CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 – 2011

Chia sẻ: Trinhthu Trang | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:21

Thêm vào BST

Báo xấu

321
lượt xem 81
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng. 1. Kiến thức cần nhớ: r - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ n ≠ 0 được gọi là vectơ pháp tuyến...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 – 2011

CÁC DẠNG TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010 – 2011 Vấn đề 1: Phương trình mặt phẳng. 1. Kiến thức cần nhớ: r - Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Vectơ n ≠ 0 được gọi là vectơ pháp tuyến r r của mp(P) nếu giá của n vuông góc với (P), viết tắt là n ⊥ (P) . rr - Nếu hai vectơ a, b không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên mp(P) uu r rr thì mp(P) có một vectơ pháp tuyến là: nP = a,b .  - Phương trình tổng quát của mp có dạng: Ax+By+Cz+D=0 với A 2 + B2 + C2 ≠ 0 - Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M(x0;y0;z0) có vectơ pháp tuyến uu r nP = ( A;B;C) có dạng: A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 . Cần nhớ: moä ñieå M(x0;y0;z0) thuoä mp t m c - Để viết phương trình mặt phẳng ta cần tìm:  r moäVTPT n = ( A;B;C ) t 2. Các dạng toán. Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm M(x0;y0;z0) và vuông  Ñieå ñi qua M(x0;y0;z0 ) m  góc với đường thẳng d. →  HD uu uu rr VTPT nP = ad  Cần nhớ: MP vuông góc đường thẳng nhận VTCP của đt làm VTPT. Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đt d: x = 1+ 2t  y = −3t z = 2   Ñieå ñi qua A(2;2-1) m  Bài giải →  HD uu uu rr VTPT nP = ad  - Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1). uu uu rr nP = ad = ( 2; −3;0) . - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ 2( x − 2) − 3( y − 2) + 0( z + 1) = 0 ⇔ 2x − 4 − 3y + 6 = 0 ⇔ 2x − 3y + 2 = 0 uu r Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến. Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(2;2;-1) và vuông góc với đường thẳng x−1 y+ 2 z = = d: −2 1 2  Ñieå ñi qua A(2;2-1) m  →  HD Bài giải uu uu rr VTPT nP = ad  1
- Mặt phẳng (P) qua điểm A(2;2;-1). uu uu rr - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP = ad = ( 1 −2) . ;2; - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ 1( x − 2) + 2( y − 2) − 2( z + 1) = 0 ⇔ x − 2 + 2y − 4 − 2z − 2 = 0 ⇔ x + 2y − 2z − 8 = 0 uu r Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng d nhận vectơ ad làm vectơ pháp tuyến. Bài 3: Cho ba điểm A(2;0;0), B(0;2;0), C(0;0;2). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua B vuông góc với AC.  Ñieå ñi qua B(0;2;0) m  Bài giải →  HD uu uuu r r VTPT nP = AC  - Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0). uu uuu r r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP = AC = ( −2;0;2) . - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ −2 ( x − 0) + 0( y − 2) + 2( z − 0) = 0 ⇔ −2x+2z =0 ⇔ −x+ 0 z= uuu r Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng AC nhận vectơ AC làm vectơ pháp tuyến. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với BC tại B.  Ñieå ñi qua B(0;2;0) m  Bài giải →  HD uu uuu r r VTPT nP = BC  - Mặt phẳng (P) qua điểm B(0;2;0). uu uuu r r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP = BC = ( 0; −2;2) . - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ 0 ( x − 0) − 2( y − 2) + 2( z − 0) = 0 ⇔ −2y+ 2z= ⇔ −2y+ 4= 4+ 0 2z+ 0 uuu r Cần nhớ: Mp(P) vuông góc đường thẳng BC nhận vectơ BC làm vectơ pháp tuyến. Bài 4: Cho hai điểm A(1;1;1), B(3;3;3). Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.  Ñieå ñi qua laø m trung ñieå I(2;2;2) m  Bài giải →  HD uu uuu r r VTPT nP = AB  Gọi (P) là mp trung trực của đoạn thẳng AB. - Gọi I là trung điểm của AB ⇒ I ( 2;2;2) - Mặt phẳng (P) qua điểm I(2;2;2). - uu uuu r r nP = AB = ( 2;2;2) . Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 - ⇔ 2 ( x − 2) + 2( y − 2) + 2( z − 2) = 0 ⇔ 2y+ 2z-12= 2y+ 0 Cần nhớ: Mp trung trực của đoạn thẳng AB là mp vuông góc với đoạn thẳng AB tại 2
trung điểm I của đoạn thẳng AB. Kiến thức không được quên r r rr r - Trục Ox có VTCP là i = ( 1 ) . - Mp (Oxy) có VTPT: n =  i, j = k = ( 0;0;1) . ;0;0  r r rr r - Trục Oy có VTCP là j = ( 0;1 ) . ;0 n =  i,k = j = ( 0;1 ) . ;0 - Mp (Oxz) có VTPT:  r - Trục Oz có VTCP là k = ( 0;0;1) . r rr r - Mp (Oyz) có VTPT: n =  j,k = i = ( 1 ) ;0;0  Bài 5: Cho điểm M(1;2;3). 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Ox.  Ñieå ñi qua M(1;2;3) m  →  HD Bài giải uu r r VTPT nP = i = ( 1;0;0)   - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). uu r r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP = i = ( 1 ) . ;0;0 - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ 1( x − 1) + 0( y − 2) + 0( z − 3) = 0 ⇔ x-1=0 r Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Ox nhận vectơ i làm vectơ pháp tuyến. 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oy.  Ñieå ñi qua M(1;2;3) m  Bài giải →  HD uu r r VTPT nP = j = ( 0;1 ) ;0   - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). uu r r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP = j = ( 0;1 ) . ;0 - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ 0 ( x − 1) + 1( y − 2) + 0( z − 3) = 0 ⇔ y-2=0 r Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oy nhận vectơ j làm vectơ pháp tuyến. 3. Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với trục Oz.  Ñieå ñi qua M(1;2;3) m  Bài giải →  HD uu r r VTPT nP = k = ( 0;0;1)   - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). uu r r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP = k = ( 0;0;1) . - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ 0 ( x − 1) + 0( y − 2) + 1( z − 3) = 0 . ⇔ z − 3=0 r Cần nhớ: Mp(P) vuông góc trục Oz nhận vectơ k làm vectơ pháp tuyến. Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua ba điểm A, B, C 3
 Ñieå ñi qua A(x0;y0;z0 ) m  →  HD uur uuu uuu rr VTPT nP =  AB,AC     Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Bài giải - Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;0;0). uu r uuu uuu rr - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP =  AB,AC   uuur AB = ( −1 ;0) ;1 Với uuu r AC = ( −1 ) ;0;1 uu r uuu uuurr ⇒ nP =  AB,AC = ( 1 ;1) ;1   Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 - ⇔ 1( x − 1) + 1( y − 0) + 1( z − 0) = 0 ⇔ x − 1+ y + z = 0 ⇔ x + y + z − 1= 0 Bài 2: Cho hai điểm M(1;1;1), N(1;-1;1). Viết phương trình mp(OMN). uu r uuuu uuu rr → Ñieå ñi qua O, VTPT nP = OM,ON  HD m Bài giải   - Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0). uu r uuuu uuu rr - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP = OM,ON    uuuur OM = ( 1 ;1) ;1 Với uuu r ON = ( 1 −1 ) ; ;1 uu r uuuu uuu rr ⇒ nP = OM,ON  = ( 2;0; −2)   Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 - ⇔ 2 ( x − 0) + 0( y − 0) − 2( z − 0) = 0 ⇔ 2x − 2z = 0 Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua một điểm M(x0;y0;z0) và song song  Ñieå ñi qua M(x0;y0;z0 ) m  với mp(Q) →  HD uu uu r r VTPT nP = nQ  Bài 1: Viết phương trình mp(P) qua điểm A(1;2;3) và song song với mp(Q): 2x+2y+z=0.  Ñieå ñi qua A(1;2;3) m  →  HD Bài giải uu uu r r VTPT nP = nQ   - Mặt phẳng (P) qua điểm A(1;2;3). uu uu r r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP = nQ = ( 2;2;1) . - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 4
⇔ 2 ( x − 1) + 2( y − 2) + 1( z − 3) = 0 ⇔ 2x − 2 + 2y − 4 + z − 3 = 0 ⇔ 2x + 2y + z − 9 = 0 Cần nhớ: Hai mp song song cùng VTPT. Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết phương trình mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song với mp(ABC)  Ñieå ñi qua M m  Bài giải →  HD uu uuuu r r uuu uuu rr VTPT nP = nABC =  AB,AC     - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). uu uuuu r r uuu uuu rr nP = nABC =  AB,AC Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là -   uuur AB = ( −1 ;0) ;1 Với uuu r AC = ( −1 ) ;0;1 uu r uuu uuurr ⇒ nP =  AB,AC = ( 1 ;1) ;1   Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 - ⇔ 1( x − 1) + 1( y − 2) + 1( z − 3) = 0 ⇔ x − 1+ y − 2 + z − 3 = 0 ⇔ x+ y+ z− 6= 0 Bài 3: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxy).  Ñieå ñi qua M(1;2;3) m  →  HD uur rr r Bài giải VTPT nP =  i, j = k = ( 0;0;1)    - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). uu r rr r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP =  i, j = k = ( 0;0;1) .  - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ 0 ( x − 1) + 0( y − 2) + 1( z − 3) = 0 ⇔ z-3=0 Bài 4: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oxz).  Ñieå ñi qua M(1;2;3) m  →  HD uur rr r Bài giải VTPT nP =  i,k = j = ( 0;1 ) ;0    - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). uu r rr r nP =  i,k = j = ( 0;1 ) . ;0 Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là -  Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 - ⇔ 0 ( x − 1) + 1( y − 2) + 0( z − 3) = 0 ⇔ y-2=0 5
Bài 5: Viết pt mp(P) qua điểm M(1;2;3) và song song mp(Oyz).  Ñieå ñi qua M(1;2;3) m  →  HD uur rr r Bài giải VTPT nP =  j,k = i = ( 1;0;0)    - Mặt phẳng (P) qua điểm M(1;2;3). uu r rr r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP =  j,k = i = ( 1 ) . ;0;0  - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ 1( x − 1) + 0( y − 2) + 0( z − 3) = 0 ⇔ x-1=0 Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng(P) qua hai điểm A, B và  Ñieå ñi qua A m  →  HD uu r uuu uu rr vuông góc với mp(Q) VTPT nP =  AB,nQ      Bài 1: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp (Q): 2x-y+3z-1=0  Ñieå ñi qua A m  Bài giải →  HD uur uuu uu rr VTPT nP =  AB,nQ      - Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1). - Hai vectơuuu không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là: r AB = ( −1 −2;5) ; uur nQ = ( 2; −1 ) ;3 uur uuu uurr - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là : nP =  AB,nQ  = ( −1 ;13;5)   - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ −1( x − 3) + 13( y − 1) + 5( z + 1) = 0 ⇔ x-13y-5z+ 0 5= Bài 2: Viết pt mp(P) qua 2 điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với mp(Oxy)  Ñieå ñi qua A m  Bài giải →  HD uu r uuu r r VTPT nP =  AB,k     - Mặt phẳng (P) qua điểm A(3;1;-1). - Hai vectơuuu không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là: r AB = ( −1 −2;5) ; r k = ( 0;0;1) uur uuu r r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP =  AB,k =(-2;1;0)   - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ −2 ( x − 3) + 1( y − 1) + 0( z + 1) = 0 ⇔ −2x+ 5= y+ 0 6
Bài 3: Viết pt mp(P) qua gốc tọa độ, điểm A(1;1;1) và vuông góc với mp(Oyz)  Ñieå ñi qua O m  →  HD uu r uuu r r Bài giải VTPT nP = OA,i      - Mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0). - Hai vectơ uuu không cùng phương có giá song song hoặc nằm trên (P) là: r OA = ( 1 ;1) ;1 r i = (1;0;0) uur uuu r r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP = OA,i  =(0;1;-1)   - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ 0 ( x − 0) + 1( y − 0) − 1( z − 0) = 0 ⇔ y-z=0 Vấn đề 2: Phương trình đường thẳng. 1. Kiến thức cần nhớ: - Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ có giá song songuuới đt hoặc trùng với đt. v r M(x0;y0;z0 ) có vectơ chỉ phương ad = ( a;b;c) : - Đường thẳng d qua điểm x = x0 + at  • Có pt tham số: y = y0 + bt . z = z + ct  0 x − x0 y − y0 z − z0 = = , a.b.c ≠ 0 • Có phương trình chính tắc: a b c moä ñieå M(x0;y0;z0 ) thuoä ñöôøg thaúg t m c n n Cần nhớ: Để viết pt đường thẳng ta tìm:  uu r moäVTCP ad = ( a;b;c) t 2. Các dạng toán. Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B.  Ñieå ñi qua A m  →  HD uuu uuu r r VTCP aAB = AB  uuu r Cần nhớ: Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là vectơ AB . Bài 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(1;2;3), B(2;1;4).  Ñieå ñi qua A m  Bài giải →  HD uuu uuu r r VTCP aAB = AB   - Đường thẳng AB qua điểm A(1;2;3). uuu uuu r r - Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: aAB = AB =(1;-1;1). 7
x = x0 + at x = 1+ t   Pt tham số của AB là: y = y0 + bt ⇔ y = 2 − t . - z = z + ct z = 3+ t   0 Bài 2: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(3;6;9). Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng OG.  Ñieå ñi qua O m  Bài giải →  HD uuu uuu r r VTCP aOG = OG  - Ta có G(2;3;4) - Đường thẳng OG qua điểm O(0;0;0). uuu uuu r r - Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là: aOG = OG =(2;3;4). x = x0 + at x = 0 + 2t   - Pt tham số của OG là: y = y0 + bt ⇔ y = 0 + 3t . z = z + ct z = 0 + 4t   0 uuu r Cần nhớ: Đường thẳng OG có vectơ chỉ phương là OG Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và vuông góc với mp(P).  Ñieå ñi qua M m  →  HD uu uu r r VTCPad = nP  Bài 1: Viết pt đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và vuông góc với mp(P): x-2y-z- 1=0.  Ñieå ñi qua M m  Bài giải →  HD uu uu r r VTCP ad = nP   - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). uu uu r r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad = nP =(1;-2;-1). x = x0 + at x = 1+ t   Pt tham số của d là: y = y0 + bt ⇔ y = 2 − 2t . - z = z + ct z = 3− t   0 Cần nhớ: Đường thẳng vuông góc mp nhận VTPT của mp làm VTCP. Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Viết pt đường thẳng d qua gốc tọa độ và vuông góc mp(ABC).  Ñieå ñi qua O m  →  HD uu uuuu r r uuu uuu rr Bài giải VTCP ad = nABC =  AB,AC     - Đường thẳng d qua điểm O(0;0;0). uu uuuu r r uuu uuu rr - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad = nABC =  AB,AC =(1;1;1).   x = x0 + at x = t   Pt tham số của d là: y = y0 + bt ⇔ y = t . - z = z + ct z = t   0 8
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxy).  Ñieå ñi qua M m  →  HD uu r r r r Bài giải VTCP ad =  i, j = k    - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). uu r r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad = k =(0;0;1). x = x0 + at x = 1   Pt tham số của d là: y = y0 + bt ⇔ y = 2 . - z = z + ct z = 3+ t   0 Bài 4: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oxz).  Ñieå ñi qua M m  →  HD uu r r r r Bài giải VTCP ad =  i,k = j = ( 0;1 ) ;0    - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). uu r r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad = j =(0;1;0). x = x0 + at x = 1   Pt tham số của d là: y = y0 + bt ⇔ y = 2 + t . - z = z + ct z = 3   0 Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d qua M(1;2;3) và vuông góc mp(Oyz).  Ñieå ñi qua M m  Bài giải →  HD uu r r r r VTPCP ad =  j,k = i = ( 1;0;0)    - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). uu r r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad = i =(1;0;0). x = x0 + at x = 1+ t   Pt tham số của d là: y = y0 + bt ⇔ y = 2 . - z = z + ct z = 3   0 Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M và song song đường thẳng d’. Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với x = 1+ t  đường thẳng d’: y = 2 − 3t z = 3+ 4t   Ñieå ñi qua M m  Bài giải →  HD uu uu r r VTCP ad = ad'  - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). uu uu r r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad = ad' =(1;-3;4). 9
x = x0 + at x = 1+ t   Pt tham số của d là: y = y0 + bt ⇔ y = 2 − 3t . - z = z + ct z = 3+ 4t   0 Bài 2: Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M(1;2;3) và song song với x − 12 y + 23 z = = đường thẳng d’: −3 1 4  Ñieå ñi qua M m  →  HD Bài giải uu uu r r VTCP ad = ad'  - Đường thẳng d qua điểm M(1;2;3). uu uu r r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad = ad' =(1;-3;4). x = x0 + at x = 1+ t   Pt tham số của d là: y = y0 + bt ⇔ y = 2 − 3t . - z = z + ct z = 3+ 4t   0 Bài 3: Cho ba điểm A(1;2;3), B(2;1;-3), C(3;-2;1). Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A và song song với đường thẳng BC.  Ñieå ñi qua A m  Bài giải →  HD uu uuu r r VTCP ad = BC  - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3). uu uuu r r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad = BC =(1;-3;4). x = x0 + at x = 1+ t   Pt tham số của d là: y = y0 + bt ⇔ y = 2 − 3t . - z = z + ct z = 3+ 4t   0 Bài 4: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Ox.  Ñieå ñi qua A m  →  HD Bài giải uu r r VTCP ad = i  - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3). uu r r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad = i =(1;0;0). x = x0 + at x = 1+ t   Pt tham số của d là: y = y0 + bt ⇔ y = 2 . - z = z + ct z = 3   0 Bài 5: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oy.  Ñieå ñi qua A m  Bài giải →  HD uu r r VTCP ad = j   - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3). uu r r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: ad = j = ( 0;1 ) . ;0 10
x = x0 + at x = 1   Pt tham số của d là: y = y0 + bt ⇔ y = 2 + t . - z = z + ct z = 3   0 Bài 6: Viết pt đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) và song song trục Oz.  Ñieå ñi qua A m  Bài giải →  HD uu r r VTCP ad = k  x = 1 uu r r  - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;3) có VTCP là ad = k = ( 0;0;1) ⇒ Pt: y = 2 z = 3 + t  Phương trình các trục tọa độ x = t r  Bài 1: Trục Ox qua O(0;0;0) có VTCP là i = ( 1 ) có pt tham số là: y = 0. ;0;0 z = 0  x = 0 r  Bài 2: Trục Oy qua O(0;0;0) có VTCP là j = ( 0;1 ) có pt tham số là: y = t . ;0 z = 0  x = 0 r  Bài 1: Trục Oz qua O(0;0;0) có VTCP là k = ( 0;0;1) có pt tham số là: y = 0. z = t  Phương trình các mặt phẳng tọa độ. r rr r n =  i, j = k = ( 0;0;1) có pt: z=0. Bài 1: Mp (Oxy) qua O(0;0;0) có VTPT:  r rr r Bài 2: Mp (Oxz) qua O(0;0;0) có VTPT: n =  i,k = j = ( 0;1 ) có pt: y=0. ;0  r rr r Bài 3: Mp (Oyz) qua O(0;0;0) có VTPT: n =  j,k = i = ( 1 ) có pt: x=0. ;0;0  Kiến thức không được quên: • Pt mp(Oxy) là: z=0 • Pt mp(Oxz) là: y=0 • Pt mp(Oyz) là: x=0 Vấn đề 2: Các dạng toán khác. Dạng 1: Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. x = −1+ t  Bài 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d: y = −1+ t và mp(P):x+y-2z-4=0. z = −2t  Bài giải. 11
- Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). - Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0 ⇔ −2 + 2t+4-4=0 ⇔ -2+ 0 ⇔ 2t= ⇔ t= 2t= 2 1 x= 1= -1+ 0  ⇒ y= 1= ⇒ H(0;0; −2) -1+ 0 z=  -2.1=-2 Cần nhớ: Nếu đường thẳng cho ở dạng chính tắc thì ta chuyển pt chính tắc về dạng tham số. x+1 y+1 z = = Bài 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d: và mp(P):x+y-2z-4=0. −2 1 1 Bài giải. • Viết phương trình tham số của đường thẳng d. - Đường thẳng d qua điểm M(-1;-1;0). uu r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương ad = ( 1 ; −2) . ;1 x = −1+ t  Phương trình tham số của d là: y = −1+ t - z = −2t  • Tìm giao điểm của đường thẳng d và mp(P). - Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). - Xét pt: -1+t-1+t-2(-2t)-4=0 ⇔ −2 + 2t+4-4=0 ⇔ -2+ 0 2t= ⇔ 2t=2 ⇔ t=1 x= 1= -1+ 0  ⇒ y= 1= ⇒ H(0;0; −2) -1+ 0 z=  -2.1=-2 Cần nhớ: Nếu trong đề bài chưa có pt tham số thì ta viết pt tham số trước. Bài 3: Cho hai điểm A(0;2;1), B(1;-1;3) và mp(P): 2x+y+3z=0. Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P). Bài giải • Viết phương trình tham số của đường thẳng AB. - Đường thẳng AB qua điểm A(0;2;1). uuu uuu r r - Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là: aAB = AB =(1;-3;2). x = x0 + at x = 0 + t   Pt tham số của AB là: y = y0 + bt ⇔ y = 2 − 3t . - z = z + ct z = 1+ 2t   0 • Tìm giao điểm của đường thẳng AB và mp(P). - Gọi H(x;y;z) là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (P). 12
- Xét pt: 2t+2-3t+3(1+2t)=0 ⇔ 2t+2-3t+ 6t= 3+ 0 ⇔ 5t+ 0 5= ⇔ 5t= ⇔ t= -5 -1 x= -1  ⇒ y= ( -1) = 5 ⇒ H(−1 −1) 2-3 ;5;  z = 1+ 2( −1) = −1 Bài 4: Cho ba điểm A(1;0;0). B(0;1;0), C(0;0;1). Xác định hình chiếu vuông góc của A lên BC. Hướng dẫn: - Bước 1: Viết phương trình đường thẳng BC. - Bước 2: Viết phương trình mp(P) qua A và vuông góc BC. - Bước 3: Tìm giao điểm H của BC và (P), H chính là hình chiếu của A lên BC. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau: uu uu r r Cần nhớ: Hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau ⇔ ad.ad' = 0 x = t x = 2t   Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: y = 2 − 3t và d’: y = 2 + 2t vuông góc với z = 1+ 2t z = 1+ 2t   nhau Bài giải r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a = ( 1 −3;2) . ; ur - Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: a' = ( 2;2;2) . rur - Ta có: a.a' = 1.2 − 3.2 + 2.2 = 0 - Vậy: Đường thẳng d và đường thẳng d’ vuông góc với nhau. Cần nhớ: Để CM hai đt vuông góc với nhau ta đi chứng minh tích vô hướng của hai VTCP bằng 0. x = 2t  Bài 2: Cho điểm A(1;-3;2). Chứng minh hai đt OA và d: y = 2 + 2t vuông góc với nhau z = 1+ 2t  Bài giải uuur - Đường thẳng OA có vectơ chỉ phương: OA = ( 1 −3;2) . ; r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a = ( 2;2;2) . uuu r r - Ta có: OA.a = 1.2 − 3.2 + 2.2 = 0 - Vậy: Đường thẳng OA và đường thẳng d vuông góc với nhau. x = 2  Bài 3: Chứng minh đường thẳng d: y = 2 + 8t vuông góc với trục Ox z = 1− 9t  Bài giải 13
r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a = ( 0;8;10) . r - Trục Ox có vectơ chỉ phương: i = ( 1 ) . ;0;0 rr - Ta có: a.i = 0.1+ 8.0 + 10.0 = 0 - Vậy: Đường thẳng d vuông góc với trục Ox. Dạng 3: Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau. Cần nhớ: Hai đt song song không có điểm chung:  hai VTCP cuøg phöông n   → Ta chöùg minh n 1 ñieå ∈ ñt naø khoâg ∈ ñt kia m y n x = t x = 2t   Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: y = 2 + t và d’: y = −2 + 2t song song với z = 1+ t z = −3+ 2t   nhau. Bài giải - Đường thẳng d qua điểm A(0;2;1). r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a = ( 1 ;1) . ;1 ur - Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương: a' = ( 2;2;2) . + Ta chứng minh hai VTCP cùng phương: r u r 111 Cách 1: a vaø cuøg phöông do = =. a' n 222 ur r r ur Caùh 2: Do a' = a neâ a vaø cuøg phöông. c 2 n a' n rur r r u r Caùh 3: Do  a,a'  = ( 0;0;0) = 0 neâ a vaø cuøg phöông. c n a' n   + Ta chứng minh điểm A(0;2;1) thuộc d nhưng không thuộc d’. 0 = 2t t = 0   Thế tọa độ điểm A vào pt của d’: 2 = −2 + 2t ⇔ t = 2 suy ra A không thuộc d’. 1= −5+ 2t t = 3   Vậy: d và d’ song song với nhau.  ba t baèg nhau ⇒ A ∈ d' n Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm A vào d’  .  ba t khoâg baèg nhau ⇒ A ∉ d' n n Phải nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng song song ta chứng minh hai VTCP cùng phương và một điểm thuộc đường thẳng này nhưng không thuộc đường thẳng kia. Đề thi Tốt nghiệp năm 2008. x−1 y+1 z = = . CMR đường thẳng OM song song đt d. Cho điểm M(-2;1;-2) và đt d: −1 2 2 Bài giải - Đường thẳng OM qua điểm O(0;0;0) uuuu r - Đường thẳng OM có vectơ chỉ phương: OM = ( −2;1 −2) . ; ur - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a' = ( 2; −1 ) . ;2 14
−2 1 −2 uuuu r r = = = −1 Ta có: OM vaø cuøg phöông do an 2 −1 2 0− 1 0+ 1 0 = = . Suy ra điểm O thuộc Thế tọa độ điểm O vào pt của d ta có: −1 2 2 đường thẳng OM nhưng không thuộc đt d. Vậy: Đt OM song song đường thẳng d.  ba phaâ soá ng nhau ⇒ Ο ∈ d n baè Cần nhớ: Khi thế tọa độ điểm O vào d  .  ba phaâ soá ng baèg nhau ⇒ Ο ∉ d n khoâ n Dạng 4: Chứng r r đường thẳng song song với mp: minh Ta chứng minh a.n = 0 và một điểm thuộc đt nhưng không thuộc mp. x = 1− 2t  Bài 1: Chứng minh đường thẳng d: y = 2 + 3t song song mp(P): 3x+4y+z-9=0. z = 3− 6t  Bài giải r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a = ( −2;3; −6) . r - MP(P) có vectơ pháp tuyến: n = ( 3;4;1) . rr - Ta có: a.n = −2.3+ 3.4 − 6.1= 0 . - Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d nhưng không thuộc (P). - Vậy: ĐT d vuông góc mp(P). Cần nhớ: Để chứng minh đt song song mp ta chứng minh tích vô hướng của VTCP và VTPT bằng 0 và một điểm thuộc đường thẳng nhưng không thuộc mp.. x = 1− 2t  Bài 2: Chứng minh đường thẳng d: y = 9 song song mp(Oyz). z = 10 − 6t  Bài giải r - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: a = ( −2;0; −6) . r - MP(Oyz) có vectơ pháp tuyến: j = ( 0;1 ) . ;0 rr - Ta có: a.j = −2.0 + 0.1− 6.0 = 0 - Mặt khác điểm A(1;9;10) thuộc d nhưng không thuộc (Oyz). - Vậy: ĐT d song song mp(Oyz). Chú ý: Ta không cần viết pt mp(Oyz) mà ta chỉ cần VTPT của mp(Oyz). Bài 3: Cho hai điểm A(1;2;3), B(2; 1;3) và mp(P): 2x+2y-3z-9=0. Chứng minh đường thẳng AB song song mp(P). Bài giải r - Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương: a = ( 1 −1 ) . ; ;0 r - MP(P) có vectơ pháp tuyến: n = ( 2;2; −3) . rr - Ta có: a.n = 1.2 − 1.2 + 0.(−3) = 0 15
- Mặt khác điểm A(1;2;3) thuộc d nhưng không thuộc (P). - Vậy: ĐT AB song song mp(P). Dạng 5: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp:  Ta chứng minh VTCP và VTPT cùng phương với nhau. → x = 1+ t  Bài 1: CM đt d: y = 2 + 2t vuông góc mp(P): 2x+4y+6z+8=0. z = 4 + 3t  Bài giải r a= (1 ) . ;2;3 - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương: r - MP(P) có vectơ pháp tuyến: n = ( 2;4;6) . r 1r r r ( ) rr - Ta có: a. = n hoaë n = 2a nên a, n cùng phương với nhau. c 2 - Vậy: ĐT d vuông góc mp(P). Vấn đề 4: Các bài toán về tam giác. Dạng 1: Chứng minh ba r ểm A, B, C là ba đỉnh một tam giác. uuu uuuđi r Ta chứng minh: AB,AC không cùng phương. Bài 1: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Chứng minh ba điểm A, B, C là ba đỉnh một tam giác. Bài giải uuu r AB = ( −1 ;0) ;1 - Ta có: uuu r AC = ( −1 ) ;0;1 uuu uuu rr r uuu uuu rr - Nhận xét:  AB,AC = ( 1 ;1) ≠ 0 nên A B,AC không cùng phương nên A, B, C là ;1   ba đỉnh một tam giác. Dạng 2: Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. uuu uuu rr Ta chứng minh: AB,AC cùng phương. Bài 1: Cho ba điểm A(1;1;1), B(2;2;2), C(9;9;9). Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. Bài giải uuu r AB = ( 1 ;1) ;1 - Ta có: uuu r AC = ( 8;8;8) uuu uuu rr r uuu uuu rr - Nhận xét:  AB,AC = ( 0;0;0) = 0 nên A B,AC cùng phương nên A, B, C thẳng hàng.   Dạng 3: Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông. Bài 1: Chứng minh tam giác ABC vuông tại A với A(1;-3;0), B(1;-6;4), C(13;-3;0). Bài giải uuu r AB = ( 0; −3;4) - Ta có: uuu r AC = ( 12;0;0) uuu uuu rr uuu uuu r r - Do A B.AC = 0.12 − 3.0 + 4.0 = 0 ⇒ AB ⊥ AC ⇒ AB ⊥ AC nên ∆ ABC vuông tại A. 16
Dạng 4: Chứng minh tam giác ABC cân. Bài 1: Chứng minh tam giác ABC cân tại A với A(1;1;1), B(-1;1;0), C(3;2;1). Bài giải uuu r uuu r AB = ( −2;0; −1) ⇒ AB = 3 - Ta có: uuur uuu r AC = ( 2;1 ) ⇒ AC = 3 ;0 uuu uuu r r - Do A B = AC = 3 nên ∆ ABC cân tại A. Cần nhớ: • Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông vuông góc với nhau. • Tam giác cân có hai cạnh bên bằng nhau. • Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau. Dạng 5: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều. Bài 1: Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều với A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Bài giải uuu r uuu r AB = ( −1 ;0) ⇒ AB = 2 ;1 uuu r uuu r - Ta có: AC = ( −1 ) ⇒ AC = 2 ;0;1 uuu r uuu r BC = ( 0; −1 ) ⇒ BC = 2 ;1 uuu uuu uuu r r r - Do A B = AC = AC = 2 nên ∆ ABC là tam giác đều. Vấn đề 5: Hình chiếu vuông góc của điểm lên mp và điểm đối xứng với điểm qua d mp. Bài 1: Cho điểm A(-2;1;0) và mặt phẳng (P): x+2y-2z-9=0. A 1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P). 2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P). Bài giải H 1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (P). P) - Gọi d là đường thẳng qua A(-2;1;0) và vuông uu với (P). góc uu r r ad = nP = ( 1 −2) . ;2; - Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là: A/ x = x + at x = −2 + t 0   Pt tham số của d là: y = y0 + bt ⇔ y = 1+ 2t . - z = z + ct z = −2t   0 • Gọi H là giao điểm của d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc của A lên (P). - Xét pt: -2+t+2(1+2t)-2.(-2t)-9=0 17
⇔ −2 + t + 2 + 4t + 4t − 9 = 0 ⇔ 9t − 9 = 0 ⇔ 9t = 9 ⇔ t=1 x = −1  ⇒ y= ⇒ H(−1 −2) 3 ;3; z=  -2 Vậy hình chiếu vuông góc của A lên (P) là H(-1;3;-2). 2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua (P). - Do A và A’ đối xứng nhau qua (P) nên H là trung điểm của AA’. x A + x A/   xH = 2  x A/ = 2 x H − xA = −2 + 2 = 0  y A + y A/   ⇒  y A/ = 2 y H − y A = 6 − 1 = 5 ⇒ A'= ( 0;5;-4 ) - Áp dụng công thức: ⇔  yH = 2    z A / = 2 z H − z A = −4 − 0 = − 4 z A + z A/   zH = 2  Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(0;5;-4). Vấn đề 6: Hình chiếu vuông góc của điểm lên đt và điểm đối xứng với điểm qua đt. x = 1+ 2t (d)  Bài 1: Cho điểm A(1;1;8) và đường thẳng d: y = −1+ t . .• z = − t  H 1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d. 2. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d. A/ A P) Bài giải 1. Xác định hình chiếu vuông góc của A lên d. - Gọi (P) là đường thẳng qua A(-2;1;0) vàr uu góc với d. uuvuông r - Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là nP = ad = ( 2;1 −1) . ; - Pt mp(P) : A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) + C ( z − z0 ) = 0 ⇔ 2 ( x − 1) + 1( y − 1) − 1( z − 8) = 0 ⇔ 2x+y-z+ 0 5= • Gọi H là giao điểm của d và (P), H chính là hình chiếu vuông góc của A lên d. - Xét pt: 2(1+2t)+-1+t+t+5=0=0 ⇔ 2 + 4 t+ 4= 2t+ 0 x=-1  ⇔ 6t= ⇔ t= ⇒ y= ⇒ H(−1 −2;1 -6 -1 -2 ; ) z= 1 Vậy hình chiếu vuông góc của A lên d là H(-1;-2;1). 2.. Tìm điểm A’ đối xứng với A qua d. 18
- Do A và A’ đối xứng nhau qua d nên H là trung điểm của AA’. x A + x A/  xH =  2  x A/ = 2 x H − xA = −2 − 1 = −3  y A + y A/   ⇒  y A/ = 2 y H − y A = −4 − 2 = −5 ⇒ A'= ( -3;-5;-6 ) - Áp dụng công thức: ⇔  yH = 2    z A / = 2 z H − z A = 2 − 8 = −6 z A + z A/   zH = 2  Vậy điểm đối xứng với A qua mặt phẳng (P) là A’(-3;-5;-6). Vấn đề 7: Chứng minh bốn điểm không đồng phẳng(bốn điểm không đồng phẳng là bốn đỉnh của một tứ diện). uuu uuu uuu rr r  Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng ⇔  AB,AC .AD ≠ 0. →   Bài 1: Cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1), D(-1;-5;3). 1. Chứng minh bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Giải r uuur uuu uuur - Tính AB = ( 3; −4;3) , AC = ( 4; −1 −1) , AD = ( 0; −3;3) . ; uuu uuu rr uuu uuu uuu rr r - Tính  AB,AC = ( 7;15;13) ,  AB,AC .AD = −45+ 39 = −6 ≠ 0 .     - Vậy: Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. uuu uuu uuu rr r Cần nhớ: Để chứng minh A, B, C, D đồng phẳng ta chứng minh  AB,AC .AD = 0   2. Tính thể tích tứ diện ABCD. Giải uuu uuu r r uuur - Tính AB = ( 3; −4;3) , AC = ( 4; −1 −1) , AD = ( 0; −3;3) ; uuu uuu rr uuu uuu uuu rr r - Tính  AB,AC = ( 7;15;13) ,  AB,AC .AD = −45+ 39 = −6 .     uuu uuu uuu 1 rr r 1 VABCD =  AB,AC .AD = −6 = 1 - Thể tích tứ diện ABCD: 6  6 Bài 2: Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1). Chứng minh rằng OABC là một tứ diện, tính thể tích tứ diện OABC. Giải • Chứng uuu OABC uuumột tứ diện. minh làr r uuu r - Tính OA = ( 1 ) , OB = ( 0;1 ) , OC = ( 0;0;1) ;0;0 ;0 uuu uuu rr uuu uuu uuu rr r - Tính OA,OB = ( 0;0;1) , OA,OB .OC = 0.0 + 0.0 + 1.1 = 1 ≠ 0 .     - Vậy: OABC là một tứ diện. 1 uuu uuu uuu 1 rr r 1  OA,OB .OC = 1 = • Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = 6  6 6 Vấn đề 8: Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau. r u uuu r r Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau ⇔ a,a' .AB ≠ 0 .   19
x = 2 − t x = 7− t   Bài 1: Chứng minh hai đường thẳng d: y = 3+ t và d’: y = 8 chéo nhau. z = 4 z = 9 + t   Giải r - Đường thẳng d qua điểm A(2;3;4) có vectơ chỉ phương là a = ( −1 ;0) . ;1 ur a' = ( −1 ) . ;0;1 - Đường thẳng d qua điểm B(7;8;9) có vectơ chỉ phương là rur uuu r - Tính a,a' = ( 1 ;1) , AB = ( 5;5;5) . ;1   r u uuu r r - Tính a,a' .AB = 1.5+ 1.5+ 1.5 = 15 ≠ 0.   - Vậy: d và d’ chéo nhau. x−1 y− 2 z x y+ 5 z− 4 = = và d’: = = Bài 2: Chứng minh hai đường thẳng d: −2 1 −2 −1 2 3 chéo nhau. Giải r - Đường thẳng d qua điểm A(1;2;0) có vectơ chỉ phương là a = ( 2; −2;1) . ur - Đường thẳng d qua điểm B(0;-5;4) có vectơ chỉ phương là a' = ( −2;3; −1) . rur uuu r - Tính a,a' = ( −1 ) , AB = ( −1 −7;4) . ;0;2 ;   r u uuu r r a,a' .AB = ( −1) ( −1) + 0.( −7) + 2.4 = 9 ≠ 0 . - Tính   - Vậy: d và d’ chéo nhau. r u uuu r r Cần nhớ: Để chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng ta CM a,a' .AB = 0 .   Vấn đề 9: Tìm giao điểm của hai đường thẳng. x = 1+ t x=2-2t'   Bài 1: Tìm giao điểm của hai đường thẳng d: y = 2 + 3t, d':y= t' -2+  z = 3− t z= 3t'  1+  Giải - Gọi H là giao điểm của d và d’. 1+ t = 2 − 2t' (1)  - Xét hệ phương trình: 2 + 3t = −2 + t' (2) 3− t = 1+ 3t' (3)  1+ t = 2 − 2t' t + 2t' = 1 t = −1 ⇔ ⇔ - Giải hệ pt gồm pt (1) và (2):  2 + 3t = −2 + t' 3t − t' = −4 t' = 1 - Thế t=-1 và t’=1 vào pt (3): 3-(-1)=1+3.t (thỏa). x = 1− 1= 0  - Thế t=-1 vào pt d: y = 2 + 3(−1) = −1⇒ H(0; −1;4) z = 3− (−1) = 4  Cần nhớ: • Nếu thế t=-1 và t’=1 vào (3) mà không thỏa thì d không cắt d’. 20