Truòng THPT chuyên LýTTrng Bt ñng thc lưng giá
c
Chương 3 Áp dng vào mt svn ñkhác
The Inequalities Trigonometry 66
Chương 3 :
Áp dng vào mt svn ñkhác
“Có hc thì phi có hành”
Sau khi ñã xem xét các bt ñng thc lưng giác cùng các phương pháp chng minh
thì ta phi bit vn dng nhng kt qu ñó vào các vn ñ khác.
Trong các chương trưc ta có các ví d v bt ñng thc lưng giác mà du bng
thưng xy ra trưng hp ñc bit : tam giác ñu, cân hay vuông …Vì th li phát sinh
ra mt dng bài mi : ñnh tính tam giác da vào ñiu kin cho trưc.
Mt khác vi nhng kt qu ca các chương trưc ta cũng có th dn ñn dng toán
tìm cc tr lưng giác nh bt ñng thc. Dng bài này rt hay : kt qu ñưc “giu” ñi,
bt buc ngưi làm phi t “mò mm” ñi tìm ñáp án cho riêng mình. Công vic ñó tht
thú v ! Và tt nhiên mun gii quyt tt vn ñ này thì ta cn có mt “vn” bt ñng thc
“kha khá”.
Bây gi chúng ta s cùng kim tra hiu qu ca các bt ñng thc lưng giác trong
chương 3 : “Áp dng vào mt s vn ñ khác”
Mc lc :
3.1. ðnh tính tam giác…………………………………………………………67
3.1.1. Tam giác ñu…………………………………………………………..67
3.1.2. Tam giác cân…………………………………………………………..70
3.1.3. Tam giác vuông………………………………………………………..72
3.2. Cc tr lưng giác……………………………………………………….....73
3.3. Bài tp……………………………………………………………………...76
Truòng THPT chuyên LýTTrng Bt ñng thc lưng giá
c
Chương 3 Áp dng vào mt svn ñkhác
The Inequalities Trigonometry 67
3.1. ð nh tính tam giác :
3.1.1. Tam giác ñu :
Tam giác ñu cóthnói làtam giác ñp nht trong các tam giác. nóta cóñưc s
ñng nht gia các tính cht ca các ñư ng cao, ñư ng trung tuy!n, ñư ng phân giác,
tâm ngo#i ti!p, tâm ni ti!p, tâm bàng ti!p tam giác … Vàcác dki&n ñól#i cũng trùng
hp v*i ñiu ki&n x,y ra du b-ng .các bt ñ/ng th0c lưng giác ñi x0ng trong tam
giác. Do ñósau khi gi,i ñưc các bt ñ/ng th0c lưng giác thìta c2n ph,i nghĩñ!n vi&c
v5n dng nótr.thành mt phương pháp khi nh5n d#ng tam giác ñu.
Víd3.1.1.1.
CMR
ABC
∆
ñu khi th7a :
Rmmm
cba
2
9
=++
L#i gii :
Theo
BCS
ta
có#:
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
CBARmmm
cbammm
mmmmmm
cba
cba
cbacba
2222
2
222
2
2222
sinsinsin9
4
9
3
++≤++⇔
++≤++⇔
++≤++
mà#
:
4
9
sinsinsin
222
≤++ CBA
( )
Rmmm
RRmmm
cba
cba
2
9
4
81
4
9
9
22
2
≤++⇒
=⋅≤++⇒
####ðng thc xy ra khi và#ch)#khi
ABC
∆
#ñu
⇒
ñpcm.
Víd3.1.1.2.
CMR n!u th7a
c
abBA
4
2
sin
2
sin =
thì
ABC
∆
ñ
u.
L#i gii :
Ta có#:
Truòng THPT chuyên LýTTrng Bt ñng thc lưng giá
c
Chương 3 Áp dng vào mt svn ñkhác
The Inequalities Trigonometry 68
( )
2
cos8
1
2
sin8
2
cos
2
cos
2
sin2.8.2
2
cos
2
sin2.2
sin8.2
sinsin2
84 BAC
BA
CC
R
BABA
R
CR
BAR
c
ba
c
ab
+
≤
=
=
+
=
+
≤
0
2
sin
2
cos
2
cos2
01
2
cos
2
cos4
2
cos4
01
2
cos
2
cos
2
cos4
1
2
sin
2
sin
2
cos8
2
cos8
1
2
sin
2
sin
2
2
2
≥
−
+
−
−
+
⇔
≥+
−+
−
+
⇔
≤−
+
−
−+
⇔
≤
+
⇔
+
≤⇒
BABABA
BABABA
BABABA
BABA
BA
BA
⇒
ñpcm.
Víd3.1.1.3.
CMR
ABC
∆
ñu khi nóth7a :
(
)
(
)
32 cbahhh
cba
++=++
L#i gii :
ðiu kin ñ#bài tương ñương vi :
( )
2
3
2
cot
2
cot
1
2
cot
2
cot
1
2
cot
2
cot
1
2
3
32.2
=
+
+
+
+
+
⇔
=++⇔
++=
++
ACCBBA
c
r
b
r
a
r
cba
c
r
b
r
a
r
p
Mt khác ta có#:
+=
+≤
+2
tan
2
tan
4
1
2
cot
1
2
cot
1
4
1
2
cot
2
cot
1BA
BABA
Tương t#:
Truòng THPT chuyên LýTTrng Bt ñng thc lưng giá
c
Chương 3 Áp dng vào mt svn ñkhác
The Inequalities Trigonometry 69
+≤
+
+≤
+
2
tan
2
tan
4
1
2
cot
2
cot
1
2
tan
2
tan
4
1
2
cot
2
cot
1
AC
AC
CB
CB
3
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
tan
2
1
2
3
2
tan
2
tan
2
tan
2
1
2
cot
2
cot
1
2
cot
2
cot
1
2
cot
2
cot
1
≥++⇔
++≤⇒
++≤
+
+
+
+
+
⇒
CBACBA
CBA
ACCBBA
⇒
ñpcm.
Víd3.1.1.4.
CMR n!u th7a
2
3
3RrS =
thì
ABC
∆
ñ
u.
L#i gii :
Ta có#:
RrRr
CBA
Rr
CBA
R
CBA
R
CBACBA
RCBARS
2
33
8
33
4
2
cos
2
cos
2
cos4
2
cos
2
cos
2
cos4
2
sin
2
sin
2
sin4
2
cos
2
cos
2
cos
2
sin
2
sin
2
sin.2.2.2.2sinsinsin2
22
=≤
==
==
⇒
ñpcm.
Víd3.1.1.5.
CMR
ABC
∆
ñu khi nóth7a pSmmm
cba
=
L#i gii :
Ta có#:
(
)
(
)
( )
2
coscos1
2
1
cos2
4
1
22
4
1
222222
2
A
bcAbcAbccbacbm
a
=+≥++=−+=
mà#
:
Truòng THPT chuyên LýTTrng Bt ñng thc lưng giá
c
Chương 3 Áp dng vào mt svn ñkhác
The Inequalities Trigonometry 70
( ) ( )
( )
appm
bc
app
bc
acb
bc
bcacb
A
bc
acbA
bc
acb
A
a−≥⇒
−
=
−+
=
+−+
=⇒
−+
=−⇒
−+
=
44
2
cos
2
1
2
cos2
2
cos
2
2
222
2
222
2
222
Tương t#:
(
)
( )
( )( )( )
pScpbpapppmmm
cppm
bppm
cba
c
b
=−−−≥⇒
−≥
−≥
⇒
ñpcm.
3.1.2. Tam giác cân :
Sau tam giác ñu thìtam giác cân cũng ñp không kém. Và.ñây thìchúng ta s;xét
nhng bt ñ/ng th0c códu b-ng x,y ra khi hai bi!n b-ng nhau vàkhác bi!n th0ba. Ví
d
3
2
;
6
π
π
=== CBA .
Vì
th
!nókhó
h
ơ
n tr
ư
ng h
p
xá
c
ñ<
nh tam
giá
c
ñ
u.
Víd3.1.2.1.
CMR
ABC
∆
cân khi
nóth7
a
ñ
i
u ki
&
n
2
tan2tantan
222
BA
BA
=+
vành=
n.
L#i gii :
Ta
có#:
(
)
(
)
( ) ( ) ( )
CBA
C
BABA
BA
BA
BA
BA coscos
sin2
coscos
sin2
coscos
sin
tantan −−
=
−++
=
=+
####vì###
( ) ( )
2
sin2cos1coscos1cos
2
C
CCBABA =−≤−−⇒≤−
( )
2
tan2tantan
2
tan2
2
cot2
2
sin2
2
cos
2
sin4
2
sin2
sin2
coscos
sin2
22
BA
BA
BAC
C
CC
C
C
CBA
C
+
≥+⇒
+
===≥
−−
⇒
T.#gi#thit :
2
222
2
tantan
2
2
tan2tantan
+
≤
+
=+ BABA
BA
(
)
BABABA tantan2tantantantan2
2222
++≤+⇔