªn n. ~ §Ó ý r»ng I-P giao ho¸n ®−îc víi S vµ (I-P)n = (I-P) víi mäi sè tù nhiªn n nªn ~ Un = (I-P) S n (I-P). ta cã (20) ∞ ~ Ι Tõ c«ng thøc (19) vµ (20) ta nhËn ®−îc ImU = Im( I − P ) S n ( I − P) = {0} n =1 ~ Tøc lµ (I-P) S = U = 0 ®iÒu nµy kÐo theo (I-P) = 0, tøc lµ P = I. Do (18) nªn ~ ~ σ( S ) ⊂ { z | |z| < |λ|}, nghÜa lµ rσ ( S ) < |λ| Bæ ®Ò ®−îc chøng minh. Ta chøng minh §Þnh lý 2.6. ~ ~ Víi mçi f ∈C, ký hiÖu f lµ d·y thuéc C nh− sau ~  f ( 0) = 0  . ~  f (n) = f (n − 1), n ≥ 1  DÔ thÊy ph−¬ng tr×nh (2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Perron khi vµ chØ khi víi mçi ~~ ~ ~ ~ mét f ∈ C tån t¹i ~ ∈ C sao cho ~ − S ~ = f . §iÒu ®ã t−¬ng ®−¬ng víi to¸n tö x x x ~ ~ Id- S kh¶ nghÞch hay 1∈ρ ( S ) . Tõ Bæ ®Ò 10 ta suy ra ®iÒu kiÖn Perron tho¶ m·n cho ~ ph−¬ng tr×nh (2) khi vµ chØ khi rσ ( S ) < 1. ~ Víi lËp luËn cho S gièng hÖt nh− ®· lµ cho S trong §Þnh lý 2.4, ta cã ~ rσ ( S ) < 1 khi vµ chØ khi ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò. ~ VËy ph−¬ng tr×nh (2) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn Perron t−¬ng ®−¬ng víi 1∈ρ ( S ) vµ t−¬ng ®−¬ng víi ph−¬ng tr×nh (1) Ψ-æn ®Þnh mò. Chó ý: §iÒu kiÖn Perron cæ ®iÓn ®−îc chøng minh bëi Ta Li (xem [10]) lµ tr−êng hîp riªng cña §Þnh lý 2.6 khi c¸c d·y {Ψ(n), n ≥ 0} vµ {Ψ -1(n), n ≥ 0} bÞ chÆn (nãi riªng khi {Ψ(n), n ≥ 0} lµ d·y to¸n tö ®ång nhÊt). 11
  8. VÒ sù Ψ-æn ®Þnh cña ... kh«ng gian banach, Tr. 5-12 P.N. Béi, H. V. Th nh T i liÖu tham kh¶o [1] Akinyele O., On partial stability and boundedness of degree k, Atti. Acad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur., Vol. 8, 65, 1978, pp. 259-264. [2] Avramescu C., Asupra comportarii asimptotice a solutiilor unor ecuatii functionale, Analele Universitatii din Timisoara, Seria Stiinte Matematice, Vol. VI, 1968, 41-55. [3] Aulbach B. and Nguyen Van Minh, The concept of spectral dichotomy for linear difference equations II, Journal of Difference Equations and Applications, No. 2, 1996, pp. 251-162. [4] Constantin A., Asymptotic proporties of solution of differential equation, Analele Universitatii din Timisoara, Seria Stiinte Matematice-Fizice, Vol. XXX, fasc. Vol.2, No.3,1992, pp. 183-225. [5] Diamandescu A., On the ψ-stability of a nonlinear Volterra integro-differential system, Electronic Journal of Differential Equation, Vol. 2005 (2005), No. 56, pp. 1-14. [6] Diamandescu A., Note on the ψ-boundedness of the solutions of a system of differential equations, Acta Math. Univ. Comenianae, Vol. LXXIII, 2, 2004, pp. 223-233. [7] Pham Ngoc Boi, On the Ψ - dichotomy for homogeneous linear differential equations, Electronic Journal of Differential Equation, Vol. 2006 (2006), No. 40, pp. 1-12. [8] Pham Ngoc Boi, Existence of ψ-bounded solutions on » for nonhomogeneous linear differential equations, Electronic Journal of Differential Equation, Vol. 2007 (2007), No. 52, pp. 1-10. [9] Y. Han, J. Hong, Existence of ψ-bounded solutions for linear difference equations, Applied Mathematics Letters, No. 20, 2007, pp. 301 – 305. [10] Xaлaнaй A., Beкслep.Д., Кaчecтвeнaя тeopия импунсныx cистeм, “Mир”, Москва, 1971. Summary on the Ψ-stability of LINEAR difference equations in Banach spaces In this article we introduce concepts of ψ-uniformly stable, ψ-exponential stable for homogeneouslinear difference equations in Banach spaces and prove some necessary and sufficient conditions for ψ-uniformly stable, ψ-exponential stable of these equations. The article show relation between the Perron condition of nonhomogeneouslinear difference equations and the ψ-stable of the corresponding homogeneouslinear difference equations. a) Khoa To¸n, tr−êng §¹i Häc Vinh b) Cao häc 14 - Gi¶i tÝch, tr−êng §¹i Häc Vinh. 12
ADSENSE
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2