Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 1
« Đây là sáng kiến kinh nghiêm đã được sở giáo dục đào tạo Hà Nội xếp loại B năm 2015 xin
gửi tặng tailieu.vn”
Phần 2: Nội dung SKKN.
1. Nội dung lí luận (bổ túc kiến thức về tích phân):
1) Công thức tính đạo hàm
1)
0'c(C là hằng số).
2)
1
.'
xx
3) )0(
1
'
1
2
x
x
x
4)
0
2
1
)'( x
x
x
5)
xx cos'sin
6)
xx sin'cos
7)
2
cos
1
'tan
x
x
8)
2
sin
1
'cot
x
x
9)
xx ee '
10)
aaa xx ln.'
11)
x
x1
'ln
12)
a
x
x
a
ln
1
'log
1)
/1..' uuu
2) )0(
'
'
1
2
x
u
u
u
3)
0
2
'
)'( x
u
u
u
4)
uuu cos'.'sin
5)
'.sin'cos uuu
6)
u
u
u2
cos
'
'tan
7)
u
u
u2
sin
'
'cot
8)
'.' uee uu
9)
'.ln.' uaaa uu
10)
a
u
u
u
a
ln
'
'log
11)
u
u
u
'
'ln
2)Quy tắc tính đạo hàm
1. ''')'( wvuwvu
2. (k.u)’ =k.u’ 3. (u.v)’ =u’.v + u.v’
4. 2
'.'.
'v
vuvu
v
u
(v 0
) 5. 2
'
'
1
v
v
v
(v 0
)
6. xu uyy x'.'' 7. 2
'
/
)(
..
dcx
cbda
dcx
bax
3) Công thức tính vi phân
Cho hàm số y =f(x) xác định trên (a,b) và có đạo hàm trên (a,b)
Kí hiệu d(f(x)) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại x
Và )()())(( 'xdxfxfd
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 2
4) Công thức tính nguyên hàm :
1
1
1. 2. +C ( -1
)
1
1 1 1
3. dx=ln +C 4. dx= +C
( 1)
( 1)
5. 6. ln
7. sin
x
x x x
x
dx x C x dx
x
x x x
a
e dx e C a dx C
a
xdx
2 2
cos 8. cos sin
1 1
9. dx = tanx+C 10. dx= - cotx+C
cos sin
x C xdx x C
x x
5)Định nghĩa tích phân
Cho hàm số y =f(x) liên tục trên
ba,. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)
trên
ba,. Hiệu số F(b)-F(a) được gọi là tích phân từ a đến b ( hay tích phân xác
định trên
ba,của hàm số f (x), kí hiệu là b
adxxf )( .
Ta còn dùng kí hiệu )()()( aFbFxF b
a .
Ta còn gọi b
alà dấu tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, f(x)dx là biểu thức dưới
dấu tích phân và f(x) là hàm dưới dấu tích phân.
6). Phương pháp đổi biến số
Định lí :Cho hàm số f(x) liên tục trên
;
a b
Giả sử hàm số )(tx
có đạo hàm liên tục trên đoạn
,sao cho
baa
)(,)(
và a bt
)(
với mọi t thuộc
,
thì
dtttfdxxf
b
a)())(()( '
7) Phương pháp vi phân:
Khi gặp tích phân có dạng I =
dxuuf '
)(
Vì du = u’dx
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 3
)()()()()( '
FFuFduufdxuuf
8)Phương pháp tích phân từng phần.
Định lí .Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên
;
a b
thì:
' '
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
b
u x v x dx u x v x v x u x dx
a
hay
b b
a a
b
udv uv vdu
a
.
Áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
Bước 1: Viết f(x)dx dưới dạng '
udv uv dx
bằng cách chọn một phần thích
hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại '
( ) .
dv v x dx
Bước 2: Tính '
du u dx
và '
( )
v dv v x dx
.
Bước 3: Tính '
b b
a a
vdu vu dx
và
b
uv
a
.
Bước 5: Áp dụng công thức trên.
2. Thực trạng thực tế khi chưa thực hiện SKKN và giải pháp mới
Khảo sát thực tế: Cho học sinh lớp 12A10 gồm 40 học sinh làm một đề gồm 3
câu hỏi trong thời gian 45 phút
Đề 1
Bài toán 1: Tính tích phân sau
4
0
sin
)(sin
x
xd
Bài toán 2: Tính tích phân sau
4
02
cos
4
2sin
x
xdx
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 4
Bài toán 3 : Tính tích phân sau
2
0cos
xdxx
Kết quả học sinh khi chưa được triển khai SKKN
Điểm 23 4 5 6 7 8 9
Số
lượng
53 5 10 5 7 5 0
Phần
trăm
12,5 7,5 12,5 25 12,5 17,5 12,5 0
- Các em hầu hết làm được câu 1. Tuy nhiên câu 2,3 chỉ có một số học sinh giải
được nhưng chưa thực sự trọn vẹn. Một số học sinh thực hiện việc đổi biến ở câu 2
nhưng quên không đổi cận. Một số học sinh còn chưa nắm vững công thức tích
phân từng phần. Các em rất muốn có những lời khuyên để tiếp cận được các các bài
tập trên.
* Giải pháp mới: Tôi đưa ra 6 bài toán trong đó
1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
- Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được
bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
- Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
- So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và
khác nhau giữa chúng.
- Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải.
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp...
- Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
- Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề.
- Phương pháp: phương pháp giải toán.
3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
- Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế.
- Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
Bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua giải bài tập tích phân ở trường phổ thông
Bạch thị Thu Trang THPT Mĩ Đức A 5
4. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với
từng loại đối tượng học sinh, Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập.
5. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
- Hệ thống kiến thức cơ bản.
- Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
- Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập tổng quát, hoặc cụ thể hóa bài toán đó
- Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết
quả, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
Bài toán 1:
Tính tích phân sau:
1.1 a)
1
0
2
1
)21(
x
x
e
ed
b) dx
e
e
x
x
1
0
2
1
Giải
a) 3
21
ln21ln
21
)21( 1
0
1
0
e
e
e
ed x
x
x
b)
Cách 1:
Nhận xét: Ta có
)21(
2
1
)21(2221 'xxxxxx eddxeeddxeee
Từ đó:
dx
e
e
x
x
1
0
2
1
=3
21
ln
2
1
21ln
2
1
21
)21(
2
11
0
1
0
e
e
e
ed x
x
x
Cách 2: Đặt (1+2e x) = u, du =2e
2
du
dxedx xx
eux
ux
211
30
dx
e
e
x
x
1
0
2
1
=
3
21
ln
2
1
ln
2
1
2
121
3
21
3
e
u
u
du e
e
Bình luận:
- Cách 1 thực chất là phép đổi biến giống cách 2 . Đây là phương pháp dựa vào
vi phân để tính tích phân
- Tuy nhiên sử dụng cách 1 ở một số bài tập có nhiều ưu điểm
+ Không cần thực hiện các phép đổi cận không cần thiết.
+ Cách làm khá ngắn gọn, đơn giản, không mất nhiều thời gian.
