Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ
17
BÀI 3. BIẾN ĐỔI VÀ ĐỔI BIẾN
NÂNG CAO
TÍCH PHÂN HÀM PHÂN
THỨC HỮU TỈ
I. DẠNG 1: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ ĐỒNG BẬC
Các bài tập mẫu minh họa:
•
1dx
A =
x 2 x+5
1 5 2 1 1 1 1 2
ln
7 2 5 7 5 5 7 5
x x x
dx dx c
x x x x x
1 x 4 x 5
9 x 5 x 2 x 4
2dx
A = x 5 x+ 2 x+ 4
1 1 1 1 2 5 1 4 2
9 5 2 2 4 63 5 2 18 2 4
1 1 1 1 1 1 1 5 1 4
ln ln
63 5 2 18 4 2 63 2 18 2
x x x x
dx dx dx
x x x x x x x x
x x
dx dx c
x x x x x x
II. DẠNG 2: TÁCH CÁC MẪU SỐ CHỨA CÁC NHÂN TỬ KHÔNG ĐỒNG BẬC
1. Các bài tập mẫu minh họa:
2 2
2
2 2
2 2
2
2 2
dx 1 x x 3 1 xdx dx
dx
3 3 x
x 3
x x 3 x x 3
1 1 d x 3 dx 1 1 1 x 3
ln x 3 ln x c ln c
3 2 x 3 2 6
x 3 x
13
dx
B = x 3x
•
4 4
4 3
3 4 3 4
dx 1 x x 10 1 xdx dx
dx
10 10
x 10 x
x x 10 x x 10
27 3
dx
B = x 10x
Chương II. Nguyên hàm và tích phân
Trần Phương
18
2 2
2 3 2
2
2
1 1 d x dx 1 1 x 10 1
ln c
10 2 20
x x
10 x 10
x 10
2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải:
1 2 3 4 5
3 9 4 11 5 6 7
dx dx dx dx dx
B ; B ; B ; B ; B
x 5x x 7x x 8x x 9x x 13x
6 7 8
3 2 3 2 4 3 2
dx dx dx
B ;B ; B
x 6x 19x 22 x 3x 14x 12 x 4x 6x 7x 4
III. DẠNG 3: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 4
2 2
2 2 2 2
dx 1 x 1 x 1 1 x 1 1
dx ln arctgx c
2 4 x 1 2
x 1 x 1 x 1 x 1
14
dx
C = x 1
2 2
2
2 2 2
2 2
1 d x 1 1 1 1 x 1
d x ln c
2 4 4
x 1 x 1 x 1
x 1 x 1
24
xdx
C = x 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1 x 1 x 1 1 1 1
dx dx
2 2 x 1 x 1
x 1 x 1
1 dx 1 dx 1 x 1 1
ln arctgx c
2 2 4 x 1 2
x 1 x 1
2
34
x dx
C = x 1
•
44
4
1 d x 1 1
ln x 1 c
4 4
x 1
3
44
x dx
C = x 1
4
1
4 4
x 1 1 dx 1 x 1 1
dx dx x C x ln arctgx c
4 x 1 2
x 1 x 1
4
54
x dx
C = x 1
22
2
2
1 d x 1
arctg x c
2 2
x 1
64
xdx
C = x + 1
44
4
1 d x 1 1
ln x 1 c
4 4
x 1
3
74
x dx
C = x + 1
2
22
2
2
11 1
1d x x 2
1
x x
x
dx ln c
11
2 2
1x 2
xx 2 x
x
x
2
84
x 1
C = dx
x + 1
•
2
2
22
2
2
11
1d x 1 x 1
x
x
dx arctg c
12 x 2
1
xx 2
xx
2
94
x + 1
C = dx
x + 1
Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ
19
2 2 2 2
4 4 4
2 2
9 8 2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
2 2
x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1
C C arctg ln c
2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1
10 4
dx
C = x + 1
2 2 2 2
4 4 4
2 2
9 8 2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
2 2
x 1 x 1 x 1
1 1 1 x 1 1 x x 2 1
C C arctg ln c
2 2 2 x 2 2 2 x x 2 1
2
11 4
x dx
C = x + 1
4 2 2
42
x 1 1 1 1 x 1 1 x x 2 1
dx x arctg ln c
2
x 1 2 x 2 2 2 x x 2 1
4
12 4
x dx
C = x + 1
2
2
2
2
2
2 2
11
1 dx d x
xx
1 1 1 1
x 5 x 4
x 5 x 6
x
xx x
du du 1 1 1 1 x 6x 1
du ln c
7 u 6 u 1 7u 6 u 1
u 5u 6 x x 1

2
13 432
x -1 dx
C = x 5x 4x 5x+ 1
•
2 2 2 2
4 2 4 2 4 2
1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
dx dx dx
2 2
x x 1 x x 1 x x 1
14 4 2
dx
C = x + x + 1
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 1 1
1 dx 1 dx d x d x
1 1
x x x x
1 12 4 1 1
x 1 x 1
x 3 x 1
x x x x
2 2
2
1 1
x x 1
1 1 1 x 1 1 x x 1
x x
arctg ln c arctg ln c
1
4 4 x x 1
2 3 3 2 3 x 3
x 1
x
IV. DẠNG 4: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU SỐ LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 3
•
22
dx d x 1
x 1 x x 1
x 1 x 1 3 x 1 3
13
dx
D = x 1
2 2
2
2 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
Chương II. Nguyên hàm và tích phân
Trần Phương
20
2 2
1 dt 1 2t 3 dt 3 dt
3 t 2 2
t 3t 3 t 3t 3
2
2
1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c
6x x 1 2 3 3
•
22
dx d x 1
x 1 x x 1
x 1 x 1 3 x 1 3
23
dx
D = x + 1
2 2
2
2 2
dt 1 t 3t 3 t 3t 1 dt t 3 dt
dt
3 3 t
t 3t 3
t t 3t 3 t t 3t 3
2
2 2
1 dt 1 d t 3t 3 3 dt
3 t 2 2 3
t 3t 3 3
t24
2 2
2 2
1 1 t 2t 3 1 x 2x 1 1 2x 1
ln 3arctg c ln arctg c
3 2 6
t 3t 3 x x 1
3 2 3 3
•
2
2
2 2
xdx 1 x x 1 x 1
dx
3
x 1 x x 1 x 1 x x 1
33
xdx
D = x 1
2
1 1 x 1
dx
3 x 1 x x 1
2 2
2
1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
3 x 1 2 2
x x 1 3
1
x2 2
2
1 1 2x 1
ln x 1 ln x x 1 3arctg c
3 2 3
•
2
2
2 2
xdx 1 x x 1 x 1
dx
3
x 1 x x 1 x 1 x x 1
43
xdx
D = x + 1
2 2 2
2
1 1 x 1 1 dx 1 2x 1 dx 3 dx
dx
3 x 1 3 x 1 2 2
x x 1 x x 1 3
1
x2 2
2
22
1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln x 1 ln x x 1 3arctg c ln arctg c
3 2 6 x x 1
3 3 3
V. DẠNG 5: KĨ THUẬT NHẢY TẦNG LẦU KHI MẪU LÀ HÀM ĐA THỨC BẬC 6
•
1 2
3 3
3 3
dx 1 dx dx 1
D D
2 2
x 1 x 1
x 1 x 1
16
dx
E = x 1
Bài 3. Biến đổi và đổi biến nâng cao tích phân hàm phân thức hữu tỉ
21
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1 x 2x 1 1 2x 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg ln arctg
2 6 6
x x 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1
ln arctg arctg c
12 4 3 3 3
x 2x 1 x x 1
•
2
1
3 3
2
1 d x 1 du 1
D
2 2 2
u 1
x 1
26
xdx
E = x 1
2 4 2 2
2 4 2
1 1 u 2u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c ln arctg c
2 6 12
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
3 3 3
6 3 3
1 d x 1 1 x 1 1 x 1
ln c ln c
3 3 2 6
x 1 x 1 x 1
2
36
x dx
E = x 1
•
2 2
6 3 2
1 x d x 1 udu 1 udu
2 2 2
x 1 u 1
u 1 u u 1
3
46
x dx
E = x 1
24 2 2
2 4 2
1 u 1 1 2u 1 1 x 2x 1 1 2x 1
ln arctg c ln arctg c
12 12
u u 1 x x 1
2 3 3 2 3 3
4 2 2
2 4 2 6
2 4 2
x x 1 x 1 2 dx dx dx
dx 2
x 1 x x 1 x 1
x 1 x x 1
4
56
x dx
E = x 1
2 2 2
2 2
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1 x 1
ln arctg arctg arctg c
12 2 3 3 3 x 3
x 2x 1 x x 1
•
66
6
1 d x 1
ln x 1 c
6 6
x 1
5
66
x dx
E = x 1
•
6
1
6 6
x 1 1 dx
dx dx x E
x 1 x 1
6
76
x dx
E = x 1
2 2
2 2
1 x 2x 1 x x 1 1 2x 1 2x 1
x ln arctg arctg c
12 4 3 3 3
x 2x 1 x x 1
•
2 2 2 2
4 2
2 4 2 2
2
1
1 dx
x 1 x 1 dx x 1 dx x1
x x 1
x 1 x x 1
x 1
x
4
86
x 1
E = dx
x + 1
2
22
2
11
d x x 3
1 1 x x 3 1
xx
ln c ln c
1
2 3 2 3 x x 3 1
1x 3
x 3 x
x