intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chương 2: Tích phân lebesgue

Chia sẻ: Lê Thị Na | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:20

Thêm vào BST
Báo xấu
154
lượt xem 16
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung tài liệu trình bày định nghĩa tích phân Lebesgue, các tính chất sơ cấp của tích phân, chuyển giới hạn qua dấu tích phân và các bài tập áp dụng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chương 2: Tích phân lebesgue

  1. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN LEBESGUE 2.1. ðịnh nghĩa tích phân Lebesgue 2.1.1. Tích phân cho hàm ñơn giản không âm Cho không gian ñộ ño ( X , F , µ ) . Giả sử f là hàm ñơn gian không âm xác ñịnh trên A. Khi ñó f = ∑ ci χA với Ai ∈ F , Ai ∩ Aj = ∅ (i ≠ j ) , A = ∪ Ai và ci là các số thực n n i i =1 i =1 không âm. n Tổng ∑ c µA i =1 i i ñược gọi là tích phân của f trên A theo ñộ ño µ là. n Kí hiệu ∫ fd µ hoặc ∫ f . Như vậy A A ∫ fd µ =∑ ci µAi A i =1 Ta kiểm chứng lại rằng giá trị này không phụ thuộc vào cách biểu diễn hàm f thành tổ hợp tuyền tính những hàm ñặc trưng. Thật vậy, giả sử f = ∑ d j µB với A = ∪ B j , Bi ∩ B j = ∅ (i ≠ j ) k k j j =1 j =1   Ta có Ai = Ai ∩ A = Ai ∩  ∪ B j  = ∪ (Ai ∩ B j ) . Do các tập Ai ∩ B j rời nhau ñôi một nên k k  j =1  j =1 ∑ c µA = ∑ c ∑ µ ( A ∩ B ) = ∑ ∑ c µ (A ∩ B ) n n k n k i i i i j i i j i =1 i =1 j =1 i =1 j =1 Tương tự ta có ∑ d µ (B ) = ∑ ∑ d µ (A ∩ B ) k k n j j j i j j =1 j =1 i =1 n k Nếu Ai ∩ B j = ∅ thì ta có ∑ c µ A = ∑ d µB i =1 i i j =1 j j Nếu Ai ∩ B j ≠ ∅ thì f (x ) = ci trên Ai và f ( x ) = d j trên B j . Suy ra ci = d j trên Ai ∩ B j . n k Vậy ∑ ci µ Ai = ∑ d j µB j i =1 j =1 Trang 33
  2. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu 2.1.2. Tích phân cho hàm không âm, ño ñược Cho f là hàm ño ñược không âm trên A. Theo ñịnh lí về cấu trúc hàm ño ñược, tồn tại dãy những hàm ñơn giản ( fn ) sao cho 0 ≤ fn < fn +1 và lim fn = f trên A . n n →∞ Ta ñịnh nghĩa tích phân của hàm f ño ñược không âm trên A là lim ∫ fnd µ . n →∞ A Kí hiệu là ∫ fd µ A và do ñó ∫ fd µ = lim ∫ f d µ A n →∞ A n Ta phải chứng minh giới hạn lim ∫ fnd µ tồn tại và ñược xác ñịnh một cách duy nhất n →∞ A không phụ thuộc vào cách chọn dãy hàm ( fn ) . Khẳng ñịnh này dựa vào 2 bổ ñề sau: n Bổ ñề 1 Cho f , g là hai hàm ñơn giản trên A và 0 ≤ f ≤ g . Khi ñó ∫ fd µ ≤ ∫ gd µ . A A Bổ ñề 2 Giả sử ( fn ) , ( gn ) là hai dãy hàm ñơn sao cho 0 ≤ fn < fn +1 , 0 ≤ gn < gn +1 và n n lim f = f , lim gn = f . Khi ñó lim ∫ fnd µ = lim ∫ gnd µ n →∞ n n →∞ n →∞ n →∞ A A 2.1.3. Tích phân cho hàm ño ñược bất kì Cho f là hàm ño ñược bất kì trên A. Ta có sự phân tích f = f + − f − với f + = max {f , 0} , f − = − min {f , 0} Nếu hiệu số ∫f d µ − ∫ f −d µ có nghĩa (không có dạng ∞ − ∞ ) thì ta ñịnh nghĩa hiệu trên + A A ∫ fd µ = ∫ f d µ − ∫ f −d µ . + là tích phân của f trên A và viết là A A A Nếu ∫ fd µ là hữu hạn thì ta nói f A là khả tích trên A . Nhận xét Hàm f khả tích trên A khi và chỉ khi f + và f − khả tích trên A . Trong trường hợp X = ℝk , A = Lk , µ = µ k thì tích phân ñược ñịnh nghĩa như trên ñược gọi là tích phân Lebesque của hàm f trên A . Kí hiệu là (L ) ∫ f ( x ) dx hoặc ∫ f (x ) d µ (x ) A A Trang 34
  3. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Ví dụ  1 neáu x ∈ A (i) Cho A ⊂ X , A ∈ F , xét hàm χ A ( x ) =   0 neáu x ∉ A Ta có ∫ χ (x ) d µ = 1.µA + 0.µ ( X \ A) = µA . X A (ii) Giả sử f là hàm Dirichlet trên ℝ , ta có f = χ ℚ . Khi ñó, ∫ fd µ = µ ( ℚ ) = 0 ℝ Từ ñịnh nghĩa tích phân, ta suy ra (i) ∫ cd µ = c µ A A (ii) ∫ αχ Bd µ = αµ (A ∩ B ) A ∑ α µ (A ∩ B ) n n (iii) ∫ ∑ αi χB d µ = A i =1 i i =1 i i 2.1.4 ðiều kiện khả tích ðịnh lí (i) Nếu µ A = 0 và f ño ñược trên A thì ∫f =0 A (ii) Giả sử f là hàm ño ñược, bị chặn trên A và µ A < +∞ thì khả tích trên A Chứng minh (i) Chứng minh ∫f A =0 Bước 1 Hàm f ñơn giản, không âm Ta có f = ∑ ci χA với Ai ∈ F , Ai ∩ Aj = ∅ (i ≠ j ) , A = ∪ Ai . Khi ñó, n n n i =1 i i =1 ∫ fd µ =∑ ci µAi A i =1 n Do 0 ≤ µ Ai ≤ µA = 0 nên µ Ai = 0 với i = 1,2,..., n . Do ñó ∫ fd µ =∑ ci µAi = 0 A i =1 Bước 2 Hàm f ño ñược, không âm. Ta có ∫f A = lim ∫ fn với fn là hàm ñơn giản thỏa 0 ≤ fn < fn +1 và lim fn = f trên A . n →∞ A n →∞ Trang 35
  4. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Theo bước 1, ta có ∫ f d µ = 0 với mọi n . Suy ra ∫ f A n A = lim ∫ fn = 0 n →∞ A Bước 3 Hàm f là ño ñược + Ta có f + ≥ 0 , f − ≥ 0 , bị chặn trên A nên theo bước 2 ta có ∫f = ∫f− = 0. A A Suy ra ∫f A =0 (ii) Chứng minh f khả tích trên A Bước 1 Hàm f ñơn giản, không âm Ta có f = ∑ ci χA với Ai ∈ F , Ai ∩ Aj = ∅ (i ≠ j ) , A = ∪ Ai . Khi ñó, n n n i =1 i i =1 ∫ fd µ =∑ ci µAi A i =1 n Do µ Ai ≤ µ A < +∞ với i = 1,2,..., n nên ∑ c µA là hữu hạn hay f i =1 i i khả tích trên A Bước 2 Hàm f ño ñược, không âm. Ta có ∫f A = lim ∫ fn với fn là hàm ñơn giản thỏa 0 ≤ fn < fn +1 và lim fn = f trên A . n →∞ A n →∞ Do f bị chặn nên có K > 0 sao cho f (x ) ≤ K ∀x ∈ A . Khi ñó 0 ≤ fn ≤ K trên A . Theo bổ ñề 1, ta có ∫f n ≤ ∫ K = K µ A < +∞ với mọi n A A Do ñó lim ∫ fn ≤ K µ A nên ∫ fd µ ≤ K µA < +∞ hay f khả tích trên A n →∞ A A Bước 3 Hàm f là ño ñược Ta có f + ≥ 0 , f − ≥ 0 , bị chặn trên A nên theo bước 2 thì f + và f − khả tích trên A . Do ñó, f khả tích trên A . 2.2. Các tính chất sơ cấp của tích phân 2.2.1. Tính cộng tính Cho A, B ∈ F , A ∩ B = ∅ và f là hàm ño ñược trên A ∪ B . Khi ñó ∫ fd µ = ∫ fd µ + ∫ fd µ (miễn một trong hai vế có nghĩa) A∪B A B Tổng quát Nếu A1, A2,..., An là ño ñược và rời nhau thì Trang 36
  5. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu n n ∫ fd µ = ∑ ∫ fd µ i =1 A i ∪ Ai i =1 Chứng minh Giả sử vế trái có nghĩa Bước 1 Hàm f ñơn giản, không âm trên A ∪ B Ta có f = ∑ ci χE với Ei ∈ F , Ei ∩ E j = ∅ (i ≠ j ) , A ∪ B = ∪ Ei . Khi ñó, n n i i =1 i =1 ( ( ) ) ∑ c µ (E ) ( ) n n n ∫ fd µ =∑ ci µ Ei = ∑ ci µ Ei ∩ A ∪ B = ∩ A ∪ Ei ∩ B  i =1 i =1 i =1 i i  A∪B ( ) ( ) ∑ c µ (E ) ( ) n n n = ∑c i =1 i µ E ∩ A + µ E ∩ B  =  i i  i =1 i i ∩ A + ∑ ci µ Ei ∩ B = ∫ fd µ + ∫ fd µ i =1 A B Bước 2 Hàm f ño ñược, không âm trên A ∪ B Ta có ∫ A∪B f = lim n →∞ A∪ B ∫ fn với fn là hàm ñơn giản thỏa 0 ≤ fn < fn +1 và lim fn = f trên A . n →∞   Do ñó ∫ A∪B f = lim n →∞ ∫ A∪B fn = n →∞ ∫ n lim  A f + ∫ n  = nlim B f →∞ ∫ n A f + lim ∫ fn = ∫ f + ∫ f n →∞ B A B Bước 3 Hàm f ño ñược trên A ∪ B     Ta có ∫ A∪B f = ∫ A∪B f+ − ∫ A∪ B f − = ∫ f + + ∫ f +  − ∫ f − + ∫ f −  A B  A B      = ∫ f + − ∫ f −  − ∫ f + − ∫ f −  = ∫ f + ∫ f A A  B B  A B Hệ quả 1 Nếu tồn tại ∫ fd µ và B ⊂ A , B ∈ F thì tồn tại ∫ fd µ . Hơn nữa, nếu f khả tích trên A A B thì nếu f khả tích trên B . Chứng minh Ta có A = B ∪ (A \ B ) và B ∩ (A \ B ) = ∅ . Trang 37
  6. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Do ñó nếu tồn tại ∫ fd µ thì tồn tại ∫ fd µ . A B Ta cũng có ∫ fd µ = ∫ fd µ + ∫ A B A\B fd µ nên nếu ∫ fd µ < +∞ A thì ∫ fd µ < +∞ hay f khả tích B trên B . Hệ quả 2 Nếu µ B = 0 thì ∫ fd µ = ∫ fd µ A∪B A Chứng minh Nếu A ∩ B = ∅ thì ∫ fd µ = ∫ fd µ + ∫ fd µ = ∫ fd µ A∪B A B A Nếu A ∩ B ≠ ∅ thì A ∪ B = A ∪ (B \ A ) . Suy ra ∫ fd µ = ∫ fd µ + ∫ ( fd µ = ∫ fd µ (do 0 ≤ µ B \ A ≤ µ B = 0 ) ) A∪B A B \A A 2.2.2. Tính bảo toàn thứ tự Cho f và g là hai hàm ño ñược trên A . Khi ñó (i) Nếu f và g là hai hàm tương ñương trên A và tồn tại ∫ fd µ thì ∫ fd µ = ∫ gd µ A A A ðặc biệt, nếu f = 0 h.k A thì ∫ fd µ = 0 A (ii) Nếu f ≤ g trên A và tồn tại ∫ fd µ , ∫ gd µ thì ∫ fd µ ≤ ∫ gd µ A A A A ðặc biệt, nếu f ≥ 0 trên A thì ∫ fd µ ≥ 0 A Chứng minh (i) Do f ∼ g trên A nên tồn tại B ⊂ A , µ B = 0 ñể f = g trên A \ B . Khi ñó ∫ fd µ = ∫ fd µ + ∫ A B A\B fd µ = 0 + ∫ A\B gd µ = ∫ gd µ + B A\B ∫ gd µ = ∫ gd µ A Trường hợp f = 0 h.k A nghĩa là f ∼ 0 trên A nên ∫ fd µ = ∫ 0d µ = 0 A A (ii) Bước 1 Hàm f và g là hai hàm ñơn giản không âm trên A Trang 38
  7. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Khi ñó, theo bổ ñề 1, ta có ∫ fd µ ≤ ∫ gd µ A A Bước 2 Hàm f và g là hai hàm ño ñược không âm trên A Khi ñó, tồn tại ( f ) , (g ) n n n n là hai dãy hàm ñơn sao cho 0 ≤ fn < fn +1 , 0 ≤ gn < gn +1 và lim fn = f , lim gn = g . n →∞ n →∞ Do f ≤ g trên A nên có thể chọn ( fn ) , (gn ) ñể fn ≤ gn với mọi n ∈ ℕ n n Suy ra ∫f A n ≤ ∫ gn với mọi n ∈ ℕ . Cho n → ∞ , ta ñược A ∫ fd µ ≤ ∫ gd µ A A Bước 3 Hàm f và g là hai hàm ño ñược trên A Do f ≤ g trên A nên f + ≤ g + và f − ≥ g − trên A . + Theo bước 2, ta có ∫f ≤ ∫ g + và ∫f − ≥ ∫ g− . A A A A ∫ fd µ = ∫ f − ∫ f − ≤ ∫ g + − ∫ g − = ∫ gd µ + Suy ra A A A A A A Hệ quả 1 Nếu hàm f khả tích trên A thì f hữu hạn h.k khắp A Chứng minh { } ðặt B = x ∈ A : f (x ) = +∞ , C = x ∈ A : f (x ) = −∞ { } Trên B ta có f (x ) = +∞ nên f (x ) ≥ n với mọi n ∈ ℕ . Do ñó ∫ fd µ ≥ ∫ nd µ = n µB B B 1 Suy ra µ B ≤ fd µ với mọi n ∈ ℕ . Mà ∫ fd µ < +∞ nên µ B = 0 n B∫ B Tương tự, ta có µC = 0 . Vậy µ (B ∪ C ) = 0 Hệ quả 2 Nếu f ≥ 0 trên A và ∫ fd µ = 0 A thì f = 0 h.k A Trang 39
  8. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Chứng minh { }  1 ∞ ∞ Ta có B = x ∈ A : f ( x ) ≠ 0 = ∪ x ∈ A : f (x ) ≥  = ∪ A . Khi ñó n =1  n  n =1 n 1 1 0 = ∫f = ∫f + ∫ f ≥ ∫f ≥ ∫n = µ An A An A\An An An n 1 Suy ra µ An = 0 hay µ An = 0 với mọi n ∈ ℕ . Do ñó, µ B = 0 hay f = 0 h.k A n 2.2.3. Tính tuyến tính Cho f và g là hai hàm ño ñược trên A , c là hằng số. Khi ñó (i) ∫ cfd µ = c ∫ fd µ A A (ii) ∫ ( f + g ) d µ = ∫ fd µ + ∫ gd µ A A A (miễn là vế phải có nghĩa)  n  n Tổng quát Với f1, f2,..., fn là các hàm ño ñược trên A , ta có ∫  ∑ fi d µ = ∑ ∫ fid µ A  i =1  i =1 A Chứng minh (i) Chứng minh ∫ cfd µ = c ∫ fd µ A A Bước 1 Hàm f là hàm ñơn giản không âm trên A . Hiển nhiên ta có ∫ cfd µ = c ∫ fd µ A A Bước 2 Hàm f là hàm ño ñược không âm trên A Ta có ∫f A = lim ∫ fn với fn là hàm ñơn giản thỏa 0 ≤ fn < fn +1 và lim fn = f trên A . n →∞ A n →∞ Nếu c ≥ 0 thì cfn cũng ñơn giản thỏa 0 ≤ cfn < cfn +1 và lim cfn = cf trên A . Theo bước 1, n →∞ ta có ∫ cfnd µ = c ∫ fnd µ . Qua giới hạn ta ñược ∫ cfd µ = c ∫ fd µ . A A A A Bước 3 Hàm f là hàm ño ñược trên A Ta có f = f + − f − . Khi ñó Nếu c ≥ 0 thì (cf ) = cf + và (cf ) = cf − . Khi ñó + − Trang 40
  9. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu   ∫ cfd µ = ∫ (cf ) ( ) + − d µ − ∫ cf d µ =c  ∫ f +d µ − ∫ f −d µ  = c ∫ fd µ A A A A A  A Nếu c < 0 thì (cf ) = −cf − và (cf ) = −cf + . Khi ñó + −   ∫ cfd µ = ∫ (cf ) ( ) + − d µ − ∫ cf d µ =c  ∫ f +d µ − ∫ f −d µ  = c ∫ fd µ A A A A A  A (ii) Chứng minh ∫ ( f + g ) d µ = ∫ fd µ + ∫ gd µ (miễn là vế phải có nghĩa) Xem [1] A A A 2.2.4. Tính khả tích (i) Nếu tồn tại ∫ fd µ và ∫ fd µ ≤ ∫ f d µ A A A (ii) Hàm f khả tích trên A khi và chỉ khi f khả tích trên A (iii) Nếu f ≤ g h.k A và g khả tích trên A thì f khả tích trên A (iv) Nếu f bị chặn trên A và g khả tích trên A thì f .g khả tích trên A Chứng minh ∫ fd µ ∫f d µ − ∫ f −d µ ≤ ∫ f +d µ + ∫ f −d µ = ∫ (f ) + f − dµ = ∫ f dµ + + (i) Ta có = A A A A A A A (ii) ( ⇒ ) Do f khả tích trên A nên f + , f − khả tích trên A . ∫ f dµ = ∫ f d µ + ∫ f −d µ < +∞ hay f khả tích trên A + Suy ra A A A ( ⇐) Ta có ∫ f + dµ ≤ ∫ f d µ < +∞ và ∫ f −d µ ≤ ∫ f d µ < +∞ . A A A A Suy ra f + , f − khả tích trên A . Do ñó, f khả tích trên A . (iii) Do f ≤ g h.k A nên tồn tại B ⊂ A, µ B = 0 sao cho f ≤ g trên A \ B Suy ra ∫f A = ∫ A\B f +∫ f ≤ B A\B ∫ g +0= ∫ A\B g + ∫ g = ∫ g < +∞ hay f khả tích trên A . B A Suy ra f khả tích trên A . (iv) Do f bị chặn trên A nên tồn tại M > 0 ñể f ≤ M . Suy ra Trang 41
  10. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu ∫ f .g A = M ∫ g < +∞ A Suy ra f .g khả tích trên A và do ñó f .g khả tích trên A 2.3. Chuyển giới hạn qua dấu tích phân 2.3.1. ðịnh lí Levi Nếu ( fn ) là dãy hàm ño ñược không âm và ñơn ñiệu tăng trên A và lim fn = f thì n n →∞ lim ∫ fnd µ = ∫ fd µ n →∞ A A Chứng minh Bước 1 Dãy ( fn ) ñơn giản, không âm n Theo ñịnh nghĩa tích phân, ta có lim ∫ fnd µ = ∫ fd µ n →∞ A A Bước 2 Dãy ( fn ) ño ñược, không âm n Khi ñó, với mỗi n tồn tại dãy hàm gm( ) ñơn giản, không âm sao cho lim gm( ) = fn . n n m →∞ Vì fn ≤ fn +1 nên có thể chọn gm( ) ñể gm( ) ≤ gm( ) . Do ñó, với k ≤ n , ta có n n n +1 (k ) (n ) (k ) (n ) gn ≤ gn ≤ fn và ∫g A n ≤ ∫ gn ≤ ∫ fn A A Cho n → ∞ ta ñược (n ) (n ) fk ≤ lim gn ≤ f và ∫f A k ≤ ∫ lim gn ≤ lim ∫ fn A A Cho k → ∞ ta ñược (n ) (n ) f ≤ lim gn ≤ f và lim ∫ fk ≤ ∫ lim gn ≤ lim ∫ fn A A A Suy ra lim gn( ) = f và do ñó lim ∫ fn = ∫ f n A A Trang 42
  11. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Hệ quả  ∞  ∞ Nếu (ui ) là dãy hàm ño ñược không âm trên A thì ∫  ∑ ui d µ = ∑ ∫ uid µ . Hơn nữa, i A  i =1  i =1 A ∞ ∞ nếu ∑ ∫ uid µ < +∞ thì chỗi hàm i =1 A ∑ u (x ) i =1 i hội tụ h.k A . Chứng minh ðặt fn = ∑ ui thì ( fn ) là dãy hàm ño ñược không âm và ñơn ñiệu tăng trên A và n n i =1 ∞ ∞ lim fn = n →∞ ∑ ui . Theo ñịnh lí Levi, ta có lim ∫ fnd µ = i =1 n →∞ ∫ ∑u dµ i A A i =1 n n ∞ n ∞ Mặt khác ∫ fn = A ∫ ∑ ui = A i =1 ∑ ∫ ui nên i =1 A ∫ ∑ uid µ = lim ∫ fnd µ = lim ∑ ∫ uid µ = A i =1 n →∞ A n →∞ i =1 A ∑ ∫u dµ i =1 A i ∞ ∞ ∞ ∞ Nếu ∑ ∫ uid µ < +∞ thì i =1 A ∫ ∑ uid µ < +∞ hay ∑ ui khả tích trên A . Do ñó, ∑u i hữu hạn A i =1 i =1 i =1 ∞ h.k A hay chỗi hàm ∑ u (x ) i =1 i hội tụ h.k A . 2.3.2. ðịnh lí về sự hội tụ ñơn ñiệu Nếu ( fn ) là dãy hàm ño ñược, ñơn ñiệu trên A , lim fn = f và f1 khả tích trên A thì n n →∞ lim ∫ fnd µ = ∫ fd µ n →∞ A A Chứng minh TH1: ( fn ) ñơn ñiệu tăng n Khi ñó, ( fn − f1 ) là dãy hàm ño ñược, không âm, ñơn ñiệu tăng trên A và n ( lim fn − f1 = f − f1 n →∞ ) Theo ñịnh lí Levi, ta có lim ∫ ( fn − f1 )d µ = ∫ ( f − f )d µ . 1 n →∞ A A Do f1 khả tích trên A nên suy ra lim ∫ fnd µ = ∫ fd µ n →∞ A A Trang 43
  12. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu TH2: ( fn ) ñơn ñiệu giảm n Khi ñó, ( − fn ) ñơn ñiệu tăng và lim ( − fn ) = − f . Theo TH1, suy ra lim ∫ fnd µ = ∫ fd µ n n →∞ n →∞ A A Chú ý Nếu ( fn ) là dãy hàm ño ñược, ñơn ñiệu tăng trên A , lim fn = f và f khả tích trên A n n →∞ thì ta vẫn có lim ∫ fnd µ = ∫ fd µ n →∞ A A 2.3.3. Bổ ñề Fatou Nếu fn ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ trên A thì lim ∫ fn ≥ ∫ limfn A A Chứng minh ðặt gn = inf {fn , fn +1,..., fn +k ,...} . Ta có (gn ) là dãy hàm ño ñược không âm và ñơn ñiệu k n tăng trên A và lim gn = limfn . Theo ñịnh lí Le vi, ta có n →∞ lim ∫ gnd µ = ∫ limfnd µ n →∞ A A Ta lại có gn ≤ fn nên ∫ gn ≤ ∫ fn với mọi n ∈ ℕ . A A Suy ra lim ∫ gn ≤ lim ∫ fn . Do ñó, lim ∫ gn ≤ lim ∫ fn A A A A Vậy lim ∫ fn ≥ lim ∫ gn ≥ ∫ limfn A A A Nhận xét (i) Nếu fn ≥ g với mọi n ∈ ℕ và g khả tích trên A thì ta vẫn có lim ∫ fn ≥ ∫ limfn A A (ii) (i) Nếu fn ≤ g với mọi n ∈ ℕ và g khả tích trên A thì ta vẫn có lim ∫ fn ≤ ∫ limfn A A 2.3.4. ðịnh lí Lebesgue về sự hội bị chặn Nếu fn ≤ g với mọi n ∈ ℕ , g khả tích trên A và lim fn = f (hầu khắp A hoặc theo ñộ ño µ ) thì lim ∫ fnd µ = ∫ fd µ . n →∞ A A Trang 44
  13. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Chứng minh TH1 lim fn = f hầu khắp A Do fn ≤ g nên −g ≤ fn ≤ g với mọi n ∈ ℕ . Nếu fn ≥ −g với mọi n ∈ ℕ thì lim ∫ fn ≥ ∫ limfn A A Nếu fn ≤ g với mọi n ∈ ℕ thì lim ∫ fn ≤ ∫ limfn A A Vậy ∫ limfn ≤ lim ∫ fn ≤ lim ∫ fn ≤ ∫ limfn A A A A Do lim fn = f hầu khắp A nên limfn = limfn = f h.k A . Suy ra ∫f ≤ lim ∫ fn ≤ lim ∫ fn ≤ ∫ f . Do ñó, lim ∫ fnd µ = ∫ fd µ n →∞ A A A A A A TH2 lim fn = f theo ñộ ño µ Xét lim ∫ fn . Khi ñó tồn tại dãy con fn A ( ) ⊂ ( f ) sao cho lim ∫ f k n A n = lim ∫ fn k →∞ A k µ Do fn   µ → f trên A nên fn   → f trên A . Khi ñó, tồn tại fn k ( ) ⊂ (f ) ki nk ñể lim fn = f h.k A . Theo TH1, ta có lim ∫ fn d µ = ∫ fd µ ki i →∞ ki A A Mặt khác, lim ∫ fn d µ = lim ∫ fn = lim ∫ fn i →∞ ki k →∞ k A A A Do ñó, lim ∫ fn = ∫ fd µ A A Tương tự, ta có lim ∫ fn = ∫ fd µ A A Vậy lim ∫ fn = lim ∫ fn = ∫ fd µ và do ñó lim ∫ fnd µ = ∫ fd µ n →∞ A A A A A 2.3.5. Tính σ - cộng tính và liên tục tuyệt ñối của tích phân Cho ( X , F , µ ) là một không gian ñộ ño và f : X → ℝ là hàm ño ñược và có tích phân trên X . Trang 45
  14. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Xét hàm tập λ : F → ℝ ñược xác ñịnh như sau λ (A) = ∫ fd µ với A ∈ F A ðịnh lí (Tính σ - cộng tính của tích phân) Hàm tập λ có tính σ - cộng tính, nghĩa là với bất kì ( An ) ⊂ F rời nhau ñôi một và nếu n ∞ có ∞ ∫ fd µ (chẳng hạn f ≥ 0 ) thì ta có ∞ ∫ fd µ = ∑ ∫ fd µ . Nếu có các tích phân n =1 A n ∪ An ∪ An n =1 n =1 ∞ ∞ ∫ fd µ và ∑∫ n =1 A f d µ < +∞ thì ta cũng có ∞ ∫ fd µ = ∑ ∫ fd µ . n =1 A An n n ∪ An n =1 Chứng minh Giả sử f ≥ 0 ñ ñược. ∞ n ∞ ðặt A = ∪ An và Bn = ∪ Ai thì Bn là dãy tăng và A = ∪ Bn n =1 i =1 n =1 n ∞ Ta có Bn ∫ f = ∑ ∫ f . Do ñó, lim ∫ f = ∑ ∫ f i =1 A n →∞ Bn i =1 A (1) . Ta chứng minh lim n →∞ ∫ f = ∫f Bn A i i Ta có ∫f = ∫ f χB + ∫ fχ Bn = ∫ f χB (2) n n Bn A\Bn Bn A Ta có 0 ≤ f χ B ≤ f χB với mọi n ∈ ℕ . Thật vậy, với x ∈ A , ta có n n +1 Nếu x ∈ Bn thì x ∈ Bn +1 . Do ñó f χB ( ) ( x ) = f (x ) = ( f χ ) ( x ) n Bn + 1 Nếu x ∉ Bn thì f χB ( n ) (x ) = f (x ) .0 = 0 ≤ ( f χ ) (x ) . Bn +1 ∞ Ta cũng có lim f χB = f . Thật vậy, với x ∈ A = ∪ An nên tồn tại n 0 ∈ ℕ sao cho n →∞ n n =1 x ∈ Bn . Khi ñó, với n ≥ n 0 thì Bn ⊂ Bn nên x ∈ Bn . Do ñó f χ B x = f x . 0 0 n ( ) ( ) Suy ra lim f χB = f n →∞ n Theo ñịnh lí Levi ta có lim ∫ f χ B = ∫ f . Theo (2) ta có lim ∫ f = ∫f (3). n →∞ n n →∞ A A Bn A Trang 46
  15. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu ∞ Từ (1) và (3) ta có ∫ fd µ = ∑ ∫ fd µ A n =1 A n Trường hợp tổng quát f là hàm ño ñược bất kì trên A . ∞ ∞ ∞   ∞ Ta có + − ∫f = ∫f −∫f = ∑∫f + −∑ ∫ f− = ∑  ∫ f + − ∫ f− =  ∑∫f A A A n =1 A n n =1 A n n =1  An An  n =1 A n Chú ý (i) Nếu f là hàm không âm trên A thì λ là một ñộ ño trên F (ii) Hàm tập λ ñược gọi là tích phân bất ñịnh của hàm f (iii) Nếu λ là một ñộ ño trên F thì nó là một ñộ ño sinh bởi hàm f Ví dụ Cho E = 0, +∞ ) , f (x ) = e − x  . Tính ∫ fd µ E ∞ Ta có E =  0,1) ∪ 1, 2 ) ∪ ... ∪ n, n + 1) ∪ ... = ∪ n, n + 1) với n, n + 1) là các tập rời n =0 nhau ñôi một. ∞ ∞ ∞ e Do f ≥ 0 trên E nên ∫ fd µ = ∑ ∫ fd µ = ∑ ∫ e −nd µ = ∑e −n = e −1 E n = 0 n ,n +1  ) n = 0 n ,n +1  ) n =0 ðịnh lí (Tính liên tục tuyệt ñối của tích phân) Nếu f là hàm khả tích trên A thì với mỗi ε > 0 , tồn tại δ > 0 sao cho với mọi E ⊂ A , µ E < δ thì ∫ f dµ < ε E Chứng minh Do f ≥ 0 nên ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp f ≥ 0 Khi ñó, tồn tại dãy hàm ( fn ) những hàm ñơn giản, không âm, ñơn ñiệu tăng và n lim f = f trên A . n →∞ n Không mất tính tổng quát, ta có thể chọn ( fn ) sao cho fn ≤ n với mọi n ∈ ℕ . n Ta có lim ∫ fnd µ = ∫ fd µ . Do ñó với mỗi ε > 0 , tồn tại n 0 ∈ ℕ ñể n →∞ A A ∫ (f − f A n0 ) < ε2 Trang 47
  16. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Với E ⊂ A , ta có ∫ f = ∫ (f − f )+ ∫f ∫ (f − f )+ ∫f ε n0 n0 ≤ n0 n0 < + n0 µE E E E A E 2 ε ε ε ε Chọn δ = . Khi ñó nếu µ E < δ thì n 0 µ E < . Do ñó, ∫f < + =ε 2n 0 2 E 2 2 2.3.6. So sánh tích phân Riemann và tích phân Lebesgue ðịnh lí Cho f : ∆ → ℝ với ∆ ⊂ ℝk là hình hộp chữ nhật ñóng và bị chặn Khi ñó, hàm f khả tích Riemann khi và chỉ khi f là hàm bị chặn và liên tục h.k ∆ ðịnh lí Cho f là khả tích Riemann hình hộp chữ nhật ñóng và bị chặn ∆ . Khi ñó, f khả tích Lebesgue trên ∆ và ( ℝ ) ∫ f ( x ) dx = (L ) ∫ f ( x ) dx ∆ ∆ Chứng minh Xét k = 1 , ∆ = a, b  Chia ñoạn ∆ = a, b  thành 2n ñoạn bằng nhau bởi các ñiểm chia x k = a + ( k b −a ) với n 2 k = 0,1,.., 2n . Khi ñó, tổng Darboux trên và Darboux dưới của hàm f ứng với phân hoạch trên là b −a 2n b −a 2n Ωn = n 2 ∑M k =1 nk và ℧ n = n 2 ∑m k =1 nk trong ñó M n = sup f và mn = inf f trên x k −1, x k  k k 2n 2n hay Ωn = ∑ M (x k =1 nk k ) − x k −1 và ℧ n = ∑ m (x k =1 nk k − x k −1 ) b Khi ñó lim Ωn = lim ℧ n = ( ℝ ) ∫ f (x ) dx = I n →∞ n →∞ a ðặt fn (x ) = M n và f n (x ) = mn nếu x ∈ x k −1, x k ) k k Trang 48
  17. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu Tại x = b các hàm này nhận giá trị β ∈ ℝ tùy ý Ta có ∫ a ,b  fn = Ωn , ∫ a ,b  fn = ℧ n , f n ≥ f n +1 và f n ≤ f n +1 với mọi n ∈ ℕ Khi ñó, tồn tại lim f n = f và lim f n = f trên a, b  n →∞ n →∞ Vì f n ≤ f ≤ f n với mọi n ∈ ℕ nên f ≤ f ≤ f h.k a, b  Theo ñịnh lí về sự hội tụ ñơn ñiệu, ta có lim n →∞ ∫ a ,b  fn = ∫ a ,b  f và lim n →∞ ∫ a ,b  fn = ∫ a ,b  f Cả hai giới hạn trên tồn tại và bằng I nên ∫ a ,b  f − ∫ a ,b  f = ∫ a ,b  (f − f ) = 0 Do ñó f − f = 0 h.k a, b  . Suy ra f = f = f h.k a, b  . b Vậy ∫ f = ∫ f = ∫ f =I = ℝ ( ) ∫ f (x ) dx a ,b  a ,b  a ,b  a Ví dụ  x + cos x neáu x laø soá voâ tæ Cho f ( x ) =  .  0 neáu x laø soá höõu tæ Xét sự khả tích (L) và (R) của hàm f (x ) trên  0;1 . Tính các tích phân trong trường hợp tồn tại ðặt g (x ) = x + cos x , x ∈ 0;1 ta có f ∼ g trên  0;1 Do g khả tích (R) nên khả tích (L). Suy ra f khả tích (L) trên  0;1 1 1 Ta có (L ) ∫ fdx = (L ) ∫ gdx = (R ) ∫ gdx = ∫ (x + cos x )dx = + s in1 0;1 0;1 0;1 0 2       Hàm f không khả tích (R) trên 0;1 vì tập các ñiểm gián ñoạn của nó chứa tập các số vô tỉ thuộc 0;1 , tập này có ñộ ño bằng 1 Trang 49
  18. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu BÀI TẬP CHƯƠNG 2 { 2.1 Cho f là hàm khả tích trên A, với mỗi ε > 0 ñặt Aε = x ∈ A : f (x ) ≥ ε . Chứng } minh rằng µ Aε < +∞ 2.2 Cho g là hàm khả tích trên A và hàm f ño ñược trên A thỏa f x ∈ α , β  h.k A . ( ) Chứng minh rằng tồn tại γ ∈ α , β  sao cho ∫ f g = γ ∫ g A A 2.3 Cho f là hàm ño ñược trên A và ∫f E = 0 với mọi E ⊂ A , E ∈ F . Chứng minh rằng f = 0 h.k A . 2.4 Cho f là hàm ño ñược trên A và µ (A) < +∞ . Chứng minh rằng nếu f 2 khả tích trên A thì f khả tích trên A.Tìm ví dụ chứng tỏ rằng nếu bỏ giả thiết µ (A) < +∞ thì khẳng ñịnh trên không ñúng.  1  n neáu 0 < x < n ( ) 2.5 Cho E = 0,1 , ñặt fn ( x ) =  µ . Chứng minh rằng fn   →0  0 neáu 1 ≤ x < 1  n nhưng lim ∫ fn ≠ 0 n →∞ E  1  neáu x ≤ n 2.6 Cho fn ( x ) =  n µ . Chứng minh rằng fn  → 0 nhưng lim ∫ fn ≠ 0  n →∞  0 neáu x >n ℝ  2.7 Cho ( f n )n , f là dãy những hàm ño ñược trên A, µ (A) < +∞ . Giả sử ( f n )n hội tụ ñều về f trên A .Chứng minh rằng f khả tích trên A và lim ∫ fnd µ = ∫ fd µ n →∞ A A 2.8 Cho ( f n )n là dãy những hàm khả tích, hữu hạn trên A, hội tụ ñều về f trên A và µ (A) < +∞ . Chứng minh rằng f khả tích trên A và lim ∫ fnd µ = ∫ fd µ n →∞ A A 2.9 Cho ( f n )n là dãy những hàm ño ñược trên A , µA < +∞ . Chứng minh rằng fn fn → µ 0 trên A với ∀n ∈ N khi và chỉ khi lim ∫ =0 n →∞ A 1+ fn 2.10 Tính các giới hạn sau 2 (a) lim ∫ n 1 + x 2n dx n →∞ 0 Trang 50
  19. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu 2 x + x 2e nx (b) lim ∫ dx n →∞ 0 1 + e nx { 2.9 Cho f là hàm khả tích trên A, ñặt An = x ∈ A : f (x ) ≥ n . Chứng minh rằng } lim n µ An = 0 n →∞ 2.11 Xét sự tồn tại tích phân và tính các tích phân (nếu có)  sin x neáu sinx laø soá höõu tæ (a) f ( x ) =  . Tính (L ) ∫ f (x )dx  cosx neáu cosx laø soá voâ tæ  π 0;     2  x + 1 neáu x laø soá voâ tæ (b) f ( x ) =  . Tính (L ) ∫ f (x )dx  1 + e x neáu x laø soá höõu tæ 0,1    2 1  x neáu x laø soá voâ tæ >  3 1 (c) f ( x ) =  x 3 neáu x laø soá voâ tæ < höõu tæ . Tính (L ) ∫ f (x )dx 3  0,1    0 neáu x laø soá höõu tæ   1  sinπ x neáu x ∈  0,  ∩ D C   2   1  (d) f ( x ) =  cosπ x neáu x ∈  ,1 ∩ D C trong ñó D là tập Cantor.  2   0 neáu x ∈ D Tính (L ) ∫ f (x )dx 0,1   Trang 51
  20. Produced with a Trial Version of PDF Annotator - www.PDFAnnotator.com Chương 2. Tích phân Lebesgue Biên soạn: Nguyễn Trung Hiếu TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lương Hà, Giáo trình lý thuyết ñộ ño và tích phân, NXB ðà Nẵng, 2004 [2] Nguyễn ðịnh, Nguyễn Hoàng, Hàm số biến số thực, NXB Giáo dục, 1999 [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải, Cơ sở lý thuyết hàm và Giải tích hàm, NXB Giáo dục, 1998, [4] Hoàng Tụy, Hàm thực và Giải tích hàm, NXB ðHQG Hà Nội, Viện Toán [5] Nguyễn ðịnh, Nguyễn Ngọc Hải, Các ñịnh lí và bài tập hàm thực, NXB Giáo dục, 1999 [6] Bùi ðắc Tắc, Nguyễn Thanh Hà, Bài tập không gian tôpô - ðộ ño - Tích phân, NXB ðHQG Hà Nội, 1999 Trang 52
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2