Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Toán học 2013 - Phần 1

Chia sẻ: Nguyễn Meo | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:146

Thêm vào BST

Báo xấu

129
lượt xem 21
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tham khảo bộ 30 đề thi học sinh giỏi môn Toán học lớp 12 năm 2013 phần 1 dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kỳ kiểm tra, qua đó các em sẽ được làm quen với cấu trúc đề thi và củng cố lại kiến thức căn bản nhất.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Toán học 2013 - Phần 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút CâuI : (4 điểm): Cho hàm số y= x3 + 3x2 - 2 (C) 1/ Khảo sát và vẽ đồ thị. 2/ Giải bất phương trình : 0  2006 + 6018x2- 4012  4012. 3/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C). Biết tiếp tuyến đi qua A(0; -2) CâuII : (2 điểm) Tính dx I=  x e 1 CâuIII : (2 điểm) Giải và biện luận phương trình theo tham số m x 1  x 1  m Câu IV: (4 điểm) Giải các phương trình sau: 1/ Sin(/2 - cosx)= cos(3cosx) 2/ 6x + 4x = 2.9x Câu V : (2 điểm) Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC vuông: Cos2A + Cos2B + Cos2C = 1 Câu VI: (2 điểm): Tính giới hạn sau: 3 9 x 2  27  27 x 2  9 lim x 0 x2 Câu VII: (2 điểm): Trong hệ Oxy cho hai đường thẳng d1//d2 lần lượt có phương trình là : d1: x-y+2 = 0 ; d2: x-y-2 = 0 1/ Viết phương trình đường thẳng d3 đi qua điểm A(-2; 0) và vuông góc với d2 2/ Viết phương trình đường thẳng d4 sao cho d1, d2, d3, d4 cắt nhau tạo thành một hình vuông. Câu XIII: (2 điểm): Chứng minh rằng với a,b> 0 ta có: a5+b5  a4b + ab4
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn: Toán- Đề 2 (Bản hướng dẫn chấm gồm 5 trang) Câu 1: (4 điểm) 1, (2 điểm)  TXĐ : D = R (0,25đ)  Chiều biến thiên: (0,5đ) x  0 + y' = 3x2 + 6x = 3x(x+2), y' = 0    x  2 + dấu y': x - -2 0 + y' + 0 - 0 + 2 + y - -2 Với x(-; -2)  (0; +) hàm số đồng biến x(-2; 0) hàm số nghịch biến Tại x= -2 hàm số đạt cực đại yCĐ = 2 Tại x= 0 hàm số đạt cực tiểu yCT = -2 (0,25đ)  Tính lồi lõm, điểm uốn. (0,25đ) + y'' = 6x + 6 = 6(x+1); y'' = 0  x= -1 + dấu y'': x - -1 + y'' - 0 + đ.u y Lồi (-1,0) lõm  Bảng biến thiên: (0,25đ) x - -2 -1 0 + y' + 0 0 + 2 + y (CĐ) 0 (CT) - -2
* Đồ thị: Đồ thị cát trục tung tại: (0; -2) y * Cắt trục hoành tại hoành độ x = -1, x =  1  3 Qua điểm (-3; -2); (1; 2) 2 3 -1+ 3 -1- 3 0 1 x -2 0,5 đ 2. (1 điểm) 0  2006 x3 + 6018 x2 - 4012  4012  0  x3 + 3x2 - 2  2 (*) (0,5đ) theo đồ thị (C) ta có: (*)  x  [ -1- 3 ; -1 ]  [ -1+ 3 ; 1 ] (0,5đ) 3. (1 điểm): đường thẳng qua A(0; -2) có hệ số góc k: y+2= k(x- 0) (d)  y = kx-2  x 3  3 x 2  2  kx  2  x 3  3 x  kx (1) (d) là tiếp tuyến của (c)    2  (0,5đ)  k  3x  6 x  k  3 x  6 x có nghiệm. Thay k từ (2) vào (1) ta được: 3 x2(2x+3) = 0  x = 0, x= - (0,25đ) 2 * Với x= 0  k= 0 tiếp tuyến là y = - 2 3 9 9 * Với x= -  k= - tiếp tuyến là y= - x  2 (0,25đ) 2 4 4 Câu 2 (2 điểm). 1. (1 điểm) e x dx Ta có I =  e x (e x  1) Đặt ex+1 = t (*)  ex = t-1 exdx = dt dt t  (t  1) I=  t (t  1)   dt t (t  1) 1 1 =  t  1 dt   t dt (0,5đ) t 1 =ln t  1 - ln t +c =ln +c t ex Từ (*) ta có: I = ln x + c = x - ln(ex +1) +c (0,5đ) e 1 Câu 3. (2đ) Xét hàm số y= x  1  x  1 (c)
Ta có bảng xét dấu (1đ) x - -1 1  x 1 -x-1 0 x+1 x+1 x 1 -x+1 -x+1 0 x-1 y= x  1  x  1 -2x 2 2x  2 x Nếu  x  1 y   Khi đó y= 2 Nếu  1  x  1 2 x  Nếu x 1 2   y=2 (0,5đ) đồ thị (C) -1 1 x y=m (C) * Biện luận số nghiệm của phương trình theo m: x  1  x  1 = m (*) (0,5đ)  số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y=m + Nếu m2 phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Câu 4 (4đ) 1. Phương trình tương đương với : Cos (  cosx) = cos 3  cosx (0,25đ) Cosx  3Cosx  k 2 Cosx  3Cosx  2k  (k  Z )   (0,5đ) Cosx  3Cosx  k 2 Cosx  3Cosx  2k Cosx  k (1)   (0,25đ) Cosx  k (2)  2 Vì k  Z, Cosx  1 nên: Cosx  0 (1)   (*) (0,25đ) Cosx  1  Cosx  0  (2)  Cosx  1 (**) (0,25đ)  1 Cosx    2
 Cosx  0 (3)  Từ (*) và (**) ta có: Cosx  1 (4) (0,25đ)  1 Cosx   (5)  2 (3)  x  2  k(a) (4)  x  k(b)   x    k2 (c) 3 (5)  x   2  k2 (d)   3 Với (k  Z ). (0,5đ)   k x  2  2 Từ (a),(b),(c),(d) ta có nghiệm của phương trình là :  (k  Z ) (0,25đ)  x    k   3 2 2. Phương trình tương đương với x 2x 2  2      2 (1) (0,5đ) 3  3 x 2 Đặt t =   Điều kiện t > 0.   (0,25đ) 3 t  1 (1)  t2 + t -2 = 0   1 t 2  2 (Loại) x x 0 2 2 2 Với t = 1    = 1    =         (0,5đ) 3 3 3  x=0 Vậy phương trình có nghiệm x = 0. (0,25đ) Câu 5 (2đ) Cos 2 A  Cos 2 B  Cos 2C  1 1  Cos 2 A 1  Cos 2 B (0,25đ)    Cos 2C  1 2 2 1 (0,25đ)  1  (Cos 2 A  Cos 2 B)  Cos 2 C  1 2 (0,25đ)  Cos ( A  B)Cos ( A  B)  Cos 2C  0  CosC Cos ( A  B)  Cos ( A  B)  0 (0,25đ)  CosA.CosB.CosC  0 (0,25đ) CosA  0  CosB  0  (0,25đ) CosC  0  (0,25đ)
* Nếu CosA = 0   ABC vuông tại A. * Nếu CosB = 0   ABC vuông tại B. * Nếu CosC = 0   ABC vuông tại C. (0,25đ) Vậy tam giác ABC là tam giác vuông Câu 6. (2đ) 3 9 x 2  27  27 x 2  9 (3 9 x 2  27  3)  ( 27 x 2  9  3) (1đ) lim  lim x 0 x2 x0 x2 3 9 x 2  27  3 27 x 2  9  3 (0,25đ)  lim  lim x0 x2 x0 x2 9x 27 x 2  lim  lim (0,25đ) x 0 x 2 3 (9 x 2  27) 2  33 9 x 2  27  9 x 0 x 2 ( 27 x 2  9  3) 9 27 (0,25đ)  lim  lim x 0 3 2 2 3 2 x 0 2 (9 x  27)  3 9 x  27  9 27 x  9  3 9 27 1 9 25 (0,25đ)      999 33 3 2 6 Câu 7 (2đ) 1. d3 vuông góc với d2 nên có dạng x+y+c = 0 Vì d3 qua A(-2 ; 0) nên : -2 + 0 + c = 0  c =2 (0,75đ) 2. Vì A(-2;0)  d1 nên Để d4 và d1, d2, d3 cắt nhau tạo thành một hình vuông khi và chỉ khi d4//d3 và d(A,d4) = d(A,d2) (*) (0,5đ) Do đó d4 có dạng : x + y + D = 0 20 D 202 (*)   (0,5đ) 2 2 D  6 D2  4   D  2 Vậy đường thẳng d4 có dạng x+y+6 =0 hoặc x+y-2 = 0 (0,25đ) Câu 8.(2đ) a5+b5  a4b+ab4 5 5 4 4   a +b - a b - ab 0 (0,5đ) 4 4   a (a-b) - b (a-b) 0 4 4   (a - b)(a -b ) 0 (0,5đ) 2 2 2 2   (a-b)(a -b ) (a +b ) 0 (0,25đ) 2 2 2   (a-b) (a+b) (a +b ) 0 (0,5đ) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b (0,25đ)
----------------------------------------------------------------------------------------
Trường THPT Văn Quan ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Môn : Toán – Thời gian :120 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1 (5 điểm) : Tính đạo hàm các hàm số sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  a) y =      cos8 x ( với : 0< x < ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 16 b) y = x x x x x x x ( với :x > 0) a a x c) y  x a  a x  a a ( với x > 0; a > 0) d) y = log x+1 (27 + x 10 + x 2006 ) (với : x >-1; x  0 ) Câu 2 (2 điểm) :Chọn ý đúng: Đạo hàm tại x = 0 của hàm số y = x(x – 1)(x – 2).....(x – 2006) là: A) 0 B) 2006! C) – 2006 D) Không xác định. Câu 3 (4 điểm) : Tính tổng S = 1 2 +2 2 x + 2 2 x 2 + 3 2 x 3 +.......+ n 2 x n1 . Câu 4 (2 điểm) : CMR : Nếu V ABC thỏa mãn : b3  c 3  a 3  a 2 (b  c  a)   a CosC   2b thì V ABC đều. Câu 5 (7điểm) : Trong hệ tọa độ (Oxy) cho V ABC với A(1;2) và hai đường trung tuyến lần lượt có phương trình: 2x – y + 1 = 0 x + 3y – 3 = 0 1/ Chọn ý đúng :Tọa độ trọng tâm G của V ABC là : A) (0;1) B) (1;0) C) (1;3) D) (6;-1) 2/ Lập phương trình các cạnh của V ABC. ------ Hết -----
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 12 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180' (không kể thời gian giao đề) ĐỀ BÀI: x 2  mx  1 Bài 1: (5 điểm) Cho hàm số: y = x 1 1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C1) 2đ b) Tìm trên 2 nhánh của (C1) 2 diểm A và B sao cho AB bé nhất 2đ 2) Xác định m để hàm số có yCĐ, yCT và yCĐ.yCT > 0 1đ Bài 2: (4 điểm) a) Giải phương trình: 3 x 1  3 x 1  6 x2 1 2đ b) Tìm  x, y  Z thoả mãn 2đ y 2 8 log 2 x 2  2x  3  7  y 2  3y  2 x Bài 3: (4 điểm) Cho dãy số In  0 e sinxdx  (n = 1, 2, ...) 2 2e  a) CMR: In  n  1,2,... n 3đ b) Tính lim I n n  1đ x2 y2 Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp 2  2  1 có a > b a b
Xét Mo(Xo, Yo)  E ; O là gốc toạ độ 1) CMR: a  OM  b 2đ 2) CMR: tiếp tuyến với E tại MO (x0 > 0;y0 > 0)cắt chiều dương OX và OY ở A, B thì tồn tại vị trí MO để độ dài AB min. 2đ Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp SABC có góc tam diện đỉnh S vuông và SA = 1; SB = 2; SC = 3. M là 1 điểm thuộc ABC. Gọi P là tổng các khoảng cách từ A, B, C lên đường thẳng SM tìm vị trí M để Pmin. Hướng dẫn đáp án: Bài 1: 1) m = 1: 1 a) Khảo sát hàm số: có dạng y = x + x 1  TXĐ: R - {-1) 0,5đ 1 b) y' = 1   y' = 0 x  12 khi x = -2 hoặc x = 0  dấu y' + - - + -2 -1 0 x 0,25đ Hàm số đồng biến trong (-, -2)  (0 + ) hàm số nghịch biến trên (-2, -1)  (-1, 0) Có xLĐ = -2,  yCĐ = -3 và xCT = 0  yCT = 1 0,5đ  1  Tiệm cận: đứng x = -1 vì lim  x   x 1  x  1
1 Tiệm cận xiên y = x vì lim =0 x  x 1 Bảng biến thiên: x - -2 -1 0 + y' + 0 - - 0 + -3 + y + - - 1
Vẽ đồ thị (0,5d) y y=x 1 -2 -1 x 0 -1 -3 b) Gọi A  nhánh phải; B  nhánh trái. 0,5đ 1 1  A (-1 +, -1 +  + ) và (-1 -, -1 - - ) với  và  dương   2  1  2 2 2 2 1    BA = AB = ( + ) + ( + )    2   1   2 1  1     4 2  2  1 2    = ( + )       2      4 = 8  +8 88 2  => AB min  8  8 2 1điểm
1  1 1  tại  =  = 4  A  1  4 ;1  4  4 2  2  2 2   1 1  B  1  4 ;1  4  4 2  0,5đ  2 2  Bài 2: a) x =  1 không phải nghiệm phương trình 0,5đ chia 2 vế cho 6 x 2  1 ta có: x 1 6 x 1 x 1 6   1 đặt t  6 (t  0) x 1 x 1 x 1 1 ta có: t   1  0  t2 - t - 1 = 0 t 1 5 1 5 t (t  lo ¹ i) 0,5đ 2 2 6 x  1 1  5   1  5  6     2   x  2   1     x 1        6 1 5  6 1   2   1 5    1   2    x 6 1đ   1 5    2  1    b) Nhận xét rằng: x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2  2  log2(x2 + 2x + 3)  1  x  R 0,75đ - y 2 + 3y + 7  điều kiện cần phải có 1 y2 + 8
1  y1 yZy=1 0,5đ 2  x2 + 2x + 3  2  x = -1 0,5đ  x  1  BPT có nghiệm  ( Z) 0,25  y 1  x2 Bài 3: Đặt I n   e . sin nxdx 0 2 1 2 u  e x  du  2xe x dx,    sin nxdx   cos nx n 1  2  2 2  I n   e x cos n x 0  0 xex cos nxdx 1,0đ n n 1 2  In  n  1  (1)n .e   J n ; n 2   2 J n  0 xex cos nxdx 2 2 1  (1) n e  2 1  e 2 => In   Jn   Jn n n n n 1,0đ mặt khác có:    2    2    2 J n  0 xe x cos nxdx  0 xe x cos nxdx  J n  0 xe x dx 2 2 e  1 2e  =  In  1,0đ 2 n 2 2 2e  2e  Do   0 vµ 0 n n nên In 0 theo nguyên lí kẹp (1đ) Bài 4:
2 2 xO yO 1) 2 điểm: từ MO  E  2  2  1 a b và OM2 = x O  y O và từ a > b ta có: 2 2 1,0đ 2 2 2 2 x0 y0 x0 y0 1= 2 + 2  2 + 2  b 2  x 0 2 + y0 2 (1) a b b b 2 2 2 2 x0 y0 x0 y0 và 1= 2 + 2  2 + 2  a 2  x 0 2 + y0 2 (2) a b a a từ (1) và (2)  a2  OM2  b2  a  OM  b 1,0đ x y 2) Đường thẳng AB có dạng  1 m n với A(m,o); B(n,o) a2 b2 theo t/c tiếp tuyến  2  2  1 => 0,5đ m n vậy AB2 = m2 + n2 = (m2 + n2).1 = 2 a b2  m2 2 n2 2 = m  n  2  2   a  b  2 b  2 a 2 2 2 2 0,5đ m n  n m 2 2 m2 2 n2 2 2  a + b + 2ab = (a + b) dấu = có khi 2 b  2 a n m m 2 b  n 2 a    a2 b2  2  2 1 m n S m  a  ab  2  ABmin = a + b khi   1đ  n  b 2  ab    Bài 5: Đặt ASM = , BSM = , CSM =  Ta có: P = sin + 2sin + 3sin M
sẽ tính được sin2 + sin2 + sin2 = 2 0,5đ  sin + sin + sin  sin2 + sin2 + sin2 = 2 C => sin + sin - 1  1 - sin A  2(sin + sin) - 2  1 - sin 0,5đ B  2sin + 3sin + sin  2 + 1 = 3 1,0đ Pmin = 3 khi sin = sin2; sin = sin2; sin = sin2 0,5đ => sin  = 0, sin = sin = 1   = 900,  = 900,  = 00 Pmin = 3 khi M  C.
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 180 phút CâuI (2 điểm): Cho hàm số: y = x3+mx2+9x+4 (Cm) 1. Tìm m để (Cm) có cực đại, cực tiểu? 2. Tìm m để (Cm) có 1cặp điểm đối xứng qua O(0; 0)? CâuII (2 điểm): 1. Tính:  /3 4 I=  tg xdx /4 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 ; y= 4x2 ; y = 4. CâuIII (2 điểm): 1.Cho phương trình: (m+3)x2 - 3mx + 2m = 0 Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 sao cho 2x1- x2= 3. 2 Xác định m để tam thức bậc hai: f(x)= x2+(3-m)x -2m + 3 luôn luôn dương với  x   4 Câu IV (2 điểm): 1. giải hệ phương trình: x + y + xy = 11 x2 + y2 + 3(x + y) = 28 2. Giải và biện luận phương trình: x 2  mx  x  m Câu V (2 điểm): Cho phương trình: 2Cos2x - (2m+1)Cosx +m = 0 3 1. Giải phương trình với m = 2   3  2. Tìm m để phương trình có nghiệm x sao cho x   ;  2 2  Câu VI (2 điểm): 1. CMR trong ABC ta có: tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC 2. nếu ABC là  nhọn, c/m tgA + tgB + tgC  3 3 Câu VII (2 điểm): x 3  3x  2 1. Tìm: limx 1 x 1 2. Giả phương trình: 8.3x + 3.2x = 24 + 6x Câu XIII (2 điểm): 1. giải phương trình: log2(3.2x - 1) = 2x + 1 2. Cho (H) có phương trình: x2 - 3y2 = 1 và đường thẳng : kx + 3y -1 = 0 a, Xác định k để  tiếp xúc với (H) b, Tìm tọa độ tiếp điểm. Câu IX (2 điểm):
1. Cho 3 mp (P), (Q), (R) có các phương trình lần lượt là: (P): Ax + By + Cz + D1 = 0 (1) (Q): Bx + Cy + Az + D2 = 0 (2) (P): Cx + Ay + Bz + D3 = 0 (3) Với điều kiện A2 + B2 + C2 > 0 và AB + BC + CA = 0 CMR: 3mp (P), (Q), (R) đôi một vuông góc. 2. Cho tứ diện ABCD có AB  mp(BCD), BCD vuông tại C CMR 4 mặt của tứ diện là những  vuông. Câu X (2 điểm): 1. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác . CMR: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac) 2. Có bao nhiêu số tự nhiên (được viết trong hệ đếm thập phân) gồm 5 chữ số mà các chữ số đều lớn hơn 4 và đôi 1 khác nhau.
KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học: ................. HƯỚNG DẪN CHẤM THI Môn: Toán- Đề số I (Bản hướng dẫn chấm gồm 7 trang) Câu I: 1. y' = 3x2 + 2mx + 9 Hàm số có CĐ CT'  y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt (0,5đ) 2  ' = m - 27 > 0  m (-;  3 3 )  (  3 3 ;+) (0,5đ) 2. Giả sử A(x1; y1) và B(-x1; -y1) đối xứng nhau qua gốc tọa độ và cùng thuộc (Cm) (0,25đ) 3 2 Khi đó: y1 = x1  mx1  9 x1  4 (1) -y1 =  x13  mx12  9 x1  4 (2) (0,25đ) Lấy (1) cộng với (2) (vế với vế) ta có p/t: mx12  4  0 (0,25đ) 2  mx1  4 có nghiệm  m < 0 (0,25đ) Câu II: 1. Ta có: 2 I=    /3  sin 2 x   /3 1  cos x  dx2 2  cos 2 x  dx =   cos 4 x (0,25đ)  /4   /4  /3  /3  /3 dx dx =  dx  2  dx   dx (0,25đ)  /4 cos 4 x  /4 cos 2 x  /4  /3  /3  /3  1  tg x d (tgx)  2tgx 2 = x (0,25đ)  /4  /4  /4  1   /3  /3  /3 2  =  tgx  tg 3 x   2tgx x   (0,25đ)  3   /4  /4  /4 3 12 2. Giao điểm hai đường y=x2 có hoành độ là : x  2 Giao điểm y=4 với y = 4x2 có hoành độ là x=  1 Giao điểm hai đường y=x2 và y= 4x2 có hoành độ x=0 (0,5đ)
Diện tích miền cần tính (miền gạch chéo như hình vẽ) là :  1 2 2 2 2  S=2  0 4x  x dx   1 4  x dx      1 2 2  y = 2   0 3x 2dx   1 4dx   1 x 2dx  y = 4x2 y = x2     y=4 1 2 2  1  = 2  x 3  4x  x3   0 1 3 1 16 = (đv dt) (0,5đ) 3 x Câu III 1. Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1,x2 ta có :  3m  x1  x2  m  3  2 x1  x 2  3 (đk m-3) (0,25đ)  2m  x1 x 2   m3 2m  3 m3 Từ (1) và (2) ta có : x1 = và x2 = (0,25đ) m3 m3 Thay vào (3) ta được 2m  3 m  3 2m  m  3 m  3      m  1 (0,25đ) m3 m3 m3 (2m  3)(m  3)  2 m(m  3) 9m  9 Với m=-1 phương trình viết : 2x2+3x -2 =0 1  x1= , x2=-2. Vậy m=-1 là giá trị cần tìm. (0,25đ) 2 2. Tam thức đã cho dương với x - 4   0    0      0 Khi và chỉ khi   0   (0,25đ) af (4)  0  4  x1  x2     s   4  2  S /2 + + -4 x1 x 2 –