BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HỬU TỈ

Chia sẻ: Abcdef_7 Abcdef_7 | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST

Báo xấu

134
lượt xem 19
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo tài liệu 'biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hửu tỉ', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HỬU TỈ

Bài 3. Biế n đổi và đổi biế n nâng cao t ích phân hàm phân thức hữu t ỉ BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN NÂNG CAO TÍCH PHÂN HÀM PHÂN T H ỨC H Ữ U TỈ I. D Ạ NG 1 : T ÁCH C ÁC M Ẫ U S Ố C H Ứ A C ÁC N H Â N T Ử Đ Ồ NG B ẬC C ác bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: 1  x  5   x  2 1 x2 dx 11 1   x  2  x + 5   7  dx      dx  ln c • A1 =  x  2  x  5 7  x 5 x  5 7 x5  x  4   x  5 dx 1     A2 = dx  x  5  x + 2  x + 4 9  x  5  x  2  x  4 1  x  2   x  5 1  x  4   x  2 1 1 1      x  5  x  2   x  2  x  4  dx  63   x  5  x  2 dx  18   x  2  x  4 dx 9  x 5 1 x 4 11 1 11 1 1    dx      dx  ln  ln c 63   x  5 x  2   18  x  4 x  2  63 x  2 18 x  2 II. D Ạ NG 2 : T ÁCH C ÁC M Ẫ U S Ố C HỨ A C ÁC N H Â N T Ử K H Ô NG Đ Ồ NG B ẬC 1 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: 1 x 2   x 2  3 dx dx 1  xdx dx         dx   2   B1 =  x  x  3 3 x  x  3 3 2 2 3 x 3 x x  3x 1  1 d  x 2  3 1 x2  3 dx  1  1  2        ln x  3  ln x   c  ln c x2  3 x2 3 2 x  32 6  1 x 4   x 4 10  dx dx 1  xdx dx         dx   4  3 • B2 = x x  10 10 x x  10 3 4 3 4 7 3 10  x  10 x  10x x 17
Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng d  x2  dx  1  1 1 x 2  10 1 1  x      2 c ln 2   x 3  20  10 x  10 x  10  2 22   10     2 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i: dx dx dx dx dx x     B1  ; B2  9 ; B3  11 ; B4  6 ; B5  7 3 4 5  5x x  7x x  8x x  9x x  13x dx dx dx x   B6  ; B7  3 ; B8  4 3 2 2 x  4x  6x2  7x  4 3  6x  19x  22 x  3x  14x  12 III. D Ạ NG 3 : KĨ T HU ẬT N H ẢY T Ầ NG L Ầ U K HI M Ẫ U S Ố L À HÀM ĐA TH Ứ C B ẬC 4  x2  1   x 2  1 1 x 1 1 dx dx 1   x   x2  1  x2  1 dx  4 ln x  1  2 arctgx  c   C1 =  1  x2  1 4 2 2 x 1 d  x2  1   2  1 x2  1 xdx 1 1 1   x    2  d x  ln 2 c C 2 =   1  x 2  1 4 4  x2  1 x  1  2 x 1 2 4 x 1  x 2  1   x 2  1 x 2 dx 1 1 1 1    x 2  1  x 2  1 dx  2   x 2  1  x 2  1  dx  C 3 = x4  1 2   1 x 1 1 1 dx 1 dx      ln  arctgx  c 2 2 2 x 1 2 x 1 4 x 1 2 x 3 dx 1 d  x 4  1 1  ln x 4  1  c    • C4 = 4 4 4 4 x 1 x 1  x4 1 1 x4 dx 1 x 1 1 dx x   x  dx  dx   x  C1  x  ln  arctgx  c C5 = 4 4 4 4 x 1 2 1 x 1 1 d  x2  xdx 1 1 arctg  x 2   c x  x   C 6 = 4 2 2 2  1 +1 2 1 d  x 4  1 1 x 3 dx  ln x 4  1  c    C7 = x4 + 1 4 x4  1 4 1   d x 1 x 1  2 1 2 x2  1 1 x x x dx     dx   c C8 = ln  x4 + 1 2 1 1 2  2 22 1  2 2 x x2 x x x x  1  12 d x1 x2 + 1 x2  1 1 x x dx     dx   c • C9 = arctg x4 + 1 2 1  1   2 2 2 2 x2 x2 x x x 18
Bài 3. Biế n đổi và đổi biế n nâng cao t ích phân hàm phân thức hữu t ỉ  x 2  1   x 2  1 1  x2  1 x2  1  dx 1      dx  dx  C 10 = dx  4 4 x4  1 x4  1  x +1 2 2  x 1 1 1 x2  x 2  1  x2  1 1 1  C9  C8      c arctg ln 2 2 2 x  x 2 1  2 x2 22    x 2  1   x 2  1 x 2 dx 1 1  x2  1 x2  1       dx  dx  C 11 = dx   x4 + 1 2 x4  1 2  x4  1 x4  1  1 1 x2  x 2  1  x2  1 1 1  C9  C8      c arctg ln 2 2 2 x  x 2 1  2 x2 22    x 4  1  1 1 1 x2  x 2  1  x 4 dx x2 1 1    dx  x    c C12 = arctg ln 2 2 2 x 2 2 2 x  x 2 1  x4 + 1 x4  1   1  1  dx  d x 1    x2 - 1 dx  x2  x   1   C13 =  x 4  5x3  4x2  5x + 1 2 x2  1  5 x  1  4 x  x  5x  1  6 x2 x x 1 x 2  6x  1 du du 11 1 u       du  ln 2 c  u  6  u  1 7  u  6 u  1  2 7    5u  6 x  x 1  x 2  1   x2  1 x2 1 x 2 1 1  dx 1 x     dx  dx  4 • C14 = dx  4 4 + x2 + 1 x4  x2 1 2 2 2 2  x  x 1 x  x 1    1  1  dx  1  1  dx        d x 1 d x 1 1  2    1 x2   x x x             2 2 2   x2  1   1  x 2  1   1 4      x1 x 1  1 3     x2  x2       x x     x  1 1 x  1 1 x2  1 1 x2  x  1 1 1 x  ln x  c  ln 2 c arctg arctg 4 x  1 1 x 3 4 x  x 1 23 3 23 x I V. D Ạ NG 4 : KĨ T HU ẬT N H ẢY T Ầ NG L Ầ U K HI M Ẫ U S Ố L À HÀM ĐA TH Ứ C B ẬC 3 d  x  1 dx dx x   x  1  x   x  1  x  1   • D1 =  x  1 3 2 2  3  x  1  3 1    t 2  3t  3   t 2  3t   t  3  dt  1  dt dt 1  t t  t  t 2  3t  3 dt  3   t   t 2  3t  3     3t  3 2 3   19
Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng  1 x 2  2x  1 1  dt 1  2t  3 dt 3 2x  1 1 dt      ln 2  c arctg    2 2 3  t 2 t  3t  3 2 t  3t  3  6 x  x 1 2 3 3 d  x  1 dx dx x   x  1  x   x  1  x  1   • D2 =  x  1 3 2 2  3  x  1  3 +1    t 2  3t  3   t 2  3t   t  3  dt  1  dt dt 1  t t  t  t 2  3t  3 dt  3   t   t 2  3t  3     3t  3 2 3   1  dt 1 d  t 2  3t  3 3  dt        t 2  3t  3 2 3 t 2 2 t  3  3   2  4 t2 1 x 2  2x  1 11 2t  3  2x  1 1  3arctg   c  ln 2  c  ln 2 arctg 3  2 t  3t  3 6 x  x 1 3 23 3  x 2  x  1   x  1 2 xdx xdx 1     x  1  x 2  x  1 dx   • D3 =  x  1  x 2  x  1 3 3 x 1 1  dx 1  2x  1 dx 3  dx x 1  11      dx      2   3  x  1 2 x2  x  1 2 2 3  x 1 x  x 1 2  3   x 1    2 2   2x  1  1 1  ln x  1  ln x 2  x  1  3arctg c 3 2 3  x 2  x  1   x  12 1 xdx xdx     x  1  x 2  x  1 dx   • D4 =  x  1  x  x  1 3 3 2 x +1 1  2x  1 dx 3 1  dx  1  1 x 1  dx      2  dx       3  x  1 2 x2  x  1 2 2 3  x 1 x  x 1 2  3   x1     2 2  1 x2  2x 1 1 1  2x 1 2x 1 1 ln x  1  ln x2  x  1  3arctg   c  ln 2  arctg c   3 2 6 x  x 1 3 3 3 V . D Ạ NG 5 : K Ĩ T HU ẬT N H ẢY T Ầ NG L Ầ U K HI M Ẫ U LÀ HÀM ĐA TH Ứ C B ẬC 6 dx dx 1  dx dx  1  x 3  1  x 3  1   2  D1  D 2  x  x     • E1 =  1  x  1 6 3 3 2 1  20
Bài 3. Biế n đổi và đổi biế n nâng cao t ích phân hàm phân thức hữu t ỉ 1  1 x 2  2x  1 2x  1   2x  1   1 x 2  2x  1 1 1      ln 2   ln 2 arctg arctg  6  6  2  x  x 1 2 3 x  x 1 2 3 3 3     x 2  2x  1  x 2  x  1 1  2x  1 2x 1  1    arctg c ln  arctg 12  x  2x  1  x  x  1 4 3  2 2 3 3 d x2  xdx 1 1 du 1 x  x     D1 • E2 = 6 3 3 2 2 u 1 2  1 1 2 1  1 u2  2u 1 1 x4  2x2 1 2x2 1 2u 1 1 1   ln 2   c  ln 4 2  c arctg arctg  2  6 u  u 1 2 3 12 x  x 1 2 3 3 3 x 2 dx 1 d  x 3  1 1 x 3  1 1 x3  1      ln 3  c  ln 3 c E3 = x6  1 3 x6  1 3 2 x  1 6 x 1 x 3 dx 1 x 2 d  x 2  1 udu 1 udu         • E4 = 2 u  1 2  u  1  u 2  u  1 6 6 3 x 1 2 x 1  u  12 x 4  2x 2  1 2x 2  1 2u  1 1 1 1 1    c  ln 4  c ln 2 arctg arctg x  x2  1 2 3 12 u  u  1 2 3 12 3 3  x 4  x 2 1   x 2 1  2 x 4 dx dx dx dx    x2 1  x4  x2  1 dx   x2 1   x4  x2 1  2 x6 1   E5 = x6  1  x2  2x  1  x 2  x  1 x2 1  1 2x  1 2x  1 1    arctg  arctg c ln  arctg 12  x2  2x  1  x 2  x  1 2 3  3 3 x 3 x 5 dx 1 d  x 6  1  ln x 6  1  c    • E6 = 6 6 x6  1 6 x 1  x 6  1  1 x 6 dx dx    x  dx  dx   x  E1 • E7 = x6  1 6 6 x 1 1  x 2  2x  1  x 2  x  1 2x  1 2x  1  1 1 x   arctg c ln 2  arctg 12  x  2x  1  x  x  1 4 3  2 3 3 1   1  2  dx  x 2  1  x 2  1 dx  x 2  1 dx x4  1 x  • E8 =  6 dx   2  x  1  x 4  x 2  1  x 4  x 2  1   x 2  1   1   x +1   x2     d x1 x 1  3 x2  x 3 1 1 1 x x    c c ln ln 2 2 1   3 2 2 3 x  1  3   2 3 x  x 3 1 x x x 21
Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng  x 4  x 2  1  x 2 x4 + 1 x 2 dx dx    x 2  1  x 4  x 2  1 dx   2  6 dx  • E9 = x6 + 1 x 1 x 1 1 d  x3  dx 1  arctgx  arctg  x 3   c     2 6 x 1 3 x 1 3 1  x 4  1   x 4  1 dx 1 dx   E 9  E8       E 10 = 6 6 x +1 2 2 x 1 1 x2  x 3  1  1 1   arctgx  arctg  x 3   c ln 2 2 x  x 3 1  3 23   1 d  x3  1 d x2  1 d x3  1 x2 + x  D 2 (thay x 2 v ào D 2)     dx    • E11 = 6 6 6 6 3 x 1 2 x 1 3 x 1 2 x +1 1  1 x 4  2x 2  1 2x 2  1  1 1  arctg  x 3    ln 4  c arctg x  x2  1 3 26 23 3 V I. D Ạ NG 6 : S Ủ D Ụ NG K HAI TRI Ể N T AYL OR • Đ a th ứ c P n(x) b ậ c n c ó k hai tri ể n T ayl or t ạ i đ i ể m x  a là :  P n a  Pn  a  P   a   x  a 2      n  x  a n Pn  x   Pn  a   x  a  n 1! 2! n! 1 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: 3x 4  5x 3 + 7x  8 dx . Đ ặ t P4  x   3x 4  5x 3  7x  8  • F1 = 50  x + 2   P 3  2 P 4  2 P4  2 P  2   x  22  4  x  23  4  x  24  P4  x  P4  2   x  2  4 1! 2! 3! 4! 2 3 4  P4  x   66  149  x  2   48  x  2   29  x  2   3  x  2  2 3 4 66  149  x  2  48  x  2   29  x  2   3  x  2   F  dx 1  x  250 50 49 48 47 46   66  x  2  149  x  2   48  x  2   29  x  2   3  x  2   dx    66 149 48 29 3      c 49 48 47 46 45 49  x  2 48  x  2  47  x  2  46  x  2  45  x  2  V II. D Ạ NG 7 : K Ĩ T HUẬT NHẢY T ẦNG L ẦU KHI M ẪU LÀ HÀM ĐA TH ỨC B ẬC CAO 1 . Các bài t ậ p m ẫ u minh h ọ a: 22
Bài 3. Biế n đổi và đổi biế n nâng cao t ích phân hàm phân thức hữu t ỉ 1  3x99  5  3x99 3x98 dx  1  dx dx dx        dx    • G1 =  x  3x99  5 5 x  3x99  5 3x 100 + 5x 3x99  5  5 x 1  dx 1 d  3x99  5  1  x 99 1 1  99       ln x  ln 3x  5   c  c ln 99 3x99  5  5  5  x 99 99 495 3x  5  1  2x50  7  2x50 2x49 dx  1 dx dx      dx    G2 =  7  x  2x50  7 2 2  2x50  72  7 x  2x50 +7  x  2x50  7    2x50  7  2x50 1 1 2x49 dx  1  dx 2x 49 dx  1 2x49 dx  x  2x50  7 dx        50     2x50  72  49  x 2x  7  7  2x50  72 7 7   1  dx 1 d  2x50  7  1 d  2x50  7        2x50  7  350  2x50  72 49  x 50 x50 1 1 1 1 1 ln 2x50  7   ln x    c ln 50 350  2x  7 49.50 2x  7 350  2x50  7 50 49 49.50  ax n  b   ax n 1 d  ax n  b  dx 1 1 dx  x  ax  x  ax n  b k dx   b x  ax n  b k 1 nb   ax n  b k   G3 = k b + b n d  ax n  b  1 d  ax n  b  1 dx 1  x  ax  2 nb  ax n  b k 1 nb   ax n  b k     k 2 b2  b n 1 1 1 1 1  ln ax n  b   c  ln x      n  b  k  1  ax n  b k 1 k 1   bk k n b ax  b b   xn 1 1 1 1       c ln n k 1  ax  b   k 1 k n ax  b n  b  k  1  ax n  b  nb b  1  x 2000  dx 1  x 2000   2x 2000 2x1999 dx dx  x  1 + x 2000   dx    G4 = x 1  x 2000  1  x 2000  x d 1  x 2000  x1000 dx 1 1 ln 1  x 2000  c  ln  x 1000  1  x 2000    ln x  c 1  x 2000 1000 1 x10 .10 x9 dx 1 x10 d  x10  1  x10  3  3 10 x 19 dx   3  x10 2 d  x  3  3 + x     G5 = = 2 10  3  x10 2 10  3  x10 2 10 10 1  d  x10  3 d  x10  3  1 3  ln 3  x10     3 c  2 10  3  x10  10 10  3  x  3  x10   10   23
Chươ ng II. Nguyên hàm và t ích phân  T rần Phươ ng  2x 50  3  3 x 99 dx x 50 .x 49 dx 1   2x50  37 d  2x  3 50   2x   2x   G6 = 7 7 200  3  3 50 50 1  d  2x 50  3 d  2x 50  3   1  1 1     3   c  7  6 6 5 200   2x 50  3 200 5  2x 50  3   2x  3  2  2x  3   50 50    1 2  2x 50  3  5 1  4x 50   c c 200 10  2x 50  36 6 2000  2x 50  3   ax n  b   b x n x n 1 dx x 2n-1 dx 1   ax n  b k d  ax  b  n   ax   ax   • G7 = k k na 2 + b  b n n 1  d  axn  b d  axn  b  1  1 b     b  2  c  k k1  k 1 k2 2 na   axn  b  axn  b  na  k  2  axn  b  k  1  axn  b    1 b  k  2    k  1  ax n  b   kax n  b  2 c c na  k  1  k  2   ax n  b k 1 k 1 na 2  k  1  k  2   ax n  b  2 . Các bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i: x5  x xdx dx xdx dx ; G****  x x x x x G1  ; G2  dx ; G 3  ; G4  5 8 8 8 8 8 1 1 1 1 1 V III. D Ạ NG 8 : K Ĩ T HUẬT CHỒNG NHỊ T HỨC 10  3x  5 10  3x  5  dx   x + 2  dx   • H1 =  12  x  2   x  2 2 10 11 1  3x  5   3x  5  1  3x  5      c  d   11  x  2   x  2  121  x  2  99 99 7x  1 99  7x  1  1  7x  1   7x  1  dx   2x + 1   dx    • H2 =  d    101 2  2x  1   2x  1 9  2x  1   2x  1  100 100 1 1  7x  1  1  7x  1   c c     9 100  2x  1  900  2x  1  dx dx 1 1 dx   x + 3       • H3 = 5 3 5 5 6  x  5 2    x + 5  x  5   x3 x3  x  5 8 x5 x 5 24
Bài 3. Biế n đổi và đổi biế n nâng cao t ích phân hàm phân thức hữu t ỉ 6   x  3   x  5   1 1 1 1   x 3 6   u  1 du  u 7   d x5  7 5 5 x5 x  3   2 2 x 5 u 6  6u 5  15u 4  20u 3  15u 2  6u  1 1   du 27 u5 1 15 20 15 6 1  du   u  6  u  2  3  4  5  27  u u u u  1  u2   6u  15 ln u  20  152  2  1 4   c  7 3 u 2u 2 2 u 4u  2 1 x  3   6  x  3   15 ln x  3    1    x5 27 x5 2 x5 2 3 4   1      x  5 15 x  5 2 x5  1 x 5  c   20 x  3  2 x  3 27 x 3 4 x3   C ác bài t ậ p dành cho b ạ n đ ọ c t ự g i ả i: dx dx dx   3x  2   2x 1   3x + 2 • H1 = ; H2 = ; H3 = 7 3 3 4 5  4x - 14  3x + 4  3x - 1 25