intTypePromotion=1
zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn
ADSENSE
 » 
 » 

Chuyên đề 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Chia sẻ: Lê Ngọc Sơn | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:9

Thêm vào BST
Báo xấu
990
lượt xem 105
download
 
  Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tài liệu "Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số" giúp cho các em có cơ hội để ôn tập và đánh giá lại kiến thức của chính bản thân mình trước khi tham dự vào kỳ thi Đại học vô cùng quan trọng sắp tới.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Chuyên đề 1: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

  1. Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh CHƯƠNG 1. CHUYÊN ĐỀ 1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa: Kí hiệu K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn. a) Hàm số f(x) đgl hàm số đồng biến trên K , nếu với mọi cặp x1, x2 Î K mà x1 < x2 thì f(x1 ) < f(x2 ) . b) Hàm số f(x) đgl hàm số nghịch biến trên K , nếu với mọi cặp x1, x 2 Î K mà x1 < x2 thì f(x1 ) > f(x2 ) . Hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K còn gọi là hàm tăng (giảm) trên K . Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K còn gọi chung là hàm số đơn điệu trên K . 2. Định lí Cho hàm số y = f(x) xác định và có đạo hàm trên K . a) Nếu f '(x) ³ 0, "x Î K, f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì f(x) đồng biến trên K. b) Nếu f '(x) £ 0, "x Î K, f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì f(x) nghịch biến trên K. Nếu f(x) đồng biến trên K thì f '(x) ³ 0, "x Î K ; nếu f(x) nghịch biến trên K thì f '(x) £ 0, "x Î K 3. Định lí về dấu tam thức bậc hai  Cho tam thức f(x) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0) , có D = b2 - 4ac . Ta có:  Nếu D < 0 thì f(x) cùng dấu với a , "x Î  . b  Nếu D = 0 thì f(x) cùng dấu với a , "x ¹ - . 2a  Nếu D > 0 thì f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 (x1
  2. Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh ìa > 0 ï  f(x) ³ 0, "x  ï í ïD £ 0 ï î ìa < 0 ï  f(x) £ 0, "x  ï í ïD £ 0 ï î II. PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP  Dạng 1: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số cho trước  Bài tập 1. Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y = -x 4 + 2x 2 + 3  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  + Ta có y ' = -4x 3 + 4x  y ' = 0  x = 0, x = 1 . Ta có bảng biến thiên: x -¥ -1 0 1 +¥ y' + 0 - 0 + 0 - 4 4 y -¥ 3 -¥ Vậy hàm số đồng biến trong các khoảng (-¥; -1) và (0;1) ; nghịch biến trong các khoảng (2;+¥) và (-¥; -1) . x3  Bài tập 2. Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y = - x 2 - 3x + 7 3  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  + Ta có y ' = x 2 - 2x - 3  y ' = 0  x = -1; x = 3 . Dựa vào bảng biến thiên ta có: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-¥; -1) và (3;+¥) ; nghịch biến trên khoảng (-1; 3) . 3x - 2  Bài tập 3. Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y = 2x + 1  Hướng dẫn: ì 1ü ï ï + Tập xác định D =  \ ï- ï í ý ï 2ï ï ï î þ 2
  3. Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh 7 1 æ 1ö + Ta có y ' = > 0, "x ¹ - . Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng ç-¥; - ÷ và ç ÷ (2x + 1) 2 2 ç è 2÷ ÷ ø æ 1 ö ç- ; +¥÷ ç ç 2 ÷ ÷ è ÷ ø x 2 + 2x + 6  Bài tập 4. Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y = x -1  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  \ {1} x 2 - 2x - 8 é x = -2 + Ta có y ' =  y ' = 0  êê . Dựa vào bảng biến thiên ta có: Hàm số đồng biến (x - 1) êë x = 4 2 trên các khoảng (-¥; -2) và (4;+¥) ; nghịch biến trên các khoảng (-2;1) và (1; 4) .  Bài tập 5. Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số y = x2 - x - 2  Hướng dẫn: + Tập xác định D = (-¥; -1ùúû È éêë2; +¥) 2x - 1 1 + Ta có y ' =  y' = 0  x = . Dựa vào bảng xét dấu ta có: Hàm số đồng biến trên 2 x2 - x - 2 2 khoảng (2;+¥) và nghịch biến trên khoảng (-¥; -1) é p pù  Bài tập 6. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số y = x - 2 sin x, x Î ê- ; ú ê 3 3ú ë û  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  p é p pù + Ta có y ' = 1 - 2 cos x  y ' = 0  x =  (Do x Î ê- ; ú ) 3 ê 3 3ú ë û é p pù + Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số nghịch biến trong đoạn ê- ; ú ê 3 3ú ë û  Bài tập áp dụng  Bài tập 1. Xét chiều biến thiên các hàm số sau: 3
  4. Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh x2 5 a) y = - 2x2 + 4x + 5 b) y = +x- c) y = x 2 - 4x + 3 4 4 d) y = x 3 - 2x 2 + x - 2 e) y = (4 - x)(x - 1)2 f) 3 2 y = x - 3x + 4x - 1 1 4 1 4 1 g) y = x - 2x 2 - 1 h) y = -x 4 - 2x 2 + 3 i) y = x + x2 - 2 4 10 10 2x - 1 x -1 1 k) y = l) y = m) y = 1 - x+5 2-x 1- x 2x 2 + x + 26 1 4x 2 - 15x + 9 n) y = o) y = -x + 3 - p) y = x +2 1- x 3x  Bài tập 2. Xét chiều biến thiên các hàm số sau: x2 - 1 x2 - x + 1 a) y = -6x 4 + 8x 3 - 3x 2 - 1 b) y = c) y = x2 - 4 x2 + x + 1 2x - 1 x d) y = e) y = f) y = x + 3 + 2 2 - x x2 x2 - 3x + 2 g) y = 2x - 1 - 3 - x h) y = x 2 - x2 i) y = 2x - x2 æ p pö æ p pö k) y = sin 2x ç- < x < ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ l) y = sin 2x - x ç- < x < ÷ ç 2 è 2÷ ø ç 2 è 2ø  Dạng 2: Sự biến thiên của hàm số trên một khoảng Trong dạng này ta cần quan tâm 2 chú ý sau:  Bất phương trình u(x) ³ m đúng "x Î I  min u(x) ³ m xÎI  Bất phương trình u(x) £ m đúng "x Î I  max u(x) £ m xÎI 1  Bài tập 1. Cho hàm số y = 3 (m - 1) x 3 + mx2 + (3m - 2) x - 2 . Với giá trị nào thì hàm số luôn nghịch biến.  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  + Ta có y ' = (m - 1) x2 + 2mx + 3m - 1 . Để hàm số luôn nghịch biến trên  thì y ' £ 0, "x Î  1 Nếu m - 1 = 0  m = 1 . Khi đó ta có y ' = 2x + 1  y ' £ 0  x £ - . Vậy m = 1 không thỏa 2 mãn 4
  5. Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh ìm < 1 ï ï ï ìm - 1 < 0 ï ì ïm < 1 ï ï Khi đó YCBT  í ï í ïêé 1 1  í m £  m £ ïD ' £ 0 ï ï-2m + 5m - 2 £ 0 ï 2 ïê ïê 2 2 î ï î ïm³2 ïê ïë î 1 3 1  Bài tập 2. Cho hàm số y = x - (m + 3) x 2 + (2m + 3) x - 1 . Với giá trị nào thì hàm số đồng 3 2 biến trên khoảng (4;+¥)  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  + Ta có y ' = x2 - (m + 3) x + 2m + 3 . Để hàm số đồng biến trên (4;+¥) thì y ' ³ 0, "x > 4  x 2 - (m + 3) x + 2m + 3 ³ 0, "x > 4 x 2 - 3x + 3  > m, "x > 4 x -2 x 2 - 3x + 3 x 2 - 4x + 3 Xét hàm số f(x) = , x Î éêë 4; +¥ ) . Ta có f '(x) =  f '(x) = 0  x = 1; x = 3 x-2 ( x - 2) 2 Ta có bảng biến thiên: x -¥ 1 2 3 4 +¥ f '(x) + 0 - - 0 + + +¥ f(x) 7 2 7 Từ bảng biến thiên ta thấy: f(x) ³ m, "x > 4  min f(x) ³ m  m £ x³4 2  Bài tập 3. Cho hàm số y = -x 3 - 3x 2 + 4mx - 2 . a) Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥; 0ùúû b) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (-2; -1)  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  + Ta có y ' = -3x 2 - 6x + 4m a) Để hàm số nghịch biến trên khoảng (-¥; 0ùúû thì y ' £ 0, " £ 0  3x 2 + 6x ³ 4m, "x £ 0 5
  6. Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh Xét hàm số f(x) = 3x2 + 6x, x Î (-¥; 0ùúû . Ta có: 3 f(x) ³ 4m, "x £ 0  min f(x) ³ 4m  m £ - x£0 4 b) Tương tự ta có m ³ 0 là giá trị cần tìm.  Bài tập 4. Cho hàm số y = 2x 3 + 3x2 + 6 (m + 1) x + 1 . Với giá trị nào của m thì hàm số giảm trên khoảng (-2; 0)  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  ( ) + Ta có y ' = 6x 2 + 6x + 6 (m + 1) = 6 x 2 + x + m + 1 . Để hàm số giảm trên (-2; 0) thì y ' £ 0 với x Î (-2; 0)  Phương trình y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2 ) thỏa mãn: x1 £ -2 < 0 £ x2 3  Để phương trình y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt thì D = -4m - 3 > 0  m < - 4  Khi đó ta có x1 = 1 2 ( 1 ) ( -1 - -4m - 3 , x 2 = -1 + -4m - 3 . Do đó: 2 ) ì1 ï ï x 1 £ -2 < 0 £ x 2  ï 2 ( ï -1 - -4m - 3 £ -2 ì3 £ -4m - 3 ï ï ï í ï ï í ) ìm £ -3  m £ -3 í ï1 ï -4m - 3 ³ 1 ïm £ -1 ï ï î2 ï ( ï -1 + -4m - 3 ³ 0 ï ï î ï î ) mx + 4  Bài tập 5. Cho hàm số y = . Với giá trị nào của m thì hàm số: x+m a) Tăng trên (2;+¥) b) Giảm trên (-¥;1)  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  \ {-m} m2 - 4 + Ta có y ' = (x + m) 2 m2 - 4 ìm2 - 4 < 0 ï ï a) Để hàm số giảm trên (2;+¥) thì y ' < 0, "x > 2  < 0, "x > 2  í ï-m Ï (2; +¥) (x + m ) 2 ï ï î Do đó m > 2 là giá trị cần tìm 6
  7. Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh b) Tương tự trên ta có -2 < m £ -1 là giá trị cần tìm.  Bài tập 6. Cho hàm số y = x 3 - 3mx2 + 3 (2m + 3) x + 1 . Với giá trị nào của m thì hàm số: a) Luôn đồng biến trên TXĐ của nó b) Hàm số nghịch biến trên khoảng (a; b) với a - b = 4 3  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  \ {-m} + Ta có y ' = 3x 2 - 6mx + 3 (2m + 3) = 3 éê x 2 - 2mx + (2m + 3)ùú ë û a) YCBT  y ' ³ 0, "x Î   D = m 2 - 2m - 3 £ 0  -1 £ m £ 3 b) YCBT  y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x 2 thỏa mãn x1 - x 2 ³ 4 3 : ì ï ì 2 ï é m £ -3 ïD > 0 ïm - 2m - 3 > 0 í ï í  êê ï(x1 + x 2 ) - 4x1x 2 ³ 48 2 ï ï x1 - x 2 ³ 4 3 ï êë m ³ 5 ï î ï î x 2 - 2mx + 3m 2  Bài tập 7. Cho hàm số y = . Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên 2m - x khoảng (1;+¥)  Hướng dẫn: Tập xác định D =  \ {2m} -x2 + 4mx - m2 h(x) + Ta có y ' = := (2m - x) (2m - x) 2 2 ì2m Î (1; +¥) ï ï Hàm số nghịch biến trên (1;+¥)  y ' £ 0, "x Î (1; +¥)  í ïh(x) £ 0, "x Î (1; +¥) ï ï î ì2m £ 1 ï  ï í  max h(x) £ 0 ïh(x) £ 0, "x Î (1; +¥) ï x³1 ï î 2m£1 Ta có h '(x) = -2x + 4m = -2 (x - 1) + 2 (2m - 1) £ 0 với x ³ 1 và 2m £ 1 . Do đó ta có: ì2m £ 1 ï ï ï ïé max h(x) = h(1) = -m + 4m - 1  max h(x) £ 0  ïêm £ 2 - 3  m £ 2 - 3 2 í x³1 ïê ï 2m£1 ïêm ³ 2 + 3 ïë ï î  Chú ý: Ta có thể giải quyết bài toán trên bằng cách lập bảng biến thiên. 7
  8. Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh  Bài tập 8 (ĐH Khối A – 2013). Cho hàm số y = -x 3 + 3x 2 + 3mx - 1 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+¥)  Bài tập áp dụng x 3 (m + 1) x 2  Bài tập 1. Tìm m để hàm số y = - + - (m + 1) x - m + 3 nghịch biến trên 3 2 (1;+¥)  Bài tập 2. Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 - 2mx + 1 nghịch biến trên (1;2) x3  Bài tập 3. Tìm m để hàm số y = - + (m - 1) x 2 + (m + 3) x - 3 đồng biến trên (0; 3) 3  Bài tập 4. Tìm m để hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 1  Bài tập 5. Tìm m để hàm số y = x 3 + 3 (2m + 1) x2 + (12m + 5) x + 2 đồng biến trên (2;+¥) 2x2 + (1 - m) x + m + 1  Bài tập 6. Tìm m để hàm số y = đồng biến trên (1;+¥) x-m mx2 + 6x - 2  Bài tập 7. Tìm m để hàm số y = nghịch biến trên (1;+¥) x +2  Bài tập 8. Với giá trị nào của m thì hàm số y = (m - 3) x - (2m + 1) cos x luôn luôn nghịch biến 1  Bài tập 9. Tìm m để hàm số y = - x 3 + mx 2 - (m + 2) x - 1 luôn nghịch biến 3 1 3  Bài tập 10. Tìm a để hàm số y = ax - ax 2 + x luôn đồng biến 3  Bài tập 11. Tìm m để hàm số y = x 4 + 2mx 2 - m nghịch biến trên (-¥;1) x  Bài tập 12. Cho hàm số y = x-m a) Với giá trị nào của m hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. b) Với giá trị nào của m thì hàm số nghịch biến trên (-¥; -1) 8
  9. Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh x +1  Bài tập 13. Tìm m để hàm số y = đồng biến trên (1;+¥) x + 2m - 1  Dạng 3: Ứng dụng tính đồng biến, nghịch biến của hàm số vào chứng minh bất đẳng thức Trong phần này ta cần lưu ý:  Nếu f(x) là hàm đồng biến thì f(x1 ) < f(x2 )  x1 < x2  Nếu f(x) là hàm nghịch biến thì f(x1 ) < f(x2 )  x1 > x2  Bài tập áp dụng  Bài tập 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau: x3 2 1 p a) x - < sin x < x , với x > 0 b) sin x + tan x > x với 0 < x < 6 3 3 2 p p c) x < tan x , với 0 < x < d) sin x + tan x > 2x với 0 < x < 2 2  Bài tập 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau: tan a a p p a) < , với 0 < a < b < b) a - sin a < b - sin b , với 0 < a < b < tan b b 2 2 p c) a - tan a < b - tan b , với 0 < a < b < 2  Bài tập 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2x p a) sin x > , với 0 < x < p 2 x3 x3 x5 b) x - < sin x < x - + , với x > 0 6 6 120 p c) x sin x + cos x > 1, với 0 < x < 2 9
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

THÔNG TIN
TRỢ GIÚP
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

 

Đồng bộ tài khoản
2=>2