1
Phaàn ÑAÏI SOÁ
CHÖÔNG I
CAÊN BAÄC HAI , CAÊN BAÄC BA
§1. Caên baäc hai
1. Caên baäc hai
Ta ñaõ bieát :
Caên baäc hai cuûa soá a khoâng aâm laø soá x sao cho x2 = a
Ví duï : Caên baäc hai cuûa 16 laø 4 vaø – 4 (vì 42 = 16 vaø (–4)2 = 16 )
• Moãi soá thöïc döông a coù ñuùng hai caên baäc hai laø hai soá ñoái
nhau : soá döông kí hieäu laø a coøn soá aâm laø a− ;
• Soá 0 coù ñuùng moät caên baäc hai laø chính soá 0, ta vieát 00 = ;
• Soá thöïc aâm a khoâng coù caên baäc hai, khi ñoù ta noùi bieåu thöùc
a khoâng coù nghóa hay khoâng xaùc ñònh.
Vôùi soá döông a, soá a goïi laø caên baäc hai soá hoïc cuûa a.
Soá 0 cuõng ñöôïc goïi laø caên baäc hai soá hoïc cuûa soá 0
Ñònh nghóa :
Caên baäc hai soá hoïc cuûa soá thöïc a khoâng aâm laø soá khoâng aâm x
sao cho x2 = a.
Nhaän xeùt :
*
a ≥ 0 vôùi a ≥ 0
* ( a)2 = a vôùi a ≥ 0
* Phöông trình ax =
⇔
2
0a
x
a
≥
⎧
⎨
=
⎩
Pheùp toaùn tìm caên baäc hai soá hoïc cuûa soá khoâng aâm goïi laø
pheùp khai phöông (goïi taét laø khai phöông). Chaúng haïn, khai
phöông soá 4 ta ñöôïc soá 2. Ñeå khai phöông cuûa moät soá, ngoaøi
caùch tính nhaåm soá vaø tính bình phöông cuûa soá ñoù, ngöôøi ta coù
theå duøng maùy tính boû tuùi hoaëc duøng baûng soá .
2. So saùnh hai caên baäc hai
Ñònh lí: Vôùi a, b laø caùc soá döông, ta coù:
2
a) Neáu a < b thì ba <
b) Neáu ba < thì a < b.
AÙp duïng: So saùnh 3 vôùi 10
Ta coù 3 = 9;
Vì 9 < 10 neân 9 < 10
Vaäy 3 < 10
Baøi taäp
1. Ñieàn vaøo oâ troáng trong baûng sau :
Giaûi
2. Tìm caên baäc hai soá hoïc suy ra caên baäc hai caùc soá sau :
a. 169 ; b. 289 ; c. 529 ; d. 361
3. So saùnh caùc soá :
a.
5 vaø 3
b.
23 vaø 5
c.
102 vaø 6
d. 1615 + vaø 8
Giaûi
a. 3 =
9. Do 59< neân 53
<
b. 5 = 25 . Do 23 25< neân 23 5
<
c. 6 = 36 ; 2 10 40=. Do 40 36> neân 210 6>
d. Giaû söû 1615 + > 8. Vaäy 15 4> ( sai do 15 16 4<=
)
x 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
x2
X 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
x2 225 256 289 324 361 400 441 484 529 576
3
Vaäy 1615 + < 8
4. Duøng kí hieäu , vieát nghieäm cuûa caùc phöông trình döôùi ñaây.
Sau ñoù, duøng maùy tính boû tuùi ñeå tính keát quaû chính xaùc vôùi 3
chöõ soá sau daáu phaåy.
a) x2 = x; b) x2 = 3; c) x2 = 3,5; d) x2 = 4,12
Giaûi
a. x = 0 hoaëc x = 1
b. 3x=± 1,732≈±
c. 3, 5x=± 1,871≈±
d. 4,12x=± 2, 03≈±
5. Ñoá: Tính caïnh moät hình vuoâng bieát dieän tích cuûa noù baèng dieän
tích cuûa hình chöõ nhaät coù chieàu roâng 3,5m coøn chieàu daøi 14m
(h.1).
14
3,5
Hình 1
Giaûi
Dieän tích hình vuoâng : 3, 5.14 = 49
Vaäy caïnh hình vuoâng = 49 7
=
Coù theå em chöa bieát
Töø thôøi xa xöa, ngöôøi ta ñaõ thaáy giöõa Hình hoïc vaø Ñaïi soá ñaõ coù
lieân quan maät thieát. Khaùi nieäm caên baäc hai cuõng coù phaàn xuaát
phaùt töø Hình hoïc. Khi bieát ñoä daøi caïnh hình vuoâng, ta tính ñöôïc
dieän tích hình ñoù baèng caùch tính bình phöông (hay naâng leân luõy
thöøa baäc hai) ñoä daøi caïnh. Ngöôïc laïi, neáu bieát dieän tích hình
vuoâng, ta tìm ñöôïc ñoä daøi caïnh nhôø khai phöông cuûa soá ño dieän
tích. Ngöôøi ta coi pheùp laáy caên baäc hai soá hoïc laø pheùp toaùn
ngöôïc cuûa pheùp bình phöông vaø coi vieäc tìm caên moät soá laø tìm
“caùi goác, caùi nguoàn”. Ñieàu naøy hieän coøn thaáy trong ngoân ngöõ
moät soá nöôùc. Chaúng haïn, ôû tieáng Anh, hình vuoâng laø square,
coøn caên baäc hai laø square root vaø caên baäc hai soá hoïc laø
4
principal square root.Coøn tieáng Phaùp caên baäc hai cuûa x laø “
racine carreù de x”.Chính vì theá caên baäc hai coù kyù hieäu laø chöõ
caùi “ r “ .
BAØI TAÄP TÖÏ GIAÛI
Baøi 1
Tìm x bieát raèng :
a.
16
2=x
b. 0254 2=−x
c. 34 2=x
d.
()
321 2
2++=+ xxx
Baøi 2
Chöùng minh : 010424
222 >+−−+++ zyxzyx
Höôùng daãn
222
42410xyz xyz+++−−+
()()()
22 2
21210xyz=+ +− +− +>
Baøi 3
Cho 9
2=x vaø 25
2=y .Haõy tính : yxE
+
=
Höôùng daãn
x
2 = 9 ⇔ ⎢
⎣
⎡
−=
=
3
3
x
x
y
2 = 25 ⇔ ⎢
⎣
⎡
−=
=
5
5
y
y
- Neáu x = 3 ; y = 5 thì E = 8
- Neáu x = 3 ; y = -5 thì E = -2
- Neáu x = -3 ; y = 5 thì E = 2
- Neáu x = -3 ; y = -5 thì E = -8
Baøi 4
Cho 10 ≤< a .Chöùng minh raèng :
a. 2
aa ≥
b. aa ≥
Höôùng daãn
5
0
≤ a ≤ 1
a. 2
a1. aa
a0
≤
⎧
<
⎨≥
⎩
b. aa
a
a≤⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤
0
1
Baøi 5
Cho x + y = 1, tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa bieåu thöùc
33
Ax
y
=+
Höôùng daãn
333 23
A x (1 x) x 1 3x 3x x=+− =+−+ −
2
111
3(x )
2124
⎡⎤
=
−+≥
⎢⎥
⎣⎦
min
1
A4
=
(taïi 1
xy ).
2
==
Baøi 6
a. Chöùng minh baát ñaúng thöùc : a2 + b2 ≥ 2 ab
Ñaúng thöùc xaûy ra khi naøo ?
b. Chöùng minh raèng :
Neáu x + y > 2 thì : x2 + y2 > 2
Neáu x2 + y2 ≤ 2 thì : x + y ≤ 2
Höôùng daãn :
b.
22 22
22
xy42xy
2(x y ) 4
xy2xy
⎫
+>− ⎪
+
>
⎬
+≥ ⎪
⎭
hay 22
x
y
2
+
>
222
2
2x 1 x ( 1 2x) 2(x y) 2 x y
2y 1 y ( 1 2y)
2
2
do x
do y
⎫
−≤ +≥ ⎪
+
−≤ +
⎬
−≤ +≥ ⎪
⎭
Maø
22
xy2,+≤
neân 2(x y) 2 2 x y 2
+
−≤ ⇒ +≤