Bài giảng Vi tích phân 2B: Tích phân bội

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:17

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Vi tích phân 2B: Tích phân bội, cung cấp cho người học những kiến thức như tích phân bội trên miền hình chữ nhật đóng; tích phân bội trên miền tổng quát; tích phân bội trong tọa độ cực. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Vi tích phân 2B: Tích phân bội

HCMUS Tích phân bội -Multiple Integral-
BẢNG NỘI DUNG 01 Tích phân bội trên miền hình chữ nhật đóng 02 Tích phân bội trên miền tổng quát 03 Tích phân bội trong tọa độ cực
01 TÍCH PHÂN BỘI TRÊN MIỀN HÌNH CHỮ NHẬT ĐÓNG
01 TÍCH PHÂN BỘI TRÊN MIỀN HÌNH CHỮ NHẬT ĐÓNG Xấp xỉ thể tích trên miền hình chữ nhật đóng Giá trị trung bình của f trên miền hình chữ nhật đóng Tính tích phân bội bằng tích phân lặp và định lí Fubini
Xấp xỉ thể tích trên miền hình chữ nhật đóng Định nghĩa: Nếu f(x,y) ≥ 0
Xấp xỉ thể tích trên miền hình chữ nhật đóng Chú thích : 𝑏− 𝑎 𝑑− 𝑐 ∆𝐴 = ∆𝑥. ∆𝑦 = là diện tích hình chữ nhật con khi chia R thành m. n ô nhỏ 𝑚 𝑛 ✓ Các loại điểm mẫu: với i=1, 2, …., m và j=1, 2, …, n ✓ Các điểm biên dưới bên trái thì 𝑓 𝑥 𝑖−1 , 𝑦 𝑗−1 ✓ Các điểm biên dưới bên phải thì 𝑓 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗−1 ✓ Các điểm biên trên bên trái thì 𝑓 𝑥 𝑖−1 , 𝑦 𝑗 ✓ Các điểm biên trên bên phải thì 𝑓 𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗 ✓ Các trung điểm thì 𝑓 𝑥ҧ 𝑖 , ത 𝑗 𝑦 ✓ Các điểm bất kì thì 𝑓 𝑥 𝑖𝑗 , 𝑦 𝑖𝑗
Giá trị trung bình của f trên miền hình chữ nhật đóng 1 𝑓𝑡𝑏 = ඵ 𝑓 𝑥, 𝑦 𝑑𝐴 𝑣ớ𝑖 𝐴 𝑅 𝑙à 𝑑𝑖ệ𝑛 𝑡í𝑐ℎ 𝑐ủ𝑎 𝑅 𝐴 𝑅 𝑅
Tính tích phân bội bằng tích phân lặp và định lí Fubini Cho f là một hàm hai biến xác định trên 1 hình chữ nhật đóng 𝑅 = 𝑎, 𝑏 𝑥 𝑐, 𝑑 thì ta có 2 cách viết tích phân lặp như sau:
Tính tích phân bội bằng tích phân lặp và định lí Fubini Định lí Fubini:
02 TÍCH PHÂN BỘI TRÊN MIỀN TỔNG QUÁT
Tích phân bội trên miền tổng quát Miền tổng quát D được chia làm 2 loại: • Miền loại 1 (lồi theo phương Ox): là miền • Miền loại 2 (lồi theo phương Oy): là miền nằm giữa hai hàm số liên tục theo biến x. nằm giữa hai hàm số liên tục theo biến y. 𝐷 = 𝑥, 𝑦 |𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑔1 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑔2 𝑥 𝐷 = 𝑥, 𝑦 |𝑐 ≤ 𝑦 ≤ 𝑑, ℎ1 𝑦 ≤ 𝑥 ≤ ℎ2 𝑦
Tính tích phân bội bằng tích phân lặp và định lí Fubini
Một số tính chất của tích phân bội 2 01 𝐍ế𝐮 𝐃 = 𝐃 𝟏 ∪ 𝐃 𝟐 𝐭𝐡ì ඵ 𝐟 𝐱, 𝐲 𝐝𝐀 = ඵ 𝐟 𝐱, 𝐲 𝐝𝐀 + ඵ 𝐟 𝐱, 𝐲 𝐝𝐀 𝐃 𝐃𝟏 𝐃𝟐 02 𝐍ế𝐮 𝐟 𝐱, 𝐲 = 𝟏 𝐭𝐡ì ඵ 𝐟 𝐱, 𝐲 𝐝𝐀 = ඵ 𝟏𝐝𝐀 = 𝐀 𝐃 𝐃 𝐃 03 𝐍ế𝐮 𝐟 𝐱, 𝐲 ≥ 𝐠 𝐱, 𝐲 , ∀ 𝐱, 𝐲 ∈ 𝐃 𝐭𝐡ì ඵ 𝐟 𝐱, 𝐲 𝐝𝐀 ≥ ඵ 𝐠 𝐱, 𝐲 𝐝𝐀 𝐃 𝐃 04 𝑵ế𝒖 𝒎 ≤ 𝒇 𝒙, 𝒚 ≤ 𝑴, ∀ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫 𝒕𝒉ì 𝒎. 𝑨 𝑫 ≤ ඵ 𝒇 𝒙, 𝒚 𝐝𝐀 ≤ 𝑴. 𝑨 𝑫 𝑫
03 TÍCH PHÂN BỘI TRONG TỌA ĐỘ CỰC
Tích phân bội trong tọa độ cực 𝑥 = 𝑟 cos 𝜃 Đặ𝑡 ൜ 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃 ⇒ 𝑟 2 = 𝑥 2 +𝑦 2
Tích phân bội trong tọa độ cực 𝑇𝑎 𝑐ó 𝑅 = 𝑥, 𝑦 |1 ≤ 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4, 𝑦 ≥ 0 Chuyển sang tọa độ cực: 𝑅 = 𝑥, 𝑦 |𝑥 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑦 = 𝑟 sin 𝜃, 𝑟 ∈ 0,1 , 𝜃 ∈ 0,2𝜋 ℎ𝑎𝑦 𝑅 = 𝑟, 𝜃 |1 ≤ 𝑟 ≤ 2,0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋
Tích phân bội trong tọa độ cực Định lí Fubini cho tọa độ cực: