Bài giảng Vi tích phân 2B: Ôn tập Vi tích phân 2B

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:31

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Bài giảng Vi tích phân 2B: Ôn tập Vi tích phân 2B, cung cấp cho người học những kiến thức như giới hạn của hàm số hai biến; giới hạn của hàm số hai biến xác định trên từng miền; tính liên tục của hàm số hai biến. Mời các bạn cùng tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Bài giảng Vi tích phân 2B: Ôn tập Vi tích phân 2B

HCMUS Ôn tập Vi tích phân 2B cuối kỳ - CLB Học thuật NES-
BẢNG NỘI DUNG Giới hạn & 01 02 Tích phân bội đạo hàm riêng 03 Giải tích vector 04 Phương trình vi phân
01 Giới hạn hàm nhiều biến (Multivariable Limits)
Nội dung chính Giới hạn của hàm 01 Giới hạn của 02 số hai biến xác định hàm số hai biến trên từng miền 03 Tính liên tục của hàm số hai biến
Giới hạn của hàm số hai biến TRỰC QUAN Giới hạn của f(x,y) khi (x,y) tiến về (a,b) là bằng L, hoặc cho (x,y) tiến về (a,b), giá trị f(x,y) tiến về L. CHÍNH XÁC 𝐥𝐢𝐦 𝐟 𝐱, 𝐲 = 𝐋 𝐱,𝐲 →(𝐚,𝐛) nghĩa là với mọi ε >0 thì tồn tại một số δ > 0 sao cho 𝟎< (𝐱 − 𝐚) 𝟐 +(𝐲 − 𝐛) 𝟐 < 𝛅 thì 𝐟 𝐱, 𝐲 − 𝐋 < 𝛆
Ký hiệu 𝐥𝐢𝐦 𝐟 𝐱, 𝐲 = 𝐋 𝐥𝐢𝐦 𝐟 𝐱, 𝐲 = 𝐋 𝐱→𝐚 𝐱,𝐲 →(𝐚,𝐛) 𝐲→𝐛 (𝐱,𝐲)→(𝐚,𝐛) 𝐟(𝐱, 𝐲) 𝐋 𝐟 𝐱, 𝐲 → 𝐋 𝐤𝐡𝐢 (𝐱, 𝐲) → (𝐚, 𝐛)
Phương pháp chứng minh giới hạn không tồn tại Hai đường cong Họ đường cong tham số Xét trên đường cong C1 ta Ta sẽ xem xét giới hạn trên có 𝐥𝐢𝐦 𝐟 𝐱, 𝐲 = 𝐋 𝟏 và một họ đường cong phụ 𝐱,𝐲 → 𝐚,𝐛 thuộc tham số k, thường là trên đường cong C2 ta có y=kx (phải nằm trong miền 𝐥𝐢𝐦 𝐟 𝐱, 𝐲 = 𝐋 𝟐 trong 𝐱,𝐲 → 𝐚,𝐛 D). Sau đó thực hiện một số đó 𝐿1 ≠ 𝐿2 , thì không tồn tại biến đổi sao cho giới hạn 𝐥𝐢𝐦 𝐟 𝐱, 𝐲 . cuối cùng chỉ phụ thuộc vào 𝐱,𝐲 →(𝐚,𝐛) tham số k.
Phương pháp chứng minh giới hạn tồn tại Phương pháp kẹp Phương pháp chuyển tọa độ cực
Phương pháp chứng minh giới hạn tồn tại 1. Phương pháp kẹp Cho f, g, h là các hàm số xác định trên miền I là tập con của R2, chúng có thể không xác định tại (a,b). Giả sử với mọi (x,y) thuộc I mà khác (a,b), ta có: g(x,y) ≤ f(x,y) ≤ h(x,y) (bất đẳng thức kẹp) Nếu 𝐥𝐢𝐦 𝐠 𝐱, 𝐲 = 𝐥𝐢𝐦 𝐡 𝐱, 𝐲 = 𝐋. Thì 𝐥𝐢𝐦 𝐟 𝐱, 𝐲 = 𝐋 𝐱,𝐲 → 𝐚,𝐛 𝐱,𝐲 → 𝐚,𝐛 𝐱,𝐲 → 𝐚,𝐛 𝐚 ❖ Dấu hiệu: có hàm lượng giác hoặc có dạng với a,b > 0 𝐚+𝐛
Phương pháp chứng minh giới hạn tồn tại 2. Phương pháp chuyển tọa độ cực Giới hạn phức tạp của hàm hai biến → giới hạn của hàm một biến đơn giản. Bằng cách đặt 𝐱 = 𝐫 𝐜𝐨𝐬(𝛉) và 𝐲 = 𝐫 𝐬𝐢𝐧(𝛉) với 𝑟 ≥ 0, 𝜃 ∈ ሾ0, 2𝜋) ❖ Dấu hiệu: có 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 và x, y → a, b với a=b
Phương pháp tìm giới hạn của hàm số Tìm 𝐥𝐢𝐦 𝐟 𝐱, 𝐲 𝐱,𝐲 →(𝐚,𝐛) (a,b) có phải là điểm nghi vấn? Có Không Có các dấu hiệu chứng minh giới hạn TỒN TẠI ? Thế trực tiếp Không Có Các PP chứng minh PP kẹp hay tọa độ giới hạn không tồn cực tại
Tính liên tục của hàm số hai biến f(a,b) là xác định Hàm số f(x,y) là liên tục tại điểm (a,b) lim f x, y là tồn tại x,y →(a,b) lim f x, y = f(a, b) x,y →(a,b)
02 Đạo hàm riêng (Partial Derivatives)
Nội dung chính Đạo hàm riêng Đạo hàm riêng 01 bằng định nghĩa 02 bằng công thức Đạo hàm riêng của hàm xác Ý nghĩa của 03 định trên từng 04 đạo hàm riêng miền
Đạo hàm riêng bằng định nghĩa f x+∆x,y −f(x,y) fx(x,y) = lim ∆x→0 ∆x f x,y+∆y −f(x,y) fy(x,y) = lim ∆y→0 ∆y
Các ký hiệu của đạo hàm riêng fx(x,y) fy(x,y) 𝜕z 𝜕z fx fy 𝜕x 𝜕y 𝜕f 𝜕f 𝜕x 𝜕y
Các giá trị của đạo hàm riêng f(x,y) tại điểm (a,b) được ký hiệu bởi: 𝜕f 𝜕f fx(a,b)= ቚ fy(a,b)= ቚ 𝜕x (a,b) 𝜕y (a,b) Luật tìm đạo hàm riêng của hàm hai biến z = f(x,y): Để tìm fx, ta xem y như là hằng số và lấy đạo hàm của f(x,y) theo biến x Để tìm fy, ta xem x như là hằng số và lấy đạo hàm của f(x,y) theo biến y
Đạo hàm riêng của hàm xác định trên từng miền Cần lưu ý Điểm nghi vấn của hàm số (điểm tại đó hàm rẽ nhánh). Sử dụng đạo hàm bằng định nghĩa để xác định tại những điểm nghi vấn.
03 Mặt phẳng tiếp xúc , xấp xỉ tuyến tính và sự khả vi (Tangent Plane, Linear Approximation and Differentiability)