Các bài tập vectơ

Trêng THPT cÈm lý  Su TÇm : TrÇn v¨n thµnh

Ch đ 1. Ch ng minh các đ ng th c Vect

ủ ể

ứ

ứ

ẳ

ơ

ề ể + + + + + - uuur uuur uuur uuur uuur uuur = c) AD BE CF AE BF CD ớ ể ạ ằ = + ứ uuur uuur uuur ur = + BN CP O b) AN c) AM + ể = . ể ấ uur uur + IA IB uuur IM 2 = ớ ấ uur IB - VD1. Cho 6 đi m A, B, C, D, E, F. CMR : (b ng nhi u cách khác nhau) ằ uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur + + = = a) AB CD AD CB b) AB CD AC D B VD2. Cho tam giác ABC v i M, N, P là trung đi m các c nh AB, BC, CA. Ch ng minh r ng : uuur uuur uuur uuur uuur uuur ur + = + a) AN BP CM AP O AM ể ) Cho hai đi m A, B. VD3. (H th c v trung đi m ệ ứ ề ứ uuur N B . CMR v i I b t ki : ớ ấ ằ ể . CMR v i I b t kì : ớ uur IA uur IA 3 + 2 uur = - IB 2 uuur PB 3 2 ấ a) Cho M là trung đi m A, B. Ch ng minh r ng v i đi m I b t kì ta có : uuur uur = - b) V i đi m N sao cho ể N A IN 3 uur uuur = c) V i đi m P sao cho . ể IP PA d) T ng quát tính ch t trên. ọ ủ + + = = . ứ ớ ớ ơ ổ VD3. (H th c v tr ng tâm ệ ứ ề ọ a) Ch ng minh r ng ằ uuur uuur uuur ur + AG BG CG O uur uur uur IA IB IC uur IG

= = + + = . V i I bki . ạ ộ ớ M G GA b) M thu c đo n AG và ) Cho tam giác ABC và G là tr ng tâm c a tam giác. + . V i I b t kì ta có : ấ 3 uuur uuur uuuur ur + + . CMR : 2M A M B M C O uur uur uur IA IB IC 2 uuur IM 4 1 4 ổ ấ

1. Ch ng minh r ng :

ọ ứ ằ c) T ng quát tính ch t trên. d) Cho hai tam giác ABC và DEF có tr ng tâm là G và G = + +

+ + Tìm đi u ki n đ hai tam giác có cùng tr ng tâm. uuur uuur uuur AD BE CE ệ ề uuuur 13 GG ể ọ

VD4. (H th c v hình bình hành ) Chohình bình hành ABCD tâm O. ệ ứ ề + + = + + + = , V i I b t kì ấ ớ uur uur uur uur + IA IB IC ID uur IO 4

ứ ủ uuur uuur uuur uuur ur a) CMR : AO BO CO D O O b) M là đi m tho mãn: ả ể ) Cho t ấ ứ =

+ ị uuuur M N 2 ể

ọ uuuur M N 2 + + ớ 4

uuur uuur = + AC BD uur uur uur uur ur + = IA IB IC ID O uuur uuur uuuur uuuur = + + M A M B M C M D ể ủ ệ uuur M I ỉ ự ủ ệ ọ ể ) Cho n đi m ể

mãn . M : A . 2, ,..., n A A 1 CMR v i bki ơ a) G i ọ giác ABCD. G i M, N c a AB và CD . CMR : VD5. (T giác b t kì uuur uuur + b) a) AD BC c) Tìm v trí đi m I sao cho d) V i M b t kì, CMR : ấ VD6. (Khái ni m tr ng tâm c a h n đi m và tâm t c c a h n đi m ệ uuuur ur = GA O n uuuur uuuur + GA GA 1 + + 2 ...

G uuuur uuuur + M A M A 1 tho ả uuuur nM G uuur ả ọ ấ là đi m ể uuuur = + + 2 ... M A n b) G i I là đi m tho mãn ể uuuur ur = O

1

2

'

'

'

'

= + + 2 ... n + + ... 1 . uuuur + n IA n GA 2 1 1 uuuur uuuur + n M A n M A 2 n GA n uuuur n M A n n . CMR v i M b t kì : ớ uuuur + + ) n M G .. n n ( 1 VD7. ề ọ t là trung đi m c a AB, CD, EF, BC, DE, FA. ọ ụ ụ ầ ượ ủ ể ọ a) Cho l c giác đ u ABCDEF. CMR hai tam giác ACE và BDF cùng tr ng tâm. b) Cho l c giác ABCDEF. G i M, N, P, Q, R, S l n l CMR hai tam giác MNP và QRS cùng tr ng tâm. ộ

= và . CMR hai tam giác ABC và A’B’C’ cùng tr ng tâm. ọ ể 1k „ uuur uuur = ' ' A B kA C B C kB A C A kC B uuur uuur , i ABCD. G i M, N , P, Q là trung đi m AB, BC, CD, DA. CMR hai tam giác ANP và ể ọ ứ ồ c) Cho hai tam giác ABC và A’B’C’ là các đi m thu c BC, CA, AB sao cho : = d) Cho t CMQ cùng tr ng tâm. ng tròn ngo i ti p, tâm đ uuur uuur , giác l ọ ộ ố ẳ ạ ế ườ ọ ườ ọ ườ ự ng tròn ngo i ti p và tâm đ ạ ế ng tròn n i ti p ộ ế ) ộ ng tròn n i ườ

+ = +

+ uuur uuur uuur uuur + b) O H O A O B O C uuur uuur + e) Tan H A TanBH B tan A

ACM

ABM

ể ọ (M n mằ uuur uuur uuur uuur + = c) 2H O H A H B H C uuur ur = C H C O uur + IA S uur + IB S uur ur = IC O S BCM VD8. (M t s đ ng th c v tr c tâm, tr ng tâm, tâm đ ứ ề ự Cho tam giác ABC, G, H, O, I là tr ng tâm, tr c tâm, tâm đ ti p.ế uuur uuur uuur uuur + + = a) 3O G O A O B O C uur ur uur uur = + + d) aIA bIB cIC O f) G i M là đi m b t kì n m trong tam giác ABC. CMR : ằ ấ ngoài thì không còn đúng).

Page 3/13/2011 1

ở ộ ườ ề ấ ể ợ Cho tam giác ABC. G i M là trung đi m ọ Trêng THPT cÈm lý  Su TÇm : TrÇn v¨n thµnh VD9. (Nh n m nh bài toán và m r ng ra nhi u tr ạ AB và N là m t đi m trên c nh AC sao cho NC = 2NA. G i K là trung đi m MN. ng h p). ọ ể

= + = + a) CMR : . ộ uuur AK ạ uuur AC uuur KD uuur AB uuur AC b) D là trung đi m BC. CMR : ể ể uuur 1 AB 4 1 6 1 4 1 3

Ch đ 2. Bi u di n véc t ể

ủ ề

ễ

ơ

trung đi m ẫ ể ắ ừ ễ 1 đ i x ng v i B qua G. M là trung đi m BC. Hãy bi u di n ể ể ọ

, . ớ uuur uuur ,AB AC uuur ơ AM , 1 uuur uuur uuur uuur uuuur AG BC CB AB M B , 1 1 ể ọ qua hai véc t ạ ộ

ĐVĐ : ề D n d t t VD1. Cho tam giác ABC và G là tr ng tâm. B ố ứ các véc t ơ , , VD2. Cho tam giác ABC, g i I là đi m trên c nh BC sao cho 2CI = 3BI và J thu c BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC.

theo hai véc t . T đó bi u di n ơ ừ ể ễ . (Nh n m nh cách tìm ạ ấ uuur uuur ,AB AC uuur uuur ,AB AC uur uur theo ,AI AJ uur uur a) Tính ,AI AJ ễ ) bi u di n

. ể ọ ọ b) G i G là tr ng tâm tam giác. Tính uur uur theo ,AI AJ uuur AG

ủ ề ẳ

Ph .

A, B, C th ng hàng khi và ch khi ng pháp : r r + = + = ư Ch đ 3. Ch ng minh 3 đi m th ng hàng ứ ể uuur uuur = ỉ AB kAC uuur uuur thì AB kAC t là ẳ r r uuur uuur = AB m x ny AC km x kny  ,  ễ ử ụ ứ ạ ể ẫ ắ ơ ầ ượ ể ươ L u ý : VD1. (D , s d ng VD1 đ d n d t sang các VD ph c t p h n). Cho tam giác ABC và M, N l n l trung đi m AB, AC. ọ ể ẳ

= = , . CMR : A, E, F th ng hàng. ả ọ ẳ uuuur M N uuur M E uuur BC uuur BF b) G i E, F tho mãn : a) G i P, Q là trung đi m MN và BC. CMR : A, P , Q th ng hàng. 1 3 1 3 VD2. Cho tam giác ABC, E là trung đi m AB và F thu c tho mãn AF = 2FC. ể ả ộ ể ể ẳ ẳ ộ ọ ấ ấ ể ộ = = - , . a) G i M là trung đi m BC và I là đi m tho mãn 4EI = 3FI. CMR : A, M, I th ng hàng. ả b) L y N thu c BC sao cho BN = 2 NC và J thu c EF sao cho 2EJ = 3JF. CMR A, J, N th ng hàng. ộ c) L y đi m K là trung đi m EF. Tìm P thu c BC sao cho A, K, P th ng hàng. uuur AN ẳ uuuur ur = M C O uuur uuur ur + , PB PA O uuur N C 3 3

= + + CMR : M, N, P th ng hàng. ( ). ể uuur uuuur CA M N , uuur uuur = M P CB uuur CB uuur M B uuur CA ẳ ả 1 2 1 2 - = = = VD4. Cho tam giác ABC và L, M, N tho mãn . CM : L, M, N ể VD3. Cho tam giác ABC và M, N, P là các đi m tho mãn : 1 4 uuuur M C uuur M A ả uuur 2 , LC uuur LB uuur uuur ur + , N B N A O 1 2 ẳ + + + th ng hàng. VD5. Cho tam giác ABC v i G là tr ng tâm. I, J tho mãn : . ớ ả uur IA 2 3 uur ur = IC O uur JA uur JB 5 uur ur = JC O 3 , 2 ể

ọ ể

ọ a) CMR : M, N, J th ng hàng v i M, N là trung đi m AB và BC. ẳ ớ b) CMR J là trung đi m BI. ể c) G i E là đi m thu c AB và tho mãn ộ ể = ả VD6. Cho tam giác ABC. I, J tho mãn : ẳ . CMR : Đ ng th ng IJ đi qua G. ả ườ ẳ uur IA uuur uuur = . Xác đ nh k đ C, E, J th ng hàng. AE kAB uur uur + 2 , 3 IB JA ị uur ur 2 =   JC O

Ch đ 4. Xác đ nh v trí m t đi m tho mãn m t đ ng th c Vect ể

ộ ẳ

ứ

ị

ơ

ủ ề

ả

Đ t V n đ : ặ ấ ể thì P là trung đi m c a AB.

=

ị ố ị ể ọ

khác thì có xác đ nh đ c v trí c a P ủ th P là tr ng tâm tam giác ABC. ơ ộ ẳ ứ ộ ế ể ị ượ ị ủ

ộ ề Cho hai đi m A, B, C c đ nh. uuur uuur ur = + a) N u ế PB PA O uuur uuur uuur ur + + b) N u ế PB PA PC O ị c) N u P là m t đi m thoã mãn m t đ ng th c véc t

hay không ? + . ể ả 2 uur + c luôn xác đ nh đ ớ ị ướ ượ ị uur ur = IB O c đi m I tho mãn : ả uur IA ể ấ . V i đi m O b t ể ớ uur ur = m IA nIB O

= + kì ta có : . uuur O A uuur O B uur O I VD1(Cho hai đi mể ). Xác đ nh v trí đi m I tho mãn : ị NX : V i hai đi m A, B cho tr ể n m + + m n m n sao cho : VD2 (Bài toán 3 đi mể ) Cho 3 đi m A, B, C. Tìm v trí đi m M ể ể ị

Page 3/13 /2011 2

= + + = (Trung đi m AC) ể

= + uuur uuuur ur M B M C O = c) + - - uuur uuur uuuur ur + b) 2M A M B M C O uuur uuur uuuur ur = + f) e) M A M B M C O uuur + M A 2 uuur uuuur ur M B M C O 2 uuur M A Trêng THPT cÈm lý  Su TÇm : TrÇn v¨n thµnh uuur uuuur uuur + a) M B M C AB uuur uuur uuuur ur + = d) M C O M A M B 2 NX : M r ng v i n đi m b t kì ể ớ ở ộ ấ

ộ ẳ ứ ể ả ơ

Ch đ 5. Tìm quĩ tích đi m M tho mãn m t đ ng th c véc t ủ ề ơ ả M t s quĩ tích c b n : uuur M B ng trung tr c c a AB. thì M n m trên đ ẵ ự ủ ườ

= , v i A, B, C c đ nh thì M n m trên đ ng tròn tâm C bán kính k.AB. ố ị ẵ ớ ườ

= ớ ộ ố uuur = a) M A uuuur b) M C uuur c) AM uuur k AB uuur kBC ng th ng qua A và song song v i BC và theo h ng . ẳ ớ ướ uuur BC

v i A, B, C cho tr c. ướ + k > 0 thì M n m trên n a đ ử ườ ẵ + k< 0 + k b t kì ấ ạ D ng 1. ( VD1. Cho hai đi m A,B c đ nh. Tìm quĩ tích đi m M sao cho : Bài toán hai đi mể ) ố ị ể = = uuur uuur + M A M B uuur M A 2 a) uuur uuur + b) M A M B c)

= = - uuur AB 2 uuur M A ể uuur AB uuur uuur M A M B uuur uuur + M A M B uuur uuur + d) M A M B = uuur uuur + e) 2M A M B

ạ Bài toán 3 đi mể )

= + = - - + + = uuur uuur M A M B uuur M A uuur uuuur + M B M C 2 uuur uuuur M B M C ể uuur uuur + b) M A AC a) c) D ng 2. ( VD2. Cho tam giác ABC. Tìm quĩ tích đi m M sao cho : uuur uuuur + M B M C uuur uuur uuuur M A M B M C

+ - - uuur M A uuur M B 2 uuur uuuur M B M C 3 2 uuuur = M C 2 d) 3

uuur uuur uuur + = - - + = - c) (1 uuuur ur )k M A M B kM C O uuuur uuur uuur + b) kM A M B kM C

VD3. Tìm quĩ tích đi m M sao cho : ể uuuur ur uuur = a) M A kM B kM C O VD4 (Bài toán 4 đi mể ) ) VD5. (Bài toán t ng quát cho n đi m b t kì ể ấ ổ

Ch đ 6. M t s bài toán v kho ng cách ộ ố ủ ề ề ả

ng th ng d. Tìm v trí đi m M trên d sao cho đ dài các véc t sau nh ể ườ ể ẳ ộ ị ơ ỏ

+ + - - uuur M A uuur M B 2 uuur M A uuur M B 2 uuur M A uuur M B 3 b) uuur uuur c) 3M A M B d) 3 e) 2

ng th ng d. Tìm v trí đi m M trên d sao cho đ dài các véc t sau nh ườ ể ẳ ộ ị ơ ỏ VD1 Cho hai đi m A, B và đ nh t ?ấ uuur uuur a) M A M B+ VD2. Cho tam giác ABC và đ nh tấ + + + + + - uuur M A uuur uuuur + M B M C 2 uuur M A uuur uuuur M B M C 2 uuur uuur uuuur a) M A M B M C b) uuur uuur uuuur + c) 3M A M B M C d)

giác ABCD và đ ng th ng d. Tìm v trí đi m M trên d sao cho đ dài các véc t sau nh ứ ườ ể ẳ ộ ị ơ ỏ VD3. Cho t nh tấ + + + + + - uuuur M D uuur uuur uuuur uuuur + a) M A M B M C M D b) uuur uuur uuuur uuuur + c) 3M A M B M C M D

+ + + + - - uuur M A uuur uuuur uuuur M B M C M D 2 uuur uuuur uuur + M A M B M C 2 uuur uuur uuuur M A M B M C 2 uuur AB 2 d) e)

ể ) VD4. (M r ng ra bài toán cho n đi m ở ộ

Ch đ 7. Ch ng minh đ ng th ng đi qua m t đi m c đ nh ủ ề ứ ườ ố ị ộ ể ẳ

ĐVĐ : V i I là trung đi m AB thì : M = 2 + ể uuur M I ẳ uuur uuur uuuur M N kM A kM B , hay nói cách khác I = ng th ng MN đi qua đi m I c đ nh. ớ uuur uuur + + M B M A + N u M, I, N th ng hàng thì khi đó : ế Là đ ườ ố ị ể ẳ

A B Page 3/13 /2011 3 N

Trêng THPT cÈm lý  Su TÇm : TrÇn v¨n thµnh T đó d n d t vào bài toán b ng cách thay đi m I b ng đi m b t kì ừ ể ể ẫ ắ ằ ằ ấ

ng th ng MN luôn ể ố ị ườ ể ẳ ộ ố ị = - = - b) c) uuur M B ộ uuuur uuur = M N M A uuuur M N uuuur M N 2 2 uuur M B 2 + ng th ng MN luôn đi uuur + M A ặ uuur M B ẳ ườ ị ị ố ị = ể + = =

= = + - - c) f) VD1. (Bài toán 2 đi mể ) Cho hai đi m A B c đ nh. Hai đi m M, N di đ ng. CMR đ đi qua m t đi m c đ nh n u : ế ể uuur uuuur uuur uuur = + d) a) M B 2 M A M N 3 M A VD2. (Bài toán 3 đi mể ). Cho tam giác ABC và đi m M trong m t ph ng. CMR đ ể ẳ qua m t đi m c đ nh n u ( ng h p ế Xác đ nh v trí đi m c đ nh và đi m N trong m i tr ợ ) ể ộ ỗ ườ ể ố ị uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur + + + + + a) M B M C M A M N b) 2M A M B M C M N M B M C M N M A 2 uuur uuuur uuuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuur + = + + e) M A M B M C M N d) M B M C M N M A 2 M C M N M A M B 2

Page 3/13 /2011 4