BIẾN ĐỔI FOURIER
I. Chuỗi Fourier
1. Chuỗi Fourier cho tín hiệu liên tục
1.1. Định nghĩa
Tín hiệu x(t) liên tục tuần hoàn với chu kỳ cơ bản
2
T
có thể được biểu
diễn bởi chuỗi Fourier như sau:
( )
jk t
k
k
x t c e

Trong đó:
0
1( )
Tjk t
k
c x t e dt
T
:là các hệ số FS của x(t)
1.2. Điều kiện tồn tại của FS:
x(t) bị chặn
x(t) có hữu hạn cực đại và cực tiểu trong 1 chu kỳ
x(t) có hữ hạn các điểm hữu hạn
1.3. Tính chất
Tính chất tuyến tính
1 2 1 2
FS x x FS x FS x
t t t t
Trong đó α, β là các hằng số thực, x1(n) và x2(n) là các tín hiệu liên tục.
Tính chất dịch
Dịch theo thời gian
0
0
( ) j t
FS
k
x t t e c
Dịch theo tần số
0
0
( )
j t FS
k k
e x t c
Đảo trục thời gian
( ) FS
k
x t c
Tính chất đối xứng
* *
( ) FS
k
x t c
Quan hệ Patseval
2
2
1( )
k
k
T
x t dt c
T

Ý nghĩa: FS bảo toàn công suất của tín hiệu.
1.4. Các phương pháp biểu diễn
( )
j
X e
Biểu diễn dưới dạng phần thực và phần ảo
Bởi vì
( )
j
X e
là một hàm biến phức nên ta có thể biểu diễn nó trong miền tần
số ω dưới dạng phần thực và phần ảo như biểu thức dưới đây:
( )
j
X e
= Re[
( )
j
X e
] + jIm[
( )
j
X e
]
Trong đó:
Re[
( )
j
X e
]: là phần thực của
( )
j
X e
Im[
( )
j
X e
]: là phần ảo của
( )
j
X e
Biểu diễn dưới dạng biên độ và pha
( )
j
X e
làm một hàm biến số phức vậy ta có thể biểu diễn nó dưới dạng module
và argument như sau:
( )
j
X e
= |
( )
j
X e
|
arg[ ( )]
j
j X e
e
Trong đó:
|
( )
j
X e
|: được gọi là phổ biên độ của x(n)
arg[ ( )]
j
X e
:được gọi là phổ pha của x(n)
Ta có quan hệ sau:
|
( )
j
X e
| =
2 2
[X(e )
j j
e m
R I X e
arg arg
j
m
j
j
e
I X e
X e tg R X e
2. Chuỗi Fourier cho tín hiệu rời rạc
2.1. Dãy tuần hoàn và chuỗi Fourier rời rạc
Dãy
~
x n
tuần hoàn với chu kỳ N:
~ ~ , ,x n x n rN n r
Khai triển chuỗi Fourier cho dãy
~
x n
:
2
~
j kn
N
k
k
x n c e
Đặc điểm của các thành phần tần số
2
j kn
N
e
, 2
j kn
N
e
∀ k∈ Z
2
j kn
N
e
=
2
( )
j k rN n
N
e
, ∀ r∈ Z
2
1
~
0
,
Nj kn
N
k rN
k r
x n X k e X k c
2
1~
0
1N
j kn
N
n
X k x n e
N
Với X [k ] tuần hoàn với chu kỳ N .
DTFS (chuỗi Fourier rời rạc theo thời gian) cho dãy tuần hoàn:
~ ~
2 2
1 1
~ ~ ~ ~
0 0
1,
DTFS
N N
j kn j kn
N N
n k
x n X k
X k x n e x n X k e
N
Nếu cần nhấn mạnh "hệ số", có thể thay
~
X k
bằng ký hiệu
~
k
c
2.2. Các tính chất của chuỗi Fourier rời rạc
Tuyến tính
1 2 1 2
x x X X
DTFS
n n k k
Trễ thời gian
0
2
~ ~
0
j kn
DTFS
jk
N
x n n e X e
Trễ tần số
0
2~ ~
0
j kn DTFS
N
e x n X k k
Tính chất đối ngẫu
Nếu
~
~DTFS
x n X k
thì
~
~1
DTFS
X n x k
N
Tính chất đối xứng
~~
*DTFS
x n X k
~~
*DTFS
x n X k
II. Biến đổi Fourier
1.Biến đổi Fourier (FT) cho tín hiệu liên tục không tuần hoàn
1.1. Định nghĩa
Cho tín hiệu x(t) liên tục và không tuần hoàn theo thời gian.
Nếu coi tín hiệu x(t) là tuần hoàn với
T
thì phép biến đổi Fourier
của x(t) được định nghĩa như sau:
( ) ( )
FT
x t X j
Trong đó:
( ) ( ) j t
X j FT x t x t e dt

Và
1
1
( ) ( )
2
j j t
x t X e e d F X j


1.2. Điều kiện tồn tại:
x(t) khả tích tuyệt đối
( )x t dt


Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạncác cực đại
và cực tiểu
Trong một khoảng thời gian hữu hạn, x(t) có hữu hạn các điểm
không liên tục,với các giá trị không liên tục là hữu hạn.
2. Biến đổi Fourier (FT) cho tín hiệu liên tục và tuần hoàn
2.1. Định nghĩa
Xét tín hiệu ở miền tần số
0
( ) 2 ( )
X j
, ta có:
0
0
1
( ) 2 ( )
2
j t
j t
x t e dt e

